面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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x=y=0とせよ
2f(0)=f(0)^2
f(0)≠0より f(0)=2
x=0とせよ
f(y)+f(-y)=2f(y)
f(-y)=f(y)
∴fは偶関数.
y=xとせよ
f(2x)+2=f(x)^2
両辺をxで微分して両辺を2で割ると
f'(2x)=f'(x)f(x)
x=0を代入するとf'(0)=0.
与式の両辺をxについて微分せよ
f'(x+y)+f'(x-y)=f'(x)f(y)
更に微分せよ
f''(x+y)+f'(x-y)=f''(x)f(y)
此処でx=0とせよ
f''(y)+f''(-y)=f''(0)f(y)
偶関数を微分すると奇関数になり、奇関数を微分すると偶関数になるからf''は偶関数であって
2f''(y)=f''(0)f(y)
此の二階の微分方程式の解を求めよ
f''(0)=Kと置く
2f''(y)=Kf(y)
2f''(y)-Kf(y)=0
特性方程式2t^2-K=0を解き、t=±√(K/2)
則ち一般解はf(y)=Ae^{√(K/2)y}+Be^{-√(K/2)y}
√(K/2)=Cとせよ
f(y)=Ae^(Cy)+Be^(-Cy)
f(0)=2よりA+B=2
f'(0)=2よりf'(0)=AC-BC=0
AC=BC
C=0のときf(y)=A+B=2
此れはf(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)を満たす
C≠0のときA=B,則ちA=B=1
此のときf(y)=e^(Cy)+e^(-Cy)
此れはC=0としても成立する.
∴求める関数は f(x)=e^(Cx)+e^(-Cx) (Cは定数)
因みに>>655を解けたやつおるか？ >>673
f∈C²という表記がfがC²級(2回微分可能で微分係数が連続)ということを指しているのでは？ f:C→C の意味かな、それだったらf∈C^Cって書き方が正しいよねとか思ってた >>664 (補足)
D_n(θ）= -(n+2)(n-2)/4 +｛n/4 + Σ[m=1，n］((n+2-m)/2）cos(2mθ)},
θ = 2π/n のときは m ⇔ n-m としても cos(2mθ）は不変だから平均して
｛ ｝=（(n+4)/4）Σ[m=1，n］cos(2mθ）
=（(n+4)/4）Σ[m=1,n］｛sin((2m+1)θ）- sin(2m-1)θ)}/(2sinθ)
= 0,
・漸化式は
D_{n+1}(θ）-2 cos(2θ）D_n(θ）+ D_{n-1}(θ）= -((nn-2)/2){1 - cos(2θ)} >>677
お前は高校数学止まりなのか？常識だと思うが。お大事に。 いや、あれは>>661が悪い。
「級」を付けて書かなければ、
値が複素２次ベクトルかな？
くらいに思うほうが普通。 数学科の常識は非常識だからな
ときどきそういうことが起こる テキストだけの世界で端折った書き方する方が悪い
数学書は表記について意味を定義した上で省略が許される 基本中の基本である定義を知らないのがおかしいんじゃないのかな？ 〔問題21〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β，∠BCD = γ とします。
β/2 + γ = 120ﾟ,
∠ABD ：∠DBC = 1：3,
∠ACD = 30ﾟ,
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。
・参考
E.M.Lanley："A problem"，The Math. Gazette（1922/Oct）（1923/May)
Franklin の凧
数セミ増刊「数学の問題 第2集」日本評論社（1978）問題21 >>686
訂正ｽﾏｿ
E.M.Lanｇley："A problem"，The Math. Gazette（1922/Oct）（1923/May) >>686
∠ABCの二等分線と直線CDの交点をEとすれば
１つ目の条件より∠BEC=60°
∠ACD=30°よりACとBEは垂直で、内角の二等分線であることからAB=AC, ∠ABE=∠CBE
これと2つ目の条件から∠ABD=∠EBD
また、対称性から∠AEB=∠CEB=60°であり∠AED=60°
よって直線EDは∠AEBの外角の二等分線であり
点Dは△ABEの傍心の１つ
よって∠ADB=1/2 ∠AEB=30°
でどうでしょうか >>688
正解！おみごとです。
だだし AB=BC ですが…
最後の定理（？）
点Dが△ABEの傍心のとき、∠ADB =（1/2)∠AEB
も簡単ですね。
∠ADB = 180°- ∠BAD - ∠ABD
= 180°-（90°+ ∠BAE/2）-（1/2)∠ABE
=（180°-∠BAE -∠ABE)/2
=（1/2)∠AEB, >>686
(別解)
DC上に∠ABF=60°となる点Fをとって BF と共に AF を結ぶ。
∠BFC = 180°-（β-60ﾟ）- γ = γ となるから BF = BC.
また、∠BAC = 180°- β -（γ-30ﾟ）=（γ-30ﾟ）= ∠BCA だから BA = BC.
したがって、頂角∠ABF = 60°の2等辺△ABF は正三角形となり、AF= BF で ∠AFD = β/2 となる。
ところが、∠FBD = 60°- β/4 = ∠FDB だから、FD = FB で、結局△FAD は2等辺三角形となる。
その頂角が∠AFD = β/2 だから、その底角として
∠ADC = 90°- β/4,
∠ADB = 30°
前掲書「数学の問題 第2集」問題21，解V（改） (1) (2^n-1)/n が整数となるような自然数nを全て求めよ。
(2) (2^n+1)/(n^2) が整数となるような自然数nを全て求めよ。 (3) (2^n+1)/n が整数となるような素数nを全て求めよ。 (3)
2^n+1は明らかに奇数なので、nは奇素数であることがわかる。また、nが奇数であれば2^n+1は3の倍数であるので、結局のところn=3のみが求めるnである。 (2)
n∈ℕ=ℤ>0とする
(2ⁿ+1)/n²∈ℕは則ちn²|(2ⁿ+1)であり、従ってn|2ⁿ+1である
2ⁿ+1は奇数より、n²も奇数であり、則ちnは奇数である
n=1とすれば、1²|2¹+1は明らか
nが素数であればFermatの小定理より、
n|2ⁿ⁻¹-1
∴n|2ⁿ-2=2ⁿ+1-3
前提より、或るα∈ℕが存在し、2ⁿ+1=αn
∴n|αn-3、則ちn|3
nは素数より、n=3が必要である
逆に2³+1=9=3²=3²×1より、1∈ℤも加味し、
nが合成数の時、n|2ⁿ+1と仮定する
或る素数pとβ∈ℕが存在し、n=pβと表せる
∴p|2ⁿ+1
Fermatの小定理より、p|2ᵖ⁻¹-1
∴p|2ᵖ-2
∴p|2ᵖᵝ-2ᵝ=2ⁿ+1-2ᵝ-1
前提より、或るγ∈ℕが存在し、2ⁿ+1=γn
∴p|γn-2ᵝ-1、則ちp|2ᵝ+1
∴p|2ᵖ-2も加味し、p|2ᵖ+2ᵝ-1
∴p|2²ᵖ+2ᵖᵝ-1=4ᵖ+2ⁿ+1-2=4ᵖ-2+γn
此処で、Fermatの小定理より、p|4ᵖ⁻¹-1
従ってp|4ᵖ-4 >>692
(2）は IMO-1990（北京）A3.
いわゆる「マスターデーモン」
>>693
(3）n=3^m のとき、3で割りきれ、9で割りきれない。（n≠素数 ですが）
m=0,1 のとき 3，m=2 のとき 57，m=3 のとき ≡-24（mod 729）、m≧4 のとき ≡462（mod 729） >>688-690
〔補題〕
凸４辺形ABEDにおいて、
BD は ∠ABE を2等分し、
ED は ∠AEE’を2等分する（E’はBEの延長線上の点）
とします。このとき
AD は ∠EAA ’を2等分する。（A ’はBAの延長線上の点）
(略証）
点D が△ABEの傍心となることを使えば明らかだが、あえて使わない。
デカルト座標をとる。
Bを原点、BE方向をx軸とし、BE=1 とする。
p = tan（∠ABE/2),
q = tan（∠BEA/2),
とおく。
sin（∠AEB）= 2q/(1+qq）,
sin（∠ABE）= 2p/(1+pp），cos（∠ABE）=（1-pp)/(1+pp）,
sin（∠BAE）= sin（∠AEB+∠ABE）= 2(p+q)(1-pq)/｛(1+pp)(1+qq)},
正弦定理より
AB = sin（∠AEB）/sin（∠BAE）= sin（∠AEB）/sin（∠AEB+∠ABE）=（1+pp)q/{(p+q)(1-pq)},
A（ABcos(∠ABE)，ABsin(∠ABE)）=（(1-pp)q/{(p+q)(1-pq)}，2pq/{(p+q)(1-pq)}）
B（0，0）
D（1/(1-pq)，p/(1-pq)）
E（1，0）
↑AD =（{p/(p+q)(1-pq)}(1+pq)，{p/(p+q)(1-pq)}(p-q)）
DAの傾き =（p-q)/(1+pq）= tan((∠ABE-∠BEA)/2）=（∠EAA’の2等分線の傾き）
∴ AD は ∠EAA’を2等分する。 マスターデーモンって、あれか？
女の子に教えてもらったメアドにメール出したら、知らない外人から返事が来るってヤツ。 >>699
(2^n-1)/n∈ℤのとき明らかにn∈ℕ
n≧2と仮定すれば、nの素因数のうち最小であるpが取れる
此のとき2^n-1≡0(modp)より2^n≡1(modp)
一方nは奇数より、則ちpも奇数
∴Fermatの小定理から2^(p-1)≡1(modp)
∴2^(gcd(n, p-1))≡1(modp)
pはnの最小の素因数より、p-1の素因数とnの素因数が共通することは無い
∴gcd(n, p-1)＝1
∴2^1≡1(modp)⇔2≡1(modp)
∴p=1
此れはpが素数であることに矛盾する
∴n<2
n∈ℕよりn=1が必要である
n=1のとき(2^n-1)/n=1∈ℤ
∴n＝1 ありがとう。この手の問題は好きだけど苦手。解けたことがない。 自分が一重瞼なのか二重瞼なのかわからない人がn人いて、n人は毎朝を顔を合わせる。
すると天の声が聞こえてきて、二重瞼の人の人数に関する自明でない何かを言う。
n人は自分の瞼の状態がわかると40秒後に心臓麻痺で死ぬ仕組みになっている。
n人は天の声を最も自然な形で信じ込む。
実はn人は遅かれ早かれ全員死ぬ（驚くべきことに天の声が明らかな嘘のときも成り立つ）ことが証明できるが、難しいのでn=3の場合を証明せよ。
例えばn=2として2人とも一重瞼とする。天の声が「2人とも二重瞼である」といったとき、A君は天の声が嘘だとわかり、もし自分が二重瞼なら40秒後にB君が死ぬはずであると結論する。
しかしB君は死なないので自分が一重瞼であることがわかり、40秒後にA君は死ぬ。同じことがB君にも言えるので2人の心臓は同時に麻痺を起こす。
・「毎朝」という条件は特に意味がない。
・「自明でない何か」とは、例えば「少なくとも〜人は一重瞼である」のように、「情報量としてゼロではない断定的なセリフ」を指す。 >>702
n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り
よって, n変数論理関数の個数は2^(2^n)であり,有限である.
つまり,2^(2^n)日以内に全滅する.
>>660
誰か解かないのかな スルーされている >>704
(誤)n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り
(正)n変数論理関数の真理値表をつくるときは 2^n行を使う >>704
回答ありがとうございます。
「論理関数」ということばを初めて聞いたので私には難しいのかもしれません。
40n 秒以内に全滅すると考えています。
n=3 のときは状況を列挙すればいいわけですがやはりそれ以外の方法は期待したいところです。 A一,B一,C一
「少なくとも2人は一重である」→40秒後に誰も死なない→全員自分が一重だと悟る→40秒後に全滅
計80秒
A一,B一,C二
「少なくとも1人は二重である」→40秒後にCが死ぬ→A,Bが自分が一重だと悟る→40秒後に全滅
計80秒 >>706
与えた上界2^(2^n)はもちろん最良からかけ離れていることは承知
このバカでかい上界の意味するところは全滅するまでというよりは
2^(2^n)回目以降の天の声は内容の重複が生じてしまうという意味
この場合の重複というのは内容を個々にみていった場合の重複であって,
いくつかの内容から ある内容が自明になってしまう場合は重複とみなしていない.
たとえば, n=2として 3つの内容を 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」
この3つは重複しているとみなしていないが 本題のほうは
さきの2つの内容から3つ目の内容が自明化してしまうので
このようなことは起こらないという立場だとおもわれる
なので本題では 2^(2^n)より前にすでに内容が重複しているだろう
(いずれにしろ「いつか必ず全滅」を示したことにはなるが)
そういう意味で自明な上界だが, その一方で上限を求めるということならまだ考えてない.
論理関数とは {0,1}^n から {0,1}への写像
n人に番号をふり, i番目(1≦i≦n)の人が一重という命題が真なら A_i = 1, 偽なら A_i=0
A_1 から A_n に 0か1をすべて割り当てて, それ全体に対して, 0か1を割り当てる
これで論理関数がつくられた
天の声は必ず論理関数として表現されるとみなす(これは数学の問題としての形式化)
たとえば, n=3 として, 少なくとも一人が一重というのを論理関数Fで表現すると,
F(0,0,0) = 0, F(A_1,A_2,A_3)=1 (A_1=A_2=A_2=0 でないとき)
もっと複雑なものとしては「1番の人が二重であるか,あるは,2,3番の人のどちらかは一重」
F(0,A_2,A_3)=1, F(1,0,0)=0, F(1,A_2, A_3)=1 (A_2=A_3=0 でないとき)
こんな感じです (誤) 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」
(正) 「Aくんは一重」, 「AかBの片方だけが一重」 「Bくんは二重」 >>708
少し考えます
ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか？ >>688
3 circumcenter method（3外心法？）というのがあるようですね。
斉藤 浩：「初等幾何で整角四角形を完全制覇」, 現代数学, ４９巻, 590号, pp.66-73 (2016/Feb)
http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_en.html
成書（2009年）では難しかった問題も解けるらしい。 >>710
>ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか？
これちょっと前に直方体のr近傍の体積の比較による見事な証明見たよ >>660 >>704
a=18-17√2，b=18+17√2，n∈Z として
（x，y，z）=（a･n，b･n，42n） >>660
a’= 9√2 -17，b’= 9√2+17，c’= 21√2， として
（x，y，z）=（a’n，b’n，c’n）も >>686は
凸四角形ABCDにおいて、
∠ABD=t, ∠DBC=3t, ∠BCA=90-2t, ∠ACD=30 （ただし、0<t<45，角度は全て度数法）
のとき、∠BDA=30となる
という話なので、 http://www.gensu.co.jp/saito/langley/ の最初のFlashの系列1-13の
120<x<165の範囲に相当するが、
別の系列で
∠ABD=2t, ∠DBC=90-3t, ∠BCA=60-t, ∠ACD=3t（ただし、0<t<30）のとき、∠BDAを求めよ
という問題もできる。（系列1-5の120<x<150）
いわゆるラングレーの（最初の）問題を含む系列が２つあるという話。
（で、こういう系列に属してる問題の証明に外心３つ法 http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_jp.html
を持ち出すのは、少々「砂場でブルドーザー」感はある） >>717
∠B =∠C の場合は三角法を使えば解けますね。（初等的でない？）
∠ABC = ∠BCD = β
∠DBC = β’
∠ACB = γ’
とおくと
∠ADB = β’- arctan[{(tanβ)^2（tanβ’- tanγ')}/{(tanβ)^2 -tanβ’tanγ'}],
http://www.youtube.com/watch?v=O2J4Nvy9cKo ∧＿∧
（ ´Д｀ ） 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ おめでとうございます
⊂ （ ） ⊃
V￣V 双曲線y^2 - xy -x^2 =1があり、
(x,y)はこの式の非負整数解である。
ある平方数nに対し、x+y=nが成り立っているとき、なりうるnの和を求めよ >>660
n∈ Z［√2］として
（x，y，z）=（0，n，n）（n，0，n)（n，-n，0）
>>714-715
n∈ Z［√2］ >>722
題意より、
（x，y）=（0，1）（1，2）（3，5）（8，13） … （F_{2m}，F_{2m+1}） …
ここに m≧0、F はフィボナッチ数。
n = x+y = Ｆ_{2m+2｝が平方数となるのは
F_2 = 1 と F_12 = 144
1 + 144 = 145 >>725
（0，1）は一つの解。
（x，y）が解ならば（x’，y’）=（x+y，y+x’）も解になる。
そこで｛f_m｜m≧0｝= 0，1，…，x，y，x’，y’，…
とおくと、
ｆ_1 = ｆ_2 = 1,
ｆ_{m+1｝= ｆ_m + ｆ_{m-1},
∴f_m はフィボナッチ数。 >>727
>（x，y）が解ならば（x’，y’）=（x+y，y+x’）も解になる。
へぇｰ確かにそうなるけど
この
(x',y')=(x+y,x+2y)
という変換はアドホックに得られたものかな？ 2次曲線で(x',y')=(x+y,+2y)という変換で不変なものは
x^2+xy-y^2=c
に限るのね
アフィン変換一般についても2次曲線と関連づけられそうね 〔問題717〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β，∠BCD = γ とします。
β + γ/2 = 120°（60ﾟ<β<90ﾟ，60ﾟ<γ<120ﾟ)
∠ABD ：∠ACD = 2：3,
∠BAC - ∠ABD = 30ﾟ
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。
∠DBC + ∠ACD = 90ﾟ
∠BCA + ∠BDC = 90ﾟ >>710
中の直方体の1つの頂点を直交座標で原点と置き、隣り合う頂点の1つを(a,b,c)と置け。
此の直方体を、座標軸に辺が平行な直方体で囲むことを考えよ。
此の辺を長さ1長くすると、囲むのに必要な直方体を得るには
x軸方向にa/√(aa+bb+cc)
y軸方向にb/√(aa+bb+cc)
z軸方向にc/√(aa+bb+cc)
の長さを付け足す必要が生まれる
更に考察を踏み込むと、
隣り合う3つの頂点を(ak,bk,ck)と置くと
囲むのに必要な直方体のx軸方向の長さは
Σak/√(akak+bkbk+ckck)
などと表せ、此れで目的の不等式を示せる
中の直方体の辺も座標軸に平行な時のみ等号成立 >>660
整数環Zに値する最小値が無いため解は0 大学受験レベルの問題を作ってみた。工夫すれば計算はそれ程。
問
xy平面上に原点O、A(0,1)、B(1,2)、C(3,0)をとる。
直線OB,ACの交点をPとして、O,Cを焦点とし、Pを通る楕円をC1、
A,Bを焦点とし、Pを通る楕円をC2とする。
C1,C2の周及び内部の領域をそれぞれD1、D2とするとき、和集合D1∪D2の領域の面積を求めよ。 >>700
３行目の
> 此のとき2^n-1≡0(modp)
は何故？ ここは明らかに言えるの？ 一辺4の正三角形、長さ30の針金、半径2の円盤がある。
(i)
針金の先に円盤を取り付け、
正三角形の点Cに針金の一端を固定して針金が辺BCに接した図の状態から時計回りに円盤を動かす。
(ii)
針金は正三角形の角で折り曲げる。
(iii)
円盤が正三角形にぶつかったら終了とする。
円盤の通る軌跡の面積を求めよ。
ただし、針金の太さは無視できるものとする。
一応用意してる解答では、3パーツに分けてます
どなたか要領の良い解答を待ってます >>735
2^n-1がnの倍数かつnがpの倍数なんだから明らかでしょうに >>736
ところどころ条件が不明瞭なんだけど、以下でいい？
・針金の初期状態は直線の一部つまり線分であり、線分の一方の端点が正三角形の頂点Ｃ、かつ線分が頂点Ｂを含む
・円盤は針金の頂点Ｃとは異なる側の端点に円盤の中心が重なるように取り付ける
・針金および円盤は正三角形と同一の平面上を動く
・針金は正三角形に巻き付けるように折り曲げてゆく。このとき、針金の正三角形に接していない部分は線分の状態を維持する >>738
図があったのか
これ、円盤の周までの針金の長さが30なの？ 今話題の阪大の過去問の改題ですが、暇な方は是非チャレンジしてみて下さい！
実数ℝからℝへの関数fは次の２つの条件を満たすとする。
(a)任意の実数x,yに対しf(x+y)=f(x)+f(y)
(b)fは連続である。つまりlim(n→∞)a_n=αならばlim(n→∞)f(a_n)=f(α)
この２つの仮定からfの微分可能性を導こう。
⑴f(1)=aとおく。任意の整数nに対しf(n)=anとなる事を示せ。
⑵任意の有理数rに対しf(r)=ar を示せ。
⑶一般に、任意の実数は必ずある有理数列の極限で表せる事が知られている。
この事を用いて任意の実数xに対しf(x)=ax を示せ。
⑷f(x)は任意の実数xに於いて微分可能である事を定義に基づいて示せ 因みに原題はこちら。
挑戦枠だけあってかなり骨があります(というか有理数の稠密性知らないと無理な気すらする…)
https://i.imgur.com/aLYMX7n.jpg >>743
fq=q
ux={q|x<q}
lx= {q|x>q}
fux={fq|x<q}={q|x<q}
flx={fq|x>q}={q|x>q}
flx<fx<fux
fx=x >>743
線形性とf(xy)=f(x)f(y)から有理数についてf(x)=xで、稠密性から1発
これ前他の大学も出してたね >>700
アホな質問かもしれないけど、教えてください。
３行目と５行目から６行目が出てくるのが分かりませぬ…。
抜き出すと、次の部分です。
2^n≡1 (mod p) かつ 2^(p-1)≡1 (mod p) ならば、2^(gcd(n, p-1))≡1 (mod p) >>749
工夫すれば計算はそれほど必要なく５分程で解ける ユークリッドの互除法。
ａ，ｂに対してｘ，ｙが存在して
ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝ａｘ＋ｂｙ。
２＾ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝（２＾ａ）＾ｘ（２＾ｂ）＾ｙ。 >>734 >>747 >>753
交点P（3/7，6/7）
OP =（3/7)√5,
AP =（1/7)√10,
BP =（4/7)√5,
CP =（6/7)√10,
より
OP：AP = 3：√2,
CP：BP = 3：√2,
また
OC：AB = 3：√2,
∠OPC = ∠APB
よって
△OPC ∽ △APB
また
C1 ∽ C2
D1 ∽ D2
面積比は 9：2
楕円 C1，C2 は点Pで接するから、D1∩D2 =｛P｝
（点Pにおける共通接線はOCとABの2等分線の方向で、それらと 22.5°の角をなす。）
楕円C1について
a =（CP+OP)/2，b =√(aa - 9/4)，e =（3/2a),
楕円C2について
a' =（AP+BP)/2 =（√2)/3 a，b' =（√2)/3 b，e' = 1/(a'√2）= e,
S = S(D1）+ S(D2）= πab + πa'b' = πab +（2/9)πab =（11/9)πab, >>755 の続き
数値を入れると、
a =（3/14)(2√10 + √5）= 1.83441928
b =（3/7)√(5√2 -1）= 1.05598015
e =（2√10 - √5)/5 = 0.81769747
a' = 0.86475354
b' = 0.49779382
e' = e
S = 2.36757932π >>757
D1∩D2 =｛P｝の証明
D1とD2が点Qを共有したとする。
Q∈D1 より OQ + CQ ≦ OP + CP = 2a,
Q∈D2 より AQ + BQ ≦ AP + BP = 2a’
辺々たすと
OQ + AQ + BQ + CQ ≦（OP + BP）+（AP + CP）= OB + AC … (1)
一方、△不等式から、
OQ + BQ ≧ OB,
AQ + CQ ≧ AC,
辺々たすと
OQ + AQ + BQ + CQ ≧ OB + AC … (2)
等号成立はQ ∈（OB∩AC）=｛P｝のとき。
(1)(2）より等号が成立する。
∴ Q = P. >>758
正解！
楕円が相似形になること・楕円同士が接することに気付くのがこの問題のポイントでした。 どっちかの封筒に2倍の金が入ってるってやつで
もし10000だったら1/2で5000、1/2で20000になるから
期待値的に絶対交換した方がいいってやつさ
面白い問題教えてーな激しくガイシュツのやつでみたんだけど
あれの解説が納得できない
普通に1/2で低い方、1/2で高い方選ぶんだから、片方の金額をx、もう片方を2xってすると、低い方とる確率が1/2、高い方とる確率も1/2なんだから、期待値は
(1/2)x+(1/2)2x=(3/2)x
だから、もし低い方だったら期待値とくらべて自分の手持ちが3倍、高かったら手持ちが3/4倍になるんだから1/2(1/2)x(3)+1/2(2x)(3/4)=(3/2)x
だから交換してもしなくても期待値は変わらないっていう説明じゃだめなん？ >>759
わざとらしい厚化粧を剥がすことのみがポイントってこと？ >>761
一万円を入れた封筒と、二万円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをＡとする。
一万円を入れた封筒と、五千円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをＢとする。
ＡとＢは外見では区別がつかない。
問題１：Ａを５０、Ｂを５０、合計１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。
箱からランダムに一つ大きな封筒を取りだし、その大きな封筒の中から一つ封筒を取りだし、中身を確認すると
一万円が入っていた。その大きな封筒に入っている、もう一方の封筒の中身が二万円である確率は？
問題２：Ａを１０、Ｂを９０、合計１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から．．．≪以下同文≫
問題３：Ａをｎ、Ｂを１００−ｎ、合計１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から．．．≪以下同文≫
問題４：ＡとＢを併せて１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から．．．≪以下同文≫
問題５：ＡとＢを併せて一つ用意し、箱に入れた。つまり、ＡかＢを用意して箱に入れた。箱から封筒を取りだし、．．．≪以下同文≫ つづき
761の問題は、問題５に相当するものだが、761さんは無条件にＡ・Ｂが用意されている確率は共に1/2として議論している。
果たしてそれは妥当か？ それが正しいというのならば、「Ａ・Ｂが用意されている確率は共に1/2」に相当する内容が問題文
で確認できなければならない。確認できるのは、大きな封筒に入っている二つの封筒の内、どちらを選ぶかが1/2というだけ。
Ａが用意されていて、二つの封筒から一つを選ぶとき、一万円を選ぶ確率は1/2で、二万円を選ぶ確率も1/2だが、
この確率事象は終了し、すでに一万円を選んでいる。ここで交換したら、他方の封筒には確率1で二万円が入っている。
同様に、Ｂが用意されていて、一万を選び、ここで、封筒を交換したら確率1で五千円が入っている。
Ａが用意されている確率、Ｂが用意されている確率を、どうして、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」
のと同じように 1/2 と、判断できるのか？
Ａが用意されている確率、Ｂが用意されている確率が、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」のと同じように、
1/2 づつだ と、巧みに思わされているだけ。
上の問題では、問う内容が「もう一方の封筒の中身が二万円の確率は」となっているが、
「交換したときの期待値は」としてもよい。そして、問題１から３では、きちんと期待値が計算できるが、
問題４，５では出来ない。理由は、必要な情報が問題に無いから。
同様に、761の問題でも期待値は計算でない。
この問題に、（勝手な想定を置かずに）期待値を持ち出して議論しても本質にはたどり着かない。
二つの封筒問題には、「数学的見地から、あるいは、期待値という観点から、交換すべきかどうかの判断は出来ない」
というのが妥当で正当な結論。 金額で期待値測るからだめなんだろ
金額とは別に金額から決まる嬉しさを表す数値（経済学の効用関数）を導入する
最初にあけた封筒の中身a円と
一般の金額x円に対して
嬉しさの関数が log_2 (x/a) の人にとっては何も悩むことはない >>765
1/2教信者が矛盾を避けるために導入したアイデア。オッカムの剃刀で棄てられる。 >>763
ちなみにこれの問題3を解くとどうなります？ 正の数aが a + 1/a = [a] +[1/a] + 1 をみたすとき、aは無理数であることを示せ。ここで[a]はガウス記号。 >>767
±πｉずれる。
>>769
x -［x］=｛x｝とおくと
0 ≦｛x｝< 1
｛a｝+｛1/a｝= 1,
a または 1/a が整数のとき
｛a｝= 0 または｛1/a｝= 0 ゆえ、和は1より小さい。
a が分数のとき
a = p/q（p，q≧2 は自然数、互いに素）
｛a｝= m/q，｛1/a｝= n/p，
p，qは互いに素だから、和は１にならない。 >>769
(a^2+1)/a=n
a^2-na+1=0
a=(n±√(n^2-4))/2
aが有理数→√(n^2-4)=p/q
n^2-4=p^2/q^2
q=1
n^2-p^2=(n-p)(n+p)=4
n=±2,p=0,a=±1
a+1/a=±2≠[a]+[1/a]+1=1±2
NG
aは無理数
a=(3+√5)/2
1/a=(3-√5)/2
[a]=2
[1/a]=0
a+1/a=3=[a]+[1/a]+1
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