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現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net

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0098現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/06/22(木) 11:58:12.51ID:MHGinDmi
>>97 つづき

>>92
Q
・>正しくは非可算選択公理　なぜなら同値類の数が非可算個だから
A
・ああ、そうかも知れないですね。ほぼ同意です。

>>93
Q
・”また「∞番目までの項が1で、その後の全部の項が0の無限数列」もない
　０＜∞　で、自然数ｎについて　ｎ＜∞ならばｎ＋１＜∞になるような
　（到達不能な）自然数∞というものも存在しないから”
A
・いま、問題になっているのは決定番号ですよね。それは良い例ですね
　「ｎ番目までの項が1で、その後の全部の項が0の無限数列」で、仮に代表元は「最初から全部の項が0の無限数列」とします
　（つまり、しっぽの箱が全て0の無限数列の同値類を考える）
　そうすると、この場合決定番号はｎです。でも同様の構成で、決定番号ｎ＋１の数列ができます。
　従って、これを続けると、決定番号は全ての自然数について、上記の条件を満たす数列を構成できます。
　なお、ここらは、無限が19世紀末から20世紀初めに数学界を混乱に落とし入れた嵌まりどころですよ。下記ご参照
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90
(抜粋)
無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。
デデキント無限
ある集合が自身と対等な（すなわち同じ濃度を持つ）真部分集合が存在するとき、その集合はデデキント無限であるという。
デデキント無限集合は常に無限集合であるが、その逆を証明するには弱い形の選択公理が必要である。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
(抜粋)
順序集合
直積集合上の順序
ふたつの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類が考えられる。
・辞書式順序: (a,b)＜＝ (c,d)←→ a＜c ∨（a＝c ∧ b＜＝ d)
・積順序:(a,b)＜＝ (c,d)←→ a＜＝ c ∧ b＜＝ d
・ (a,b)＜＝ (c,d)←→ (a<c ∧ b<d) ∨ (a＝c ∧ b＝d)}

つづく
0099現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
垢版 |
2017/06/22(木) 12:02:23.72ID:MHGinDmi
>>98 つづき

>>94
Q
・”「全部の項が0の無限数列を、列の頭から順々に１に置き換えて
　ｎ番目までの項が1で、その後の全部の項が0の無限数列をつくっていけば、
　最後には全部の項が1の無限数列になる」
と心の底から思い込んでる文系の方も多々いらっしゃるとのことですが
そんなことは数学では全然認めてませんよ”
A
・単純な話で、ペアノの公理（下記）から、任意の自然数 a にはその後者a + 1が存在する
　従って、上記>>98のように、ある決定番号nの数列が存在するとして、かならずその後者 決定番号n+1の数列が構成可能です
　従って、決定番号は任意の自然数を取ることができます！
　（以上は、>>98に書いたこととかなり重複しますが、ご容赦！）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。

以上です
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