面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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(1)
2直線y=ax, y=bxが、y=xについて対称の位置にあるための、a,bの必要十分条件を求めよ。
(2)
xy≠0, kは定数として、
(y/x)+(x/y)=k (|k|>2)
はどのようなグラフになるか？
(y/x)-(x/y)=k
はどのようなグラフになるか？ >>514
(1,a)//y=ax
(1,b)//y=bx
(1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)//y=x
1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)=a/√(1+a^2)+b/√(1+b^2) √(1+a^2)+√(1+b^2)=b√(1+a^2)+a√(1+b^2)
(1-b)√(1+a^2)=(a-1)√(1+b^2)
(1-2b+b^2)(1+a^2)=(a^2-2a+1)(1+b^2)
b(1+a^2)=a(1+b^2)
a(ab-1)=b(ab-1)
(a-b)(ab-1)=0
a=b,ab=1 a=b=±1 -> ab-1=0
a=b≠1 -> NG
ab=1 >>515-517
(1)正解
(1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)=(c,c)からab=1まで同値性を保持している (1)の補足
(y=x対称)⇒ab=1
a=tan(π/4+α), b=tan(π/4-α)とおいて計算するとab=1
ab=1⇒(y=x対称)
ab=1, ab≠0でa=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、θ=π/4+αと変換してπ/2-θ=π/4-αでy=x対称なのを示せる
が…
＞a=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、
のところが循環論法かもしれない y=ax<->x=ay
y=bx
∀x=abx
ab=1 >>514(2)の解答
x≠0∧y≠0, k^2-4>0を考慮して
(y/x)+(x/y)=k
⇔y^2-kxy+x^2=0
⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)-4(x^2)))/2
⇔y=(kx±|x|√(k^2-4))/2
⇔y=((k±√(k^2-4))/2)x
((k+√(k^2-4))/2)((k-√(k^2-4))/2)=1より、
これはy=xに対称な（原点を除く）2直線を表している
x≠0∧y≠0を考慮して
(y/x)-(x/y)=k
⇔y^2-kxy-x^2=0
⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)+4(x^2)))/2
⇔y=(kx±|x|√(k^2+4))/2
⇔y=((k±√(k^2+4))/2)x
((k+√(k^2+4))/2)((k-√(k^2+4))/2)=-1より、
これは直交する（原点を除く）2直線を表している 4次行列
[100 , 0 , 0 , 1]
[0.5 , 100 , 0 , 0.5]
[-1 , 0 , 100 , 0]
[1/2 , 1/3 , 1/6 , 100]
の固有値の絶対値はいくつくらい？
暗算で >>572
（x-100)^4 -（2/3)(x-100)^2 = 0,
∴ x = 100， 100±√(2/3). >>241 (1)
最も多数の点をとおる円の１つをΓとする。
Γはn個の点を通るとする。
題意より、n≧4
Γが通る点をA，B，C，… とする。
n<8 のとき、Γを通らない2点X，Yがある。 >>241 (1)
・5≦n<8 のとき
5点｛A，B，C，X，Y｝に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
このとき、A，B，C のうちの１つが欠ける。
∵ もし XまたはY が欠けて A，B，C が残るならばその円はΓに一致し、XまたはY がΓ上に存在することになる。(矛盾）
たとえば、4点｛A，B，X，Y｝が同一円周上に存在する、とする。
A，B の片方を共有する｛A，C，X，Y｝や｛B，D，X，Y｝は同一円周上に存在しない。（C，D は A，B 以外の任意の点）
∵ もし存在するなら｛A，B，C，X，Y｝や｛A，B，D，X，Y｝が同一円周上に存在するが、それらはΓに一致し、X，Y がΓ上にあることになる。(矛盾）
次に、5点｛C，D，E，X，Y｝に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
たとえば、4点｛C，D，X，Y｝が同一円周上に存在する、とする。
更に、5点｛A，C，E，X，Y｝に於いて、そのうちの4点が同一円周上に存在する。
A，C，E のうちの１つが欠けるが、上記の2円のいずれかと3点を共有するので、結局Γと一致する。（矛盾）
以上により、5≦n<8 となることはない。 >>241 (1)
・n=4 のとき
上と同様にして、１組の｛X，Y｝について
4点｛A，B，X，Y｝と｛C，D，X，Y｝が同一円周上にある。
4点｛A，C，X，Y｝と｛B，D，X，Y｝が同一円周上にある。
4点｛A，D，X，Y｝と｛B，C，X，Y｝が同一円周上にある。
の3条件のうち、1つだけが成立つ。
（∵ 2つ以上が成立てば、3点を共有する2円が一致し、結局Γと一致する。矛盾）
ところで、5点から｛X，Y｝の組合せを選ぶ方法はＣ[5，2］= 10 通りある。
上記3条件の１つは、4通り以上の組合せについて成り立つ。
その4通りの中に｛X，Y｝の片方を共有するものもある。
たとえば、｛A，B，X，Y｝と｛A，B，Y，Z｝が同一円周上に存在するなら、
3点を共有するので2円は一致し、5点｛A，B，X，Y，Z｝が同一円周上に有る（n≧5）。
これは n=4 と矛盾するから、n=4 となることはない。
・まとめ
以上により、n≧8 と結論される。 >>573
まあ確かにそうなんだけど
(100-λ)^4-(1/6)(100-λ)^2-(1/2)(100-λ)^2+(1/6)(100-λ)-(1/6)(100-λ)=0
を考えるよりはもっと楽な方法が nを2以上の自然数とするとき、
1+√2+...+√nは無理数であることを証明せよ >>572の想定解
Gershgorin circle theoremより、固有値は4つとも、中心100,半径1の円盤に乗っている
固有値の絶対値は約100 xの多項式H_nを次の漸化式で定義する。
H_0 = 1
H_1 = 2x
H_(n+1) = 2x*H_n - 2n*H_(n-1)
m≠nのとき
∫[-∞,+∞] (H_n)(H_m)(e^(-xx)) dx
についてどんなことが言えそうか？ >>580
100Eっぽい行列の固有値は
だいたい100っぽい。
そんだけの話。 >>582
エルミート多項式
(√π）2^n・n! δ_{n,m} Σkが平方数→無限にある(1,36,1225,…)
Σkkが平方数→1,4900のみ
Σkkkが平方数→全て
ところでaをある整数として
(Σk)+aが平方数になるのは有限個か？
Σ(k+a)=(Σk)+akが平方数になるのは有限個か？
a=1,-1について考えよ R = 1/(1+1/(1+2/(1+3/(1+4/(…))))）=（√e）∫[1,∞］ｅ^（-xx/2）dx = √(eπ/2）・erfc（1/√2）= 0.6556795424188
S = Σ[k=1,∞］１/(2k-1）!! =（√e）∫[0,1］ｅ^（-xx/2）dx = √(eπ/2）・erf（1/√2）= 1.4106861346424
辺々たすと
R + S =（√e）∫[0,∞］ｅ^（-xx/2）dx = √(eπ/2）= 2.0663656770612 >>587
部分積分を繰り返して、
∫ｅ^（-xx/2）dx = Σ[k=1，n］｛1/(2k-1)!!｝x^(2k-1）ｅ^(-xx/2）dx + ｛1/(2n-1)!!｝∫x^(2n）ｅ^(-xx/2）dx,
S =（√ｅ）∫[0，1］ｅ^(-xx/2）dx = Σ[k=1，∞］1/(2k-1)!!, 三角形ABCにおいて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qがあって,AP=CD,AQ=BDを満たしている.
また,三角形PBDと三角形QCDそれぞれの外接円は２点で交わるとする.
この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上にあることを示せ. 此処って問題解ける人どれくらいいるんでしょう...
簡単な問題をもう1問(数3の範囲で解けます)
f,gを定義域が開区間I=(a,b)である連続な実数値関数とする
此の時、任意のα,β∈Iに対し、∫(x:α→β) f(x)dx=∫(x:α→β) g(x)dxを満たすならば、f=gである事を示せ >>591
(略証）
c∈I とする。（a<c<b）
題意により、h（x）= f（x）- g（x）もIで連続。
ε> 0 を任意の正数とする。
h（x）は x=c で連続ゆえ、
｜x-c| < δ ⇒ ｜h(x）- h(c)| < ε
なる δ>0 がある。
［c-δ，c+δ］∩ Ｉ = J とおくと、
x ∈ J ⇒ h(c）-ε < h(x）< h(c）+ε,
一方、題意により、
∫_J h（x）dx = 0,
∴ h(c）-ε < 0 < h(c）+ε,
∴ ｜h(c)｜< ε
ε>0 は任意に小さくできるから、
h（c）= 0,
f（c）- g（c）= 0, >>591
数3だと
∫[c，c+t］ h（x）dx = 0,
をtで微分してt→0 かなぁ（微分積分学の基本定理というらしい。） 確かに微積分学の基本定理は受験でも使うし使えば簡単だが一応無くても高校範囲で解くことは可能 f=g+z
->
∫zdx=0
if z !=0 , then there exists z != 0 in [a,b].
take m = min[z,[a,b]]
∫zdx >= m(a-b) !=0 F(x) = ∫_α^x f(t) dt, G(x) = ∫_α^x g(t) dt とおく。
条件よりF(x) = G(x)を満たすのでF'(x) = G'(x)、即ちf(x) = g(x)が成り立つ。
当ってる？ 平面図形の問題は分からん。 >>599
良いだろうね
もう一問
悪魔は8×8のチェス盤にランダムにポーン（0〜64個）を置き、どこかのマスを指定する。
幼女Aはそれを見てどこか1マスに対し「ポーンを置く」「取り除く」のいずれかの行動を1回のみ行う。その後、幼女Bはチェス盤の様子を見て悪魔がどのマスを指定したのか答えねばならない。どうすればいい？ >>600
８×８のチェス盤６４マスに、０〜６３の番号を割り振る。
ポーンのおかれている番号をリストアップし、さらに指定されたマスの番号をリストに加え、
これら全ての排他的論理和を求める。
その排他的論理の値に当たるマスに「操作」を加える。これが幼女Aの行動。
幼女Bは、ポーンのおかれている番号をリストアップしこれら全ての排他的論理和を求め、
その値に当たるマス目を指定すればよい。同様の問題がちょっと前にも出されている。 >>586
Σk^4 が平方数 → なし？
Σk^5 が平方数 → 1001^2（k=1〜13）のみ？
Σk^m (m>5）が平方数 → なし？ >>586
Σ[k=1，n］k = n(n+1)/2 = mm,
m=n=1 は自然数解。
｛m，n｝が自然数解ならば｛3m+2n+1，4m+3n+1｝も自然数解。
∴自然数解は無限にある。
一般解
m_k =｛(√2 +1)^(2k）-（√2 -1)^(2k)}/(4√2),
n_k =｛(√2 +1)^(2k）+（√2 -1)^(2k）-2}/4,
kは自然数。 >>603
m_{k+1｝= 3m_k +2n_k +1,
n_{k+1｝= 4m_k +3n_k +1,
∴漸化式
m_{k+1｝= 6･m_k - m_{k-1},
n_{k+1｝= 6･n_k - n_{k-1｝+2, >>603
一般解ってことは
他にないのね？なぜ？ 空間内の
AA_1=AA_2=AA_3=√3
A_1A_2=A_2A_3=A_1=√6
を満たす四面体AA_1A_2A_3をHとする.△A_1A_2A_3の内心をI,内接円をCとする.円Cの中心が直線AI上にあるように,円CをAI方向に平行移動するとき,円Cが描く図形をFとする.四面体Hの表面および内部と,Fの表面および内部の共通部分Kの体積を求めよ. 訂正
空間内の
AA_1=AA_2=AA_3=√3
A_1A_2=A_2A_3=A_3A_1=√6
を満たす四面体AA_1A_2A_3をHとする.△A_1A_2A_3の内心をI,内接円をCとする.円Cの中心が直線AI上にあるように,円CをAI方向に平行移動するとき,円Cが描く図形をFとする.四面体Hの表面および内部と,Fの表面および内部の共通部分Kの体積を求めよ. 任意の実数 x, y に対して、f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y)-x)) をみたす関数 f を求めよ。 >>608
y=0
ffx=2x+ff(f0-x)
x=f0/2
ff(f0/2)=f0+ff(f0/2)
f0=0
ffx=2x+ff(-x)
x=0
fy=fffy
x=fy
f(ffy-y)=2fy
0=f(fffy-fy)=2ffy
f(fx+y)=2x
x=0
fy=0
0=2x
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