面白い問題おしえて～な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>239
横から失礼。独立なのは４種類(左右反転をいれると８種類)あったよ。
>>228の拡張
三角形を五段にして、使う数字を1から15までにしたものは何通り可能か？
さらに拡張
三角形を６段にして、使う数字を1から21までにしたものは不可能だが、
使う数字を1から22までにするると一通り可能となる。使わない数字は何か？ J国とC国が海を隔てて存在している。
海上に国境を引いて、国境上のどの地点から見ても
両国の領土までの距離が等しくなるようにしたい。
そのように国境を引くことは可能か？ ⑧ ⑩ ③ ⑨
② ⑦ ⑥
⑤ ①
④
１から１０まで一つ入れました >>243
J 国とC国は形、面積が同じなんだろ（丸とか >>243
まあ、可能でしょうなあ。
d=(J国からの距離)-(C国からの距離)というのを、海上の座標を定義域とする
関数とすると、明らかに連続で、C国の海岸線ではプラス、J国の海岸線ではマイナスに
なっているので、その値が0になるところを辿ればいいのだから。 入り江がある場合も？
>>241
此の幾何問題むずくね？
特に後者... 問題を6問出しておこう
①a,bを実数とする.方程式ax^2-2ax-b=0が0≦x≦3に実数解をもつような点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ.
②袋の中に1の数字が書かれたカードが1枚,2の数字が書かれたカードが2枚,3の数字が書かれたカードが3枚ある.
袋の中から1枚のカードを取り出し,カードに書かれた数字を確認し袋に戻すという操作を繰り返す.
n回操作を繰り返した後,取り出したカードに書かれた数字の総和が3の倍数となる確率を求めよ.
③点Oを中心とする半径rの球面Sがある.平面Fは球面Sと共有点をもち,その共有点全体は円Cをなす.Fが動くとき,円Cを底面,点Oを頂点とする塩水の体積の最大値を求めよ.
④pを素数,sをpの倍数でない整数とする.
(1)st-1がpの倍数となる整数tが存在することを示せ.
(2)s^2-1がpの倍数となるための必要十分条件は,sをpで割った余りが1またはp-1となることを示せ.
(3)(p-1)!+1はpの倍数であることを示せ.
⑤xy平面上に2点O(0,0),A(2,1)がある.点Pが曲線y=e^2上を動くとき,線分の長さの和OP+PAの最小値を求めよ.
⑥数列{a_n}をa_n=∫[0,1]x^n*e^xdx(n=0,1,2,...)で定める.
(1)n=0,1,2,...に対し,a_(n+1)をa_nで表せ.
(2)無限級数Σ[n=0,∞]1/n!の和を求めよ. 学校の宿題レベルが面白いとは、呆れるのを通り越して哀れみを感じる >>241
(1)
或る5点を選ぶと、その4点は円周C上に存在する。（題意）
1点を別の点で置き換えても、その4点は円周D上に存在する。（題意）
∴ C，Dは異なる3個以上の点を共有する。
∴ C=D、「同一円周」はじつは同一の円周である。
5点をどう選んでも、そのうちの4点はC上に存在する。
∴ C上に存在しない点は高々１個しかない。 >>251
奇数番目
（１） a≠0 のとき x = 1±√(1+ b/a)，
-1 ≦ b/a ≦ 3,
a=0 のときは b=0,
（３） 点Oと平面Fの距離を h とすると、円Cの半径は √(rr-hh）
V(h）=（π/3)(rr-hh)h
=（2π/3)(r/√3)^3 -（π/3){(r/√3)^3 +（r/√3)^3 + h^3 - rrh}
≦（2π/3)(r/√3)^3, （← AM-GM)
最大は h = r/√3 のとき。
（５）直線 y=ee ？
A '(2，2ee-1）とおく。
OP + PA = OP + PA '≧ OA '= √{4 + (2ee-1)^2｝ >>253
ＡＢＣＤＥ，ＡＢＣＤＦ，ＡＢＣＤＧ，ＡＢＣＤＨ，ＡＢＣＤＩのそれぞれの５点のうち４点が同一円周上にあってもＡＢＣＤが同一円周上にあればいいのでＥＦＧＨＩがその円周上にあるとは言えない。 >>253
三つの円の二円ずつの交点の六点をとると
六点のうちどの五点をとってもそのうち四点が同一円周上にあるけど
六点のうち五点が同一円周上にあるとはいえないので
証明には九点というのを使う必要がある。 >>254
(1)
a＝0のとき
-b＝0よりb＝0
したがってa＝0のとき、b＝0となり、このときは任意のxが解であるためこの点(原点)は条件を満たす
a≠0のとき
ax^2-2ax-b＝0
これは二次方程式であるためこれが0≦x≦3を満たす解を持つことを考える。
関数f(x)＝(左辺)を考えると
f(x)＝a(x-1)^2-a-b
これが0≦x≦3にx軸と交点を持つための条件は
(i)a＞0のとき
-a-b≦0かつf(3)≧0
(ii)a＜0のとき
-a-b≧0かつf(3)≦0
では？
偶数番は難しくてとっつけないな... >>251
②
f(x)＝ ( (x^1＋2x^2＋3x^3) / 6 )^n
と置く。f(x)＝Σ[k＝0～∞] a_k x^k と展開するとき、r＝0,1,2 に対して
f_r(x)＝Σ[0≦k, k≡r (mod 3)] a_k x^k
と置けば、f(x)＝f_0(x)＋f_1(x)＋f_2(x) となる。また、求める確率は f_0(1) である。
ω＝e^{2πi/3} と置けば、l＝0,1,2 に対して f(ω^l)＝f_0(ω^l)＋f_1(ω^l)＋f_2(ω^l) となる。
簡単な考察により、r＝1,2 に対して Σ[l＝0～2] f_r(ω^l) ＝ 0 となることが分かる。
また、f_0(ω^l)＝f_0(1) (l＝0,1,2) である。よって、Σ[l＝0～2] f(ω^l)＝3f_0(1) となるので、
f_0(1)＝(1/3)Σ[l＝0～2] f(ω^l)＝(途中計算省略)＝ ( 1＋((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3
となる。よって、( 1＋((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3 が求める確率である。 >>241 (1)
>>255
X,Y等は｛E,F,G,H,I｝のどれかを表わすとする。
5点｛A,B,C,X,Y｝に於いて、XもYもABCの外接円上に存在しない。
・4点｛A,B,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛B,C,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛C,A,X,Y｝が同一円周上に存在する．
のいずれか１つだけが成り立つ。（２つ以上 成り立てば矛盾）
5点｛A,B,D,X,Y｝
5点｛A,C,D,X,Y}
5点｛B,C,D,X,Y｝
に於いても同様だから、
・4点｛A,B,X,Y｝｛C,D,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛B,C,X,Y｝｛A,D,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛C,A,X,Y｝｛B,D,X,Y｝が同一円周上に存在する．
の１つだけが成り立つ。（2つ以上 成り立てば矛盾）
｛X,Y｝の組は Ｃ[5,2］= 10 とおりある。
それらは上記の３種のいずれかに属するから、いずれか１種に4組以上が属する。（鳩ノ巣原理）
その4組の｛X,Y｝の中に、文字の重複が3回以上ある。
第１種の場合については
（1）4文字循環の場合
｛A,B,X,Y,Z,W｝｛C,D,X,Y,Z,W｝が同一円周上に存在する。
∴ 8点｛A,B,C,D,X,Y,Z,W｝が同一円周上に存在する。
（2）それ以外の場合
9点が同一円周上に存在する。 私には解けないのでここで1問(謎)
asinθ+bcosθが最大値をとる時のtanθの値を求めよ。ただし、a,b,sinθ,cosθは実数とし、b≠0である。 >>261
asin+bcos≦√(a^2+b^2)√(sin^2+cos^2)=√(a^2+b^2)
等号はacos=bsinのとき
よってtan=a/b 半径1の円周を直径を折り目として、直角に折ったものをMとする
このとき、Mを境界に持つ曲面の面積の最小値を求めよ >>259 訂正
最後の辺り
（1）文字循環がある場合(3文字 or 4文字）
（2）文字循環がない場合 >>264
プラトー問題ですな。
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社（1984/Sep)
p.188-189 >>241
(2)
簡単に概略、特殊な場合を除いた解答
直線CI_AとQCDの外接円の交点でC以外の方をC'、直線BI_AとPCDの外接円の交点でB以外の交点をB'とする
一致した場合は別で解ける
角の二等分線からC'D=C'Qで∠DC'Q=∠BCA、B'D=B'Pで∠PB'D=∠ABC
△C'QA≡△C'DB、△B'PA≡△B'DCから∠AC'B=∠ACB、∠AB'C=∠ABC
よってAB'BCC'の5点は同一円周上
よってBI_A×B'I_A=CI_A×C'I_A
直線DI_AとQCDの外接円の交点、PCDの外接円の交点でDと異なる方をそれぞれE'、E"とすれば
E'I_A×DI_A=C'I_A×CI_A=B'I_A×BI_A=E"I_A×DI_A
なのでE'I_A=E"I_Aから、E'とE"は一致
点の取り方から、E'(=E")は二つの外接円の交点でDと異なる方であり、これはEと一致する
したがって、E, D, I_Aは同一直線上にある a,bを自然数として、
k=(aab+a+b)/(abb+b+7)とする。
kが自然数になるときを考える。
(1) b=1のとき、aを求めよ。
(2) b=2のとき、aを求めよ。
(3) b≧3のときを考える。
(i) k<(a/b+1/b)を示せ。
(ii) b≧3のとき(b-7/b)>0になることを利用して、(a/b-1/b)<kを示せ。
(iii) aをkとbで表せ。
(iv) bをkで表せ。 必ず4点のみだと5点が同一円上にあるケースが必ずあって条件満たさないんじゃ(￣▽￣;) https://i.imgur.com/4YFzx0B.jpg
こう解きましたが、省かれる1点が確実に5点に含まれるならそうなんだけど、「どの5点も」だからEを抜いた場合も成立しなきゃ十分とはならないんだよね... >>270
汚くて読みづらい字だが、味わい深くもある Eを抜いた場合を考えると問題が成立しなくなるので、止むを得ずEを含めた場合のみで考えたのですが...
上半分で、
ある一点だけが円周上にない⇔条件が成り立つ ことを言いたかったのですが不十分ですかね？ 5の内4が何々とは5の内4だけが何々ではない
数学の言い回し >>251 (6)
>>260
(1）部分積分により
a[n+1] = e -（n+1)a[n],
(2) (1)と
a[1] = 1,
よりa[n］を求めると、
（-1)^n･a[n]/n！=｛Σ[k=0,n］(-1)^k /k!}e - 1
ところで、n→∞ のとき
0 < a[n］≦ e∫[0,1] x^n dx = e/(n+1）→ 0
だから、
｛Σ[k=0,∞] (-1)^k /k!}e = 1 …(A)
一方、
｛Σ[k=0,∞] (-1)^k /k!}{Σ[n=0,∞］1/n!}
=Σ[m=0,∞］Σ[k=0,m］(-1)^k /{k!(m-k)!}
=Σ[m=0,∞] (1/m!)Σ[k=0,n］Ｃ[m,k］(-1)^k
=Σ[m=0,∞］(1/m!)(1-1)^m
=Σ[m=0,∞］(1/m!)δ_{m,0}
= 1 …(B)
辺々比較して
Σ[n=0,∞］1/n！= e,
［分かスレ４３５．723］の解答。
無理やりぢゃないよね。 高校レベルで平面ベクトルの奇問難問面白問出してください 高校レベルのベクトルなんてぶっちゃけ初等幾何と大差ないよ
受験生なら初等幾何の問題や公式をあえてベクトルを使って解いてみたら
いい力試しになるんじゃないか >>276 補足
δ_{i,j｝= 1 （i=jのとき)
= 0 （i≠jのとき)
「クロネッカーのδ」 >>241
>>(1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ.
>>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.
という問題、および、この出題者と思われる >>256 には
>>証明には九点というのを使う必要がある。
という書き込みがありましたが、この問題、実は、9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは？
「ある6点」は、三つの円の交点とすれば、「条件」が可能なことは、>>256に書かれている通りですが、
「ある7点」は、七つの「特殊な閉曲線」を用いれば可能なことは確認しましたが、「円」で作図可能かどうかは
非常に疑わしく思います。
「ある8点」で「条件」を満たす非自明な配置は、「特殊な閉曲線」でも無理のようです。
この問題文に「或る9つの異なる点」とあるのは、用意している証明方法では、9点が必要だったということに
由来しているのではありませんか？
なお、「特殊な閉曲線」とは、「特殊な閉曲線同士の交点は最大二個」という性質を持つ閉曲線を指し、
この性質さえ持てば、形状を問わないものを表します。 >>280
256は出題者(私)では無いです.
既に私の想定解は前スレで出ているのですが,貴方の主張の通り或る9点でしか想定しておりません。
然し,或る7或いは8点に置換しても示せる旨の記述について,詳しく示してください.
興味があります. 私の想定解はこちら
点12345より条件を満たす円Oを作る。
このとき円に乗っている点を1234とする。
この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、
12356を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。
∴背理法より円O外には1点以下しか外れない。
以上から、円Oには少なくとも(n-1)個の点が乗る。 >>281
>>256 は出題者さんのコメントでは無かったのですね。失礼しました。
7点の場合ですが、次の7文字からなる、七つの数字列を見てください。
(0001111),(0110011),(0111100),(1010101),(1011010),(1100110),(1101001)
各数字列はそれぞれ「円」に対応し、第一の数字から第７の数字は、第一の点から第７の点に対応し、
円が、その点をを通る場合は1、通らない場合は0が書かれています。第1の円は、(0001111)と書かれているので、
第一、第二、第三の点は無く、第４から第７の四つの点が乗っていることを示しています。
この七つの数字列が示すように七つの円と点が取れば、条件
>>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.
を満たしていても、「7つの点の内、六つが同一円周上にはない」ようなものが存在できるというものです。
実際、上の数字列でチェックしてみてください。どの５点を選んでも、1を四つ含む円が必ずあることが確かめられます。
しかし、組み合わせ上可能でも、実際にこのような「円を描く」事が可能なのか？
に疑問がわいて、「9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは？」と書きました。
7点の場合は、このように「円」という形状に起因し、不可能では？と考えました。
そこで、「特殊な閉曲線」を持ち出し、そのようなものなら可能としました。
一方、8点の場合は、上のような数字列を見つけ出すことが出来ませんでした。
（プログラムを組んで探したので、プログラムミスで見逃した可能性は否定できません） >>282
>>この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、
>>12356を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。
1256か1356か2356が、別の円の上に乗っていればいいだけなのでは？
何か勘違いしてる？ >>284
ああ、たしかに別の円に乗せられば行けるので不充分っぽい △ABCがある。BC=10, sinB=3/5, sinC=4/5となるとき、△ABCの面積を求めよ。(かなり汚い数字になりますがご勘弁を) 似た問題を某所に応募してみたけど採用されなかったので、ここで供養
10個の変数 x_ij (1≦i<j≦5) についての0でない多項式fであって、次を満たすものを１つ求めよ：
５つの平面ベクトル v_i (i=1,2,3,4,5) をどう定めても、f に x_ij=v_i･v_j を代入した値は必ず0になる。 >>287の誘導問題（群論知ってたらわりとすぐだけど一応）
コルクボードに５つの画ビョウa,b,c,d,eが、この順に正五角形の頂点をなすように刺さっている。
ab,bc,cd,de,eaの５つの組を、それぞれ紐で結ぶ。（つまり、紐は正五角形の辺をなす）
この状態から、『２つの画ビョウの位置を紐をつけたまま入れ替える』という操作を奇数回行うことで、再び紐が正五角形の辺をなすようにすることは可能か。 >>287
ボツ問題より、どこで募集しているかを知りたい。 >>286
（cosC)^2 =（sinB)^2,
（cosB)^2 =（sinC)^2,
より
±cosC = sinB = 3/5,
cosB = sinC = 4/5,
(1） A = B+C= 90°（直角⊿）のとき
sin(A）= 1,
正弦定理より
BC：CA：AB = sin(A）：sin(B）：sin(C）= 5：3：4
面積：24
(2） C - B = 90°（鈍角⊿）のとき
sin(A）= 7/25，
正弦定理より
BC：CA：AB = sin(A）：sin(B）：sin(C）= 7：15：20
面積： 1200/7 >>289
Mathpowerっていう数学のイベントが去年から毎年数日間にわたって開催されてるんだけど、
今年はその中の小イベント『数学の決闘』で出題するための問題を公募してたんだよ
もうイベントも公募も終了してるけどね 鈍角の時は600/7になると思う
計算式は(1/2)(BC)(sinB)(sinC)/(sin(B+C))
これで計算すれば、
B鈍角時は解無し(負の数で解が出る)
C鈍角時は600/7
B,C鋭角時は24
ってなった Mathpowerって５ちゃんねると同じく公安のスパイであるニコ生の催しか 気を取り直して
3つドアがあって、景品1つとハズレが2つドアの向こうにります。
あなたはドアを1つ選びます。
このあと、ハズレのドアが1つ開きます。
その後あなたはドアを変えることも出来るし、そのまま選択することもできます。
あなたはドアを変えるべきでしょうか？
答えと理由もお願いします。 次の不等式の表す領域を図示せよ。
・y≧-x^2+6|x|-8
・4y≧-5x^2+10|x|+21
・0≧x^2+y^2-6y-16
・0≧x^2-(8√2)|x|+y^2-2(3+4√2)y+64+24√2 ちなみに上はミッキーマウス描けまーす...
反応ない...
ちょっとした頭の体操？というか意地悪な問題です笑
「有理数全体の集合をQとする。
この時、Qの２つの要素a/b,c/d に対して
和a/b+c/d をa/b+c/d=(ad+bc)/bd と定義する。」
この時、この定義はまだ数学的に不充分です。どこが不充分でしょうか？？ 計算してまとめただけなら定義じゃないねorz
私達は有理数の足し算は上の定義式のような計算で与えられることを知っています。では、その足し算というものを改めて定義しようとした時上の定義ではそもそも定義として危うい点が残っています。それは何でしょう？って事です( ﾉД`)ｼｸｼｸ… どうせwell-definedかどうかなんだろうけど、ちょっと代数習いたて感が半端ないっす これって定理に入らないか？
いえいえ！
和や積などに代表される二項演算とは、一種の写像として定義されます。具体的には集合S上の二項演算とはf:S×S→S という写像fの事です。
なのでQの要素２つ定めれば、それに対する演算の結果は必ず一意に定まらないとダメです。
なので今回の場合は⑴そもそもの演算の結果が有理数になる。
⑵その計算結果は有理数の表示の仕方に依らず、一意に定まる。
という2点が確かめられて初めて定義可能と言えます。 >>287の答え（の例）
Σ sgn(σ)x_σ(1)σ(2)x_σ(2)σ(3)x_σ(3)σ(4)x_σ(4)σ(5)x_σ(5)σ(1)
σ∈S_5(=5次対称群)
（ただし、x_ijとx_jiは同じ文字と見なす）
(証明)上で定めたfは 10x_12x_23x_34x_45x_ 51 の項を持つので0でない。
x_ij=v_i･v_j をfの式に代入した時の値をg(v_1,…,v_5)とおくと、gはv_i,v_j(i≠j)の入れ替えにより符号が反転することが確かめられるので、v_iのうち一次従属な二つ組が存在すればg=0とならなければならない。
v_iのうちどの二つ組も一次独立であると仮定する。各i=3,4,5に対して、v_1+t_iv_2とv_iが一次従属になるような実数t_iが存在するので、
tについての二次以下の式 h(t)=g(v_1+tv_2, v_2, v_3, v_4, v_5) は零点を３つ以上持つ。したがって、hは恒等的に0。ゆえに、g(v_1,…,v_5)も0。 面白くないかもしれんが、lim[x→+0] {e - (1+x)^(1/x)}/x を求めよ。 >>315
0 < x << 1 のとき
（1+x)^(1/x + 1/2) ～ e,
∴（1+x)^(1/x）～ e/√(1+x）～ e/(1+x/2）～ e(1-x/2),
∴（与式）= lim［x→+0］(ex/2)/x = e/2,
～は差がO(xx）であることを表わす。 面白くないかもしれんが、lim［x→+0］｛e -（1+x)^(1/x + 1/2)｝/xx を求めよ。 >>317
0 < x << 1 のとき
（1+x)^(1/x + 1/2 - x/12 + xx/24 - …）= e >>318
1/(1+x）= 1 -x +xx -x^3 + …,
log(1+x）= x -xx/2 +（x^3)/3 -（x^4)/4 + …,
(1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…)log(1+x）= 1,
(1+x)^(1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…）= e, >>320
対角線方向の和は等しい（全体の1/2）
32+16= 28+x,
x=20. >>321
> 対角線方向の和は等しい（全体の1/2）
なぜ？ >>322
正方形の頂点からも補助線を引けば
底辺は皆同じ長さだし
高さが同じ三角形が確変状に2つずつできるからだよ >>322
凸四角形ABCDの内部に点Pをとる。
4辺AB，BC，CD，DA の中点を K，L，M，N とおくと、
△APK = △BPK = k,
△BPL = △CPL = l,
△CPM = △DPM = m,
△DPN = △APN = n,
となる。 >>323
S_A = n + k,
S_B = k + l,
S_C = l + m,
S_D = m + n,
S_A + S_C = S_B + S_D, >>325
では、本題に入ります。
PK，PL，PM，PN で4片に切り分け K，L，Mを鳩目で留めて、各片を動かします。
ABCDを1点Qに集めると、新しい凸４角形 K'L'M'N' が出来ます。
（鳩目がえし）
〔問題〕
点P が KM と LN の交点にあったとき、◇K'L'M'N' は平行4辺形になることを示せ。 >>323 >>325
ほう、そっちに補助線が多数派か
おれは少数派 なんかそんな感じの図で変な名前の定理があったなと思った
british flag's theorem だった なにが「本題に入ります」だコラ
てめえは画像貼ってねえだろ 前スレ
面白い問題おしえて～な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
187 １３２人目の素数さん 2017/06/25(日) 01:21:36.25 ID:8SgueX3P
Microsoftが就職面接で出したとかいう問題
長方形ABCDに対して点PがAP=11,BP=13,CP=7を満たすとき、DPは？
216 １３２人目の素数さん 2017/06/25(日) 22:50:39.89 ID:LvX/aL4D
>>189,204
正解
AP^2+CP^2=BP^2+DP^2はBritish flag theoremというらしい
https://youtu.be/bhMyvC7o97Y
マイクロソフトはこの問題を口頭で解かせた…？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
