>>50 つづき

性質[編集]
基本性質[編集]
任意の巡回群はアーベル群である。
有限アーベル群の任意の部分群はまた有限アーベル群である。
有限アーベル群の任意の剰余群はまた有限アーベル群である。
有限アーベル群からなる任意の有限族の直積群はまた有限アーベル群である。
クロネッカーの定理[編集]
詳細は「有限アーベル群の構造定理（フランス語版）」を参照
以下、G は有限アーベル群とする。
定理 (Kronecker)
整数 > 1 からなる数列 (a1, a2, …, ak) が一意に存在して群同型 G ? (Z/a1Z) × (Z/a2Z) × ? × (Z/akZ) かつ ai+1 | ai (1 ? ∀i < k) を満たす。
この列を G の不変系といい、その各元を単因子（不変因子）という。
クロネッカーの定理の系[編集]
任意の素数 p に対し、G のシロー p-部分群（G の元からなる素数 p の冪を位数に持つ極大な部分群）を Gp と書く。
G は適当な p に関するシロー部分群 Gp の直積である。
(このねじれ冪零群の一般性質は、とくに有限アーベル群の場合には、ベズーの定理から容易に導かれる）.)
クロネッカーの定理を Gp に適用すれば、ただちに G のより細かい分解が得られる。フロベニウスとスティッケルバーガー（英語版）は
G の非自明な準素（あるいは素冪）（フランス語版）位数巡回部分群の直積への分解が同型を除いてただ一つ存在する[注釈 1]
ことを示した[8]。以下のことがわかる:

つづく