面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>637
円Oの方程式を(x-p)^2+(y-q)^2=r^2とおいて
y=x^2を代入して整理すると
x^4+(1-2q)x^2-2px+p^2+q^2-r^2=0
A,B,C,Dのx座標をa,b,c,dとすると
解と係数の関係によりa+b+c+d=0
このとき直線ABの傾きは(b^2-a^2)/(b-a)=a+b、
同様に直線CDの傾きはc+dなので、2直線の傾きの和は0
直線ABの傾きは正で直線ABと直線CDは直交するので
直線ABの傾きは1、直線CDの傾きは-1
A(a,a^2)から直線ABの式はy=x+a^2-a
y=x^2を代入して整理するとx^2-x-a^2+a=0
解と係数の関係からa+b=1なのでb=1-a
つまりB(1-a,(1-a)^2)
ABの中点は(1/2,a^2-a+1/2)なので
直線CDの式はy=-x+a^2-a+1
これとy=x^2との交点のx座標を求めると
x={-1±√(4a^2-4a+5)}/2 … (答) 三角数1,3,6,10,...,n(n+1)/2,...がある。このとき、mが三角数であることが、(a_i・m)+b_iが三角数であるための必要十分条件であるようなa_i,b_iの組が無限に存在することを示せ。 >>641
k≠平方数のとき
(x,y)=(k-1,k)だけ、1個(不適)
k=平方数のとき
(x,y)=(0,√k)もある。
他に解が無ければ2個
k = L^2,
L = 2,3,6,9,15,21,… >>644
a>0
a+b=1
3a+b=3
a=1
b=0 2017年もそろそろ終わるということで。
x_0,x_1,x_2,...,x_63が{1,2,...,2017} の異なる要素であり、
かつ
(x_0)+(x_1)+2(x_2)+3(x_3)+...+63(x_63)
が2017で割り切れるような64個の順序組(x_0,x_1,x_2,...,x_63)を求めよ。 >>647
x_0=630
x_i=i (1≦i≦63)
とか
x_0=694
x_i=i+1(1≦i≦63)
とか
想定解は
x_0=2016
x_i=i^2(1≦i≦63)
だと思うが まぁ実際にはi^2の形は2016を超えるのでmod 2017で考えるのだが
2017が素数なのでi≧1でかぶらないことは明らかで
229^2+1が2017の倍数なのは簡単な計算で求められるから
2016も出てこないだろうことが言えるのかな >>644
a= s^2, b=(s^2-1)/8 とすれば簡単に確認できる
一般に自然数Nが△であることと,8N+1が□であることは同値であること
および 0以上の値を取る整数列が1より小さいなら0を取るしかないことを使えば
すべて求めることも可能 別解がないような問題って、気付いたらおしまいな一発芸クイズ問題のことか? つまらないのか...
年末だし自作問題だしまくろうというヤケ糞精神で挑みますよ...
f(x),f’(x),f’’(x),f’’’(x)が任意のxに対して正であるような実関数fを取る。
また、この関数fは連続な3次導関数である。
任意のxに対してf’’’(x)≦f(x)が従うとき、
任意のxに対して
f’(x)<2f(x)が従うことを示せ。 学校の課題で問題が出されたのですが、全くわかりません。
問題は、
問1 平均値μ=2、および標準偏差σ=2の正規分布に従う確率変数を考える。このとき、この確率変数が次の区間に含ま
れる確率を小数第4位まで計算しなさい。
1 (4, ∞)
2 (-∞, 2.7)
3 (0.88, 5.6)
4 (1.46, 3.24)
問2 ある検問所で記録された車のスピードのデータによると、そこを通過する車は平均時速61.6km、標準偏差7.0kmで、だいたい正規分布に従っている。このとき、次の割合を100分率(パーセント)で小数第1位まで計算しなさい。
1 時速70kmをこえている車は全体の○%である
2 時速49kmよりも遅い車は全体の○%である
3 時速56kmから時速63kmまでの車は全体の ○%である
皆様方どうかお手を差し伸べていただけませんか、、、 3^2=1^2+1+7.
7^2=6^2+6+7. 詰まってるようなのでさらに投下
n≧3である整数nに対し、θ=2π/nが従っている。
ここで、Iをn×n単位行列、A={a_(jk)}は任意のj,kに対して
要素a_(jk)=cos(jθ+kθ)を持つとする。
このとき、n×n行列l+Aの行列式を求めよ。 整数環Z[√2] において, x^3+y^3=z^3 を満たすx,y,zをすべて求めよ f ∈ C^2 かつ f(0)≠0 で、
任意のx、y∈R に対して f(x+y) + f(x-y) = f(x)f(y)
をみたすとき、f を求めよ。 >>661
f0+f0=f0f0
f0=2
fy+f-y=f0fy=2fy
f-y=fy
f2x+f0=fxfx
2f'2x=2fxf'x
うーん >>659
D_n(θ)=|I + A|
=|δ_(j,k)+ a_(j,k)|
=|δ_(j,k)+ cos((j+k)θ)|
= -(nn-n-4)/4 + Σ[m=1,n]((n+2-m)/2)cos(2mθ),
D_n(2π/n)= -(n+2)(n-2)/4,
どうでもいいけど、
D_n(θ)は周期πで、θ=0,±π,±2π,… にピークをもち、nが大きいほど鋭い。
D_n(0)= n+1, >>661
f(x)= 2cos(kx),
f(x)= 2cosh(kx)= e^(kx)+ e^(-kx),
他にもあるか…
う〜ん 1-4n が Z/mZ で平方数となるような自然数nをすべて求めよ(但し, m=n! とする) >>664
ついでに…
D_n(±π/2)= -(n+2)(n-2)/4 (n:偶数)
-(n+1)(n-1)/4 (n:奇数)
θがピーク(mπ)から離れた所にあるときは、これ位の値。。。 >>661
f(x)=a^x+a^-x (a∈ℝ) >>668
それはそうだが、最後に「う−ん」がない。 >>661
f∈C^2 を使ってみよう。
f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y) の両辺を y で微分した後
2y で割って y→0 の極限をとると、
f''(x)=f(x){lim f'(y)/(2y)}。
左辺が収束することから、右辺の{ }内も収束する。
f''(x)=f(x)C (Cは定数) と置いて
微分方程式を解いて原式へ代入すると、
誰かが上に書いた解が得られる。 x=y=0とせよ
2f(0)=f(0)^2
f(0)≠0より f(0)=2
x=0とせよ
f(y)+f(-y)=2f(y)
f(-y)=f(y)
∴fは偶関数.
y=xとせよ
f(2x)+2=f(x)^2
両辺をxで微分して両辺を2で割ると
f'(2x)=f'(x)f(x)
x=0を代入するとf'(0)=0.
与式の両辺をxについて微分せよ
f'(x+y)+f'(x-y)=f'(x)f(y)
更に微分せよ
f''(x+y)+f'(x-y)=f''(x)f(y)
此処でx=0とせよ
f''(y)+f''(-y)=f''(0)f(y)
偶関数を微分すると奇関数になり、奇関数を微分すると偶関数になるからf''は偶関数であって
2f''(y)=f''(0)f(y)
此の二階の微分方程式の解を求めよ
f''(0)=Kと置く
2f''(y)=Kf(y)
2f''(y)-Kf(y)=0
特性方程式2t^2-K=0を解き、t=±√(K/2)
則ち一般解はf(y)=Ae^{√(K/2)y}+Be^{-√(K/2)y}
√(K/2)=Cとせよ
f(y)=Ae^(Cy)+Be^(-Cy)
f(0)=2よりA+B=2
f'(0)=2よりf'(0)=AC-BC=0
AC=BC
C=0のときf(y)=A+B=2
此れはf(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)を満たす
C≠0のときA=B,則ちA=B=1
此のときf(y)=e^(Cy)+e^(-Cy)
此れはC=0としても成立する.
∴求める関数は f(x)=e^(Cx)+e^(-Cx) (Cは定数)
因みに>>655を解けたやつおるか? >>673
f∈C²という表記がfがC²級(2回微分可能で微分係数が連続)ということを指しているのでは? f:C→C の意味かな、それだったらf∈C^Cって書き方が正しいよねとか思ってた >>664 (補足)
D_n(θ)= -(n+2)(n-2)/4 +{n/4 + Σ[m=1,n]((n+2-m)/2)cos(2mθ)},
θ = 2π/n のときは m ⇔ n-m としても cos(2mθ)は不変だから平均して
{ }=((n+4)/4)Σ[m=1,n]cos(2mθ)
=((n+4)/4)Σ[m=1,n]{sin((2m+1)θ)- sin(2m-1)θ)}/(2sinθ)
= 0,
・漸化式は
D_{n+1}(θ)-2 cos(2θ)D_n(θ)+ D_{n-1}(θ)= -((nn-2)/2){1 - cos(2θ)} >>677
お前は高校数学止まりなのか?常識だと思うが。お大事に。 いや、あれは>>661が悪い。
「級」を付けて書かなければ、
値が複素2次ベクトルかな?
くらいに思うほうが普通。 数学科の常識は非常識だからな
ときどきそういうことが起こる テキストだけの世界で端折った書き方する方が悪い
数学書は表記について意味を定義した上で省略が許される 基本中の基本である定義を知らないのがおかしいんじゃないのかな? 〔問題21〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β,∠BCD = γ とします。
β/2 + γ = 120゚,
∠ABD :∠DBC = 1:3,
∠ACD = 30゚,
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。
・参考
E.M.Lanley:"A problem",The Math. Gazette(1922/Oct)(1923/May)
Franklin の凧
数セミ増刊「数学の問題 第2集」日本評論社(1978)問題21 >>686
訂正スマソ
E.M.Langley:"A problem",The Math. Gazette(1922/Oct)(1923/May) >>686
∠ABCの二等分線と直線CDの交点をEとすれば
1つ目の条件より∠BEC=60°
∠ACD=30°よりACとBEは垂直で、内角の二等分線であることからAB=AC, ∠ABE=∠CBE
これと2つ目の条件から∠ABD=∠EBD
また、対称性から∠AEB=∠CEB=60°であり∠AED=60°
よって直線EDは∠AEBの外角の二等分線であり
点Dは△ABEの傍心の1つ
よって∠ADB=1/2 ∠AEB=30°
でどうでしょうか >>688
正解!おみごとです。
だだし AB=BC ですが…
最後の定理(?)
点Dが△ABEの傍心のとき、∠ADB =(1/2)∠AEB
も簡単ですね。
∠ADB = 180°- ∠BAD - ∠ABD
= 180°-(90°+ ∠BAE/2)-(1/2)∠ABE
=(180°-∠BAE -∠ABE)/2
=(1/2)∠AEB, >>686
(別解)
DC上に∠ABF=60°となる点Fをとって BF と共に AF を結ぶ。
∠BFC = 180°-(β-60゚)- γ = γ となるから BF = BC.
また、∠BAC = 180°- β -(γ-30゚)=(γ-30゚)= ∠BCA だから BA = BC.
したがって、頂角∠ABF = 60°の2等辺△ABF は正三角形となり、AF= BF で ∠AFD = β/2 となる。
ところが、∠FBD = 60°- β/4 = ∠FDB だから、FD = FB で、結局△FAD は2等辺三角形となる。
その頂角が∠AFD = β/2 だから、その底角として
∠ADC = 90°- β/4,
∠ADB = 30°
前掲書「数学の問題 第2集」問題21,解V(改) (1) (2^n-1)/n が整数となるような自然数nを全て求めよ。
(2) (2^n+1)/(n^2) が整数となるような自然数nを全て求めよ。 (3) (2^n+1)/n が整数となるような素数nを全て求めよ。 (3)
2^n+1は明らかに奇数なので、nは奇素数であることがわかる。また、nが奇数であれば2^n+1は3の倍数であるので、結局のところn=3のみが求めるnである。 (2)
n∈ℕ=ℤ>0とする
(2ⁿ+1)/n²∈ℕは則ちn²|(2ⁿ+1)であり、従ってn|2ⁿ+1である
2ⁿ+1は奇数より、n²も奇数であり、則ちnは奇数である
n=1とすれば、1²|2¹+1は明らか
nが素数であればFermatの小定理より、
n|2ⁿ⁻¹-1
∴n|2ⁿ-2=2ⁿ+1-3
前提より、或るα∈ℕが存在し、2ⁿ+1=αn
∴n|αn-3、則ちn|3
nは素数より、n=3が必要である
逆に2³+1=9=3²=3²×1より、1∈ℤも加味し、
nが合成数の時、n|2ⁿ+1と仮定する
或る素数pとβ∈ℕが存在し、n=pβと表せる
∴p|2ⁿ+1
Fermatの小定理より、p|2ᵖ⁻¹-1
∴p|2ᵖ-2
∴p|2ᵖᵝ-2ᵝ=2ⁿ+1-2ᵝ-1
前提より、或るγ∈ℕが存在し、2ⁿ+1=γn
∴p|γn-2ᵝ-1、則ちp|2ᵝ+1
∴p|2ᵖ-2も加味し、p|2ᵖ+2ᵝ-1
∴p|2²ᵖ+2ᵖᵝ-1=4ᵖ+2ⁿ+1-2=4ᵖ-2+γn
此処で、Fermatの小定理より、p|4ᵖ⁻¹-1
従ってp|4ᵖ-4 >>692
(2)は IMO-1990(北京)A3.
いわゆる「マスターデーモン」
>>693
(3)n=3^m のとき、3で割りきれ、9で割りきれない。(n≠素数 ですが)
m=0,1 のとき 3,m=2 のとき 57,m=3 のとき ≡-24(mod 729)、m≧4 のとき ≡462(mod 729) >>688-690
〔補題〕
凸4辺形ABEDにおいて、
BD は ∠ABE を2等分し、
ED は ∠AEE’を2等分する(E’はBEの延長線上の点)
とします。このとき
AD は ∠EAA ’を2等分する。(A ’はBAの延長線上の点)
(略証)
点D が△ABEの傍心となることを使えば明らかだが、あえて使わない。
デカルト座標をとる。
Bを原点、BE方向をx軸とし、BE=1 とする。
p = tan(∠ABE/2),
q = tan(∠BEA/2),
とおく。
sin(∠AEB)= 2q/(1+qq),
sin(∠ABE)= 2p/(1+pp),cos(∠ABE)=(1-pp)/(1+pp),
sin(∠BAE)= sin(∠AEB+∠ABE)= 2(p+q)(1-pq)/{(1+pp)(1+qq)},
正弦定理より
AB = sin(∠AEB)/sin(∠BAE)= sin(∠AEB)/sin(∠AEB+∠ABE)=(1+pp)q/{(p+q)(1-pq)},
A(ABcos(∠ABE),ABsin(∠ABE))=((1-pp)q/{(p+q)(1-pq)},2pq/{(p+q)(1-pq)})
B(0,0)
D(1/(1-pq),p/(1-pq))
E(1,0)
↑AD =({p/(p+q)(1-pq)}(1+pq),{p/(p+q)(1-pq)}(p-q))
DAの傾き =(p-q)/(1+pq)= tan((∠ABE-∠BEA)/2)=(∠EAA’の2等分線の傾き)
∴ AD は ∠EAA’を2等分する。 マスターデーモンって、あれか?
女の子に教えてもらったメアドにメール出したら、知らない外人から返事が来るってヤツ。 >>699
(2^n-1)/n∈ℤのとき明らかにn∈ℕ
n≧2と仮定すれば、nの素因数のうち最小であるpが取れる
此のとき2^n-1≡0(modp)より2^n≡1(modp)
一方nは奇数より、則ちpも奇数
∴Fermatの小定理から2^(p-1)≡1(modp)
∴2^(gcd(n, p-1))≡1(modp)
pはnの最小の素因数より、p-1の素因数とnの素因数が共通することは無い
∴gcd(n, p-1)=1
∴2^1≡1(modp)⇔2≡1(modp)
∴p=1
此れはpが素数であることに矛盾する
∴n<2
n∈ℕよりn=1が必要である
n=1のとき(2^n-1)/n=1∈ℤ
∴n=1 ありがとう。この手の問題は好きだけど苦手。解けたことがない。 自分が一重瞼なのか二重瞼なのかわからない人がn人いて、n人は毎朝を顔を合わせる。
すると天の声が聞こえてきて、二重瞼の人の人数に関する自明でない何かを言う。
n人は自分の瞼の状態がわかると40秒後に心臓麻痺で死ぬ仕組みになっている。
n人は天の声を最も自然な形で信じ込む。
実はn人は遅かれ早かれ全員死ぬ(驚くべきことに天の声が明らかな嘘のときも成り立つ)ことが証明できるが、難しいのでn=3の場合を証明せよ。
例えばn=2として2人とも一重瞼とする。天の声が「2人とも二重瞼である」といったとき、A君は天の声が嘘だとわかり、もし自分が二重瞼なら40秒後にB君が死ぬはずであると結論する。
しかしB君は死なないので自分が一重瞼であることがわかり、40秒後にA君は死ぬ。同じことがB君にも言えるので2人の心臓は同時に麻痺を起こす。
・「毎朝」という条件は特に意味がない。
・「自明でない何か」とは、例えば「少なくとも〜人は一重瞼である」のように、「情報量としてゼロではない断定的なセリフ」を指す。 >>702
n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り
よって, n変数論理関数の個数は2^(2^n)であり,有限である.
つまり,2^(2^n)日以内に全滅する.
>>660
誰か解かないのかな スルーされている >>704
(誤)n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り
(正)n変数論理関数の真理値表をつくるときは 2^n行を使う >>704
回答ありがとうございます。
「論理関数」ということばを初めて聞いたので私には難しいのかもしれません。
40n 秒以内に全滅すると考えています。
n=3 のときは状況を列挙すればいいわけですがやはりそれ以外の方法は期待したいところです。 A一,B一,C一
「少なくとも2人は一重である」→40秒後に誰も死なない→全員自分が一重だと悟る→40秒後に全滅
計80秒
A一,B一,C二
「少なくとも1人は二重である」→40秒後にCが死ぬ→A,Bが自分が一重だと悟る→40秒後に全滅
計80秒 >>706
与えた上界2^(2^n)はもちろん最良からかけ離れていることは承知
このバカでかい上界の意味するところは全滅するまでというよりは
2^(2^n)回目以降の天の声は内容の重複が生じてしまうという意味
この場合の重複というのは内容を個々にみていった場合の重複であって,
いくつかの内容から ある内容が自明になってしまう場合は重複とみなしていない.
たとえば, n=2として 3つの内容を 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」
この3つは重複しているとみなしていないが 本題のほうは
さきの2つの内容から3つ目の内容が自明化してしまうので
このようなことは起こらないという立場だとおもわれる
なので本題では 2^(2^n)より前にすでに内容が重複しているだろう
(いずれにしろ「いつか必ず全滅」を示したことにはなるが)
そういう意味で自明な上界だが, その一方で上限を求めるということならまだ考えてない.
論理関数とは {0,1}^n から {0,1}への写像
n人に番号をふり, i番目(1≦i≦n)の人が一重という命題が真なら A_i = 1, 偽なら A_i=0
A_1 から A_n に 0か1をすべて割り当てて, それ全体に対して, 0か1を割り当てる
これで論理関数がつくられた
天の声は必ず論理関数として表現されるとみなす(これは数学の問題としての形式化)
たとえば, n=3 として, 少なくとも一人が一重というのを論理関数Fで表現すると,
F(0,0,0) = 0, F(A_1,A_2,A_3)=1 (A_1=A_2=A_2=0 でないとき)
もっと複雑なものとしては「1番の人が二重であるか,あるは,2,3番の人のどちらかは一重」
F(0,A_2,A_3)=1, F(1,0,0)=0, F(1,A_2, A_3)=1 (A_2=A_3=0 でないとき)
こんな感じです (誤) 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」
(正) 「Aくんは一重」, 「AかBの片方だけが一重」 「Bくんは二重」 >>708
少し考えます
ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか? >>688
3 circumcenter method(3外心法?)というのがあるようですね。
斉藤 浩:「初等幾何で整角四角形を完全制覇」, 現代数学, 49巻, 590号, pp.66-73 (2016/Feb)
http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_en.html
成書(2009年)では難しかった問題も解けるらしい。 >>710
>ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか?
これちょっと前に直方体のr近傍の体積の比較による見事な証明見たよ >>660 >>704
a=18-17√2,b=18+17√2,n∈Z として
(x,y,z)=(a・n,b・n,42n) >>660
a’= 9√2 -17,b’= 9√2+17,c’= 21√2, として
(x,y,z)=(a’n,b’n,c’n)も >>686は
凸四角形ABCDにおいて、
∠ABD=t, ∠DBC=3t, ∠BCA=90-2t, ∠ACD=30 (ただし、0<t<45,角度は全て度数法)
のとき、∠BDA=30となる
という話なので、 http://www.gensu.co.jp/saito/langley/ の最初のFlashの系列1-13の
120<x<165の範囲に相当するが、
別の系列で
∠ABD=2t, ∠DBC=90-3t, ∠BCA=60-t, ∠ACD=3t(ただし、0<t<30)のとき、∠BDAを求めよ
という問題もできる。(系列1-5の120<x<150)
いわゆるラングレーの(最初の)問題を含む系列が2つあるという話。
(で、こういう系列に属してる問題の証明に外心3つ法 http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_jp.html
を持ち出すのは、少々「砂場でブルドーザー」感はある) >>717
∠B =∠C の場合は三角法を使えば解けますね。(初等的でない?)
∠ABC = ∠BCD = β
∠DBC = β’
∠ACB = γ’
とおくと
∠ADB = β’- arctan[{(tanβ)^2(tanβ’- tanγ')}/{(tanβ)^2 -tanβ’tanγ'}],
http://www.youtube.com/watch?v=O2J4Nvy9cKo ∧_∧
( ´Д` ) 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
l⌒ ⌒l おめでとうございます
⊂ ( ) ⊃
V ̄V 双曲線y^2 - xy -x^2 =1があり、
(x,y)はこの式の非負整数解である。
ある平方数nに対し、x+y=nが成り立っているとき、なりうるnの和を求めよ >>660
n∈ Z[√2]として
(x,y,z)=(0,n,n)(n,0,n)(n,-n,0)
>>714-715
n∈ Z[√2] >>722
題意より、
(x,y)=(0,1)(1,2)(3,5)(8,13) … (F_{2m},F_{2m+1}) …
ここに m≧0、F はフィボナッチ数。
n = x+y = F_{2m+2}が平方数となるのは
F_2 = 1 と F_12 = 144
1 + 144 = 145 >>725
(0,1)は一つの解。
(x,y)が解ならば(x’,y’)=(x+y,y+x’)も解になる。
そこで{f_m|m≧0}= 0,1,…,x,y,x’,y’,…
とおくと、
f_1 = f_2 = 1,
f_{m+1}= f_m + f_{m-1},
∴f_m はフィボナッチ数。 >>727
>(x,y)が解ならば(x’,y’)=(x+y,y+x’)も解になる。
へぇー確かにそうなるけど
この
(x',y')=(x+y,x+2y)
という変換はアドホックに得られたものかな? 2次曲線で(x',y')=(x+y,+2y)という変換で不変なものは
x^2+xy-y^2=c
に限るのね
アフィン変換一般についても2次曲線と関連づけられそうね 〔問題717〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β,∠BCD = γ とします。
β + γ/2 = 120°(60゚<β<90゚,60゚<γ<120゚)
∠ABD :∠ACD = 2:3,
∠BAC - ∠ABD = 30゚
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。
∠DBC + ∠ACD = 90゚
∠BCA + ∠BDC = 90゚ >>710
中の直方体の1つの頂点を直交座標で原点と置き、隣り合う頂点の1つを(a,b,c)と置け。
此の直方体を、座標軸に辺が平行な直方体で囲むことを考えよ。
此の辺を長さ1長くすると、囲むのに必要な直方体を得るには
x軸方向にa/√(aa+bb+cc)
y軸方向にb/√(aa+bb+cc)
z軸方向にc/√(aa+bb+cc)
の長さを付け足す必要が生まれる
更に考察を踏み込むと、
隣り合う3つの頂点を(ak,bk,ck)と置くと
囲むのに必要な直方体のx軸方向の長さは
Σak/√(akak+bkbk+ckck)
などと表せ、此れで目的の不等式を示せる
中の直方体の辺も座標軸に平行な時のみ等号成立 >>660
整数環Zに値する最小値が無いため解は0 大学受験レベルの問題を作ってみた。工夫すれば計算はそれ程。
問
xy平面上に原点O、A(0,1)、B(1,2)、C(3,0)をとる。
直線OB,ACの交点をPとして、O,Cを焦点とし、Pを通る楕円をC1、
A,Bを焦点とし、Pを通る楕円をC2とする。
C1,C2の周及び内部の領域をそれぞれD1、D2とするとき、和集合D1∪D2の領域の面積を求めよ。 >>700
3行目の
> 此のとき2^n-1≡0(modp)
は何故? ここは明らかに言えるの? 一辺4の正三角形、長さ30の針金、半径2の円盤がある。
(i)
針金の先に円盤を取り付け、
正三角形の点Cに針金の一端を固定して針金が辺BCに接した図の状態から時計回りに円盤を動かす。
(ii)
針金は正三角形の角で折り曲げる。
(iii)
円盤が正三角形にぶつかったら終了とする。
円盤の通る軌跡の面積を求めよ。
ただし、針金の太さは無視できるものとする。
一応用意してる解答では、3パーツに分けてます
どなたか要領の良い解答を待ってます >>735
2^n-1がnの倍数かつnがpの倍数なんだから明らかでしょうに >>736
ところどころ条件が不明瞭なんだけど、以下でいい?
・針金の初期状態は直線の一部つまり線分であり、線分の一方の端点が正三角形の頂点C、かつ線分が頂点Bを含む
・円盤は針金の頂点Cとは異なる側の端点に円盤の中心が重なるように取り付ける
・針金および円盤は正三角形と同一の平面上を動く
・針金は正三角形に巻き付けるように折り曲げてゆく。このとき、針金の正三角形に接していない部分は線分の状態を維持する >>738
図があったのか
これ、円盤の周までの針金の長さが30なの? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています