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モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net
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0001SOUTH
垢版 |
2017/03/12(日) 18:23:31.38ID:/Eul2Kt1
モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/07(日) 00:40:10.54ID:MZh76BMU
>>172
　x=P(B開ける|A当たり)を0<x<1で一様分布と考えるわけ。
　P(A当たり|B開ける)=x/x+1になるはず。
　これを教科書通り、θ=x/x+1とすると、変数変換して、
　眠いから飛ばすと、（必要なら明日書きます。）
　　f(θ)=1/(θ-1)^2　0<θ<1/2
　これの最頻値、中央値を求めると言うことです。
　
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/07(日) 02:32:10.73ID:y5QrxWo0
試験問題とかだったらこういう風に解答すればいいのかな？

3つの扉の内、プレイヤーが選んだ扉をA、それ以外の扉をB、Cとする。

　P(A=当) = 1/3, P(B=当) = 1/3, P(C=当) = 1/3
　P(B開|A=当) = 1/2, P(C開|A=当) = 1/2
　P(B開|B=当) = 0, P(C開|B=当) = 1
　P(B開|C=当) = 1, P(C開|C=当) = 0

であるから、ベイズの定理より、

　P(A=当|B開) = {P(B開|A=当)P(A=当)} / {P(B開|A=当)P(A=当) + P(B開|B=当)P(B=当) + P(B開|C=当)P(C=当)}
　　　　　　　= (1/2 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3)
　　　　　　　= (1/6) / (1/6 + 0 + 1/3) = (1/6) / (1/2) = 1/3　　…①

　P(A=当|C開) = {P(C開|A=当)P(A=当)} / {P(C開|A=当)P(A=当) + P(C開|B=当)P(B=当) + P(C開|C=当)P(C=当)}
　　　　　　　= (1/2 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3)
　　　　　　　= (1/6) / (1/6 + 1/3 + 0) = (1/6) / (1/2) = 1/3　　…②

　P(B=当|B開) = 0　(∵P(B開|B=当) = 0)

　P(B=当|C開) = {P(C開|B=当)P(B=当)} / {P(C開|A=当)P(A=当) + P(C開|B=当)P(B=当) + P(C開|C=当)P(C=当)}
　　　　　　　= (1 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3)
　　　　　　　= (1/3) / (1/6 + 1/3 + 0) = (1/3) / (1/2) = 2/3　　…③

　P(C=当|B開) = {P(B開|C=当)P(C=当)} / {P(B開|A=当)P(A=当) + P(B開|B=当)P(B=当) + P(B開|C=当)P(C=当)}
　　　　　　　= (1 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3)
　　　　　　　= (1/3) / (1/6 + 0 + 1/3) = (1/3) / (1/2) = 2/3　　…④

　P(C=当|C開) = 0　(∵P(C開|C=当) = 0)

選択を変えないのは①と②、選択を変えるのは③と④が該当するので、選択を変えるべきである。
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/07(日) 14:49:07.27ID:MZh76BMU
>>174
　反論は簡単で、
　　> P(B開|A=当) = 1/2, P(C開|A=当) = 1/2
　はい、ここが最大の問題で、
　　P(B開|A=当) を一様分布とする
　という仮説の方が、説得力があるんじゃないですか？
　
　P(B開|A=当) を一様分布としたときに、つまりは気まぐれだったと思うわけですよ、
　　P(A=当|B開)の確率分布
　をとりあえずは解析的に求めてくださいよ。
　
0176１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/07(日) 14:50:51.07ID:MZh76BMU
　
　すーっと、
　　どうしてインデントするのか？
　という問には
　　python流じゃいけないのか？
　と言えるようになったのがありがたいですよね。
　
　{}でくくりますか？　余計に読みにくいはずです。
　
0177１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/07(日) 19:33:46.78ID:m+BhijO6
《 P(A当 | B開) = 1 + ln(0.5) ≒ 0.307 》

>>174 >>175

p=P(B開|A当) が一様分布に従うとする。
そんな訳だから、
P(A当) = P(B当) = P(C当) = 1/3
P(B開 | A当) = p,　P(C開 | A当) = 1-p とする

P(A当でB開) = p/3
P(A当でC開) = (1-p)/3
P(B当でC開) = 1/3
P(C当でB開) = 1/3

P(B開)=P(A当でB開) + P(C当でB開)=(p+1)/3
P(C開)=P(A当でC開) + P(B当でC開)=(2-p)/3

P(A当 | B開)= P(A当でB開) / P(B開)
= p / (p+1)　───★

P(A当 | C開)= P(A当でC開) / P(C開)
= (1-p) / (2-p)　───☆

ここで、検算　p=0.5として、★に代入、
　P(A当 | B開)= 1/3となり ★はOkみたい。
　　　
さて、
(B開|A当) の確率分布関数をF(p)とすると、
F(p) = 1 ちなみに、0≦p≦1, ∫F(p) dp = 1

解析的には解くのは一旦諦めて、まずは、
区分求積的な数値計算で、算出すると
そう、F(0.1)=F(0.3)=…=F(0.9)=0.2で計算

P(A当 | B開) = p / (p+1) というか、まあ、
P(A当 | B開) = (1/5) * Σ{p / (p+1)}
for p is 0.1 , 0.3 , 0.5 , … , 0.9 だ。
P(A当 | B開) =
= (1/5) * (1/11 + 3/13 + 5/15 + 7/17 + 9/19)
≒ 0.308 < 1/3　になる!

さて「 積分 x/(x+1) 」ググると、どうやら、
∫ p/(p+1) dp = p - ln|p+1| + C だ。
で、 詳細は省くとして、とにかく

P(A当 | B開) = 1 + ln(0.5) ≒ 0.307

【かってに考察】

P(A当 |司会者あまり開けない扉を開けた )
< 1/3
0178１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/08(月) 14:28:02.88ID:X8eVXjLD
　
　数学の話じゃないんだけれど、
　　↑のような、P(B開ける|A当たり)の確率密度関数は？　1/2ずつではないよ？
　って、話が出るようになって、
　古典的（?）なモンティ・ホール問題を扱っているサイトは、その後のベイズ統計学の説明が
　　「本当に正しいのか？」
　私も疑問に思っているわけ。どこかで主観的な事前確率を入れてしまえば、結論は変わって
　しまう。いかにRなんかでシミュレーションをしても同じだね。
　
　いくつか、モンティ・ホール問題を扱っているサイトが検索できなくなっているのはそういう理由かな
　と思う。これは、科学じゃなくて主観ですけれど。
　
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/08(月) 14:35:14.41ID:X8eVXjLD
　
　条件付き確率や事後確率を扱う分野は、
　パズルじゃなくて、
　　「医薬業界では巨万の富を生む。」
　産業なのよ。

　ノバルティスの薬事法違反事件はニュースで報道されているでしょ？
　医師が統計学を知らない、製薬会社は数学者を雇うとしたら、その知識の差で
　やり込められてしまうわけ。
　
　AIが正しいかどうか、1万件の事例を集めればFischer流の有意差統計に持ち
　込めるわけだけれど、今日の失敗で学ぶ、という証券業界みたいな交通事故での
　AIブレーキ処理になったときに、今日と明日の自動ブレーキの振る舞いが違っていても
　おかしくないわけよね。
　
0180１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/08(月) 14:40:49.05ID:X8eVXjLD
　
　まあ、
　　医師・病院スレに
　　http://egg.2ch.net/test/read.cgi/hosp/1493809494/l50
　　を立てているわけなんだけれど、
　この程度に付いていけない医師が診療しているのよね。
　
　自分の医療機関でのNNTを意識していない、製薬会社の言う通りに働いている
　医師は存在意義がないでしょ。専門医に多くのお金を払う時代になったら、
　その差はきちんと消費者が計算すべき話なんだけれど。日本は報酬一定の保険医療
　だからね。その分、医師は努力に見合わない安い給与で働いているわけ。
　
　IT技術者や統計学の先生だって、報酬は見合わないでしょ。
　まあ、そんな戦国時代かな（笑）。
　
0181１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/08(月) 15:23:39.28ID:CoImRLnO
>>177
> P(A当 | B開) = p / (p+1) というか、まあ、
> P(A当 | B開) = (1/5) * Σ{p / (p+1)}

なんで条件付き確率(確率の比)の平均をとってるんだ？
求める事後確率は、確率の平均の比と同値だよ
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/08(月) 18:09:10.08ID:LebXObDZ
>>181
>求める事後確率は、確率の平均の比と同値

そうだ。なるほど、
P(B開 | A当) = p = 0.5
P(A当 | B開) = p / (p+1) = 0.5/1.5 = 1/3　だ

But
>>175 のリクエストのより、
P(B開 | A当) は一様分布として解いたもの

なお平均とったつもりではなく、
各々が1/5の確率の条件付き確率の計算
もっとも、確率の平均との解釈もOK

では、詳細に解説

P(B開 | A当) = 1/2　→　P(A当 | B開) = 1/3
では、
P(B開 | A当) が平均1/2の離散一様分布で、
P(A当 | B開) = 1/3となるか、吟味する

P(B開 | A当) は、以下よりxとして記載
　　x = 0.1 となる事前確率 1/5
　　x = 0.3 となる事前確率 1/5
　　…
　　x = 0.9 となる事前確率 1/5

さて、
P(A当 | B開) は、以下より pと記載する
　　p = x / (x+1) であるから、

P(A当 | B開) の分布は、
　　p = 0.1 / (0.1+1) = 1/11 となる確率 1/5
　　p = 0.3 / (0.3+1) = 3/13 となる確率 1/5
　　…
　　p = 0.9 / (0.9+1) = 9/19 となる確率 1/5
　　一様でない離散分布となる。

では、P(A当 | B開) 求めると、
条件付き確率の公式から、
P(A当 | B開) = (1/5)(1/11)+…+(1/5)(9/19)
つまり、
P(A当 | B開) = (1/5){(1/11)+…+(9/19)}
　　　　　≒ 0.308 < 1/3

補足
　司会者が開けたドアがBなのかCなのか
　プレイヤーが判断できるのか微妙かも
　P(B開 | A当) = 1/2　→　P(A当 | B開) = 1/3
　との説も捨てがたい。
0183１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/09(火) 00:48:46.35ID:aQPTG8Lu
　
　こういう基本的な科学や数学の知識は、通り過ぎる森のようなもので、そこで得られた
　果実を持って、次に進めばいいんじゃないの？　迷うほどの密林じゃないし...。
　
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/09(火) 01:25:16.43ID:aQPTG8Lu
>>184
　モンティ・ホール問題で、確率が増えると書いてあるから変えた方が良いと、
　タダそれだけしか書いていないサイト・本の説明があると、そこから先が
　信用できるのかどうか、分からなくなった。
　
　P(B開ける|A当たり)=P(C開ける|A当たり)=1/2と考える人は、
　シミュレーションしても間違っているしなぁ。
　でも現実には数値データになると、器用に正解しているしなぁ。
　
　ベイズ統計学で応用をやりたければ、先に進まないとね。
　
0186１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/09(火) 02:17:27.31ID:PrTB8w4c
>>182
平均とは期待値のことだよ

p_k＝(2k+1)/10
として、いまpが{p0,p1,p2,p3,p4}の一様分布に従うと仮定したんでしょ

だったら正しい表記は
P(A当,B開|p=p_k) ＝ p_k/3
P(A当,C開|p=p_k) ＝ (1 - p_k)/3
P(B当,C開|p=p_k) ＝ 1/3
P(C当,B開|p=p_k) ＝ 1/3
で確かに
P(A当|B開,p=p_k) ＝ P(A当,B開|p=p_k)/P(B開|p=p_k) ＝ p_k/(p_k + 1)
とはなる

これに各P(p=p_k)を掛けた数の合計Σ{(p_k/(p_k + 1)) * P(p=p_k)}
とは
E[P(A当|B開,p)]＝E[P(A当,B開|p)/P(B開|p)]
条件付き確率の期待値、確率の比の期待値である


しかし求める確率P(A当|B開)の正しい式変形は
P(A当|B開) ＝ Σ{P(A当,B開|p=p_k)P(p=p_k)} / Σ{P(B開|p=p_k)P(p=p_k)}
で、右辺は
E[P(A当,B開|p)] / E[P(B開|p)]
確率の期待値の比となっている

p_kやP(p=p_k)に値を入れて実際に計算すると
E[P(A当,B開|p)] ＝1/6、E[P(B開|p)＝1/2
だから、pが0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9の値をとり得て、この一様分布に従うという仮定の下では
P(A当|B開)＝1/3 となる
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/09(火) 02:18:59.48ID:PrTB8w4c
例えば
表の出やすさpがp_k＝(2k+1)/10 (K=0,1,2,3,4)のどれか(同様に確からしいとする)であるコインを１００回投げたら
１００回連続で表だった時に、１０１回目も表の確率を求めてごらんなさい

君のやり方だと
表の出やすさpで１００回連続表が出た時に、１０１目も表が出る確率は
(１０１回連続表が出る確率)/(１００回連続表が出る確率)
＝(p^101)/(p^100)＝p
を計算して、この条件付き確率の期待値＝1/2 を答えることになる

しかし
１００回も表が出たなら表の出やすさはp4=0.9であるのが尤もらしいと考えて
１０１回目も表の確率はp4=0.9に近い(1/2より大きい)と思うのが直観的にも明らか
実際、求める事後確率は
(101回連続で表が出る確率の期待値)/(100回連続で表が出る確率の期待値)
となり
(101回連続で表が出る確率の期待値)＝4.781…×10^(-6)
(100回連続で表が出る確率の期待値)＝5.312…×10^(-6)
なので、
求める事後確率はほぼ0.9となる
0188１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/09(火) 14:01:24.39ID:3snJ9SNQ
>>186
正しい表記　
P(A当,B開|p=p_k) ＝ p_k/3 　等
とのご指導、感謝いたします。

正しい表記を参考に、p_kに値を入れて
計算し、確かに1/3を確認できました。
ご指導、有り難うごさいました。

計算の過程を以下に記載してみます。

P(B開 | A当)は、
{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}の一様分布と仮定

P(B開|p=p_k) =
P(C当,B開 | p=p_k) + P(A当,B開 | p=p_k)
∴
P(B開|p=0.1) ＝ 1/3 + 0.1/3 = 11/30
P(B開|p=0.3) ＝ 1/3 + 0.3/3 = 13/30
P(B開|p=0.5) ＝ 1/3 + 0.5/3 = 15/30
P(B開|p=0.7) ＝ 1/3 + 0.7/3 = 17/30
P(B開|p=0.9) ＝ 1/3 + 0.9/3 = 19/30
上記5つの平均は、15/30　∴　1/2
P(B開) = 1/2

P(A当,B開 | p=0.1) = 0.1/3 = 1/30
P(A当,B開 | p=0.3) = 0.3/3 = 3/30
P(A当,B開 | p=0.5) = 0.5/3 = 5/30
P(A当,B開 | p=0.7) = 0.7/3 = 7/30
P(A当,B開 | p=0.9) = 0.9/3 = 9/30
上記5つの平均は、5/30　∴　1/6
P(A当 | B開) = 1/6

P(A当 | B開) ＝ P(A当 | B開) / P(B開) ＝ 1/3
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/09(火) 14:55:27.94ID:aQPTG8Lu
>>186
>>188
　こういう話は、とりあえず、いかに主観的にモデルを構築するかって話だよ。
　そういう主張は間接的に流布するのではなく、
　どちらが正しいか、学会なり、学問的に議論すべきだね。
　
　私は、放送大学の豊田先生の一様分布を今は支持しているけれど、
　モンティ・ホール問題なら、最頻値での1/2は、モンティがBを開ける確率が
　　100%
　と言っているに過ぎない。
　
　その理由は知りたいんだけれどね。
　
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/09(火) 15:05:46.56ID:aQPTG8Lu
　
　もっと言えば、
　　「日本人であること、日本国籍を持っていることは有利なのか？」
　って話だと思うよ。
　
　反論したければ、公的保険に対する期待値を示すべきだね。
　
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/09(火) 15:09:53.48ID:aQPTG8Lu
　
　トランプ政権成立という
　　トランプ政権の成立の確率=1
　という前提での事前確率をどう評価するのかね？
　
　統計学者や確率論学者は負け組なのかね。
　
0202１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/30(金) 23:50:52.08ID:YogX8Lf0
この問題って、
自分が選んだドアをモンティが選ぶ事は無いって事が重要だよね。

自分が選んだドアを含めてモンティが開けるなら、
その瞬間に外れが確定してしまうので全体の勝率は1/3

自分のドアをモンティが開けない=モンティがドアを開けてから自分がドアを選択する
だから、1/3のギャンブルにはそもそも参加していない事になる。
0203１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/01(土) 16:49:31.81ID:Jwd5sRJ9
>>202
> 自分が選んだドアをモンティが選ぶ事は無いって事が重要だよね。

それだけだと不十分で同時に
アタリのドアをモンティが選ぶことはない
というのも条件も満たしてることも重要

実際
モンティは、プレイヤーのドアを除く残りの２つのドアからランダムに選ぶ
(つまり、モンティはプレイヤーと同じドアは選ばないが、アタリのドアを選んでしまうこともあり得る)
という設定の場合には

「モンティがプレイヤーと異なるドアを選び、かつ、モンティが選んだドアがハズレ」という条件の下での
「プレイヤーが選んだドアがアタリ」である確率Ｐ

は 1/2になる

また同様に

モンティは、アタリのドアを除く残りの２つのドアからランダムに選ぶ
(つまり、モンティはアタリのドアは選ばないが、プレイヤーと同じドアを選んでしまうこともあり得る)
という設定
や
モンティは３つのドアからランダムに１つ選ぶ
(モンティはアタリを選ぶかもしれないし、プレイヤーと同じドアを選ぶかもしれない)
という設定の場合も
確率Ｐは1/2になる

モンティは、プレイヤーの選ばなかったドアの内、アタリでないドアを選ぶ
というオリジナルの設定の場合でだけ
確率Ｐは1/3になる
0204１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/01(土) 21:21:50.34ID:FW6oHdr0
>>203
なるほど。
自分の考えでは1/2になってしまうのが釈然としない所でしたが、
モンティの立場になって反対側から見るとより分かりやすいね。
0206１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 00:10:27.20ID:09zq8eEj
(3) モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける
(4) モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである


(3) と(4) は一つにできる
『モンティは残りのドアのうちヤギの入っているドアを開ける』
0207１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 00:11:09.84ID:09zq8eEj
■モンティホール問題（空箱とダイヤ）

このゲームができるのは1回だけです

外からは中が見えない空箱100個の中のひとつに
ダイヤモンドを1個入れます

その中から1個の箱を選びます

98個の空箱を取り除きます

最後に残った2個の箱の中から1個の箱を選びます

ダイヤモンドが当たる確率は50％です
0208１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 00:12:02.85ID:09zq8eEj
■主観確率を支持する理由

主観確率の支持者がそれを支持する理由として挙げる
論拠はいくつか存在する

まず、論理説については、何を無差別と見なすかによって答えが
一意に定まらなくなるという問題がある

次に、頻度主義を取った場合、一回限りの出来事について
確率を割り当てることができなくなってしまう
たとえば、「このサイコロで1の目が出る確率」は
「このサイコロを無限回ふったときに1の目が出る頻度」と言い換える
ことができるが、「次にこのサイコロをふったときに1の目が出る確率」は
そのような頻度の言葉に置き換えることができない

また、頻度について語るのが難しい対象、たとえば殺人事件の捜査で
「A氏が犯人である」という確率を考える場合、A氏は犯人であるか
ないかのいずれかであり、そこには頻度は存在しない
しかし、こういう場合に確率という言葉がしばしば使われるのも確かである
0209１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 00:22:22.76ID:09zq8eEj
>>5
>>6
■モンティホール問題

ゲームの回数を１回に限定すると
当たりの確率は５０％になります
0210リツ子 ◆RITUK0dasI
垢版 |
2017/12/15(金) 10:59:28.05ID:iuywcijd
モンティホール問題が選び直したらお得、って事実が納得できないのかな？
簡単に説明してあげるね。

あのね、最初にドアが３つあって、当たりが１つってところで、挑戦者がどのドアを選んでも当たりの確率が３分の１ってのは大前提なの。
だって、ここで確率がかたよってたらズルになっちゃうじゃない？
このとき、挑戦者が選ばなかったドアのどっちかが当たりの確率は３分の２になるの。ここまではいいかしら？

つぎにモンティは、挑戦者が選ばなかったドアのどちらかを選ぶんだけど、そのとき、必ずハズレのドアを選ぶのがルールなの。
モンティがドアを当てずっぽうで選んだら３分の１の確率で当たりを引いちゃうよね。
だけど、わざと当たりは引かないのね。だから、残ったドアが当たりの確率は３分の１じゃなくなるのよ。
挑戦者が最初に選ばなかった２つのドアのどっちかが当たりの確率は、さっき言ったとおり、３分の２よね？
だからモンティがハズレを開けたら、残ったドアが当たりの確率は、そのまま３分の２ってことになるわけ。
だって、モンティが開けたドアが当たりじゃないってわかっちゃったんだもん。それはどっちか、じゃなくて残ったドアの確率になるよね？。
モンティがどちらのドアを開けても、挑戦者の選んだドアが当たりの確率は変わんないことに注意してね。
だって当たりのドアは変わらないんだから、確率が３分の１から違う値に変わったらズルになっちゃうよね？

挑戦者の選べるドアは２つ。最初に選んだ３分の１の当たり確率のドア？モンティが開けなかった３分の２の当たり確率のドア？
それはもう、選び直さなかったらダンゼン損だよねー？

これがモンティホール問題で選び直したらお得になるカラクリってわけ。みんな、これでわかったかなー？
0211１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 17:41:28.84ID:09zq8eEj
'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96
ITV News-2017/09/30

Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts,
has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly
three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show
that he co-created.
0212１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 19:29:47.71ID:09zq8eEj
>>210
ゲームを１回に限定しても同じことが言えますか？
0213リツ子 ◆RITUK0dasI
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2017/12/15(金) 21:32:17.42ID:mmv67APK
>>212
言えるよ。
確率だからね。条件が同じだったら、１回でも何回でも同じなの。回数で変わったりしないよ。
0214１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 21:46:34.94ID:09zq8eEj
>>213
ゲームを１回に限定するという事は
二者択一を１回だけすることです
これでどうして片方に６６％の確率があるとわかるのでしょう？
0215１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 22:07:29.17ID:09zq8eEj
二者択一を１回だけした場合の結果は５０％のみです
それ以外の数値は存在できません
事前に存在していた３３％や６６％といった傾向は
ゲームの結果確定時にすべてキャンセルされてしまいます
0216１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 22:11:55.74ID:09zq8eEj
>>213
頻度１は特別なのです
他の回数とは扱いがまるで違ってきます
知らなかったでしょう？
0217リツ子 ◆RITUK0dasI
垢版 |
2017/12/15(金) 22:35:27.70ID:mmv67APK
>>214
ちょっとわかりにくかったかな？
二者択一なのは間違いないんだけど、モンティは２つの強力なルールに縛られていて、挑戦者が選び直したらお得になるような情報を挑戦者に教えなくちゃいけないのね。
それで挑戦者は選び直した方がお得になるわけ。

ルールの１つ目は、モンティは挑戦者が最初に開けたドアを開けてはいけない、ってこと。
ルールの２つ目は、モンティは当たりのドアを開けてはいけない、ってこと。
こういう２つのルールがあるから、モンティは無作為にドアを選ぶことはできなくて、当たりの確率が３分の２のドアから必ず１枚、当たりじゃないほうのドアを教えて、挑戦者を有利にしなくちゃいけなくなるのよ。

でも、モンティは、最初に選んだドアが当たりかハズレか教えてくれないから、最初のドアの当たり確率は３分の１から変わることはないの。
残った３分の２の確率のドアのうち、１枚の可能性をモンティが手の内をさらしてつぶしてくれたから、挑戦者もモンティも選ばなかったドアは３分の２の望みが残った、ってことになるわね。

この問題のポイントは、モンティの指し手が無作為じゃない、ってとこ。
モンティは禁じ手だらけで、挑戦者にとって有利な情報をあえて教えなくちゃいけないから、けっきょく２つのドアの確率は均等じゃなくなるの。
二者択一の確率が均等じゃなくなるから、挑戦者は、自分に有利なほうのドアを選ぶことができるわけね。

こんな説明で……理解、できた？
0218リツ子 ◆RITUK0dasI
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2017/12/15(金) 22:51:48.19ID:mmv67APK
>>215
こらこらっ！
そんなリセットなんかしたら、そんなのズルになっちゃうぞ？
インチキしたらダメよ？
0219１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 22:58:21.47ID:09zq8eEj
挑戦者は選び直した方がお得になることは
いっさい否定していませんが
0220１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 23:02:36.08ID:09zq8eEj
ゲームの結果が確定してヤギさんと新車が目の前に現れたとき
どこに３３％や６６％といった傾向がありますか？
二者択一の結果は５０％のみです
0221１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 23:08:18.69ID:UctZOZ99
こういう人はくじ引き券を１枚だけもらったとき、結果は当たりか外れか二者択一だから確率は５０％って言うんだろうね
そんなの確率じゃないよ
0222１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 23:11:05.75ID:09zq8eEj
それであっている
その通り
0223１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 23:17:38.91ID:09zq8eEj
>>221
逆に聞きたい
たった一枚のくじからあなたはどうやって
当たる確率を求めますか？
0225１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 23:20:06.90ID:09zq8eEj
>>218
インチキではないです
頻度１では確率の計算は不可能になります
0227１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 23:26:51.02ID:09zq8eEj
それでまったく問題ないです
0228リツ子 ◆RITUK0dasI
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2017/12/15(金) 23:28:38.47ID:mmv67APK
んー。何だろうね。
やっぱ高校生には確率の話は難しかったかな？
大丈夫！きっとわかるようになるよ！
もっともっと勉強しようね。
0229１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 23:41:54.59ID:09zq8eEj
>>228
あなたの能力評価については下方修正されますが
存在価値がマイナスに転じるわけでなく、運営上あなたは
依然として特質した価値を持つ個人であり、明晰な頭脳、判断力は
来たるべき新たな時代、市民に示す指標として十分な理想形といえます
0230１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/16(土) 09:22:27.47ID:2K1Yi02S
プレイヤが選んだドアが当たりかハズレか
司会者は、最初から知っている。

「選び直しOK」の提案する者が
プレイヤが選んだドアが当たりかハズレか
既に知ってるんぢゃよ。

確率が1/2とか1/3という考えは怪しいのぢゃ!

司会の視点から見れば1/2とか1/3でなく、
Zeroか1なのワケぢゃからな。

まぁっ、
この類いの提案は疑ってかかることぢゃ!
司会が、「選び直しOK」の提案したら、
選び直さない方が良いぢゃろう。

確率計算での意志決定には、
隠れた罠が存在するハズのぢゃ! 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
0231１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/17(日) 16:49:14.37ID:mM2NKoqJ
最初に３つのドアがあるのであれば、
そのひとつを選んだ時点で確率は1/3である
賞品が移動しないのであれば、そのドアを開けない限り、
他のドアがどうなろとも、そのドアに賞品がある確率は1/3のままか、
0になるか１になるかの三通りしかない
しかし、減ったドアの持っていた確率が残りのドアに
均等に分配されるなら話は別だ
そのような事態が起こりうるのかどうかと考えるのはおもしろい
0232１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/19(火) 14:56:04.43ID:Yjnd33aS
>>225
第○回年末ジャンボ宝くじはただ１回だから、
１等が当たるか当たらないかの50％だよね。

それだと期待値的に毎回買わない理由がないよね。
お金に不足してない大富豪ならともかく。

で、毎回宝くじを１枚買って（めんどくさそうだが）、毎回１等が当たらない訳だが、その時には
「今回はたまたま50％の外れが出た」と思うわけだ。毎回毎回。

ちょっとは疑って自分の運の悪さを検定したらどうかと思うが、
毎回がただ一回の一期一会だから、そのような統計的処理は不可能と言うことだね。

しあわせすぐる！

が、せちがらい現代社会では、あっという間に尻の毛まで毟られそう。
0233１３２人目の素数さん
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2017/12/19(火) 16:40:49.62ID:b2gtUdzv
二人の男が定刻までにどちらがより多くお金を集めてこれるか
というゲームをしました
一方の男は札束ばかりを集めました
もう一方の男は小銭ばかり大量に集めました
さて、定刻になりそれぞれ集めてきたお金を数えると
札束のほうはすぐに金額がわかりました
しかし、小銭のほうはあまりにも大量にあったため
その日のうちに数え終わることができず
正確な金額がわかりませんでした
これによりこの勝負は引き分けとなりました
0235１３２人目の素数さん
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2017/12/20(水) 14:26:15.77ID:14cRf1x7
１グラムの石と１トンの石を二者択一しても
どちらか一方を選択する確率は５０％です
0236１３２人目の素数さん
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2017/12/20(水) 23:18:53.06ID:m95/HWRH
プレイヤーがドアを選択する前に
「選ばない他のドアのハズレを開けてみせます」
というルールを宣言しているなら交換したほうが確率は上がる
>>10はわかりやすい！

事前に説明せず
プレイヤーが選択してから他のハズレを開けてみせた場合は
プレイヤーの選択結果を知ったあとの提案になるので
確率は分からなくなる
>>230の考え方だ！
0237１３２人目の素数さん
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2017/12/25(月) 19:45:52.67ID:Yuo09ydY
１．最初プレーヤーがあたりを引く確率は1/3である

２．ドアを変更しない場合はそのまま1/3の確率である
　　（変更しないのであればモンティがドアを開こうが開くまいが確率は変わらない）

３．モンティがドアを開けた後にドアを変更する場合、
　　最初に選択したドアがハズレであれば変更後のドアはあたりが確定である
　　つまり、最初に選択したドアがはずれである確率＝ドアを変更した場合に
　　あたりを引く確率である

４．最初の選択であたりを引く確率は1/3、はずれを引く確率は2/3である

５．ゆえに、ドアを変更した場合のあたりを引く確率は2/3と考えられる
0238１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 19:50:20.02ID:Yuo09ydY
■ゲームを１回に限定すると

１．最初プレーヤーがあたりを引く確率は1/2である

２．ドアを変更しない場合はそのまま1/2の確率である
　　（変更しないのであればモンティがドアを開こうが開くまいが確率は変わらない）

３．モンティがドアを開けた後にドアを変更する場合、
　　最初に選択したドアがハズレであれば変更後のドアはあたりが確定である
　　つまり、最初に選択したドアがはずれである確率＝ドアを変更した場合に
　　あたりを引く確率である

４．最初の選択であたりを引く確率は1/2、はずれを引く確率も1/2である

５．ゆえに、ドアを変更した場合のあたりを引く確率は1/2である
0239１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 20:26:08.47ID:Yuo09ydY
この問題を巡る人々の反応は、冒頭のエピソードにある様に
『どちらを選んでも変わらない』とする意見が多かった

ドアが2つになった時点でプレーヤーが改めてコイントスによって
決めなおしたと仮定すると、景品を得る確率は1/2となる
ところが、2枚のドアの価値はルールで確率の高い（価値のある）
選択をすることが可能となっている

↑
ゲームを１回に限定されるとこの限りではありません
2枚のドアの価値は最初から同じです
0240１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 20:31:05.13ID:Yuo09ydY
ゲームが１回だけの時の確率1/3とは

プレイヤーが『3枚のドアから1つを選ぶ』という

事象を表している、ただそれだけです

その背後には何ら特別な傾向はありません

よく考えると、

たしかに最初の選択時にはずれを引く確率は2/3ありそうです

しかし、『ゲームは1回だけ』という強力な制約条件によって

この傾向は無効化されてしまいます
0241１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 20:32:03.80ID:Yuo09ydY
100枚のドアを使った場合も同じです

ゲームが１回だけの時、

最初にプレイヤーがあたりを引く確率は1/100

はずれを引く確率も1/100になります

ゲームから98枚のドアが除外された後に

残った2枚のドアの内、選択後のドアのあたりの確率が99%だと

証明する方法はゲームが１回に限定されている以上

存在しないのです
0242１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 20:33:41.87ID:Yuo09ydY
>>241
選択変更後の
0243１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 20:37:30.92ID:Yuo09ydY
ゲームが１回だけの時の確率1/3とは

プレイヤーが『3枚のドアから1つを選ぶ』という

事象を表している、ただそれだけです

その背後には何ら特別な傾向はありません
0244１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 20:55:04.94ID:54zGNhdP
ゲームを１回に限定された場合、
モンティホール問題の本質は、ドアの背後にある『傾向』は
関係ないという事です

当たりの確率はドアの数が何億個だろうが
最後に2つのドアから１つを選択する以上50％です

たとえ選択変更後のドアの当たりの傾向が99%だと知って
見事に当たりを引き当てても、それが99%の確率で当たったと
証明する方法がない以上、選択変更後の当たりの確率は50％です
0245１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 21:30:19.14ID:54zGNhdP
'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96
ITV News-2017/09/30

Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts,
has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly
three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show
that he co-created.
0246１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/26(火) 21:35:52.00ID:O+kvrrVD
▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
0248１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/28(木) 00:10:13.50ID:pp9Bni0X
ゲームが多数回の時
３３％　　　６６％

ゲームが1回限定の時
３３％　　　３３％　　　３３％　　　
0249１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/28(木) 00:17:40.23ID:S/yosBGE
ひとつの幸せのドアが閉じる時、もうひとつのドアが開く

しかし、私たちは閉じたドアばかりに目を奪われ、

開いたドアには気がつかない

-ヘレン・ケラー-
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/28(木) 22:10:51.18ID:nedeBavU
1/2とか言っちゃうバカ草
0251１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/29(金) 14:29:45.65ID:50FHjdG0
納得できること、できないこと

モンティーホール問題を納得できない人に対し、教科書的な確率論の計算を
示したところで、やはり納得させることはできない

1）確率は3分の1のまま変わらない
2）確率は2分の1に上がる
3）確率は3分の2に上がる

正直ものの常識人は1）を支持する人がが多いかもしれない
まっとうな数学者の多くが2）こそ正しいとした
論理の奥に分け入って3）と回答できる人間はあまりいない

3）が事実として正しいことは、コンピュータのシミュレーションによって
実証されている
だが論理を擁護するためにはその結果だけでは不十分であり
『上手に説明できる』ことを示す必要がある
ウィキにいろいろ書いているが、文字通り、いろいろと並べてあるだけだ
私は自分自身に説明するための理屈を思いつくまで、まるまる一日かかった

説明が上手であることは単なるテクニックの問題なのか、
それとも世界の真理とつながる何事かなのか
いやそもそも上手な説明などなく、単なる自己満足の勘違いなのか
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/30(土) 09:38:00.63ID:z6xFuJdD
wiki読んだ
心理戦と考えたら、司会者側の作戦は悪魔モンティがベストな戦術かな
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/30(土) 09:50:24.84ID:z6xFuJdD
補足
司会者は景品を渡したくない
プレイヤーは景品が欲しい
という「暗黙の条件」を考慮した場合ね
0255１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/01(月) 00:11:48.92ID:3B1sF6u0
　∩　　　　　新年
　∩∪　　　　　あけまして
　∪.| |∩　　　　　おめでとう
.　| |.| |∪　　　　　 　ございます
.　| |.| |.| |
(∩∩∩∩)　　　　2018年元旦.
(∪∪∪∪)
　|≡≡≡|
／≠≠≠＼
0256１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/02(火) 00:24:21.87ID:RTOZbcrb
■モンティホール問題（カードシャッフル）

このゲームができるのは1回だけです

ハートのエース99枚とスペードのエース1枚を合わせた
トランプカード100枚をシャッフルします

その中から1枚のカードを選びます

山札から98枚のハートのエースを取り除きます

最後に残った2枚のカードの中から1枚のカードを選びます

スペードのエースを引く確率は何％でしょう？
0257１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/04(木) 22:24:53.80ID:dMZFg8dN
■理由不十分の原則(principle of insufficient reason)

事象の発生確率の予測が全くできない場合に、
全ての事象の発生確率が等しいと仮定する
0260１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/08(月) 17:09:25.39ID:jjz2vjbu
無限の部屋があるホテルに無限の客が泊まって
満室の状態だと思って下さい
そこに1人の客が泊まりにきました
そこで、既に泊まっている全員に隣の部屋に移動してもらうことで、
その人を泊めることができました
0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/08(月) 23:59:34.67ID:bnE2MrNp
>>257
＞確率の予測が全くできない場合に、

ここが問題だ。
宝クジは、当たるか外れるかふたつにひとつだが、
当たる確率は50%かどうか？
0262１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/09(火) 17:49:53.02ID:Y7hjg1eg
■アンカリング（英: Anchoring）

認知バイアスの一種であり、先行する何らかの数値（アンカー）に
よって後の数値の判断が歪められ、
判断された数値がアンカーに近づく傾向のことをさす
係留と呼ばれることもある
0263１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/10(水) 16:50:10.76ID:e9ynheYH
ハートのエース99枚の中から選んだのだから

確率も99%であると錯覚する
0264１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/11(木) 18:23:07.33ID:ROuvx2W4
Aのツボは99個の青い球と1個の赤い球が詰まっている

Bのツボは99個の赤い球と1個の青い球が詰まっている

このとき、自分の目の前のツボから1個球を
取り出してみたら赤い球であった

目の前のツボはAのツボだろうか、Bのツボだろうか
0265１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/13(土) 21:44:28.73ID:HCWU018u
回答者が当たりの扉を選んでいる場合は、
残りの扉からランダムに1つを選んで開けるとするという条件は、
頻度確率では何の意味も持たないことに留意すべきである
もっとも、ベイズ確率の計算においても、
理由不十分の原理を適用すれば、
「Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A) 」を
1/2とすることに合理性がある
0266１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/14(日) 17:34:28.43ID:09atsn3P
>>264
存在可能な確率は

『１００個の中から赤い球を一つを選んだ』という意味の１／１００と

『青い球と赤い球の二種類から一つを選ぶ』という１／２
0267１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/15(月) 00:13:17.86ID:g92Xv0xu
■Obituary - John Forbes Nash, Jr. (1928 - 2015)
Swarajya-2015/05/25

Nash is mostly known for his equilibrium concept called as
“Nash Equilibrium”. For many years before his seminal paper,
legends like von Neumann were working on the theory of
games with a special focus on Zero-sum games.
0268１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/17(水) 19:19:55.97ID:sL7Ni6mi
頻度主義とは、

『ある事象が起きる頻度の観測結果に基づいて、
無限回繰り返した際の極限値』として定義される

『一回』は繰り返すことができない

したがって、一度きりの出来事に頻度主義の極限値を
当てはめることはできない
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