モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net
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モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?
(wikiより) ■ドア四枚が三枚になった時の確率は次の通り
P(A)=1/4 P(B)=3/8 P(C)=3/8
ここからプレイヤーは確率1でBのドアを選ぶ
ピック→チェンジ→チェンジ戦略における
ドアAの当たりの確率をQ(A)
ドアCの当たりの確率をQ(C)とおく
プレイヤーがドアAのみにチェンジした時
∵Q(A)=P(A){P(B−)/P(A∪0.5B)}=5/14
プレイヤーがドアCのみにチェンジした時
∵Q(C)=P(C){P(B−)/P(C∪0.5B)}=5/12 >>895
プレイヤーはBのドアの6回当たり分は
決してとることができない
この分の確率が計算されていない
P(B)=3/8 であるから
プレイヤーがAかCどちらかのドアにチェンジしても
取り分は5/8になる >>896の
P(A)P(B−)とP(C)P(B−)は
プレイヤーがドアAかドアCにチェンジした時の
自分の取り分を示している Bのドアの6回当たり分は
Cが開いてAにチェンジした場合の、3回ハズレ
Aが開いてCにチェンジした場合の、3回ハズレ
として、ちゃんと計算に入れている P(A)/P(A∪0.5B)=4/7 だよ
これはドアBが当たりでAかCどちらかのドアを開けた時と
ドアAが当たりの状況下での、ドアAの当たりの確率という意味で
まだチェンジしていない!
つまり、Q(A)≠P(A)/P(A∪0.5B) わかった
Q(A)=P(A)/P(A∪0.5B)=4/7
だと理解しているわけか
これだとまだプレイヤーはチェンジした事にならないよ 同じく
Q(C)=P(C)/P(C∪0.5B)=2/3
で理解している
これだとまだプレイヤーがドアCにチェンジしたという
部分が計算されていない 勝手に定式化してあげた
∵Q(A)=P(A)/P(A∪0.5B)=4/7
プレイヤーがドアCのみにチェンジした時
∵Q(C)=P(C)/P(C∪0.5B)=2/3
こういう解釈なわけね(*´▽`*) ドアBにチェンジした場合を考えているからこそ、以下の結果が出る
P(A∪0.5B)=P(ドアCを開ける)
=(1/4)*(1)+(3/8)*(1/2)
=7/16 P(C∪0.5B)という状況下におけるという意味だよ
チェンジしてません チェンジしてないって、最終チェンジをしてないっていう意味か?
最後にステイしようがチェンジしようが、残り2枚になった時点で
Q(A)=4/7 Q(B)=3/7 であることに違いはないだろ 2つの事象Aと事象Bが起こるときに、
事象Aと事象Bがともに起こるという事象を
積事象と言います
論理的に考えて積事象以外で
どうやってチェンジしたことになるの?
P(A)P(B−)とP(C)P(B−)は
プレイヤーがドアAかドアCにチェンジした時の
自分の取り分を示している チェンジしたことになるならない以前の問題で
最終選択は残り2枚になっている状態の
Q(A)とQ(B)には、全く影響を及ぼさないという話 チェンジ戦略なんだから
最後にチェンジしなかったら
ゲームが成立しないだろう チェンジしようとしまいと、P(A)=4/7 で変わりなし 標準モンティホール問題だって最初に1/3だった
確率がチェンジで2/3に変わるだろう?
チェンジx2でもプレイヤーが最終チェンジをすれば
確率は変わるのです(*´▽`*)
ちゃんと計算しましょう ドア3枚ABC ドアBを選択 → ドアCを開ける
P(A)=1/3 → Q(A)=2/3
P(B)=1/3 → Q(B)=1/3
P(C)=1/3
最後にステイしようがチェンジしようが
Q(A)=2/3 Q(B)=1/3 は変わりません (チェンジ×2)戦略の勝率をQ(X)とおくと、Q(X)=5/8
Q(X)=P(開C)*Q(A) + P(開A)*Q(C)=5/8
P(開C)=7/16 Q(A)=4/7
P(開A)=9/16 Q(C)=2/3 こんな簡単な式ならとっとと作ればいいのに
∵Q(A)=P(A)/P(A∪0.5B)=4/7
プレイヤーがドアCのみにチェンジした時
∵Q(C)=P(C)/P(C∪0.5B)=2/3
これは標準モンティホール問題からの解釈
しかし、チェンジx2の変形問題だと
モンティがプレーヤーの最初に選択したドアを開ける
という特殊性があるため
P(A)P(B−)とP(C)P(B−)の計算が必要になる >>914訂正
標準モンティホール問題に強引にチェンジx2戦略を
当てはめたと仮定すると、最初に1/3だった確率が
プレイヤーの取り分2/3とチェンジした側のドアの確率
2/3との積で4/9に変わる
チェンジx2でもプレイヤーが最終チェンジをすれば
確率は変わるのです(*´▽`*) @ ドアCが開いた場合の、ドアAが当たりである確率
A ドアCが開いた場合の、ドアBが当たりである確率
@Aは、司会者がドアCを開けた瞬間に決まるものであり
その後に、挑戦者がチェンジするかどうかとは全く関係がない 考える必要なかった
>>896はちゃんと
プレイヤーがドアAのみにチェンジした時
プレイヤーがドアCのみにチェンジした時
って書いてあった
∵Q(A)=P(A)/P(A∪0.5B)=4/7
∵Q(C)=P(C)/P(C∪0.5B)=2/3
これはプレイヤーがAとCどちらも選ぶ場合だった (チェンジ×2)戦略の勝率をQ(X)とおくと、Q(X)=5/8
@ Q(X)=P(開C)*Q(A) + P(開A)*Q(C)=5/8
A Q(X)=Q(A)+Q(C)=5/8
@とAの解釈の違いか?
Aの解釈としても Q(A)=1/4 Q(C)=3/8 にしかならんが >>921
4/7は、ドアCが開いた場合のドアAが当たりである確率
じゃあ、5/14は何の確率なんだ? >>901
>P(A)/P(A∪0.5B)=4/7 だよ
>これはドアBが当たりでAかCどちらかのドアを開けた時と
>ドアAが当たりの状況下での、ドアAの当たりの確率という意味で
これはドアBが当たりでドアCを開けた時と
ドアAが当たりでドアCを開けたという状況下での
ドアAの当たりの確率という意味で
つまり、ドアCが開いた場合のドアAが当たりである確率 ■ドア四枚が三枚になった時の確率は次の通り
P(A)=1/4 P(B)=3/8 P(C)=3/8
ここからプレイヤーは確率1でBのドアを選ぶ
ピック→チェンジ→チェンジ戦略における
ドアAの当たりの確率をQ(A)
ドアBのハズレの確率をP(B−)とおきます
∵Q(A)=P(A)P(B−)/{P(A)+P(B)/2} P(A)=1/4 P(B)=3/8 P(C)=3/8
ドアBを選択 → ドアCを開ける
Q(A)=P(A)/{P(A)+P(B)/2}=4/7
Q(B)={P(B)/2)}/{P(A)+P(B)/2}=3/7 ,,__,,
/ `、
/ ヽ
/ ● ● |
/l ''''' し '''''' |
/ l __. |
l /ヽ_ ` --' _ノ
\  ̄ ヽ∩
⌒l l三 |
| ヽ.__| >>926
それチェンジ戦略じゃなくてオープン戦略じゃん なんだよオープン戦略って
単なる事実を言ってるだけだろ
@ピック→チェンジ→チェンジ
Aピック→チェンジ→ステイ
@戦略でもA戦略でも、ドアCが開いた場合は
Q(A)=4/7 Q(B)=3/7 の事実は変わらんぞ 何戦略であろうが某状況下では
Q(A)=4/7 Q(B)=3/7 になるという話をしているだけ そうだよ
でもチェンジx2戦略とると
Q(A)=5/14 Q(A)=4/7 Q(B)=3/7 になった状態からステイしようがチェンジしようが
Q(A)=4/7 Q(B)=3/7 のままであることには変わりがない ドア2枚になった時点で
Q(A)=5/14 Q(B)=9/14 だよ ドア2枚になった時点で
Q(A)=4/7 Q(B)=3/7 だよ ドア7枚 当たり3つ ハズレ4つ
ハズレのドアが1枚だけ開けられた
ステイ 3/7 チェンジ 18/35
@ {3−(3/7)}/5=18/35
A (3/7)*(2/5)+(4/7)*(3/5)=18/35
Aの考え方でも正しいんだろうけど、いまいちシックリこない 変形3囚人問題
3人の死刑囚ABC、2人処刑、1人釈放
恩赦の確率、A(1/4)、B(1/4)、C(1/2)
A「少なくともBCのうち1人は処刑されるわけだから、どっちが処刑されるか教えてくれ」
看守「Bが処刑される」
Aが助かる確率は?
(答え) 1/5
余計な質問をしてしまったばかりに、助かる確率が減ってしまった可哀想なA 8: 風吹けば名無し@\(^o^)/ 2017/06/09(金) 06:58:03.95 ID:DdqFIpTk0
最初に当たり選んでれば選び直すと外れる
最初にハズレ選んでれば選び直すと当たる
ハズレのほうが選ぶ確率高いんやから選び直したほうがええやろ モンティホール問題は数学者に対するソーカル事件でした。 @ ○|×× ○|開× ○|× ステイで当たり
A ×|○× ×|○開 ×|○ チェンジで当たり
B ×|×○ ×|開○ ×|○ チェンジで当たり
C ○|×× ○|×開 ○|× ステイで当たり
D ×|○× ×|○開 ×|○ チェンジで当たり
E ×|×○ ×|開○ ×|○ チェンジで当たり 結局、はずれのドアを司会者が開けた後は、当たりを引く確率が三分の一から三分の二になるっていうことですか。 結局、はずれのドアを司会者が開けた後は、当たりを引く確率が三分の一から三分の二になるっていうことですか。 ドアAを選択 → ドアCが開けられた
P(A)=1/3 → Q(A)=1/3
P(B)=1/3 → Q(B)=2/3
P(C)=1/3 @ P(当A ∧ 開C)=(1/3)*(1/2)
A P(当B ∧ 開C)=(1/3)*(1)
@:A=1:2
P(当A|開C)=@/(@+A)=1/3
P(当B|開C)=A/(@+A)=2/3 >>10が見事すぎるが、ちと簡潔すぎるから>>938の方が表現としてはなんとなく直感的で万人向けではあるな
分からないうちははっきり言って何億枚にドアを増やそうが最後に二択を手渡される、という観点から1/2にしてしまうと思うよ
1/3で変わらんってのはただの中二病 普通、人々は直感的に、
1. ヒントなしに答える
2. ヒントが出てから答える
2のほうが得だと思うだろ?
なんでモンティホール問題では
直感がこの逆に働くのか。その謎を解明した人がいない。 あなたには回答する機会が2つ与えられる。
一つはヒントを出す前の回答、
もう一つはヒントを出してからの回答だ。
ただしヒントを出してからの回答では
ヒントを出す前の回答を放棄しなければならない。
ヒントを出してからの回答はオプションだ。
モンティホール問題では多くの人々がオプションを選ばなかった。
なぜだろう?
ヒントがない時点での回答にそれほど自信があるんだろうか?
そんなバカな。 これが繰り返しゲームだとしよう。
車がどの扉の背後に置かれるかが完全にランダムじゃない場合があるとする。
つまり、車と羊をゲームが繰り返されるごとに並べ替える人がいて
その人の並び替えにはある「癖」があるのだ。
回答者はゲームが繰り返されている間にその「癖」を学習する。
そうすると、最初に選んだ扉に少しずつ自信が増してくるかもしれない。
でもこのモンティーホール問題は繰り返しゲームだと明言されていない。 モンティ・ホール問題とは現実のテレビ番組を元にして
厳密なルールを追加して、純粋な数学的問題にしたものと認識している
現実ではヒントをくれる、いわゆる天使モンティなどいなくて
いわゆる悪魔モンティが心理戦をしかけてきていると考えるのが自然 カイジの利根川が言っていたように
既にゲームに参加してしまっている回答者には
主催者側が厳密なルールを守っていて公平である
という裏を取る術がない >>945
無作為に開けるなら2枚とも1/3で
残りの1/3が当たり扉を開けてしまって無効とも言えなくもない >>949
> 厳密なルールを追加して、純粋な数学的問題にしたものと認識している
それにしてはお粗末。
マリリンさんの回答が正しいための「暗黙の条件」(以心伝心条項)が多すぎる。 おさえておきたいデマ
@モンティ・ホール問題は Monty Hall がホストを務めるTV番組のゲームに関する問題だ
Aマリリンに反論した人が多かったのは、モンティ・ホール問題の問題文が曖昧だからだ
B挑戦者が選んだ扉が当りのときにホストが開ける扉に偏りがあるとき、
ホストが開け残した扉が当りである確率は2/3とはならないので、マリリンの答えは不完全である
Cモンティ・ホール問題のゲームの中でホストが挑戦者にルールを 説明したかで答えが変わる 「マリリンに聞け」に掲載されたソースでは「モンティホール問題」とは呼ばれていない。
マリリンさんは「ゲームショー問題」と名づけていらっしゃる。
ソースはこんな感じ。
{もしあなたがゲームショーに出ているとして、
あなたは三つの扉を選ぶことができるものとします。
一つの扉の背後には車が、他の扉の背後にはヤギがいます。
あなたは一つの扉を選びます。例えば1番です。
そこで、扉の背後に何があるか知っているホストが他の扉、
例えば3番を開けます。そこにはヤギがいます。
彼はあなたに言います。「2番の扉を選びたいですか」
さあ、選択を変更するほうが得ですか?}
http://marilynvossavant.com/game-show-problem/
繰り返しゲームだともランダムに配置替えされるとも明示されていません。
こういうゲームが何回も繰り返されるなんて現実的想定じゃありませんね。 ゲームショーとしては考えにくいケースですが、
例えば回答者であるあなたがこのゲームに30回繰り返し再挑戦できるという仮定を《勝手に》追加しましょう。
それでもシミュレートすると変更したほうが当たる確率が50%以下になることがあるんだよね。
当然2/3にも定まらない。
1+1=が2以外になることなど一度もあってはならない数学で、これは致命的欠陥です。 【余談】
最初の当たり扉の配置が均等ではなくて
かつ挑戦者がその確率を予想できるような状況であれば
最初に最もハズレそうな扉を選ぶのが最も有利な戦略になる。 回答者「あなた」が山羊よりも車を選好するとする前提すら明示されていないね。
空気を読めってやつかな。 選好など定義など無駄であろう
「変更すべきか?」ではなく
「変更した場合の扉が車の確率は?」等の尋ね方にすればいいだけ これって最初の当たり扉の配置が均等ではない場合も
スイッチの平均勝率は(2/3)になるんだよな
(1/3)の等確率で最初の扉を選ぶという前提だけど
たとえば、当(A,B,C)=(1/2、1/3、1/6) の場合
(個別のスイッチ勝率)=(4/7、2/5、3/4、1/2、6/7、4/5)
の6通りになるけど、全体の平均は(2/3)になる
よく考えたら当たり前かもしれないけど これ確率で説明しても納得しにくいでしょ?
開いた後に確率が変動するとかピンとこない
「当たりと思うものを選ぶ」と思わせるミスリードからくる錯覚なんだから
もし直感でAが当たりと思ったならば、「Aを選んで変更しない」がそもそも間違いで「Bを選んで変更する」を選ぶだけ もうすこし勉強してから、考えた方がいいよ。
「モンティホール 、 フィッシャー」
でググってごらん。 後半だけを考えるとわかりやすいよ
2つの扉があり片方があたりです
司会者は当たりで無い方の扉を開けてくれます
つまり自分が引く扉は一つだが、二つとも引いたのと
同じ結果が必ず得られるということ
最初に引いた扉が当たりの確率が1/3だから
残りの2/3が扉を変えた場合の確率になるね 単純思考(確率不変の定理)は変形問題に応用できないのが玉にきず
当(A,B,C)=(1/3、1/2、1/6)
(選A、開C) 当(A,B)=(1/4、3/4)
(選A、開B) 当(A,C)=(1/2、1/2) 扉100枚で98枚の外れを開示したときの例をよく見るんだけど納得できない
始めに正解を開ける確率は1/100だから変えたときのほうが圧倒的に正解率が上がるっていうのは分かる
ただ分かることはその確率が1/100よりも大きいってことだけ
扉を90枚、80枚と減らしていけば変更して当たる確率は100枚のときより小さくなることは簡単に分かる
それで3枚まで減らしたときに本当に1/3より大きくなるかってのは結局計算しないと分からないんじゃないかって どの例で納得するかは、人それぞれ
昔から扉100枚の例は好き嫌いが分かれてるから、あまり気にするな
数学的な厳密性に欠けてる可能性があるとしても
理解の手助けになってる事実がある以上、一概に全否定はできない 扉N枚 (N≧3)
扉1を選んで、扉(3〜N)が開かれた場合の、扉(1,2)が当たりである確率
@ P(当1 ∧ 残2)=(1/N)*{1/(Nー1)}
A P(当2 ∧ 残2)=(1/N)*(1)
@:A=1:(Nー1)
P(当1|残2)=@/(@+A)=1/N
P(当2|残2)=A/(@+A)=(Nー1)/N >>696
結局、お前は1/2派なんだよ
正しく実験されると2/3以外にはならなくて都合が悪いから
シミュレーションの有効性にケチをつけたがってるだけ 司会者と自分で合計2枚の扉を引けるんだよ
更に司会者は当たりを必ず譲ってくれる
どう考えても1/2にはならないだろ 『挑戦者は2つのドアを同時に開けることはできない』
確率でものを考える人はこんな単純な事実に気が付かないから
3分の2なんて変な数字が出てくる >>970
なんで?
結果的に挑戦者と司会者で合計2つのドアを開けてるだろ
司会者が当たりを持っていく事は無いんだから
挑戦者が2つのドアを開けたのと同じになる ゲーム終了時に開けてないドアがいくつ残るか
ここを考えるのも解りやすいね
--------------------------
もし司会者が当たりの場所を知らなかったとしても
当たった場合は後から譲ってもらえる事になっていれば2/3になるよね
当たりの場所を知ってる司会者には
同様の事がゲーム中に出来るんだよ モンティが確定情報を持っている場合、
ゲーム不成立の確率がゼロになるので
プレイヤーの最初の選択時の確率は変化しない 当(A,B,C)=(a,b,c)
a+b+c=1
扉Aを選んで、扉Cが開けられた場合の、扉Aが当たりである確率は a/(a+2b)
どんなときでも (a) と一致するわけではない
一致しない場合でも
モンティは確定情報を持っていて、ゲーム不成立の確率はゼロ ■ニャンティホール問題
□□□ ∧,,∧ ∧,,∧
□□□ (,,・∀・) ミ,,・∀・ミ
□□□〜(_u,uノ @ミ_u,,uミ ゲーム不成立の確率がゼロ
裏を返せば、モンティがヤギを当てる確率は100% 当(A,B,C)=(65/100、2/100、33/100)
あなたが扉Aを選ぶと、司会者は扉Bがハズレだと示した。
あなたは扉Cに変更すべきだろうか? モンティが確定情報を持ってBを開けた場合
Aの確率は変化しない
Cの確率は35%にアップする 簡単なプログラムを作って乱数シミューレーションすればあっさり&はっきり結果が出た
もでなぜわからなかったかの理由がまだわからない @ P(当A ∧ 開B)=(65/100)*(1/2)
A P(当C ∧ 開B)=(33/100)*(1)
@:A=65:66
P(当A|開B)=@/(@+A)=65/131
P(当C|開B)=A/(@+A)=66/131
扉Cに変更するべき >>978
Aの確率が変化しないのは、BとCの確率が等しいときだけ これは司会者がBを開けた後に
選び直しますか?と聞くのがミソかな
確率的には全く変わらないが、開く前だと残り2つのどちらに当たりが入っていても
自分の物になることが理解しやすいと思う
扉1つと2つどちらがいいですか?と言ってるのと同じなんだよね 男『ここにABCD4枚のカードがあります。』
男『4枚のうち1枚が当たりです。』
男『私はどれが当たりか知っています。』
男『さあ、好きなの1枚選んで。』
女『じゃあA』
男『では、貴方の選ばなかったBCDのうちDはハズレであることを教えよう。』
(Dをめくる。確かにハズレだった。)
男『もう一度残ったABCの3枚から選び直していいよ。変えてみる?』
女『(モンティホールの応用だから変えたほうが若干得そうね)じゃあB。』
男『選ばなかったACのうちCもハズレなことを教えよう。』
(Cをめくる。確かにハズレだった。)
男『ラストチャンス。ABどっち?』
女『…(やっぱりAに戻したくなってきたw)』
女はAに変更すべきだろうか? 男『私はどれが当たりか知っています』
つまり、確定情報なのでAの確率は1/4まま不動
女はAに変更すべきではない
Bの確率は3/4と高確率 @ 当(A,B,C,D)=(1/4、1/4、1/4、1/4)
↓ (選A、開D)
A 当(A,B,C)=(1/4、3/8、3/8)
↓ (選B、開C)
B 当(A,B)=(4/7、3/7)
女はAに変更すべき A 当(A,B,C)=(1/4、3/8、3/8)
Aで確定情報をもとにCの3/8がオープンになるから
通常のモンティホールと同じで
Aの1/4は変化しない 当(A,B,C)=(1/4、3/8、3/8)
(選B、開C)
@ P(当A ∧ 開C)=(1/4)*(1)
A P(当B ∧ 開C)=(3/8)*(1/2)
@:A=4:3
P(当A|開C)=@/(@+A)=4/7
P(当B|開C)=A/(@+A)=3/7 @ 当(A,B,C,D)=(1/4、1/4、1/4、1/4)
@の確率1/4はドアの枚数と分母が一致するので
ここから選択した確率は、確定情報を持った(すなわち不成立ゲームがゼロ)
男がドアを開けるのでゲーム最後まで固定される
A 当(A,B,C)=(1/4、3/8、3/8)
Aから女が選択したBの3/8も確率固定されるが
Aのドアの確率固定力のほうが強力なので
Cのドアオープンとともに強制的に3/4に上げられる >>985
@からAになる時にはAのドアの確率が1/4で固定されているのに
AからBになる時には4/7に変化するのはおかしい
確定情報を持っている男がドアを開けるのなら
BのAのドアの確率も1/4のまま不変である @ 当(A,B,C,D,E)=(1/5、1/5、1/5、1/5、1/5)
↓ (選A、開E)
A 当(A,B,C,D)=(1/5、4/15、4/15、4/15)
↓ (選B、開D)
B 当(A,B,C)=(9/29、8/29、12/29) 当(A,B,C,D)=(1/100、32/100、33/100、34/100)
(選A、開D) 当(A,B,C)=(2/197、96/197、99/197)
(選A、開C) 当(A,B,D)=(2/200、96/200、102/200)
(選A、開B) 当(A,C,D)=(2/203、99/203、102/203) >>974
最初に選んだ扉の当たり確率が変化しないための条件は
a=a/(a+2b)
1=1/(a+2b)
a+2b=1
2b=1−a
2b=b+c (∵a+b+c=1)
b=c 当(A,B,C,D)=(a,b,c,d)
a+b+c+d=1
P(当A|選A,開D)=2a/(2a+3b+3c)
最初に選んだ扉の当たり確率が変化しないための条件は
a=2a/(2a+3b+3c)
1=2/(2a+3b+3c)
2a+3b+3c=2
3(a+b+c)=2+a
3(1−d)=2+a
d=(1−a)/3 (必ずしも b=c=d である必要はない) ・よくある勘違い
モンティ・ホール問題で選択を変えることは
「最初に選んだドア以外の2つのドアを選ぶ」ことと同じである
普通のモンティ・ホール問題については、この勘違いでも(たまたま)正しいが
一般的な状況でも成り立つと思っているとマズい 勘違いではない
確定情報を持っているモンティがハズレのドアを開けるのなら
選択を変えることは
「最初に選んだドア以外の2つのドアを選ぶ」ことと同じである レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。