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大学の線形代数学の質問。 [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
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2017/07/16(日) 15:08:09.64ID:QGoZoxW5
数字の行が二行あるやつ同士ならさすがにわかるけど、
数学の行がひとつしかないやつたとえば
(1 3)(2 3)(2 4)みたいなのはどうすれば…

こんな高度なスレにこんな馬鹿げた質問するのもちょっととは思ったけど馬鹿なので教えてください
0173１３２人目の素数さん
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2020/05/20(水) 00:42:07.54ID:AQzCMB+0
行列の空間から行列の空間へのランクを保つ線形写像
F:Mn(R)→Mn(R)
は、ある可逆行列A,Bを用いて
F(X)=AXBもしくはA(X^t)B
と書けることの証明わかる方いれば教えて下さい
0175１３２人目の素数さん
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2020/05/22(金) 16:44:58.66ID:y+ggBWMl
>>159
Ｌのi行目(i<n)に、n行目の -Ｌi,n 倍をたす。
すなわち、Ｅの各i,n成分を -Ｌi,n とした行列を、Ｌの左から掛けると、
n列目が0となる。
次にＬのi行目(i<n-1)に (n-1)行目の -Ｌi,(n-1）倍をたす。
すなわち、Ｅの各i,(n-1)成分を -Ｌi,(n-1）とした行列を、その左から掛けると
(n-1)列目も0となる。
これを繰返せば右上成分がすべて0となり、Ｅに至る。
よって上記の行列を全部掛けたものが Ｌ^(-1）である。
上記の行列は対角要素が１の右上三角行列だから、Ｌ^(-1）もそうである。
また、Ｌの右上成分がすべて０以下のときは、上記はすべて非負行列だから
Ｌ^(-1）も非負行列である。（終）

基本変形？　掃き出し法？　シュミットの直交化？
0176１３２人目の素数さん
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2020/05/22(金) 17:30:20.30ID:y+ggBWMl
問題14.
n次実行列Ａに対して
　Ａｘ ≧ｏ　ならば　ｘ≧ｏ（非負ヴェクトル）
とすれば
　Ａは正則で、Ａ^(-1）は非負行列である。

齋藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会, 基礎数学1 (1966) p.72
0177１３２人目の素数さん
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2020/05/22(金) 17:58:24.80ID:y+ggBWMl
>>176
Ａｘ=ｏ ならば Ａ(-ｘ）=ｏ, 条件により ｘ, -ｘ ≧ｏ だから ｘ=ｏ.
したがって Ａは正則。
Ａ^(-1）が非負行列でないと仮定すれば、ある成分b_ij<0
単位ヴェクトルｅ_j ≧o に対して（Ａ^(-1)ｅ_j)_i = b_ij <0,
∴ ｅ_j ≧o ではあるが Ａ^(-1)ｅ_j ≧ｏ でない。(条件に反する)

同書 p.266
0178１３２人目の素数さん
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2020/05/23(土) 00:16:19.80ID:X/GVmCC1
>>160
二階堂副包「経済のための線型数学」培風館 (新数学シリーズ22）（1961)

齋藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会 (基礎数学1）（1966)
　　第7章 §3。非負行列　　p.217-223
0180１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 18:41:35.69ID:Zpd2xTbW
相似な２つの行列は固有多項式、したがって、固有値、行列式、トレースなどは等しいけど、カーネルやイメージ(したがってランク)も同じにならない？
0181１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 18:52:15.80ID:ZYMMagWr
[[1 0][0 0]], [[0 0][0 1]]
0183１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 00:17:35.46ID:QDdNpJDl
https://i.imgur.com/muaIbEQ.jpg
（行列解析の基礎、p.146、サイエンス社）

赤線部分について、行列のサイズが違うのに、簡単に固有値の大きさを比較できるんですか？
そもそも 「非負行列の理論によって」 って、どんな理論ですか？
0184１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 13:16:33.20ID:v7KbAOUS
他人の貼ったURL見る気ないから打ち直してみな
それだけで分かるかもしれんぞ
0185１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 16:03:57.41ID:6Guw+e46
線形独立のところを勉強しています、ある行列で示されたベクトルが独立かどうかの判定について

例えば3x3などの行列でこのRankが幅と同じ3であるならこれらのベクトルは線形独立であると判断していいのでしょうか？

もう一つ、この行列の行列式が0以外であるならば、線形独立だと判断してもいいのでしょうか？
0186１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 16:07:17.63ID:m/OLh1Xx
＞例えば3x3などの行列で
3つのベクトルを行列で表して3x3の行列にした時に…の意です
0187１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 18:15:51.83ID:hiCyH/r6
>>185
２つともYES。
というか、何を見ても書いてあるようなことは、勉強してからこういうところで聞いてよ。
0188１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 18:33:48.08ID:xjbS98gz
一応勉強したんですがわかりにくいところがあって。。
これと同じ条件（3x3などの行列）でこのベクトルが基底であると判断するには
どういった手順を踏んでどこの値を見れば判別できるのでしょうか？
0189137番目の素数さん
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2020/06/21(日) 18:59:12.97ID:PBiVenDh
>>185
僕もちょうど今日そこのところを勉強してました。
　多分基底ベクトルの組は無限にあるんで問題にもよると思います。問題文に書いてあれば書いてあるベクトルでどうにかするんだと思います。
0190１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 00:12:04.39ID:miJcZGLE
>>188
3次元とわかってる空間内なら、３つのベクトル(3×3行列の列ベクトルなど)が一次独立でありさえすればそれは基底になる。
0192１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 16:22:23.04ID:XoPbXgJ8
n次非負行列 A に対して、次は同値である。
(1) A は既約で、ρ(A) < α.
(2) αE - A が正則で、(αE-A)^{-1} > O.

「証明は簡単だから読者が試みられよ」と丸投げされているんですが、教えてください。
0193１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 19:27:04.89ID:0/eLdBm+
>>192
自分で考えなよ
n = 1, 2, 3 のときに成立していることは確認したの？
低次元について証明は試みたの？
低次元のときに証明できれば、あとはその証明をどう一般化すればいいか考えればいいわけでしょ？
大体、 ρ(A) とか α とか、君にしかわからない記号を書いている時点で返答がもらえるわけないんだから
0196１３２人目の素数さん
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2020/07/08(水) 22:42:54.28ID:uuc+/phb
齋藤正彦　線形代数学　東京図書の199頁に、「固有値βの広義固有空間の次元が固有値βの重複度以下であるのは当然だから」と書いてあるのですが、当然なんですか？
広義固有空間の概念は197頁から始まる第8章で最初に登場するのに、197頁から199頁までの3頁のどこを探しても当然と思わせる記述はありません。わかる人いたら教えて下さい。
0198196
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2020/07/08(水) 23:47:15.25ID:uuc+/phb
>>197
該当箇所は、広義固有空間の次元が固有値の重複度に等しいことを証明するとこででてくるんで、次元が重複度に等しいことは前提とせずに「背理法で」証明できますか？
0199１３２人目の素数さん
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2020/07/08(水) 23:56:22.72ID:eJgalieG
糞して寝ろ。そして起きたら刺身の上にタンポポを載せる仕事を探せ。
0200１３２人目の素数さん
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2020/07/09(木) 13:21:56.36ID:4YwVxgvf
>>196
他の固有値を考えれば良い
重複度以上は他の固有値だから広義固有空間になり得ない
0201１３２人目の素数さん
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2020/07/09(木) 23:17:53.09ID:c3CBtLXo
>>200
齋藤先生の本では広義固有空間は固有値βiの重複度niのべき乗(つまりKer(A-βiI)^ni）ではなく線型空間の次数nのべき乗で定義されています(つまりKer(A-βiI)^n）..
2つの空間が等しいという証明の前に、「広義固有空間の次元がni以下」言えるのでしょうか。
0203196
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2020/07/10(金) 21:07:45.23ID:pRFBEcwe
>>202
わはは
0204１３２人目の素数さん
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2020/07/17(金) 01:26:25.51ID:63/7pjmY
【急募】
複素ベクトル空間Vを実ベクトル空間とみなしたとき、エルミート内積の虚部を対応させる双線型形式V×V→Rが非退化であることの証明
0205１３２人目の素数さん
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2020/07/17(金) 14:44:23.05ID:bL69k409
(a1+ib1, a2+ib2, …), (c1+id1, c2+id2, …) → a1d1-b1c1+a2d2-b2c2+ … の事か？
ダメに決まってるやん
0211１３２人目の素数さん
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2020/11/30(月) 00:35:25.88ID:Jl3CpvQN
二次正方行列
A = [a,b]
　　[c,d]
を考える。

Aの固有値は2次方程式
　0 = (x-a)(x-d) - bc = x^2 - (a+d)x + (ad-bc),
の根だから、a+d, ad-bc により決まる。

一方、Aの固有ヴェクトルを (cosθ, sinθ) とすれば
　tanθ = {-(a-d) ± √[(a-d)^2+4bc]}/2b,　(b≠0)
　cos(2θ) = {bb - cc ± (a-d)√[(a-d)^2+4bc]}/{(a-d)^2 + (b+c)^2},
∴ 2つの固有ヴェクトルθが (a-d)：b：c の比により決まる。

逆に
　a+d = α,
　b/(a-d) = β,
　c/(a-d) = γ,
　ad - bc = δ,
のときは
　a-d = ±√{(αα-4δ)/(1+4βγ)},
だから
　a = {α + (a-d)}/2,
　b = β(a-d),
　c = γ(a-d),
　d = {α - (a-d)}/2,
と決まる。(a≠d のとき)
0212１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/30(月) 01:23:10.13ID:Jl3CpvQN
相似変換
　A ' = PAP^{-1}
により「固有」ヴェクトルは変更を受けるが、
a+d と ad-bc,　一般に det(xE-A) が保存するので固有値も保存する。

[分かスレ４６４．505,510,513]
0213１３２人目の素数さん
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2020/11/30(月) 14:33:40.01ID:Jl3CpvQN
固有値は
　λ = {α - √(αα-4δ)}/2,
　μ = {α + √(αα-4δ)}/2,
　λ+μ = α,　λ･μ = δ,

「固有」ヴェクトルは
　tanθ = {-1 ± √(1+4βγ)}/(2β),　　(β≠0)
　cos(2θ) = {ββ-γγ±√(1+4βγ)}/{1+(β+γ)^2},

[分かスレ４６４．522]
0214１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/01(火) 01:30:27.68ID:GQSfN/Ph
３次正方行列
　A = ( a_{i,j} )
については
　|xE - A| = x^3 - αx^2 + εx - δ,
　α ＝ tr(A) = a11 + a22 + a33,
　ε = a11･a22 + a22･a33 + a33･a11 - a12･a21 - a23･a32 - a31･a13,
　δ = det(A),
∴　3つの固有値は α, ε, δ の3つで決まる。

3本の「固有」ヴェクトルは、残りの6変数で決まる。
0215１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/06(日) 03:29:35.75ID:KT/cOuDT
二次正方行列
A = [a,b]
　　[c,d]
と
A' = [a',b']
　　[c',d']
が可換となるのは
固有ヴェクトルが一致するとき
　(a-d)：b：c = (a'-d')：b'：c'
0216１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/09(水) 20:40:10.54ID:nSTBriB8
A A' - A' A = [ bc' - b'c,　　(a-d)b' - (a'-d')b ]
　　　　　　　　 [ - (a-d)c' +(a'-d')c,　b'c - bc' ]

AA' - A'A = O　となる条件は
　(a-d)：b：c = (a'-d')：b'：c'
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