面白い問題おしえて～な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>55 >>57
xの多項式の積に因数分解しますた。 それなら2次以上の全ての多項式は(適当に変数を固定した上で)代数閉包の中で因数分解出来出来るから、そもそもの「因数分解可能性判定のアルゴリズム」を考える意味がないな 1から9までの数を1つずつ成分に持つ3×3行列の行列式の最大値を求めよ >>67
まず1^2～9^2の和285を求めて
3等分すると95
3つの2乗和が95に近い組み合わせは
(9,3,2)と(8,5,1)と(7,6,4)
なるべく垂直に近くなるように組み合わせて
|9,3,2|
|1,5,8|=98
|6,4,7| A_N={a^2+b^2 | a,b∈N}={1,2,5,8,10,13,…}
と
A_Z={a^2+b^2 | a,b∈Z}={0,1,2,4,5,8,9,10,13,16,…}が、それぞれ乗法に関して閉じていることを示せ。
すなわち、2平方数の和で表せる数どうしの積も2平方数の和で表せることを示せ。 (a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2 (1)tan(π/n)が有理数となるような自然数nは1,4のみであることを証明せよ
(2)格子点を結んで出来る正多角形は正方形のみであることを示せ >>77正解
【解説】
Brahmagupta–Fibonacci の恒等式（Brahmagupta の2平方恒等式、Diophantus の恒等式）
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 …★
x,yをn次元列ベクトルとすると
Lagrange の恒等式
|x・y|^2+|x×y|^2=|x|^2|y|^2
が成り立つ。
★はこの特別な場合（n=2でx=[±a,±b]T, y=[±c,±d]T（複号任意、Tは転置））である。
★は
Euler の4平方恒等式
Degen の8平方恒等式
Pfister の16平方恒等式
の特別な場合でもある。
★は
Brahmagupta の恒等式
(a^2+nb^2)(c^2+nd^2)=(ac+nbd)^2+n(ad-bc)^2=(ac-nbd)^2+n(ad+bc)^2
の特別な場合（n=1）でもある。
この恒等式は、あるnについてB_n={a^2+nb^2 | a,b∈Z}が乗法に関して閉じていることを示している（B_1=A_Z）。 このせっかく書いた解説を貼りつけたかっただけなんだよね 部屋に４Ｘ４のマスの盤があります。
悪魔はＡ、Ｂを部屋の外に待機させ、この盤に碁石（黒石）をランダムに置いていきます
尚、各マスに置ける黒石は一つです
黒石を配置したあとＡを部屋の中に入れ１以上１６以下の整数のどれか一つを告げます
Ａは４Ｘ４のマスの盤の上に
①黒石が置いていないマスに一つだけ黒石を置く
②黒石が置いてあるマスから一つだけ黒石を取り除く
のいずれかの操作を一回だけ行います
その後Ｂを部屋の中に入れ、Ｂは盤の様子を見てＡに告げられた整数を当てます
Ａ，Ｂはどのような戦略を取ればよいでしょうか？
尚Ａ、Ｂは初めの配置を知りません
ルールを知った上で開始前に戦略を打ち合わせることができます 確率の問題です。
2個並列の電池があります。
1個の電池が100時間で切れる確率は1%。
ただし1個が切れると、もう片方により負荷がかかるので、残った2個目の電池が100時間で切れる確率は2%に上がります。
さて、2個並列の電池が100時間のうちに①0個切れる②1個切れる③2個切れる確率をそれぞれ求めよ。 >>83
マルチだから、こっちも見ているのだろうから書いておくと
悪魔の告げる数字が何を意味しているのかが書かれていなければA、Bに代わって戦略を立てる手だてがない。
マルチ先の追加の書き込みをみると、４×４のマスには１から１６の数字を当てているようだが、そんなことは最初の問題には書かれていない。
Aの操作と告げられた数の間との関係が不明なのでそこから先、何も言えない。
総じて、問題記述とは何か、についての教養が足りない、というところか。 >>86
悪魔の告げる数字は１から１６までの整数でランダムです
Ａに告げた数字をＢに当ててもらうという意味です
１から１６の数字は便宜上割り振りました
Ａは数字を聞いた後一回だけ操作します
Ｂは悪魔が黒石を置いた盤面とＡに告げた数字、Ａがどこを操作したかわかりません
Ａ、Ｂは悪魔からルールをきいたあと２人で相談して、後にゲームをします
これでよろしいでしょうか >>88
というだけでは不親切なので書き足しておくと
悪魔がAに告げた数とAの操作との関係（ルールのことだ）が示されていなければ、
>>87の、Bに関することは全く無意味な設定であり設問。
パズルにもなっていない。 数字はなんでもよくて、Aの操作からそれを当てろって問題でしょ Ａ
○○１ ●○。
○○２ ○●。
○●１ ○○。
○●２ ●●。
●○１ ○○。
●○２ ●●。
●●１ ●○。
●●２ ○●。
Ｂ
○○ １。
○● ２。
●○ １。
●● ２。 >>89
Ａ、Ｂは悪魔からルールの説明を聞いた後２人で相談し、Ａは悪魔が黒石を置いた
盤から一回だけ黒石を置く又は黒石を消去の操作で悪魔から告げられた整数
の数がＢにわかるようにする
尚一つのマスには黒石は一つしか置けません
インチキやとんちとかではなく数学的手法による理詰めもの問題です Ａは一回の操作でＢに１から１６までの数字が読みとれるように操作します
盤には数字など書いてませんが二人の相談であらかじめ数字を割り振るのは問題
ないです
Ａは４回操作できるなら簡単だち思いますが １→０００１ ９→１００１
２→００１０ １０→１０１０
３→００１１ １１→１０１１
４→０１００ １２→１１００
５→０１０１ １３→１１０１
６→０１１０ １４→１１１０
７→０１１１ １５→１１１１
８→１０００ >>89
>ID:PmCavwN2
問題の意図が理解できてないね
2^16のパターンを16通りに分類してどのパターンからも16通りの変更パターンが別々の分類になるようにせよって問題よ 0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
００００→１ １０００→９
０００１→２ １００１→１０
００１０→３ １０１０→１１
００１１→４ １０１１→１２
０１００→５ １１００→１３
０１０１→６ １１０１→１４
０１１０→７ １１１０→１５
０１１１→８ １１１１→１６ >>94
の表を元に
１、３、５，７、９、１１、１３、１５→１桁の１に対応
２、３、６、７、１０、１１、１４、１５→２桁の１に対応
４、５、６、７、１２、１３、１４、１５→３桁の１に対応
８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５→４桁の１に対応 >>97
より
悪魔の設定した盤面から１桁に対応する数字に置いてある石の合計が偶数なら０
奇数なら１とします
以下同様に４桁まで計算し１０進法に換算した数字が初期設定の数字になります マスを００００～１１１１に対応させる。
数を００００～１１１１に対応させる。
Ａは石のあるマスと数の排他的論理和のマスを変える。
Ｂは石のあるマスの排他的論理和に対応する数を答える。 >>83
前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える。
盤面のマスに0から16までの通し番号をつけておく。
悪魔が告げた数が16の時は0とみなす。
Aの行動：悪魔が黒石を置いたマスのすべての番号および悪魔が告げた数を
２進法4桁で表し、それらすべての数について桁毎に排他的論理和をとる。
得られた4桁の２進数に相当するマスに黒石があれば取り除き、なければそこに黒石を置く。
Bの行動：黒石の置いてあるマスのすべての番号を２進法4桁で表し、
それらすべてについて桁毎に排他的論理和をとる。
得られた4桁の２進数に相当する数が悪魔が告げた数。（0のときは16とみなす） >>101
>前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える
そうですね、ご指摘ありがとうございました >>83
悪魔が配置した黒石の総数が、操作前に偶数なら、操作後の黒石の数は奇数。
操作前に奇数なら、操作後の黒石の数は偶数。
この偶奇は悪魔依存でプレイヤーは変更できない。
操作後の石の総数が偶数の場合、８マスずつに分けると、それぞれのマスの中の
黒石の数は、「偶数と偶数」か「奇数と奇数」になる。
操作後の石の総数が奇数の場合、８マスずつに分けると、それぞれのマスの中の
黒石の数は、「偶数と奇数」か「奇数と偶数」になる。
これらに注意し、盤面に次のように点数を与え、操作後の盤面値が、通告された
整数になるように、いずれか一カ所マスに操作を行う
１列目と２列目の合計８マスの黒石の数が奇数なら８
１列目と３列目の合計８マスの黒石の数が奇数なら４
１行目と２行目の合計８マスの黒石の数が奇数なら２
１行目と３行目の合計８マスの黒石の数が奇数なら１
（操作前の盤面値と、目標の盤面値から、操作すべき一マスが定まる） 悪魔の問題は２進数から１０進数に１０進数から２進数に変換できる方を対象にしています
排他的論理和については知っていれば演算に便利です ０、 １、 ２ 、３
４、 ５、 ６、 ７
８ 、９、 １０ １１
１２、１３、１４、１５ >>97
より
１、３、５，７、９、１１、１３、１５→１桁の１に対応
２、３、６、７、１０、１１、１４、１５→２桁の１に対応
４、５、６、７、１２、１３、１４、１５→３桁の１に対応
８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５→４桁の１に対応 ０から始まる盤面にそれぞれの桁の１に対応する数字を当てはめます
１桁の数字は１の縦列と３の縦列です
２桁の数字は２の縦列と３の縦列です
３桁の数字は４の行と１２の行です
４桁の数字は８の行と１２の行です それぞれの縦列と横行を組み合わせることによって１６通り数に一回の操作で
変換することができます １１１１を一回の操作で００００にするためには４桁の縦列、横行が重なる数字です
つまり１５のマスということになります 初期の２進数で得られた数字をそのまま変換したくないときは
１から４桁のそれぞれの縦、横が重ならない数字
つまり０のマスです
１１２のレスの４桁は１から４桁に変更します 悪魔が設定した盤面が２進数で１１０１（計算は９７、９８参照）、告げられた整数が
１１だとしたら、悪魔の告げた１１は１０進数（１～１６）なので２進数（０～１５）で計算
する場合ー１して１０、１０は２進数で１０１０です
排他的論理和の演算では
１１０１（＋を丸で囲う記号）１０１０＝０１１１、０１１１は７ですので７のマスを操作します ＢはＡが操作した後の盤面から９７，９８の要領で計算すると１０１０が求められます
１０進数にすると１０ですが２進数（０～１５）に基づいて計算した値なので１０進数（１～１６）
では１加えて１１になります 操作する０１１１（７）は１桁、２桁、３桁を同時に切り替えすることになります
１０９のレスにある桁に対応する数字を見ていただくと７は１桁、２桁、３桁にありますが
４桁にはありません
つまり１、２，３桁は変更して４桁は変更しないということです １０９のレスから初期設定で求められた２進数の各桁（各ビット）から
１と４のビットを変更したい場合には１と４のビットのみにある９のマスを操作することになります 尚、石が置いてあるマス、置いてないマスはー１又は＋１ですのでどちらも
偶数から奇数、奇数から偶数に変更できますので石が置いてあるマス、置いてないマス
に関わらず計算には影響を及ぼしません 計算する場合には１１０レスを４Ｘ４の盤面に投影して１ビットの縦列（２）、２ビットの縦列（２）
３ビットの横行（２）、４ビットの横行（２）をイメージして計算し、操作するマスは変更するビット
のみの重複する部分を探すようにすれば脳内計算が楽になるかも とりあえず悪魔の問題の説明は終わらせていただきます
不明な点があれば遠慮なくどうぞ（次の問題が出せないし >>121
数学版は数学やパズルが嫌いな奴の集まりなのか？
パズル版は過疎ってるしな、囲碁や将棋版のほうがいいかもな
特にプロ棋士は考えるのが好きだしな、藤井４段に出してみるか >>100,110
が出ているのに、何をゴチャゴチャ >>106
2マスで1～2もできたけど
2ベキなら同じようにできるの？
それとも2の2ベキ（2，4，16，256…）でないと駄目？ >>89みたいなアホに絡まれてるときは気の毒だと思ったが、
いざ解答が書き込まれても無視してゴチャゴチャと
自分の見解を書くだけの人間だと分かったので
同情の余地なしだわな >>125
106の回答者です。出題者ではありません。問題を見て考え、一定の方法に至り、
回答を作成しアップしましたが、実質的に同じ内容の回答がアップされていて、一番でなかった
のは少々残念でした。排他的論理和という言葉を使えば、すっきりですね。
ただ「４×４の盤」や「碁石」という設定にに即した回答を作り、あのようにしました。
>>それとも2の2ベキ（2，4，16，256…）でないと駄目？
出題者と勘違いされてのご指定だったのかもしれませんが、せっかくなので、私の考えをば。
マスの数は16。このマスのどれかを変更するので、加えられる情報は4ビット。
16マスを8マス－8マスに二分するという二分探索を4回できることに対応します。
この二分探索を適切に行うことを前提にすれば、2のべきのマスなら、可能といえるでしょう。
では、2のべきでない場合、どうでしょうか？
nマスからなる盤面(？)あり、悪魔からは、0～n-1の整数が指定されるとします。
任意の盤面状態から、一マスの状態を変更することで、「盤面値」を0～n-1のどれかに変更
できなければなりません。盤面の状態数は2^n通りあります。盤面値はn通りあるので、
ある盤面値に対し盤面の数は、2^n/nとなります。これは、nが2のべきでないと割り切れません。
つまり、盤面値によって、それに対応する盤面数が異なることがあることを意味します。
対称的でないと成立しなさそうな問題なので、無理なのでは？ というのが私の考えです。 ０、 ①、２、 ③ 初期設定
４ 、⑤、６、 ７
８、 ⑨、⑩、 ⑪
⑫，１３、⑭、１５ 出題者です、８Ｘ８マスで告げられる整数が１から６４の場合は１１１１１１は６３ですので
解答可能ですね
意味不明、パズルとして成立しない、不備だらけなどは嫌がらせとして無視します サイコロがあります、一般に売られている普通のサイコロです
ＡとＢにサイコロを使ったゲームをしてもらいます
まずじゃんけんなどにより、先手、後手を決めてもらい、先手はまずサイコロの目を
表示します、サイコロの一番上の目ですね
次に後手は４つある横の面のどれかに傾けます
例えば先手が１の目を出したら次に後手が出せる目は２、３、４、５のどれかになります
このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
先手必勝か後手必勝か、先手必勝なら最初に出す目は？ 先手が最初にだす目はランダムですけど、目を表示した瞬間に先手必勝か後手必勝か
が決定します
二人零和有限確定完全情報ゲームになりますので必勝法が存在します >>131
合計数が、
3+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗
1,2,5,6+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝
0,4,8+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝
7+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝
従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、3または4を出したとき。
その他の場合は後手必勝
>>135
高さをhとすると半径は√(1-h^2)
体積をVとすると、
(V/π)^2=(h(1-h^2)/3)^2=(1/9) h^2 (1-h^2)^2=(4/9) h^2 ((1-h^2)/2)^2
≦(4/9) [(h^2 + (1-h^2)/2 + (1-h^2)/2)/3]^3 = (4/9) (1/27)
従って体積の最大値は2π/(9√3) この値は、h^2=(1-h^2)/2 つまり 高さが1/√3 のとき
普通にやると、微分して極値を求める問題になるけど、
V^2で考えると、平易な相加相乗平均の問題にすることができるのが、このスレで出された理由かな >>138
補足
ゴールに近い場合は、特殊処理が必要で、あの一般式は当てはまりらないことがあります。 >>138
最初の目が３の場合には後手は１の目が出せるので合計４になり後手は先手で
４の目を出したことと同じになりますが 合計が４で同じでも、出目の状態が４なのか、１なのかが異なるので、同じ状態ではありません。
先手が３を出し、後手が１を出してきた場合は、先手は４を出し、
「合計８、出目４」の状態で手を渡します
これに対し、後手版は、１２で渡せれば必勝パターンに持ち込めるのですが、現在の出目が４なので、
１２にすることはできません。
あれ！、あなた、出題者さんですよね。 >>142
とある理由で勘違いしてました、どうもすいません
先手が３を出し、後手が１を出し、先手が４を出してきた場合には
後手は５の目をだします
合計１３でのこり３１ー１３＝１８になります >>先手３後手１先手４後手５。
「合計13、出目5」ですね。この状態を [13(5)] と表すことにします。この状態に対する手は４です
[13(5)]→4[17(4)]
>>先手３後手５。
[8(5)]→4[12(4)] >>143
>先手３後手１先手４後手５。
先手３の次後手は６の目をだします あ、ちょっと待ってください。
>>このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
合計31はセーフなのですか？
31以上がアウトとして解きました。32以上がアウトなら、一つづつずれます。 >>145
先手３後手１先手４後手５先手４ですか
この場合後手は５を出します
５の目で次先手、合計２２、３１ー２２＝残り９になります 31以上が負けとして>>138は回答を作りました。
32以上が負けなら、一つずつずれます。勘違いしました。改めてアップします。
合計数が、
4+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗
2,3,6,7+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝
0,1,5+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝
8+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝
従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、4または5を出したとき。
その他の場合は後手必勝。
ただし、ゴール近くでは、上の一般式が当てはまらないことがあります。
先手3は必敗手順になります。 >>151
９Ｋというのは９の倍数という意味でしょうか
先手が５を出した場合には後手は４を出します 悪魔の問題で正方形じゃない場合はということだったんですね
正方形でない場合は考えてませんでした >>151
先手必勝状態は、一つずらしただけでは通用しませんでした。
修正します。３２以上になったら負けという条件では先手必勝は４の時のみです。 >>152
kを整数として、4+9k という形で表せる整数の時という意味です。
つまり、4+9kというのは、4,13,22,31,40,...の値の時という意味です。
>>2,3,6,7+9kで手番が回ってくると、
こちらは、2+9k、または、3+9k、または、6+9k、または、7+9k という意味で書いています。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
