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現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む36 [無断転載禁止]©2ch.net

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0001現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/12(水) 08:21:00.89ID:R5adeg3y
現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む

前スレ現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む35
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/

小学レベルとバカプロ固定、High level people、サイコパス お断り！High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
旧スレが512KBオーバーで、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。） 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
0101１３２人目の素数さん
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2017/07/13(木) 17:11:01.88ID:ZWcpAN0g
>>100
まあ、作用素環がしたくて、そのために留学したのに、
作用素環で業績を上げず痴漢したような人が書いても、
その文章には説得力がないな。
0102￥ ◆2VB8wsVUoo
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2017/07/13(木) 17:19:29.87ID:WLr1owHn
芳雄の特徴：
１．論理性が全くない。
２．相手の顔色を窺って、話を適当に合わせるだけ。
３．言葉遊びをし、見せ掛けと口先だけ。
４．何とでも言い逃れる。
こういう不埒者に独創性がある『筈がない』。しかも「イエスマンが大好き」であり、
自分の優秀な大学院生に冷や飯を喰わせるも、後日には東北大学理学部教授に。その一
方でお気に入りだった院生は、気の毒な事に。

芳雄は低能であり、サッサと灰になるべき。葬式を行う権利もナシ。墓石は砕いて線路
のバラストにすべき。毎日列車の便所から芳雄の骨に糞尿が掛かるだろう。

￥
0103￥ ◆2VB8wsVUoo
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2017/07/13(木) 17:25:34.88ID:WLr1owHn
芳雄は剥製にして、京大理学部に晒すべき。大学教授にナル事だけが人生の目的であり、
その道具として学問を用いる不埒者は『死して恥を晒す』とし、京大理学部学生に対す
る警告とするべき。京大の卒業生としては絶対にあるまじきド低能の代表格だからだ。

￥
0104１３２人目の素数さん
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2017/07/13(木) 17:28:24.88ID:ZWcpAN0g
>>103
>こういう不埒者に独創性がある『筈がない』。
論理性論理性と説いておきながら、逆にそういうことを書いている
「自分(子供の\)」が「芳雄」さんの考え方に近付いているようですなw
0105￥ ◆2VB8wsVUoo
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2017/07/13(木) 17:32:09.68ID:WLr1owHn
そもそも芳雄は顔も悪く、その脳の悪さがソコには滲み出てる。ああいう偽善者の顔が
高貴な学問の純粋性を濁らせ、そして害毒を垂れ流す。なのでバーミヤンの大仏みたい
に削るか、或いはお面を接着剤で貼って、その醜さを覆ってしまうべき。

芳雄の醜い顔は、社会の迷惑である。

￥
0107１３２人目の素数さん
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2017/07/13(木) 19:27:36.92ID:2PebMGk5
>>81
>なに、”バカな話”に乗せられているんだ？？（＾＾

以下の話を読む限り、
最も頭が悪いのは>>1のようだ

>３人でカラオケ、
>一人はカラオケ名人全国大会優勝クラス、
>一人は少しうまい程度、
>一人はへた

なぜいきなりｎ人が３人になるのかがわからんな
>>1が原始人で、知ってる最大の数が３
とかいうなら分かるが・・・

しかし頭が悪いと思ったのは
↑のコメントではなく↓のコメント

>採点基準か何かしらないが、
>常識的には、順位は不動でしょう？
>”入れ替わり無し”だよ

なぜ一番上手い人が一番はじめに唄うのかね？
0108１３２人目の素数さん
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2017/07/13(木) 19:29:58.59ID:2PebMGk5
>>84
>問題文を読む限り、
>カラオケの上手下手があって、
>カラオケがウマい人から順番に歌って行き、
>最後はドベで終わるというような設定はない。

カラオケの上手下手はもちろんあるだろう
そうでなければバトルする意味がないからな

カラオケがウマい順に歌うなんていう
不自然な設定はないことも
「トップは平均何回入れ替わるでしょう？」
の問いから明らか
要するに順番は無作為ってこと

こんなこといわずもがなだがな
おっちゃんでもわかることが
>>１には全然分からんらしい
0109１３２人目の素数さん
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2017/07/13(木) 19:31:53.36ID:2PebMGk5
カラオケバトルの流れ

・１人目歌唱後　採点
　１人目　トップ

・２人目歌唱後　採点
　トップ交代　確率１／２　
　（２人目トップ）
　そのまま　　確率１／２　
　（１人目トップ）

・３人目歌唱後　採点
　トップ交代　確率１／３
　（３人目トップ）
　そのまま　　確率２／３
　（１人目もしくは２人目がトップ）

・４人目歌唱後　採点
　トップ交代　確率１／４
　（４人目トップ）
　そのまま　　確率３／４
　（１人目〜３人目のいずれかがトップ）

・・・

・ｎ人目歌唱後　採点
　トップ交代　確率１／ｎ
　（ｎ人目トップ）
　そのまま　　確率（ｎ−１）／ｎ
　（１人目〜ｎ−１人目のいずれかがトップ）
0112１３２人目の素数さん
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2017/07/13(木) 20:49:21.96ID:/XGDw6N1
チラシの裏でやってろよファザコン野郎
0114１３２人目の素数さん
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2017/07/13(木) 20:57:14.16ID:/XGDw6N1
>>107
＞>>1が原始人で
原始人に謝れ
0115現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/13(木) 21:10:06.23ID:+QwaMazU
>>110 補足
まあ、陸上の走り幅跳びとか、ハンマー投げとか
複数の試技を行う競技があるだろ

１回目の試技でトップだった人が
最終の優勝者とは限らない。そういうことだろうかと思ったが・・？

ところで、ｎ人というが
ｎ＝２なら、最初の一人の試技の段階でトップと呼ぶのかね？

常識的には、一人しか成績が出てなければ、
トップとは呼ばないよね、日本語としては

一人しか成績が出てなくても、トップとは呼ぶなら
それは定義の問題だわな〜。ｎ＝２でも、トップの入れ替わりありだとか云々とか

で、何が言いたかったんだ？
”「カラオケバトル」という素晴らしい番組を、いつも見ているんだ”ということを言いたいのかい？（＾＾
0116１３２人目の素数さん
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2017/07/13(木) 21:33:35.76ID:qUoU+3Yf
そろそろスレ主にもわかる話題を提供してやれよ
実力に見合う良い問題に触れさせることが成長の一歩だと思うぞ
0117現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/13(木) 21:36:18.52ID:+QwaMazU
>>87 補足

＜追加抜粋引用＞

貴方が近いと思う過去の数学者はいますか？
近いと言わないが、特に崇拝する人がいる。ガロアだ。彼の書く物には非常に際立った特徴がある。その定式化は驚くほど簡明だ。例えば、"n個の異なる根を持つ方程式を考える。その時、最初の命題、その根を置換する時、n!個の異なる根を持つ有理函数が存在する。そして、二番目の命題、根はこの函数の有理函数である"。
その定式化の当てにならない簡明さにもかかわらず、これらの命題を使ってガロアは遥か遠くに進むことに成功する。有理函数のn!個の異なる値である根の方程式を彼は書下ろし、それを既約因子に分離して、それらの一つを選び、元の方程式の根がこの因子の根にどのように依存するかを書き、群に気がつく。
そして、その方法に沿って為された選択全体に、この群が依存しないことを彼は示す...これを達成するために、ユニークな概念"この群により不変である時かつその時のみ、根の函数は有理的に決定される"によって抽象的に群を特徴づける。
とても簡明だ。私が素晴らしいと感じることは、抽象化のパワーを使う、この種の飛躍、事柄を概念化する際の非常に大きいステップだ。ガロアの直観力は対称性の考えにではなく、不確定の概念を基礎としている。
単純に皆は彼がある函数の不変群を研究したと言うかも知れない。しかし、ガロアの最初のステップはまったく逆だ。すなわち、全く不変でない函数を選ぶことで、彼は可能な限り対称性を壊す。
彼以前の数学者達―カルダノ、ラグランジュ―は根の対称函数を用いて研究した。アーベルの意思においてガロアは逆をする。彼は出来るだけ少ない対称性を持つ函数を選んでいる。

つづく
0118現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/13(木) 21:38:06.67ID:+QwaMazU
>>117 つづき

私の印象に残ることは、これらのアイデアの豊穣さだ。これらを掴むために私達が開発して来たいろいろな形式論は、それらのアイデアの力をまだ使い尽くしていない。ガロアのアイデアは明瞭さ、明るさ、今日まで手付かずのままで現在までの数学者達の共鳴を得る、刺激的で潜在的な考え方を持つ。
それらは、淡中圏またはリーマン-ヒルベルト対応のような偉大な概念を生成して来ている...これらのアイデアは大変美しいが、しばしば余りにも杓子定規に記述されているから束縛のように見え、ガロアがそれらを解き放った時点から自由になっていない印象を受ける。
ガロアのアイデアの他の化身は微分ガロア理論とモチーフ理論だ。モチーフ理論はガロア理論の高次元の類似と見なすことが出来る。
しかし、ガロアが考えていたことを彼が以下のように書いた時に、私達は現実に理解した。

長期間の私の主な熟考は、不確定の理論の超越的な分析への適用に注がれた。これは、どの交換がなされ得るのか、関係が発生しなくならないように与えられた量をどれくらい置換えるのか、その量または超越的作用の間の先験的関係においてだった。
探す能力のある多くの式が不可能だとすぐに分かった。しかし、私は時間が無く、この広大な分野でアイデアはまだ十分に発展していない。

インスピレーションのソースとして初期の私を助けた他の数学者達の例がある。

つづく
0119現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/13(木) 21:39:54.49ID:+QwaMazU
>>118 つづき

私のしていることに彼等が近いからではなく、彼等がしていることを私は崇拝する。最初に、計算方法が素晴らしいと思ったから、私はヤコビに魅了された。そして、フォン・ノイマン―彼の発見したものの深さと彼がそれを語る流儀...そして、もちろん富田。
私は富田の得体の知れない個性に魅了された。富田は、社会が非常に独創的な人に対して仕掛けがちな罠を避けることに成功して来ている人だ。
彼は2歳の時に耳が不自由になった。彼が研究を始めた時、彼の論文指導者は"この本を読んだら、返しにおいでなさい"と言って、分厚い本を彼に与えた。
彼は2年後にたまたま論文指導者に出会い、論文指導者は"本はどうなっているの？"と彼に尋ねた。それに対して"いやぁ、一週間後に失くしました"と富田は答えた...
しかし、もっとも新鮮でもっとも鮮明なソースはガロアだと思う。
非常に奇妙だが、私はガロアと簡明さと豊穣さのパワフルな混合を切り離したことがない。

つづく
0120現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/13(木) 21:40:53.23ID:+QwaMazU
>>119 つづき

作用素環と偶然の出来事：　どのように始まったのですか？
1970年に私はショケーに送られてレ・ズッシュ夏期講習会[物理学]に行った。その時、超準解析を研究していたが、しばらくして理論の落とし穴を見つけた...問題は超準数を持つとすぐに非可測集合を得ることだ。
ショケーのサークルでは、ポーランド学派をよく研究していたので、名前を挙げられるすべての集合が可測だと知っていた。だから、物理学をするために超準解析を使おうとすることは失敗だと完全に宣告されたように思われた。だが、それが1970年のレ・ズッシュへのパスポートとして私に都合がよかった。
そして、そこからバテル研究所のフェローとして雇われ、シアトルに招待された。私は殆ど米国を訪れるために了承した。つまり、プログラムを見もしなかった。そして、発生した偶然の出来事は、私の兄弟を訪ねるためにプリストンに止まり、プリストンの本屋でランダムに一冊の本を買ったことだ。
竹崎による富田理論についての、私を魅了した本に出会うまで私は多くの本の中でためらった。長時間の列車旅の予定を分かっていたので、その本を買った。米国中西部の平原を通り抜ける旅の間、私は本を凝視した。
読んだとは言えず、実に難し過ぎた。そして、もっとも異常な偶然の出来事は、私がシアトルに着いた時、初日に行きカンファレンスのプログラムを見て、富田理論についての竹崎の講義があった。
その日から、私は"まさにそれだ。他のどんな講義にも行かない。ただ竹崎のものだけ"と自分に言い聞かせた。

つづく
0121現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/13(木) 21:42:09.19ID:+QwaMazU
>>120 つづき

あまり科学的態度ではない...
そう。さらに、この時に私は日本のすべてのことに魅了された。私が全然知らない、全く違う何かに感受性のレベルにおいてもっと多かった...得られる教訓があるとするなら、これは私が当時夢中になっていたアイデアの範囲から私に手を引かせた。
そしてその時にちょうど、もう一つ別の偶然の出来事があって、私が帰国した時、幸運のもう一つの打撃があった。私は富田理論を少し、ほんの少し分かった。研究出来なかったが、帰国した時、作用素環を扱うパリのセミナーに行こうと自分に言い聞かせた。
だからディクシミエのセミナーに初めて行ったが、セミナーは組織だった会合だった。その年の主要テーマは、無限テンソル積に関する荒木-Woodsの研究だった。ディクシミエは出席者の中でちょっとランダムに論文を配っていた。一つだけ残された。
私は手を挙げた。帰りのRER[郊外列車]に乗りながら私は退屈した。渡された論文を少し見て、私は本当にびっくり仰天させられた。論文には、分からなければ私は完全なアホも同然だったに違いなく、富田理論における式と全く合致する式があった。これらの式は、あるベクトルが富田によって定義された作用素に対する固有ベクトルだと語っていた。
一時間後に私は家に着き、"ここに荒木-Woodsの不変式と富田理論がある"とディクシミエに手紙を書いた。富田作用素のスペクトルの交わりから前者の不変式が得られるので、私はその式を彼に送った。私はショケーに育てられたから、これ全体を半ページに書いた。
ディクシミエはすぐに"貴殿の書いていることは全く理解不能だから、詳細を求む"と返信した。それで私は3ページの詳細な返信を書いたが、それは難しくはなくて、私がSと呼んだ不変式を定義出来ると説明した。
ディクシミエは次のセミナー後のために私を予約した。私は彼に会いに行き、その時に彼が言ったことは"Foncez"だったが、それはフランス語で"頑張ってやってみろ！"の強い形だ。それが出発の時点だった。本当に信じられない幸運だった。実際に難しくはなかった。正確にはきちんと書かれていなかったけれども、式の中にあった。
私がパリに残り、サークルの外側へ移動しなかったら、狭い視野で研究を続け、全く異なる分野を開発しなかったであろうことは確かだ。

(引用終り)
0122１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/13(木) 21:49:05.82ID:2PebMGk5
>>114
＞原始人に謝れ

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0125現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/13(木) 22:30:43.70ID:+QwaMazU
>>117 補足

>単純に皆は彼がある函数の不変群を研究したと言うかも知れない。しかし、ガロアの最初のステップはまったく逆だ。すなわち、全く不変でない函数を選ぶことで、彼は可能な限り対称性を壊す。

この話は、過去スレの3 でもあったね。当時、231から次のスレまで議論は続いた気がする・・（＾＾
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/231
231 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/21(土) 15:15:43.09
アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で
ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。

Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser
de maniere maximale la symetrie entre les racines
d'une equation en choisissant une fonction
auxiliaire largement arbitraire de n variables.

236 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 17:55:20.77
>>231-233
乙です
いや、面白ね

で、231はPS版で、同じ内容のPDF版が下記にあるね
http://www.alainconnes.org/fr/downloads.php
Alain Connes -- Documents

? La Pensee d'Evariste Galois et le Formalisme moderne [PDF] 259 KB http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf [PS] 1.6 MB
(引用終り)
0127現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/13(木) 22:43:01.45ID:+QwaMazU
>>117 補足

>私が素晴らしいと感じることは、抽象化のパワーを使う、この種の飛躍、事柄を概念化する際の非常に大きいステップだ。ガロアの直観力は対称性の考えにではなく、不確定の概念を基礎としている。

ここ"不確定の概念を基礎としている"について、梅村 浩先生の下記を連想したね（＾＾
https://www.amazon.co.jp/dp/4768703933
ガロア/偉大なる曖昧さの理論 (双書・大数学者の数学) 単行本 ? 2011/11 梅村 浩 (著)

http://tetobourbaki.hatenablog.com/entry/2017/02/10/152127
記号の世界
20170210
【書評】梅村浩『ガロア　偉大なる曖昧さの理論』
今回は、ガロアについて書かれたこの本を紹介します。実は、微分ガロア理論まで紹介したすごい本なのです。
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/13(木) 23:49:38.26ID:/XGDw6N1
やはりバカを隠すにはコピペに限るな
0129現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 06:19:30.45ID:9Pw6pau2
>>125 追加

過去スレの3 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/251
251 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/04/21(土) 20:06:48.34
>>236

（再録）
http://www.alainconnes.org/fr/downloads.php
Alain Connes -- Documents

ここ、仏語が読めれば面白そうな文献が沢山あるね

・Symetries [PDF] 193 KB http://www.alainconnes.org/docs/symetries.pdf [PS] 6.6 MB
辺を読んでみたらどうだ？　仏語が得意なら

この中にGaloisがあるが、どう扱われているか分かるだろう
0130１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/14(金) 06:21:19.06ID:WlcB2qq8
　　　　　　　　　　　　　　,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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　　　　　　　　　　　/-─-,,,_: : : : : : : : :＼
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　　　　　　　　　L_,　,　　 、　＼: : : : : : : : :i　　 ／　コピペしたら
　　　　　　　　 /●) (●>　　　|: :__,=-、: /　＜　　　勝ちかなと思ってる
　　　　　　　　l ｲ　 '-　　　　　|:/　tbﾉﾉ　　　　＼
　　　　　　　　l ,`-=-'＼　　　　 `l ι';/　　　　　 ＼ 　ガロア（４２・男性）
　　　　　　　　ヽﾄｪ-ｪｪ-:）　　　 　-r'　　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　ヾ＝-'　　　　　／ /
　　　　　＿＿＿_ヽ::::...　　　／ ::::|
　　／￣　::::::::::::::l　`──''''　　 :::|
0133現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 07:18:48.73ID:9Pw6pau2
>>87 つづき

>アラン・コンヌ博士のインタビュー記事は他にも"IPMにおけるアラン・コンヌへのインタビュー"があります。そちらの方が博士の本音が出ているように思います。

これだね
https://srad.jp/~taro-nishino/journal/595709/
IPMにおけるアラン・コンヌへのインタビュー taro-nishino 20150907
(抜粋)
イランでのインタビューだったから、のびのびと発言出来たのかも知れません。
例えば、猫も杓子も弦理論を叫ぶ愚かな風潮への批判、グロタンディーク氏とその学派の振舞いが傲慢に見えたから距離を置いていたこと、ブルバキ内部の人達の人としての礼儀の無さ、ブルバキの積分論のひどさ(これはコンヌ博士のみならず、本当に読んだことのある人なら普通そう思うでしょう)等々、
ヨーロッパの数学者達の神経を逆撫ですることを語っています。

このインタビュー記事は当時海外において少なくとも私の周辺で話題になりました。周辺以外でも、例えばPeter Woit博士の有名なブログNot Even Wrongにおいて"Interview With Alain Connes" http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=313 と題して言及されました。

G. B. Khosrovshahi(以下、GBK)
私達の最初の質問は、21世紀において何が数学の主なトレンドになると貴方は考えているかです。
アラン・コンヌ(以下、C)
ええと幸いにも数学の発展は人が予測出来るものではないし、予測しようとするのは馬鹿げているだろう。私達が数学をすることを好む一つの理由は、未来の研究が解明するだろうものが目の前にあることを知らないからだ。
しかし、私達がより良く理解しなければならない、不思議な構造の実例を説明することは可能だ。数学における"21世紀の課題"についてのトークをしないかと私は最近頼まれたが、長大なリストを与えることよりも、紹介するのは簡単だが、その幾何学がまだ不可思議な、たった2つの実例に私は焦点を絞った。
一つ目は4次元時空、二つ目は素数の空間だ。私は4つのトークで、それらの幾何学の非常に小さな断片を説明したが、明らかに私達はもっとよく知りたい！

GBK
貴方の数学的研究でコンピュータを使うだろうと思いますか？
C
ええと、あのう私は最近コンピュータを大量に使って来ている。
（この後、面白い話が続くが、省略）
0134現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 07:24:46.14ID:9Pw6pau2
>>87 つづき

https://srad.jp/~taro-nishino/journal/590213/
taro-nishinoの日記： アラン・コンヌへのインタビュー　第二部 2015年02月23日
(抜粋)
アラン・コンヌ博士と言えば、著書Noncommutative Geometry[非可換幾何学]、Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives[非可換幾何学、量子場理論、モチーフ理論](Matilde Marcolli博士との共著)が有名です。
これから読みたいと思っている人もいるでしょう。私もある人から前提知識は何なのか聞かれたことがあります。はっきり言えば、こんな質問する人には無理だと言ってもいいかと思います。
今回紹介するインタビューの中でもコンヌ博士が言っていますが、数学のどの分野を専攻するにしても最低限の共通バックグラウンド(微分幾何学、代数幾何学、代数構造、実解析、複素解析)がほぼ仮定されています。
つまり、大学4年間と大学院修士課程で学習するであろう科目すべてを含んでいます。さらに、両著とも物理学の或る程度の素養も仮定されています。それは非可換空間で標準模型を扱っているのだから当たり前です。
例えばラグラジアンが何たるかを全く知らない人が両著のいくばくかの物理の解説を読んでも理解出来るとは私には思えません。
それからもう一つ重要なことがあります。インタビューの第一部でも言及されていましたが、コンヌ博士は計算大好き人間です。従って、極端なことを言えば、くりこみの摂動計算を手でやったことがない人は皮相的な理解で終わる可能性があります。
21世紀の数学は、ユーリ・マニン博士も言っていますが、"量子化"と言うテーマの時代と言っていいのではないでしょうか。つまり、20世紀のように抽象論を振りかざすだけで何とかやっていた時代は終わったということでしょう。
いずれにせよ、インタビューの第二部の私訳を以下に載せておきます。なお、このインタビュー記事は EMS Newsletter March 2008 (PDF)
http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2008-03-67.pdf
の中に収録されているので、原文に関心がある人は該当ページを探してください。
(引用終り)
0135現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 08:11:43.62ID:9Pw6pau2
話は、戻るが
過去スレ 33 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1495860664/133 辺りで
『プリンストン数学大全』の話が出たが
あれのＰ1120 VIII.6 「若き数学者への助言」というのがあってね（＾＾
数学科の人は、是非読んでおくべきだろう

マイケル・アチャ、アラン・コンヌ、ピーター・サルナック 他＋２名が書いている

マイケル・アチャの話が、特に面白かったね（＾＾
(抜粋)
「私と同世代ではおそらく抜きん出た数学者であるジャン＝ピエール・セールは、自分もある段階で数学を断念することを考えたと私に語った。
　二流の者だけが自分の能力をこの上なく過信する。能力があればあるほど自分の基準を高く設定するものだ。つまりは現状より上を見ることができる。」
「物理学に転向した数学者（たとえば、フリーマン・ダイソン）もいれば、別の道に移った数学者（例えば、ハリッシュ＝チャンドラやラウル・ボット）もいる。数学を閉鎖的な世界と考えてはいけない。数学と他の学問分野との相互作用は、個人と社会双方にとって健全なものである。」
「数学研究とは証明を提示していくころだと考えるのは間違っている。実際、数学研究の真に創造的な部分はすべて証明段階より重要だと言える。
　”段階”というメタファーを使うならば、あなたはアイデアを持つことから始め、筋書きを広げ、問答を書き、芝居がかった説明を用意しなければならない。実際にできあがったものが、アイデアを実行に移した”証明”と考えられる」
「数学ではアイデアと概念が最初にあって、次に疑問や問題が来る。この段階で解答を求める研究が始められ、解法や戦略を探すのだ。」
(引用終り)
0136現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 08:17:27.22ID:9Pw6pau2
>>105
￥さん、どうも。スレ主です。
￥さんが、青春期から大学、院、研究者の各段階で、大変つらい思いと体験をされたということは、理解というか想像できます・・
0137￥氏 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2017/07/14(金) 08:51:48.86ID:ZICaIrqM
いや辛かったのは茨木芳雄塾という強制収容所の時代と、そしてまあ筑波時代ですかね。
云わば「アレもダメ、コレもダメ、ソレもダメ」みたいな、所謂「飼い犬状態」でした。

でも大学院時代は『愛情を以て論理で砕く荒木先生』からとても大切にして頂きました
ので、併せて佐藤師であるとか柏原さんとか、そういう超人数学者と同じ釜の飯を喰う
機会を与えられ、とても感謝しています。荒木先生は正に『私の救いの親』ですね。
素朴な考え方を大切にして、そして『自分を絶対に騙さない恭司さん』からも多くを学
びました。恭司さんも正に「数学者の鑑」だと思いますね。こんな幸せな大学院時代な
んて、そうはないと思います。

そしてConnesとの出会いは猛烈に重要な大事件であり、最初に会ったカナダの国際会議
での折には、その帰りに立ち寄ったUCLA（当時は竹崎教授が居られた）でショックから
発熱し、その後はConnes教の信者として猛進する機会になりました。その翌年には英国
で修論の結果を発表した際に、有り難くもConnes師御本人に『ズタボロに砕いて貰った
という貴重な体験』をさせて戴きました。この時以来、彼は私の学問上の保護者となり、
現在の私があるのは正に『Connes師のお陰』以外の何物でもありません。Connesさんか
らはかなり頻繁にIHESでの貴重な時間を与えて戴き、あの『天国のような時間』こそが
数学の糧となりました。IHESでの研究環境は、正に心の拠り所そのものですわ。

彼は私に取っては友人であり兄であり、そして親の様な、そして最後が指導教官とでも
言うんでしょうか、私に取っては最も尊敬するべき師なのです。

￥
0138１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/14(金) 09:11:39.21ID:WlcB2qq8
>>132
>バカ同士で会話しても面白くないだろ？（＾＾

バカが数学板にいても面白くないだろ（＾＾
0139偉大なる哀れな素人
垢版 |
2017/07/14(金) 09:48:05.43ID:/RvkM8C5
話の流れとは何の関係もない投稿

僕は新たに「すべてのパラドックスは詐欺である」
という論文を書いた。たった３ページの論文である（笑
僕の本の改訂版に載せるつもりなので、
興味があれば買って読むように（笑

「私は嘘つきである」
「この文は偽である」
「次の文は真である」「前の文は偽である」
床屋のパラドックス
ラッセルのパラドックス

これらのパラドックスを槍玉に挙げた。
とくにラッセルのパラドックスは重要なので
僕の論文を無視してはいけない（笑
0140偉大なる哀れな素人
垢版 |
2017/07/14(金) 09:53:14.60ID:/RvkM8C5
宣伝その２

「解析学の大錯誤」で批判したのは次の項目

デデキントの切断
ワイエルシュトラスの定理
有界な単調数列の収束
区間縮小法
コーシーの収束判定法
コーシー列による実数の構成
ε−δ論法
カントールの対角線論法

これも改訂版に載せるので必読（笑
解析学の基本公理を覆す革命的論文である（笑
0142現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 10:26:45.25ID:8xDmC3Sj
>>139
偉大なる哀れな素人さん、どうもスレ主です。
ラッセルのパラドックスね

昔、高校時代にゲーデルの不完全性定理の通俗解説書を読んだ記憶がある。確か、その中にも出てきたと思う（＾＾
面白かったね。対角線論法が出てくるんだったね、確か・・（＾＾

まあ、お好きにこのスレを使ってください（＾＾
0143現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 10:32:37.37ID:8xDmC3Sj
>>138
>>バカ同士で会話しても面白くないだろ？（＾＾
>バカが数学板にいても面白くないだろ（＾＾

仮定
１）2CHにハマっている者はバカである
２）数学板はバカ板である

結論
仮定が成り立つとすれば、２CH 数学板にいるものは、ほとんどバカである
自分が例外と思い込んでいる者もバカである（＾＾
QED（＾＾
0144現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 10:53:42.50ID:8xDmC3Sj
>>137
￥さん、どうもスレ主です。

>そして『自分を絶対に騙さない恭司さん』からも多くを学
>びました。恭司さんも正に「数学者の鑑」だと思いますね。

斎藤恭司先生ですね
過去スレ 35 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/641 の
数学セミナー 2017年7月号 プロの研究者はどうやって研究を行っているか……吉永正彦の
吉永正彦先生の指導教官ですね。前にも出たし、吉永正彦記事にも記載がある（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BD%8B%E8%97%A4%E6%81%AD%E5%8F%B8
齋藤恭司
齋藤 恭司（さいとう きょうじ、1944年 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。専門は複素解析幾何学、複素解析学、周期積分など。
東京出身。東京大学理学部数学科卒（1967年）。ゲッティンゲン大学博士課程修了（1971年）。東京大学、京都大学数理解析研究所教授を経て、数物連携宇宙研究機構主任研究員。
京都大学数理解析研究所元所長。1990年のICMに招待講演者として招聘された。
・原始保型形式の理論の創始
・特異点の変形のモジュライ上の周期写像によって平坦構造を発見した。
・量子コホモロジー環と非常によく似ていて、それらを統一的に扱うフロベニウス多様体は現在の数理物理学（特にミラー対称性）において重要な役割を果たしている（とされる）。さらには消滅サイクル束のホッジ理論まで考えている。
・孤立特異点の複素解析学（井上学術賞）
・特異点のルート系やルート系の表現論
・独自の可積分系を構築しようとしている
・還暦越えてなお研究が盛ん

外部リンク
斎藤恭司 | IPMU-数物連携宇宙研究機構 http://www.ipmu.jp/ja/node/180
0145現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 11:02:07.00ID:8xDmC3Sj
>>144 参考補足

http://www.ipmu.jp/ja/node/180
斎藤恭司 | IPMU-数物連携宇宙研究機構
(抜粋)
単位円周の長さは 2πという最も古い数学の対象です。よく知られるように単位円Cは二次方程式 x2+y2=1 で与えられ、複素数 z=x+iy ∫○dz/z＝2√(-1)πを使えば となります。
このような積分を周期積分、その値を周期と呼びます。理由は不定積分 ∫dz/z の逆関数が2√(-1)π を周期とする指数関数だからです。
また、この周期積分はA1型のリー環により記述できます。次に円周Cのかわりに定義方程式が三、四次の曲線上の複素積分を考えると、2つの基本周期をもつ楕円積分が現れ、その不定積分の逆関数が楕円関数となります。
これらの周期積分は位数2のリー環A2、B2、G2で記述されます。このように周期積分を通して深い数学構造が次々に現れるのは面白いことです。

私はこれらの周期積分を高次元化する積分形式としての原始形式を圏論的に構成するために、無限ルート系と無限次元リー環を研究しています。
その研究過程で生まれた平坦構造（フロベニウス構造）と平坦座標という概念は、不思議なことに物理におけるストリング理論のミラー対称構造を記述する言語のひとつにもなっています。
原始積分による周期写像の逆写像の平坦座標成分である原始保型形式の決定は、今後の重要課題です。
(引用終わり)
0146現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 11:05:44.00ID:8xDmC3Sj
>>145 補足

複素数 z=x+iy ∫○dz/z＝2√(-1)πを使えば となります。（原文まま）
　↓
複素数 z=x+iyを使えば ∫○dz/z＝2√(-1)π となります。
だろうね（＾＾

まあ、重箱の隅だが（＾＾
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/14(金) 11:36:16.50ID:XfNSXTtx
おっちゃんです。
まあ、他人の噂をするときは誹謗中傷などに気を付けることだ。
変なことを書くと、書き込む寸前に名誉棄損、書き込む内容に責任が云々
とかなるようなことがしばしばあるような気がする。
0149現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 11:43:13.99ID:8xDmC3Sj
>>145
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>単位円周の長さは 2πという最も古い数学の対象です。
>複素数 z=x+iyを使えば ∫○dz/z＝2√(-1)π となります。
>理由は不定積分 ∫dz/z の逆関数が2√(-1)π を周期とする指数関数だからです。

おっちゃん、ここ分かるか？（＾＾
”複素数 z=x+iyを使えば ∫○dz/z＝2√(-1)π となります”は、ふつうは留数定理から出すんじゃないかな？
”不定積分 ∫dz/z の逆関数・・だから”という理由付け、分かりますか？（＾＾
0152現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 11:58:45.67ID:8xDmC3Sj
>>142 訂正

>対角線論法が出てくるんだったね、確か・・（＾＾

正確には、「否定の自己言及」だね（＾＾
https://blogs.yahoo.co.jp/midnightsunsagain/33694257.html
実は不完全なゲーデルの不完全性定理 2015/8/29 mid***** yahoo ブログ
(抜粋)
この背景（本質）には「否定の自己言及」という、文章・論理的構造と意味・解釈の間の不整合が横たわっている。
通常「自己言及」とだけ呼ばれているが、当ブログではより問題の本質を捉えるため、フィードバックに（発散する）ポジティブと（収束する）ネガティブがあるように、
自己言及にも矛盾を引き起こすものと引き起こさないものがあることを指摘し、区別する。「矛盾の自己言及」と言ってもよい。

一般にパラドクスと呼ばれるものには色々とからくりがあるが、この「否定の自己言及」によるものは数多く存在する。

結局、不完全性定理は、全命題の外側に消え去る。

ここで一つ問題を提起したい。

「ゲーデルの形式的体系において、自己言及を除く命題（すなわち、1変数類記号のマトリクスにおいて対角成分以外の文。不動点以外）の中に、AとnotAのいずれも証明できない文Aが存在するか」

対角線論法の使用禁止！

もしこれが証明されれば、本当に完全な不完全性定理となり、数学は衝撃を受けるだろう。
(引用終わり)
0153現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 12:01:56.78ID:8xDmC3Sj
>>152 補足

下記は、ずいぶん以前にも紹介したが（＾＾
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
自己言及の論理と計算 長谷川真人
京都大学数理解析研究所 数学入門公開講座（2002 年 8 月 5〜8 日）の予稿を改訂（2006 年 5 月 ／ 2007 年 8 月／ 2011 年 6 月）


(抜粋)
目次
I 自己言及と対角線論法
0154偉大なる哀れな素人
垢版 |
2017/07/14(金) 12:33:07.60ID:/RvkM8C5
>>152-153
ゲーデルの不完全性定理の証明に
対角線論法が使われていると市川氏の投稿で知ったが、
どこに使われているのか分らなかった（笑
とにかく対角線論法は間違いだから、
ゲーデルの不完全性定理が、その対角線論法による証明
の上に成立しているのだとしたら、不完全性定理は間違いである。

それからラッセルのパラドックスは、
数学者が思っているようなパラドックスではない。
簡単に言えば、あれは言葉の詐欺である。
0155偉大なる哀れな素人
垢版 |
2017/07/14(金) 12:41:41.96ID:/RvkM8C5
僕が読んだ本にはこう書いてあった。

自分自身を元として含まない集合を正規集合、
自分自身を元として含む集合を非正規集合と名付ける。
すべての正規集合の集合をＮとすると、Ｎは正規集合か非正規集合か。

これがラッセルのパラドックスである。
しかしこれをよく読むと二つの詐欺が隠されている。
どこが詐欺か知りたければ僕の本を読むこと（笑
0156１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/14(金) 13:02:46.76ID:WlcB2qq8
>>149
馬鹿は日本語が読めない

>理由は・・・
の直前の文章は
「このような積分を周期積分、その値を周期と呼びます。」

つまり、
「積分∫○dz/zを周期積分、その値を周期と呼ぶ理由は」
であって、それを受けて
「不定積分 ∫dz/z の逆関数が2√(-1)π を周期とする指数関数だからです。」
と答えている

周期積分、周期の由来は周期関数から
この程度の日本語が読めない人が数学書を理解できないのは当然
小学生に大学生の教科書が読めるわけがない
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/14(金) 15:55:07.34ID:WlcB2qq8
>>152
＞「ゲーデルの形式的体系において、
＞　自己言及を除く命題の中に、
＞　AとnotAのいずれも証明できない文A
＞　が存在するか」

存在する(Paris Harrington Theorem)

www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
「集合論における選択公理のような具体的な独立命題が
　ペアノの算術公理系にもあるか否かは，
　１９７７年にパリスとハーリントンが
　ラムゼイの定理の一種がそれになることを示すまで
　大問題であった」
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/14(金) 17:54:12.44ID:XfNSXTtx
>>149-150
>”複素数 z=x+iyを使えば ∫○dz/z＝2√(-1)π となります”は、ふつうは留数定理から出すんじゃないかな？
積分路変形の原理(コーシーの積分定理から従う)とかからでも求まる。求め方はご自由に。

>”不定積分 ∫dz/z の逆関数・・だから”という理由付け、分かりますか？（＾＾
不定積分 ∫dz/z は ＝logz＋c cは複素数の定数 と表わせて、
その逆関数は Ce^z Cも複素数の定数 になって、
複素変数 z, w について e^z＝e^w なることと zが z＝w＋2nπi n∈Z の形に表せること
とが同値となるので、先の逆関数 Ce^z は 2√(-1)π＝2πi を周期とする指数関数になる。

じゃ、おっちゃん寝る。
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/14(金) 20:49:03.39ID:rWHNuuTq
＞昔、高校時代にゲーデルの不完全性定理の通俗解説書を読んだ記憶がある。
何をかっこつけてんのかお前は
お前の全勉強が通俗解説書だろうが
只の一冊も専門書を読んでないアホ主
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/14(金) 20:56:49.44ID:rWHNuuTq
その証拠にお前は大学生が一番最初に勉強する数列をまったく理解していない
数列の連結？アホかよｗ
0162現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/14(金) 22:07:26.42ID:9Pw6pau2
>>156 >>158-159
ID:WlcB2qq8さん、おっちゃん、どうも、スレ主です。レスありがとう
ID:WlcB2qq8さん、なかなか力あるね。確かに、その通りだね

聞きたかったのは、「周期積分」という用語が、あまり一般的でないから、おっちゃんが以前スレ20で「周期」について、教えてくれたので質問したんだが（＾＾
いや、>>145の斎藤恭司先生の一般向け自己紹介が、「周期積分」という耳慣れない用語から入っているので、「おや？」と思ったんだ
斎藤恭司先生は、￥さんいうように、けれんみなしの直球勝負という方かな>>137

過去スレ20 より抜粋
おっちゃん http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/368 2016/07/02
超越性の判断を目的に、ザギエとコンツェビッチが提案した周期環の概念がある。
有理関数か無理関数の積分によって表せるかどうかが周期環の点かどうかの基準になる。

￥さん http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/395 2016/07/02
三角関数の周期とかがπですやろ。そやしソレは「普通の考え方」ですわ。
ほんでソレが楕円函数やったら二重周期函数ですやろ。そやし昔の数学者
が嬉々としてそういう事を調べたんは、まあ自然な事ですわ。
￥
注意：三角関数は円積分の逆関数として見る。

スレ主 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/401 2016/07/02
積分の逆関数という話は、高木の本に書いてましたね

スレ主 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/488 2016/07/03
まず、関連のご紹介
http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/documents/0808saito-period.pdf
周期：積分で表わされる数について 齋藤政彦 神戸大学 2008
(抜粋)
今回の講演では, 周期という特別の複素数のクラスを扱いたいと思います．主に
M. コンツェビッチとD. ザギエの論説 と最近の神戸大の吉永正彦のプレプリン
ト[4] を参照しつつ, 数に関する新しい感覚と数学の広がりをお伝えできればと思い

￥さん http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/505 2016/07/03
その「吉永さんの結果」って凄く面白いですね。政彦氏の文章で初めて知
りましたわ。流石に恭司さんの弟子っぽい仕事で、いい感じの数学ですね。
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/14(金) 22:18:56.21ID:T/oWXeUA
ここは焼かんのねｗ
0165現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/15(土) 06:11:42.41ID:uQKi2Au+
>>157
ID:WlcB2qq8さん、どうも、スレ主です。レスありがとう
ID:WlcB2qq8さん、なかなか力あるね。

調べてみると、過去スレ6で、不完全性定理が登場しているね。過去スレ 8で下記のような話を紹介している。あと、なんどか登場しているね
”パリスとハーリントン”の話は、このスレで話題にしたことは無かったが、wikipediaにあったね（下記）。
どこかで似たようなことを読んだ気がしたが、思い出せなかった・・（＾＾

過去スレ 8 http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/26 2013/03/31(日) (抜粋)
1930年9月7日にケーニヒスベルクで開催されていた「厳密科学における認識論」についての第2回会議においてクルト・ゲーデルが第一不完全性定理を発表すると、発表の後にノイマンはゲーデルと個人的に会話を行い、定理の内容を直ちに理解した。
その会議の後、ゲーデルは第二不完全性定理を得て論文にまとめ、論文は11月17日に受理された。いっぽう、ノイマンは独力で第二不完全性定理を導き、その結果を11月20日付けの手紙でゲーデルに知らせた。

過去スレ 8 http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/99 2013/04/06(土) (抜粋)
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%C9%D4%B4%B0%C1%B4%C0%AD%C4%EA%CD%FD
ゲーデルの不完全性定理（Godel's Theorem）
簡単に言えば、「完全で無矛盾な公理系は存在しない」ということを証明した*1。
数学基礎論の分野で提出された定理だが、その影響は数学はもとより、論理学や哲学やその他の人間の知（理性）の全分野にも及ぶものであり、フォン・ノイマンをして「（その業績は）不滅以上のものである」と言わしめた。
(引用終り)

つづく
0166現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/15(土) 06:12:22.35ID:uQKi2Au+
>>165 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの不完全性定理
(抜粋)
決定不能命題の例
本節では一つ目の意味で「決定不能」と書く。
決定不能ということが意味するのは、あくまで使用されている特定の形式的体系の下ではその命題の真偽をいずれも証明できないということにすぎない。
真理値を決して知ることができないか、または真理値の定義自体が無効となるような、いわゆる「絶対的決定不能」命題が存在するのかどうかは数理哲学における論争の的となっている。

連続体仮説はZFC（集合論における標準的な公理系）の下では証明も否定の証明もできない。また、選択公理もZF（ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの）では証明も否定の証明もできない。
1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。

マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題によって決定不能な命題の例が得られる。そのような例はディオファントス方程式の外側に存在量化子を幾つか並べた形として得られる。すなわち不完全性定理の前提条件を満たす形式的体系において、解の存在が証明も反証もできないようなディオファントス方程式が存在する。
1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題（英語版）が標準的な集合論では決定不能であることが示された。

つづく
0167現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/15(土) 06:13:17.83ID:uQKi2Au+
>>166 つづき

1977年、パリスとハーリントンは、ラムゼーの定理の一種であるパリス・ハーリントンの定理（英語版）が、一階算術の公理体系であるペアノ算術の下では決定不能だが、より大きな二階算術の体系では真であることを証明できることを証明した。
カービーとパリスは後にグッドスタインの定理（自然数の数列に関する命題であり、パリス・ハーリントンの原理よりもいくらか易しい）がペアノ算術では決定不能であることを示した。
計算機科学で応用される Kruskal の木定理（英語版）はペアノ算術では決定不能だが集合論では証明できる。実際、Kruskalの木定理（またはその有限版）は、可述主義（英語版）[4]と呼ばれる数学的哲学に基づいて構築されたもっと強い体系の下でも決定不能である。
これに関連し、更に一般的な graph minors 定理（英語版）（2003年）は計算複雑性理論に影響する。
グレゴリー・チャイティンはアルゴリズム情報理論における決定不能命題を発見し、その状況下で新たな不完全性定理を得た。
チャイティンの定理によると、十分な算術を表現可能ないかなる理論においても、どのような数であっても c よりも大きなコルモゴロフ複雑性を有することがその理論上では証明できないような、上限 c が存在する。
ゲーデルの定理が嘘つきのパラドックスと関係しているのに対し、チャイティンの結果はベリーのパラドックスに関係している。

つづく
0168現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/15(土) 06:14:02.33ID:uQKi2Au+
>> つづき

不完全性定理の成立しない体系
不完全性定理は「『自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾（ω無矛盾）であれば』〜」という形の定理である。したがって、自然数論を含まない公理系や、帰納的公理化可能でない理論が完全であっても、不完全性定理とは矛盾しない。
真の算術やペアノ算術の無矛盾完全拡大などは無矛盾かつ完全であるが、帰納的公理化可能でない。とくに真の算術は算術的に定義不能である。この結果はタルスキの真理定義不可能性として知られる。
プレスバーガー算術は帰納的公理化可能、無矛盾かつ完全である。プレスバーガー算術は加法しか含まない公理系であり、ゲーデル数によるコード化のテクニックを扱えない。そのため、不完全性定理は適用できない。
また、実閉体の理論やユークリッド幾何学も完全であり、（直観に反して）算術を含まないため、不完全性定理は適用できない。したがって実閉体の理論は決定可能である。もっと精密にいうと実閉体の理論では量化記号消去が可能である。この事実は数式処理系の実装などに応用されている。
なお、群や環の公理などは、「自然数論を含まない帰納的公理化可能かつ無矛盾な公理系」であり、不完全性定理は適用できないが、不完全である。例えば、可換群と非可換群がともに存在することから、健全性定理より、群の公理からは積の可換性は証明も反証もできない。
(引用終り)

以上です
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 08:13:25.49ID:OkksdbBE
>>162
コンセヴィッチとザギエの周期の話なら、もともとは
1/zの積分(ln)の逆関数(exp)の周期性に基づくが
一般化によって、本来の意味はどっかにいってしまった
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 08:19:14.78ID:OkksdbBE
>>168
ユークリッド幾何学から平行線公準を除いた理論は不完全

なぜなら平行線公準は上記の理論における決定不能命題だから

ユークリッド幾何学も非ユークリッド幾何学も無矛盾
というのはそういうこと
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 08:23:39.70ID:OkksdbBE
「実閉体の理論は算術を含まない」というのは
実閉体の理論の中で自然数を定義できない
ということ

ついでにいうと、実閉体の定義は、カントールやデデキントの実数体の定義と異なる
リンクと引用は、コピペマニアにお任せしよう
0172１３２人目の素数さん
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2017/07/15(土) 08:31:13.11ID:OkksdbBE
＞昔、高校時代にゲーデルの不完全性定理の通俗解説書を読んだ記憶がある。

吉永 良正のブルーバックスの本は酷い出来なので
これを読んだなら御愁傷様といわざるを得ない
0173１３２人目の素数さん
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2017/07/15(土) 08:42:20.09ID:OkksdbBE
＞何をかっこつけてんのかお前は

今時は
「中学校で”√２の無理数性”の背理法による証明を習った」
といっても「何をかっこつけてんのか」とは言われないだろうなぁ・・・
0174現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/15(土) 10:32:25.47ID:uQKi2Au+
>>169-173
ID:OkksdbBEさん、どうも。スレ主です。
貴方は、なかなか力あるね〜

このスレで、数学的な内容のカキコをする人は、ごく小数でね（＾＾
常連では、おっちゃんと￥さんくらいでね

その他の人は、からっきしダメ（＾＾
まあ、実力が無いんだろうね（実力を見透かされないようにしているんだろうね）（＾＾

そもそも、自分の主張に理由が無い発言が多い
多分￥さんから言わせると、「フランスでは考えられない！」だろうと。数学板なのに、自分の主張に（数学の）理由が無いとね〜（＾＾

理系としては、「自分の主張を論理的に説明できない日本人ってね〜。まあ、文系だろう」と、出来るだけスルーだ（＾＾
そういう意味で、こういうことをすらすら書ける貴方の数学の実力は凄いね〜（＾＾

つづく
0175現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/15(土) 10:35:50.23ID:uQKi2Au+
>>174 つづき

で、細かいが
>>169
>コンセヴィッチとザギエの周期の話なら、もともとは

これは、齋藤恭司先生としては、コンセヴィッチとザギエの周期と同じ意味だろうね
記憶では、コンセヴィッチとザギエの周期論文を吉永先生に紹介したのが齋藤恭司先生だと（院生時代）、吉永先生がどこかに書いていたと思った
あと、下記、齋藤恭司先生 2011 年度幾何学賞授賞業績説明
http://mathsoc.jp/publication/tushin/1603/2011KikagakuPrize.pdf
(抜粋)
授賞題目： 周期積分の理論の現代化の実現
彼の原動力は一貫して，18~19 世紀のオイラー，アーベル，ヤコビらによる
楕円積分・周期積分の理論を現代によみがえらせようという壮大な構想で，その実現のため
・・・などの理論を次々に建設しました．これは後にKontsevich などによる非可換ホッジ構
造や，Dubrobvin などによる量子コホモロジー等の研究に用いられているフロベニウス多様
体を先取りしたものであり
(引用終り)

>>170 その通り

>>171 実閉体の定義は良く知らないんだが、検索すると、過去スレで下記があったね （実閉体の定義は後で確認しておく（＾＾）
過去スレ 21 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/343 2016/07/31
http://fuchino.ddo.jp/misc/susemi2012-01x.pdf
想定外の数学− 不完全性定理以降の数学(続)
神戸大学大学院・システム情報学研究科渕野昌(Sakae Fuchino)

つづく
0176現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/15(土) 10:37:01.47ID:uQKi2Au+
>>175 つづき

(抜粋)（当時は引用していなかったが）
P8 無矛盾で完全であることが有限の立場から証明できる体系のうち，重要なもの
の1 つに，実閉体の理論をあげることができる．この理論の無矛盾性と完全性の重
要性の理由の1 つは，うまく定式化すると，初等的な幾何学の理論が，この理論と
双方向に解釈できるようになるからである| たとえばタルスキーの[7] を参照さ
れたい．したがって，このタルスキーの定式化したような初等幾何は，無矛盾で完
全でしたがって決定可能ですらある．
(16)もっとも，後に[6] でヒルベルトとベルナイスは，[6] で，代数閉体の理論の無矛盾性，完全性
の完全に有限な立場からの証明を与えている．
(引用終り)

>>172 "吉永 良正のブルーバックスの本は酷い出来なので"は、違うね。ハードカバーの本だった

>>173 "「中学校で”√２の無理数性”の背理法による証明を習った」"は、あったような気がする。
　中学の数学教師が、中三で3x3マトリックスとクラメールの公式を教えてくれたよ。もちろん、授業外だが。合同式（≡）もあったような（＾＾

以上
0177現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/15(土) 11:04:57.34ID:uQKi2Au+
>>175 補足
>実閉体の定義

まあ、下記でも
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1764-01.pdf
実閉体の生い立ち 名古屋大学多元数理科学研究科 塩田昌弘 数理解析研究所講究録 第1764 巻2011 年
(抜粋)
1. 序文
実閉体の概念はEArtin が1927 年にHilbert の第17 問題を解くために導入した
ものである。その後1980 年代から実閉体上で代数幾何を考えるという、実代数幾何
学が盛んに研究されるようになった。

Artin による第1 7 問題の証明は日本語では[2] に書かれていて、読むのに代数の基
本的知識をいくつか必要とするだけである。

実代数幾何学では、その証明を少し代えたものが、代表的な基本的なーつの証明方法になっている。ここではその証明
を紹介する。

その証明方法を日本語で、しかも実代数幾何学の言葉をできるだけ使わずに紹介するのは意味のあることだと思う。それで、
この論文を書くことにした。
一言でその証明方法を語れば、ある体でconstructive に記述された問題で、解けるか
どうか分からないとき、問題の形をそのままにして、体のみを変換することである。例
として$R$ を体として、問題∃ x∈ R, x^2=2 を考える．この問題はR=R~ では解けて、
R=Q では解けない。これでは困るが、体が実閉体ならうまくいく。もしR で解ける
かどうか分からない問題のとき、解けるようにR を大きな体R_に置き換える。次に説
明するArtin-Lang の定理によればR もR_も実閉体なら、もしR_で解ければR で必ず
解ける。これが説明したい証明方法である。

2. 定義と例とその基本的な性質

[2] 永田雅宜、可換体論、裳華房、1967.
(引用終り)

余談だが、永田雅宜先生の本は、難解で有名とか。読んだことはないが（＾＾

つづく
0178現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/15(土) 11:07:17.87ID:uQKi2Au+
>>177 つづき
ついでに
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E3%81%AB%E5%AE%9F%E3%81%AA%E4%BD%93
形式的に実な体
抽象代数学において体が形式的に実（けいしきてきにじつ、英: formally real）、または形式的実体（けいしきてきじつたい、英: formally real field）とは、?1 の平方根を持たず（さらに ?1 が平方元の和として表すことができない）、また平方元の和が零に等しいという関係式は自明な（つまり、その和に現れる全ての平方元がそれぞれ零に等しい、
例えば x2 + y2 = 0 ⇒ x = y = 0）場合に限られるなどの、実数体とも共通する性質を満たすことを言う。形式的実体を単に実体（じつたい[1]、英: real field[2]）と呼ぶこともある[注 1]。
与えられた体が形式的に実であることは、その体を（必ずしも一意的ではない方法によって）順序体にすることができるということを特徴づける性質である。

4 実閉体

形式的に実な真の代数拡大を持たない形式的実体は実閉体（英語版）と呼ばれる[8]。即ち、形式的実体 R が実閉 (real closed) であるとは、E が形式的実体 R の形式的実な代数拡大体ならば必ず E = R を満たすときに言う[9]。実閉体において任意の奇数次多項式は根を持ち[10]、任意の正元は何らかの元の平方根を成す[11]。
形式的実体 K に対し、K を含む代数閉体 Ω をとる。このとき、K を含む Ω の実閉な部分体が存在する。これを形式的実体 K の実閉包 (real closure) と呼ぶ。実閉体は一意的な順序によって順序体にすることができる[8]。
注釈
1^ 実数のことを単に "real(s)" と呼んだり、実数体 R 上の構造という意味で「実-」と言う接頭辞を用いることもあるが、実体を実数体 R (the filed of reals/the real field[3])と混同してはならない。
2^ この二つの代数的構造は（型の）異なる代数的構造である。実際、順序体は和と積のふたつの演算と全順序というひとつの関係を持つが、形式的実体は和と積の二つの演算を持つのみである。
(引用終り)

以上です
0179現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/15(土) 11:15:40.50ID:uQKi2Au+
>>168 補足

”実閉体の理論は決定可能である”とか
”群や環の公理などは、「自然数論を含まない帰納的公理化可能かつ無矛盾な公理系」であり、不完全性定理は適用できないが、不完全である”とか（＾＾
覚えておこう（＾＾

>>168より”不完全性定理の成立しない体系
また、実閉体の理論やユークリッド幾何学も完全であり、（直観に反して）算術を含まないため、不完全性定理は適用できない。
したがって実閉体の理論は決定可能である。もっと精密にいうと実閉体の理論では量化記号消去が可能である。この事実は数式処理系の実装などに応用されている。
なお、群や環の公理などは、「自然数論を含まない帰納的公理化可能かつ無矛盾な公理系」であり、不完全性定理は適用できないが、不完全である。
例えば、可換群と非可換群がともに存在することから、健全性定理より、群の公理からは積の可換性は証明も反証もできない。”
(引用終り)
0181現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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2017/07/15(土) 12:43:57.77ID:uQKi2Au+
>>166 補足

下記補足「本講義では、当分野における古典的な成果であるゲーデルの不完全性定理とその周辺について概説する。それが示唆するのは数学の本質的な限界であると同時に開かれた可能性であり、確固たる土台の非存在であると同時に諸理論が織りなす空間の豊饒さである。」
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/kouza/
数学入門公開講座 京都大学 数理解析研究所
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/terui.pdf
『数学』を数学的に考える 　照井 一成 2009年7月30日
(抜粋)
数学にはいったい何ができて何ができないのだろうか。その可能性と限界を知りたい。そのために数学者の行う活動（定理を証明したり、反例を考案したり）を数学的に分析するのがメタ数学、ないしは数学基礎論と呼ばれる分野である。
本講義では、当分野における古典的な成果であるゲーデルの不完全性定理とその周辺について概説する。それが示唆するのは数学の本質的な限界であると同時に開かれた可能性であり、確固たる土台の非存在であると同時に諸理論が織りなす空間の豊饒さである。
方針としては算術階層に重点をおき、不完全性やさまざまな決定不能問題をその中に位置づけていく形で、統一的な解説を行う予定である。

つづく
0182現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/07/15(土) 12:44:34.13ID:uQKi2Au+
>>181 つづき

12 おわりに
本稿においては、メタ数学における否定的成果（真理述語の定義不能性、算術や一階述
語論理の決定不能性、第一不完全性など）に対して統一的説明を与えることを試みた。方
針としては、まず算術階層の概念を導入し、対角線論法を用いてその厳密性を示し、その
上で上記の否定的成果をそこに帰着させる、という道筋をとった。この方針により、それ
ぞれの否定的成果が成り立つことは以下のように説明される：

1.算術の論理式に関する真理述語が算術の論理式で定義可能であるとすると、算術階
層の全体があるΣnへと崩壊してしまう（定理16、真理述語の定義不能性）

2.Qより強力かつ自然な理論Tをとると、証明可能性述語|-Tは、Σ1論理式に関する
真理述語を定義しているものと見なすことができる（定理24、Σ1表現可能性）。ゆ
えにもしも`Tが決定可能、すなわちΔ1だとすると、Σ1がΔ1へと崩壊してしま
う（定理25、算術の決定不能性）

3.証明可能性述語|-Tは、Σ1論理式で定義可能である（定理27）。もしも|-TがΠ1完
全であるとすると、|-Tは、Π1論理式に関する真理述語を定義することになり、Π1
がΣ1へと崩壊してしまう（定理28、Π1不完全性）。

よって全ては算術階層の厳密性に起因するものと見なすことができる（第二不完全性を除
く）。このように算術階層を機軸に据えることにより、メタ数学における様々な成果の関
係について、よりよい見通しが得られる。
(引用終り)

以上
0184１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 13:22:06.99ID:OkksdbBE
>>174
＞貴方は、なかなか力あるね〜
>>1にもおっちゃんにも数学の力は全くないな

￥は父親と仲間への恨み言ばかりで
数学の話などロクにしないから
数学的には死んだも同然

数学者に人格の良さなど期待しないし
別に前科の一つや二つあっても構わないが
数学の話を一切しなくなったら終わり
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 13:22:07.04ID:OkksdbBE
>>174
＞貴方は、なかなか力あるね〜
>>1にもおっちゃんにも数学の力は全くないな

￥は父親と仲間への恨み言ばかりで
数学の話などロクにしないから
数学的には死んだも同然

数学者に人格の良さなど期待しないし
別に前科の一つや二つあっても構わないが
数学の話を一切しなくなったら終わり
0186１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 13:41:18.39ID:OkksdbBE
>>174
＞自分の主張に理由が無い発言

その典型が>>1の
「「箱入り無数目」の記事は間違ってる！」
だな

>>1は「自分の主張を論理的に説明できない」点で
理系とか文系とかいう以前のブルーカラーかと思われる

引用は記憶しか能のない馬鹿のすること
思考できる人間は他人の言葉を
狂信したりしないものだ
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 14:00:37.40ID:YWq1m5g9
＞時枝記事がガセと気付かないのか？（＾＾
↑
バカ丸出し
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 15:15:34.15ID:PpT0J1Vv
>>184-186
おっちゃんです。
＞>>1にもおっちゃんにも数学の力は全くないな
余計なお世話だ。
数学的書き込みを一切しないスレ主はともかく、
箱入り娘という一面だけに対するレスだけを見て数学全体の力を判断するのは大間違い。
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 15:26:41.59ID:OkksdbBE
>>187
そもそもなぜガセだと思うのか？
自分が予測できないからかね？

＞後でやろう（＾＾

今やるぞ

いかなる無限列についても、ある箇所から先が一致する同値関係が定義でき
選択公理によってその同値関係による同値類から代表列をとることができる
代表列がわかればある箇所から先は予測可能だ

問題は「ある箇所」つまり決定番号がどこか、だけ

１列サンプルをとれば、予測したい列の決定番号が
サンプルの決定番号より小さい確率は１／２
２列サンプルをとれば、予測したい列の決定番号が
サンプルの決定番号の最大値より小さい確率は２／３
・・・
ｎ−１列サンプルをとれば、予測したい列の決定番号が
サンプルの決定番号の最大値より小さい確率は（ｎ−１）／ｎ

選択公理を否定しないのなら、予測したい列の決定番号が、
サンプルの決定番号の最大値より必ず大きくなると
主張するしかない　それはオカルトそのものだろう
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 15:29:27.76ID:OkksdbBE
>>190
おっちゃんには申し訳ないが
>>1がおっちゃんの能力を買い被っているので
正直に言わせていただいた

日本語の文章が正しく読めない人に
数学の理論が正しく理解できるわけがない
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 15:40:05.29ID:OkksdbBE
>>194
＞正当な評価をすればいい。
そうさせていただいた
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 15:42:01.98ID:PpT0J1Vv
>>193
エルデシュの例は知らなかったが、闇雲に他人を評価すると、間違った評価をしかねない。
そのような例は幾つかある。他人を評価する際は、このようなことに注意せねばならない。
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 15:47:17.17ID:OkksdbBE
>>196
自分の能力なんて自分自身ではわからんよ
0200１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/15(土) 15:51:18.32ID:PpT0J1Vv
>>192
>日本語の文章が正しく読めない人に
>数学の理論が正しく理解できるわけがない
ちなみに、日本語を読んで理解するという前提の下では、これは当たり前のこと。
いわずもがな。
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