大学学部レベル質問スレ 8単位目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>528
[逆関数の定理]
φは R^n → R^n の C^k 級連続写像 (k≧1, 簡単のため φ(0) = 0 としてます)
ヤコビアン det(∂φi/∂xj) ≠ 0 (at x=0) の時、十分小さい近傍を取れば逆関数が存在し C^k 級である。
Q(0; r): 中心0, 幅r の超立方体で境界を含まない。
Q^{–}: Qの閉包、つまり境界を含む
本の証明では まず Q^{–}(0, r) 上で 1 : 1 なのを示してます。
>>529
Q^{–}(0, r) 上で 1 : 1 なら 当然 Q(0, r) 上 で 1 : 1 。
しかし、この時点では φ( Q(0, r) ) が開集合である保証はない。
何とかして φ: 開集合 → 開集合 の構図に持っていきたいという事でしょうか。
それなら納得できます。 特定の構成法を使うのは、その方法だとC^rを示せるから
φ(Q(0; r)) ⊃ Q(0; r/2) の条件は縮小拡大を正規化して計算の手間を省くため >>531
いやいや "開" 集合間の写像に持っていくためって事で合ってるでしょう。(つまり「境界を省きたいから」)
逆写像がC^r級 なのを示すのにその辺りは使ってませんよ。
１：１ 連続写像なので、 実は「Q(0; r) 上で φ は 開写像」なんですが、それを保証するのが [領域不変の定理]
だから [領域不変の定理] を認めるなら、Q(0; r/2) (開集合)上で逆関数を具体的に構成する必要なんてないです。
とはいえそっちの定理の証明にはホモロジー代数とかハイレベルな内容(未着手なので詳細は知らない)を含むので、避けるのは当然かなと。 「可算選択公理」って「証明」できないんですか？アタリマエとして「認める」しかないんですか？ 線形代数がよく分かんないのですが僕が悪いんですか？ 納得できなさを突き詰め続けると新しい理論に化けるかもね。 >>535
認めなきゃ数学の議論にならないと思うので認めはしますが，
もっと根源的（？）公理（実数の連続性とか）から証明できないのかなあ…と思って （一般の）選択公理でなくて「可算選択公理」ですが無理なもんは無理ですかね 可算だろうが非可算だろうが、無限個の集合に対する公理がなければ無理だろう 証明できないことを証明するとき、つまりメタレベルでどんな公理を採用するかは問題にされないのが不思議
ヘンテコな数学的公理の下でメタ議論すればZFから選択公理を導ける可能性はあるんじゃないの？ >>548
極端な話、メタ公理系が矛盾していれば選択公理を導けてしまう
そしてもちろん、メタ公理系が無矛盾かどうかを予め知る方法はない 不完全性定理は非常に弱いメタ公理系の下で証明できるので、これは疑っても仕様がない
しかし、選択公理が証明できないことの証明ではメタ公理系として集合論を採用したので、実は別の選択肢もあった気がしてならない >>549
実際書いてミロや
誰も妥当と思わなければ認められないわけ >>551
結局そういうことだよね
「数学は自由だ」という標語があるけど、メタ議論するときは選択の余地なくZFを唯一の真理であるかのように扱う
その自覚すらなくZFに縛られてる人も多いんじゃないかな たとえば>>546だけど、証明できない事が”どんな仮定の下で”証明されているのか、一度でも気に懸けたことはあった？ >>552
ZFはほぼ納得できるからな
要素が同じなら同じ
空集合アリ
和集合アリ
ベキ集合アリ
無限集合（自然数）アリ
置き換えてもイイよ
無限降下はダメよ
こんだけだし >>553
メタ数学はあんまり細かいこと言わないで“普通に”数学だよ
メタ数学の対象になるのが細かい公理的集合論とか諸々 楕円関数の本ちらちら読んでたら無限積Π_(i=1)^∞がでてきたんですが、無限積ってなんですか？
無限級数Σ_(i=1)^∞は部分和の数列の極限値で定義されてて、極限の定義もちゃんと習うけど、
無限積の定義は部分積（？）の数列の極限値だと思えばいいんですか？
パラメータとかいろいろ入っててよくわからないし、発散する場合とか考えなくてもいいんでしょうか。 >>555
メタ数学が対象とする形式的数学は「証明という行為」を理想化したものだから、
飽くまでも理想化された対象にだけ言及するなら、そういう数学理論だと思っていいんだろうね
数理物理が数学理論であるのと同じ意味で
でもメタ数学は形式化されていない生の数学における証明可能性まで主張する（代数幾何でモデル理論を用いたり）
人間が証明を行っているこの宇宙で、まるでZFの公理が成立すると暗に仮定しているかのようだ
ZFは納得がいく、多くの人に支持されている等の根拠では済まされない、重大な間違いの可能性を残してると思う
「ZFは宇宙の真理であり、人間の行為もそれに従う」
ここまで言い切ってしまえば、これはこれで一貫した理論になるけども a, b を
a ≧ b ≧ 0
を満たす整数とする。
a, b の最大公約数をユークリッドの互除法で求める際、
余りを計算する回数を R(a, b) と書くことにする。
(F_n) は フィボナッチ数列 0, 1, 1, 2, 3, …, とする。
n を F_n ≧ a ≧ b ≧ 0 を満たす整数とするとき、
R(a, b) ≦ n
が成り立つことを示せ。 >>556
>無限積の定義は部分積（？）の数列の極限値
これ >>559
a = r[0] = q* b + r[2] ≧ b + r[2]
b = r[1] = q'*r[2] + r[3] ≧ r[2] + r[3]
...
r[R-3] ≧ r[R-2] + r[R-1]
r[R-2] ≧ r[R-1] + r[R]
r[R-1] ≧ r[R] + 0
逆に辿って、
r[R-1] ≧ 1 + 0 = Fib[1]
r[R-2] ≧ Fib[1] + 1 = Fib[2]
r[R-3] ≧ Fib[2] + Fib[1] = Fib[3]
.... r[0] ≧ Fib[R]
Fib[n] ≧ a ≧ Fib[R]
よって n ≧ R ZFとかの公理系の話は内田、松坂のような入門書には全然書いていないと思うんですが、なんかおすすめの本はありますか？
選択公理が「証明できない」ことの証明が書いてある本とか >>567
中古しかないし
その中古がボッタクリプライスですね… いい本ですよ
ま
強制法を理解しないと始まらないので
何か類書でもなんでもいいから >>569
でしたら類書でいいものは何かありますか？ 離散数学なんだけど
これってどう証明すればいいの？
数学っぽく解こうとしたけど言葉でしか説明できない
https://i.imgur.com/BNf9mM0.jpg 素朴な直感的な言葉で定義されているわけですね
なら自明、でいいんじゃないですか？ べき集合: P(A) := { x | x ⊂ A } 定義より明らか。
それでは身も蓋もないので、背後には次のような構造があると考えるとよいかもです。
2変数述語: Pred(x,y) := x ⊂ y ----(a)
べき集合: P(A) := { x | Pred(x, A) } ---(b)
X ⊂ A ⇄ X ∈ P(A)
1. (→) X ⊂ A → (a)より Pred(X, A) → (b)より X ∈ P(A)
2. (←) X ∈ P(A) → (b)より Pred(X, A) → (a)より X ⊂ A >>572
しょもない問題じゃの
定義から自明なのに おら、似た問題で、自明って書いたら、0点もらえた。 部分集合とべき集合の定義をオウム返ししろ、という問題？ >>577って、すごく馬鹿っぽいですよね(笑)
述語知ったばかりや高校生みたい 大学三年のものなのですが卒研でなにを研究すればいいですかね？正直この二年間あまり勉強してこなかったのでまあまあやばいです。何かおすすめの単元（？）ありますか？現在はしかたなく位相幾何学の本読んでます。 学部なら卒研と言っても本当に研究するわけじゃなく、セミナーで勉強したことをまとめる程度のものでしょ
好きな分野でおｋ >>599
だから数学科はバカにされるんだよな
他学科は一応研究できるから 一年間セミナーしただけで卒業できたな〜
新規の結果が出せるわけがないから論文はいらないらしいのだけど、
他学科は論文を書いてたんだろうかと思うと
劣等感に苛まれるぜ こんなこと言っていてケケケケンキュウ荒らしが現れませんように
南無阿弥陀仏 南無阿弥陀仏 数学科で論文いらないって不思議だな
ネタくらいあるのに さすがに何のまとめにもならんような感想文じゃ弾くしかないし
そんなんしかいないF欄は卒論なし（さすがにゼミは形だけでも必須だろうけど教授の匙加減でどうとでもできる
学部二年でハーツホーン読了してて当然とか言い出す河東レベルに達してるならともかく
傾向や一般論で言えば、普通レベルの学部生が数学科の学部で講義する範囲で
何か新しいものを多少なりと含む本来的な意味の論文なんて書こうと思っても
いくらネタがあると言っても知れてるから
ってわけで教科書やサーベイのサマリ程度のものでお茶を濁すわけでしょ
新しい成果を入れようとしても、頑張って探せば既知か、未知だけど非常につまらないとか、
役立たずだけど応用数学ならまあ許されるかそれでもゴミ扱いかもしれないなとか
そんな感じにしかならんのではないかと思う 学部4年なんか研究の準備をするための準備だろ
それでどうやって研究しろと 自分の行ってない他大学の事情にはさっぱりなのだけど、
早稲田の学部はゼミごとに卒論書いてるらしく、pdfが転がってる
2004年度 位数が30以下の群の分類とか 期待されてない卒論なんて課す意味がない。
本末転倒 他の理系と違い、数学科卒業生は社会に出てから論文を読むことも書くこともしないからな
研究の作法を学ぶ意味もないというわけだ >>600
そのかわり
研究以前の「教科書を理解したことを証明する、ふつうの単位」の取得が
数学科は他学科よりはるかに難しい
東大以外は知らんけど 卒業研究という名の単なるセミナー
卒業研究の単位を落とす人なんているんだろうか
毎回出席さえしていれば指導教官だってまさか落とすわけにもいくまい そう、だから卒業研究もあんまり意味がない
一学期で1章しか進まないセミナーなんてザラ 数学科に卒論が無いことを馬鹿にする人は
例えば工学系・実験系で前年の人に引き続いて同じ実験のデータ取って蓄積しましたって卒論なら
どう評価するんだろうね 数学科には有りがちだけど、どこかズレてるよね
知力をひけらかすことが研究の目的ではないぞ >>617
何も産み出さない数学科の無限倍マシじゃん >>621
実験なんて追試&データの蓄積がナンボだぞ でも数学で何度同じ手順繰り返しても同じものしか出てこないよ？ >>613
なわけあるか、オレは仕事で必要だったぞ
卒業時には楽したと思ったが、この時は損したと思ったね 実験系が複素解析なら数学はリジッド解析
局所的な議論をその周辺まで伸ばすには工夫がいる すみません質問です。
三平方の定理の現代的証明（或いは公理としての取り込み方）って
ありますでしょうか？
wikiで見るとオイラーの公式から証明できるとあるのですが
少なくとも小平先生「解析入門」の本を見る限り三角関数の厳密な構成にも
残念ながら三平方の定理はア・プリオリに既知として認めてしまっているような
気もするのですが 三平方の定理の成り立たない空間もあるぜよ。まぁ、小売でしょ。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
