面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>477
どの文字も3次以下。
1次以下の3つの因数？
（ab+cd）（ac+bd）（ad+bc） >>446
底円の面積は πゆえ
円錐の体積 V = π/3,
高さが（1/2)^(1/3）倍になるように、底面に平行な平面で切る。
その断面積は S =（1/2)^(2/3)π = 0.630π,
軸と母線のなす角αは
α = arctan{(底円の半径)/(高さ)｝= arctan(1）= π/4,
cosα = 1/√2,
球面錐の半径をｒとすると
体積 V ' =（2π/3)(1-cosα)r^3
これが V = π/3 の半分だから
r = 1/{4(1-cosα)}^(1/3）= 0.9486
断面積 S ' = 2π(1-cosα)r^2 = 0.5271π >>445
１辺が１の正△の高さ（√3)/2、面積はS =（√3)/4
高さが√（1/2）倍になるように、底面に平行な平面で切る。
その長さは L =√（1/2）= 0.7071
半径ｒ、中心角60°の扇形の面積は S ' = πrr/6,
これが S =（√3)/4 の半分だから
r =（1/2）√{(3√3)/π｝= 0.643
L ' = πr/3 = 0.6734 >>445
こういう問題って円弧、直線以外も解になり得るの？ 最小値は求まるけど図示は可能なんだろうか？
等積問題と同じようなもん？ 半径１の円に内接する四角形ABCDが、
AC⊥BD かつ 2OA↑+3OB↑+4OC↑=0↑（矢印はベクトル）をみたすとき、
四角形ABCDの面積を求めよ。 (1)
2直線y=ax, y=bxが、y=xについて対称の位置にあるための、a,bの必要十分条件を求めよ。
(2)
xy≠0, kは定数として、
(y/x)+(x/y)=k (|k|>2)
はどのようなグラフになるか？
(y/x)-(x/y)=k
はどのようなグラフになるか？ >>514
(1,a)//y=ax
(1,b)//y=bx
(1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)//y=x
1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)=a/√(1+a^2)+b/√(1+b^2) √(1+a^2)+√(1+b^2)=b√(1+a^2)+a√(1+b^2)
(1-b)√(1+a^2)=(a-1)√(1+b^2)
(1-2b+b^2)(1+a^2)=(a^2-2a+1)(1+b^2)
b(1+a^2)=a(1+b^2)
a(ab-1)=b(ab-1)
(a-b)(ab-1)=0
a=b,ab=1 a=b=±1 -> ab-1=0
a=b≠1 -> NG
ab=1 >>515-517
(1)正解
(1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)=(c,c)からab=1まで同値性を保持している (1)の補足
(y=x対称)⇒ab=1
a=tan(π/4+α), b=tan(π/4-α)とおいて計算するとab=1
ab=1⇒(y=x対称)
ab=1, ab≠0でa=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、θ=π/4+αと変換してπ/2-θ=π/4-αでy=x対称なのを示せる
が…
＞a=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、
のところが循環論法かもしれない y=ax<->x=ay
y=bx
∀x=abx
ab=1 >>514(2)の解答
x≠0∧y≠0, k^2-4>0を考慮して
(y/x)+(x/y)=k
⇔y^2-kxy+x^2=0
⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)-4(x^2)))/2
⇔y=(kx±|x|√(k^2-4))/2
⇔y=((k±√(k^2-4))/2)x
((k+√(k^2-4))/2)((k-√(k^2-4))/2)=1より、
これはy=xに対称な（原点を除く）2直線を表している
x≠0∧y≠0を考慮して
(y/x)-(x/y)=k
⇔y^2-kxy-x^2=0
⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)+4(x^2)))/2
⇔y=(kx±|x|√(k^2+4))/2
⇔y=((k±√(k^2+4))/2)x
((k+√(k^2+4))/2)((k-√(k^2+4))/2)=-1より、
これは直交する（原点を除く）2直線を表している 4次行列
[100 , 0 , 0 , 1]
[0.5 , 100 , 0 , 0.5]
[-1 , 0 , 100 , 0]
[1/2 , 1/3 , 1/6 , 100]
の固有値の絶対値はいくつくらい？
暗算で >>572
（x-100)^4 -（2/3)(x-100)^2 = 0,
∴ x = 100， 100±√(2/3). >>241 (1)
最も多数の点をとおる円の１つをΓとする。
Γはn個の点を通るとする。
題意より、n≧4
Γが通る点をA，B，C，… とする。
n<8 のとき、Γを通らない2点X，Yがある。 >>241 (1)
・5≦n<8 のとき
5点｛A，B，C，X，Y｝に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
このとき、A，B，C のうちの１つが欠ける。
∵ もし XまたはY が欠けて A，B，C が残るならばその円はΓに一致し、XまたはY がΓ上に存在することになる。(矛盾）
たとえば、4点｛A，B，X，Y｝が同一円周上に存在する、とする。
A，B の片方を共有する｛A，C，X，Y｝や｛B，D，X，Y｝は同一円周上に存在しない。（C，D は A，B 以外の任意の点）
∵ もし存在するなら｛A，B，C，X，Y｝や｛A，B，D，X，Y｝が同一円周上に存在するが、それらはΓに一致し、X，Y がΓ上にあることになる。(矛盾）
次に、5点｛C，D，E，X，Y｝に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
たとえば、4点｛C，D，X，Y｝が同一円周上に存在する、とする。
更に、5点｛A，C，E，X，Y｝に於いて、そのうちの4点が同一円周上に存在する。
A，C，E のうちの１つが欠けるが、上記の2円のいずれかと3点を共有するので、結局Γと一致する。（矛盾）
以上により、5≦n<8 となることはない。 >>241 (1)
・n=4 のとき
上と同様にして、１組の｛X，Y｝について
4点｛A，B，X，Y｝と｛C，D，X，Y｝が同一円周上にある。
4点｛A，C，X，Y｝と｛B，D，X，Y｝が同一円周上にある。
4点｛A，D，X，Y｝と｛B，C，X，Y｝が同一円周上にある。
の3条件のうち、1つだけが成立つ。
（∵ 2つ以上が成立てば、3点を共有する2円が一致し、結局Γと一致する。矛盾）
ところで、5点から｛X，Y｝の組合せを選ぶ方法はＣ[5，2］= 10 通りある。
上記3条件の１つは、4通り以上の組合せについて成り立つ。
その4通りの中に｛X，Y｝の片方を共有するものもある。
たとえば、｛A，B，X，Y｝と｛A，B，Y，Z｝が同一円周上に存在するなら、
3点を共有するので2円は一致し、5点｛A，B，X，Y，Z｝が同一円周上に有る（n≧5）。
これは n=4 と矛盾するから、n=4 となることはない。
・まとめ
以上により、n≧8 と結論される。 >>573
まあ確かにそうなんだけど
(100-λ)^4-(1/6)(100-λ)^2-(1/2)(100-λ)^2+(1/6)(100-λ)-(1/6)(100-λ)=0
を考えるよりはもっと楽な方法が ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
