大学学部レベル質問スレ 8単位目 [無断転載禁止]©2ch.net
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可算だろうが非可算だろうが、無限個の集合に対する公理がなければ無理だろう 証明できないことを証明するとき、つまりメタレベルでどんな公理を採用するかは問題にされないのが不思議
ヘンテコな数学的公理の下でメタ議論すればZFから選択公理を導ける可能性はあるんじゃないの？ >>548
極端な話、メタ公理系が矛盾していれば選択公理を導けてしまう
そしてもちろん、メタ公理系が無矛盾かどうかを予め知る方法はない 不完全性定理は非常に弱いメタ公理系の下で証明できるので、これは疑っても仕様がない
しかし、選択公理が証明できないことの証明ではメタ公理系として集合論を採用したので、実は別の選択肢もあった気がしてならない >>549
実際書いてミロや
誰も妥当と思わなければ認められないわけ >>551
結局そういうことだよね
「数学は自由だ」という標語があるけど、メタ議論するときは選択の余地なくZFを唯一の真理であるかのように扱う
その自覚すらなくZFに縛られてる人も多いんじゃないかな たとえば>>546だけど、証明できない事が”どんな仮定の下で”証明されているのか、一度でも気に懸けたことはあった？ >>552
ZFはほぼ納得できるからな
要素が同じなら同じ
空集合アリ
和集合アリ
ベキ集合アリ
無限集合（自然数）アリ
置き換えてもイイよ
無限降下はダメよ
こんだけだし >>553
メタ数学はあんまり細かいこと言わないで“普通に”数学だよ
メタ数学の対象になるのが細かい公理的集合論とか諸々 楕円関数の本ちらちら読んでたら無限積Π_(i=1)^∞がでてきたんですが、無限積ってなんですか？
無限級数Σ_(i=1)^∞は部分和の数列の極限値で定義されてて、極限の定義もちゃんと習うけど、
無限積の定義は部分積（？）の数列の極限値だと思えばいいんですか？
パラメータとかいろいろ入っててよくわからないし、発散する場合とか考えなくてもいいんでしょうか。 >>555
メタ数学が対象とする形式的数学は「証明という行為」を理想化したものだから、
飽くまでも理想化された対象にだけ言及するなら、そういう数学理論だと思っていいんだろうね
数理物理が数学理論であるのと同じ意味で
でもメタ数学は形式化されていない生の数学における証明可能性まで主張する（代数幾何でモデル理論を用いたり）
人間が証明を行っているこの宇宙で、まるでZFの公理が成立すると暗に仮定しているかのようだ
ZFは納得がいく、多くの人に支持されている等の根拠では済まされない、重大な間違いの可能性を残してると思う
「ZFは宇宙の真理であり、人間の行為もそれに従う」
ここまで言い切ってしまえば、これはこれで一貫した理論になるけども a, b を
a ≧ b ≧ 0
を満たす整数とする。
a, b の最大公約数をユークリッドの互除法で求める際、
余りを計算する回数を R(a, b) と書くことにする。
(F_n) は フィボナッチ数列 0, 1, 1, 2, 3, …, とする。
n を F_n ≧ a ≧ b ≧ 0 を満たす整数とするとき、
R(a, b) ≦ n
が成り立つことを示せ。 >>556
>無限積の定義は部分積（？）の数列の極限値
これ >>559
a = r[0] = q* b + r[2] ≧ b + r[2]
b = r[1] = q'*r[2] + r[3] ≧ r[2] + r[3]
...
r[R-3] ≧ r[R-2] + r[R-1]
r[R-2] ≧ r[R-1] + r[R]
r[R-1] ≧ r[R] + 0
逆に辿って、
r[R-1] ≧ 1 + 0 = Fib[1]
r[R-2] ≧ Fib[1] + 1 = Fib[2]
r[R-3] ≧ Fib[2] + Fib[1] = Fib[3]
.... r[0] ≧ Fib[R]
Fib[n] ≧ a ≧ Fib[R]
よって n ≧ R ZFとかの公理系の話は内田、松坂のような入門書には全然書いていないと思うんですが、なんかおすすめの本はありますか？
選択公理が「証明できない」ことの証明が書いてある本とか >>567
中古しかないし
その中古がボッタクリプライスですね… いい本ですよ
ま
強制法を理解しないと始まらないので
何か類書でもなんでもいいから >>569
でしたら類書でいいものは何かありますか？ 離散数学なんだけど
これってどう証明すればいいの？
数学っぽく解こうとしたけど言葉でしか説明できない
https://i.imgur.com/BNf9mM0.jpg 素朴な直感的な言葉で定義されているわけですね
なら自明、でいいんじゃないですか？ べき集合: P(A) := { x | x ⊂ A } 定義より明らか。
それでは身も蓋もないので、背後には次のような構造があると考えるとよいかもです。
2変数述語: Pred(x,y) := x ⊂ y ----(a)
べき集合: P(A) := { x | Pred(x, A) } ---(b)
X ⊂ A ⇄ X ∈ P(A)
1. (→) X ⊂ A → (a)より Pred(X, A) → (b)より X ∈ P(A)
2. (←) X ∈ P(A) → (b)より Pred(X, A) → (a)より X ⊂ A >>572
しょもない問題じゃの
定義から自明なのに おら、似た問題で、自明って書いたら、0点もらえた。 部分集合とべき集合の定義をオウム返ししろ、という問題？ >>577って、すごく馬鹿っぽいですよね(笑)
述語知ったばかりや高校生みたい 大学三年のものなのですが卒研でなにを研究すればいいですかね？正直この二年間あまり勉強してこなかったのでまあまあやばいです。何かおすすめの単元（？）ありますか？現在はしかたなく位相幾何学の本読んでます。 学部なら卒研と言っても本当に研究するわけじゃなく、セミナーで勉強したことをまとめる程度のものでしょ
好きな分野でおｋ >>599
だから数学科はバカにされるんだよな
他学科は一応研究できるから 一年間セミナーしただけで卒業できたな〜
新規の結果が出せるわけがないから論文はいらないらしいのだけど、
他学科は論文を書いてたんだろうかと思うと
劣等感に苛まれるぜ こんなこと言っていてケケケケンキュウ荒らしが現れませんように
南無阿弥陀仏 南無阿弥陀仏 数学科で論文いらないって不思議だな
ネタくらいあるのに さすがに何のまとめにもならんような感想文じゃ弾くしかないし
そんなんしかいないF欄は卒論なし（さすがにゼミは形だけでも必須だろうけど教授の匙加減でどうとでもできる
学部二年でハーツホーン読了してて当然とか言い出す河東レベルに達してるならともかく
傾向や一般論で言えば、普通レベルの学部生が数学科の学部で講義する範囲で
何か新しいものを多少なりと含む本来的な意味の論文なんて書こうと思っても
いくらネタがあると言っても知れてるから
ってわけで教科書やサーベイのサマリ程度のものでお茶を濁すわけでしょ
新しい成果を入れようとしても、頑張って探せば既知か、未知だけど非常につまらないとか、
役立たずだけど応用数学ならまあ許されるかそれでもゴミ扱いかもしれないなとか
そんな感じにしかならんのではないかと思う 学部4年なんか研究の準備をするための準備だろ
それでどうやって研究しろと 自分の行ってない他大学の事情にはさっぱりなのだけど、
早稲田の学部はゼミごとに卒論書いてるらしく、pdfが転がってる
2004年度 位数が30以下の群の分類とか 期待されてない卒論なんて課す意味がない。
本末転倒 他の理系と違い、数学科卒業生は社会に出てから論文を読むことも書くこともしないからな
研究の作法を学ぶ意味もないというわけだ >>600
そのかわり
研究以前の「教科書を理解したことを証明する、ふつうの単位」の取得が
数学科は他学科よりはるかに難しい
東大以外は知らんけど 卒業研究という名の単なるセミナー
卒業研究の単位を落とす人なんているんだろうか
毎回出席さえしていれば指導教官だってまさか落とすわけにもいくまい そう、だから卒業研究もあんまり意味がない
一学期で1章しか進まないセミナーなんてザラ 数学科に卒論が無いことを馬鹿にする人は
例えば工学系・実験系で前年の人に引き続いて同じ実験のデータ取って蓄積しましたって卒論なら
どう評価するんだろうね 数学科には有りがちだけど、どこかズレてるよね
知力をひけらかすことが研究の目的ではないぞ >>617
何も産み出さない数学科の無限倍マシじゃん >>621
実験なんて追試&データの蓄積がナンボだぞ でも数学で何度同じ手順繰り返しても同じものしか出てこないよ？ >>613
なわけあるか、オレは仕事で必要だったぞ
卒業時には楽したと思ったが、この時は損したと思ったね 実験系が複素解析なら数学はリジッド解析
局所的な議論をその周辺まで伸ばすには工夫がいる すみません質問です。
三平方の定理の現代的証明（或いは公理としての取り込み方）って
ありますでしょうか？
wikiで見るとオイラーの公式から証明できるとあるのですが
少なくとも小平先生「解析入門」の本を見る限り三角関数の厳密な構成にも
残念ながら三平方の定理はア・プリオリに既知として認めてしまっているような
気もするのですが 三平方の定理の成り立たない空間もあるぜよ。まぁ、小売でしょ。 ＞三平方の定理はア・プリオリに既知として認めてしまっている
正しいが、おそらく貴方の考えているような意味合いではない
実数の組からなる集合に対し、三平方の定理が成り立つように距離の概念を導入し、現代的にはそれをユークリッド空間と呼んでいる
三平方の定理が成り立たない距離の概念もあり得るが、それはまた別の話 >>627
>wikiで見るとオイラーの公式から証明できるとあるのですが
この証明胡散臭いな >>629
ちょっと問題そのものにお答えくださってない（トートロジーや循環論法に
なってしまわれてる）気がしてしまうのですが、つまり、
ユークリッド空間に話を限定しても
そのユークリッド空間上においてであろうがあなたの仰る『抽象的な距離』は
単なる通常の距離の模倣から生まれた単純な関係式を満たすモノにしか過ぎませんので
（通常の距離以外にも）いくらでで異なる定義を与える事は可能でしょうが、
じゃあ現代数学において
円や角度はどう視覚的に理解したらいいんですか？
円が【ああなるああいう形】になる空間を複素平面の定義にしてしまうんですか？
現代数学においては円の形が【ああなるああいう形】になる事を意識する必要性が
ないのでしょうか？？ >>632
歴史的発見の順序と論理の組み立て方は区別する必要があります
我々の直観その通りに論理を進める必要はないですし、そんなことはできないのです
数学では公理を出発点としますが、その正当性は何者にも保証されませんし、正しいか正しくないかという議論の対象にもならないのです
＞（通常の距離以外にも）いくらでで異なる定義を与える事は可能でしょうが、
これは、数理論理の言葉で言えば、一つの公理系に対して異なるモデルを考える、ということに相当しますが、とにかくいくらでも前提を変えれば、結論はどのようにも変わるわけです
前提が間違ってる間違っていない、という問題ではなく、前提を変えれば異なる結論が得られる、というだけなのです
しかし、我々の直観に沿うものと沿わないものが確かにあるでしょう
でも、その直観とのズレ、は数学に持ち込むべきものではありません
逆に、我々の直観に沿うものが正しいか、というわけでもないです
そして、その我々の直観に沿う、という正当性も、数学内では解決できるものでもありませんし、解決すべきものでもないんです >>629
小平先生「解析入門」の流れを見ますと
ア:c（θ）^2+S（θ）^2＝1を満たす収束する無限級数を構成
イ:e（θ）＝c（θ）+iS（θ）が回転を表すと期待される関係式e（θ+φ）＝e（θ）e（φ）を
満たす事を証明
ウ:複素平面（←ここがア・プリオリに与えられすぎててちょっとよく分からない）上に
おける原点O、（1,0）A、（c（θ）、S（θ））Bの3点において
0A^2+AB^2＝1（アで証明した等式による）＝OB^2（イで証明した事により
0Bは0Aを回転したモノと考えるため）
によって三平方の定理が示されている気がします。
ただ少し引っかかったのは更にそこから円弧の長さを定義する時に
三平方の定理を内密に使用している事がちょっと気になります。
もう三平方の定理は既に証明された（角度を厳密に定義し終えた）ので
円弧の証明にはもう使っていいのかな？
因みに小平先生「解析入門」では三平方の定理とのロジックの流れには
1mmも直接触れていませんので、三平方の定理の構成或いは証明の
どこからを認めてどこからを厳密に構成し得たかは読者に完全に委ねられています >>634
>円や角度はどう視覚的に理解したらいいんですか？
↑
恐縮ですがあなた様の回答は私の上の疑問になんら答えて下さっていないように
感じます。あなた様はおそらく単なる抽象的な位相空間における距離の公理の
もっともらしさについてしか言及していないと思われます。
抽象的な距離の定義が、距離と呼ぶにふさわしい事は自明ですので
そのあなた様の説明もトリビアルかと思われます >>636
我々の通常認識している空間がユークリッド空間であると認れば良いのです >>635 自己レス ウの訂正
点BからOAに下ろした垂線の足をCとすると
0C^2+BC^2＝1（アで証明した等式による）＝OB^2（イで証明した事により
0Bは0A＝１を回転したモノと考えるため）
「垂線の足」とか言い出したらもう何を認めて何を前提として
何を厳密に構成したのかが混乱してきます・・・ >>637
その何を既知（ア・プリオリ）と認めて
どこからを何を厳密に構成したのかを
ハッキリさせたいのです >>639
そんなことはできないのです
上に書きましたね
我々の直観と数学をリンクさせる時点で、アポステリオリな要素を含まざるを得ないのですよ >>639
ユークリッド空間の公理は完全にアプリオリです
我々の空間がユークリッド空間として扱える、というのがアポステリオリです だから「三平方の定理が成り立つ距離」が答えだっての
馬鹿丁寧な言葉遣いする前に自分への返答ぐらいはよく読め >>640
>アポステリオリな要素を含まざるを得ないのですよ
日本語は理解できますか？
私はア・プリオリを一切排除してみたいなど一言も言ってません。
どこからがア・プリオリでどこからが厳密に構成し得たものかを知りたいと
言ったのですが
日本語と解析の初歩をちゃんと理解した人にだけお答え下さい
位相空間の抽象的な距離の定義だけを知ってるだけの人の事ではないです。
解析の初歩で特に小平先生の本の
私が>>635,>>638←で書いた流れの【中身】をフォローして下される方に
回答を宜しくお願いいたしますm(_ _)m >>643
今どこにいますか？
あなたを殺したいので、住所を教えてください ID:dVnNrIcaさんの住所がわかりません
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