奇数の完全数の有無について [無断転載禁止]©2ch.net
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>>56
矛盾につながる部分に>>54の最初の行から上は全く使われてない >>54 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)
(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<2(p-1)/p …C
の値をとる。
p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d)
pはCの範囲で、変数dの単調増加関数であるから
(2-1/p^n)<p<(2-2(p-1)/(pp^n))/(2-2(p-1)/p) …D
右辺は
(2-2(p-1)/(pp^n))/(2-2(p-1)/p)
=(p-(p-1)/(p^n))/(p-(p-1))
=p-(p-1)/(p^n)
となるから、Dは
(2-1/p^n)<p<p-(p-1)/(p^n)
となるが
p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、Cは成立しない。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>58 訂正
×p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、Cは成立しない。
〇p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、Dは成立しない。 >(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、pは2より大きい素数であるから
p-1/p^n<pだから(p-1)/p<(p-1)/(p-1/p^n) >a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
>b=Π[k=1,m]pk^qk
>a/p^nは整数となりこれをcとする
>p=(c-2b)/(a-2b) となる。
aと2bの大小は定義からは明らかでない。したがって場合わけをする
1)a>2bの場合
以下の主張は正しいように思われる
>有理数dをd=a/bとするとp=(d/p^n-2)/(d-2)となるが、
>p^n>1であるから、p<1となりpが素数であることに矛盾する。
2)a=2bの場合
これは即ちbが奇数の完全数であることを示している
そのような例が存在するかは別途証明が必要
3)a<2bの場合
p=(2b-a/p^n)/(2b-a)となる。
pは奇素数であるから(2b-a/p^n)/(2b-a)≧3
よってこの場合、2b/aについて解くと
3/2-1/(2p^n)≧2b/a>1
であることが必要といえる >>61
2)a=2bの場合
(2b-a/p^n)=(2b-a)pの式は
左辺は0でなく、右辺は0であるため成立しない
以上より「3)a<2bの場合」であることが必要 正整数Nの正の約数の総和とNの比を「Nの約数和比」というとして、
正整数Nが完全数であることはNの約数和比が2であることと同値である。
素数pと正整数qについて、D(p,q)をp^qの約数和比と定義するとき、
素因数分解表示N=Π[k=1→m]pk^qk(i≠jのとき素数pi≠素数pj,かつqk≧1)を持つ
正整数Nについて、Nの約数和比はΠ[k=1→m]D(pk,qk)であるから、このとき、
正整数Nが完全数であるということはΠ[k=1→m]D(pk,qk)=2と同値である。
ところで、D(p,q)=Σ([j=0→q]p^j)/p^q=1+(1-1/p^q)/(p-1)であるから、
任意の素数pと正整数qについて1<D(p,q)<2である。
1<D(pk,qk)であるから、D(pk,qk)は1つ乗じる毎に約数和比は必ず増加する。
D(pk,qk)を乗じてゆくといつか2を超える(ここでは「バーストする」と表現する)かもしれない。
D(p,q)の性質を調べ、それらを幾つどのように掛け合わせればバーストするかしないかを
調べることは、奇数の完全数の存在性を調べる為に有用であると考える。
・D(p,q)は、定義域でqについて単調増加である。(つまりq1<q2⇒D(p,q1)<D(p,q2))
・D(p,1)=1+1/p,D(p,2)=1+(p+1)/pp,...,lim[q→∞]D(p,q)=1+1/(p-1)であり、
任意の素数pと自然数q≧1について1+1/p≦D(p,q)<1+1/(p-1)である
・D(p,q)は、定義域でpについて単調減少である。(つまりp1<p2⇒D(p1,q)>D(p2,q)) >>63のつづき
これらの性質を使うと、例えば以下のことが言える
・奇数の完全数は少なくとも3種類の素因数を持つ
∵1<D(p1,q1)<2のため1種類の奇素数を素因数に持つN=p1^q1は完全数でない。
2種類の奇素数を素因数に持つN=p1^q1・p2^q2は、p1=3,p2=5のとき
約数和比はD(3,q1)D(5,q2)<(1+1/2)(1+1/4)=15/8<2であり、
他の奇素数の組み合わせではこれよりも更に小さくなる。
・奇数の完全数がちょうど3種類の素因数を持つならば、最大の素因数は7を超える
∵3つの素数p1≦p2≦p3を7以下の奇素数の組み合わせで選ぶとp1=3,p2=5,p3=7であるが、
pk≡1(mod 4)となるpkがp2=5のみなのでq2は奇数、q1,q3は偶数である。
約数和比の下界はD(3,2)D(5,1)D(7,2)=(1+4/9)(1+1/5)(1+8/49)=494/245>2
となり、D(3,q1)D(5,q2)D(7,q3)はこれより大きいので必ずバーストする。
とまあ、こんな感じでひとつひとつ性質を調べていって積み上げることになるのでは。 >>38と>>58でQ.E.D.ではないかと思います
acceptだと聞こえてきていますし
本当かどうかは分かりませんが >>58
>(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、
この部分が誤り >>58 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)
(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)
であり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<p/(p+1) …C
の値をとる。
p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d)
pはCの範囲で、変数dの単調増加関数であるから
(2-d/p^n)<p<(2-p/((p+1)p^n))/(2-p/(p+1)) …D
右辺は
(2-p/((p+1)p^n))/(2-p/(p+1))
=(2p+2-p/p^n)/(p+2)
=2+(2-p/p^n)/(p+2)<3
となり、Dから
(2-d/p^n)<p<3
が成立することから、pが素数であることに矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>68
×pが素数であることに矛盾する。
〇pが奇素数であることに矛盾する。 p=3とすれば6という完全数も存在しないことになるな >>68 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)
p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d) …C
(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)
であり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<p/(p+1) …D
の値をとる。
p/(p+1)<1であるから、Dを満たす整数dが存在しないので
Cを満たす素数pは存在しない。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>70
奇数の完全数が存在しないことの証明をしています >>72
偶数には使えないことは使ってないから偶数の完全数も存在しないことになるが >>73
pが2より大きい素数をいう条件が途中にある 6が完全数だとするとy=6,p=3として>>71を使うと1<d<3/4となって矛盾するから6は完全数じゃない >(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
これマチガイよ >>77
じゃないか
>d=2(p-1)/(p-1/p^n)
>(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)であり、
>となるから、dは1<d<p/(p+1) …D
2を掛けるの忘れてるよ >>71
この方向性ではいくらやってもダメなのよ
|a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
|b=Π[k=1,m]pk^qk
|y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
から、a/b=2p^n/(1+p+p^2+…+p^n) こうなるんだけれども
左辺=a/b>1は定義より明らか
右辺=2p^n/((p^(n+1)-1)/(p-1))
=2p^n(p-1)/(p^(n+1)-1)
=(2p^(n+1)-2p^n)/(p^(n+1)-1)
=((p^(n+1)-2p^n+1)+(p^(n+1)-1))/(p^(n+1)-1)
=(p^(n+1)-2p^n+1)/(p^(n+1)-1)+1
=((p-2)p^n+1)/(p^(n+1)-1)+1
なのでp≧2なら右辺>1
だからこの式をいくらいじってもd=a/b<1は出てこない
また、1<d<2のときp=(2-d/p^n)/(2-d)>1だから、
この式をいくらいじってもp<1は出てこない
出てきたとしたら導出が誤っている >>71 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)
b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b≢0 (mod p)
正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する
c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c≢0 (mod p)
ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)
2b=(ap-c)/(p-1)
正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<p
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0 >>80 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)
整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi
c-h≡gi≡0 (mod p)
整数jを用いて
pj=gi
p=gi/j
pは素数だから、i=1で、g=pjでなければならい。
g≡0 (mod p)
2b=jp^2+h
c-h≡0 (mod p)だから、整数をk(0<k<p)として
c=pk+h
ap-2bp+2b=c
ap=2b(p-1)+c
=(jp^2+h)(p-1)+pk+h
=jp^3+ph-jp^2-h+pk+h
=jp^3+ph-jp^2+pk
a=jp^2-jp+h+k
∴a≡h+k (mod p)
c=pk+hで、c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は反対になり、
h+kは奇数となる。
整数をmとして
a=mp+h+k
a-2b=mp+h+k-(jp^2+h)=mp-jp^2+k≡k (mod p)
c-2b=pk+h-(jp^2+h)=pk-jp^2≡0 (mod p)
a-c≡k (mod p)
a≡h+k (mod p)
c≡h (mod p)だから、2b≡c≡h (mod p)
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
p^3-p(p+a-h)+c-h=0
p^3-p^2+(-a+h)p+c-h=0
p^2(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
ap-c≡0 (mod p-1)
ap-c-a(p-1)=a-c≡0 (mod p-1)
a-c≡k (mod p)
a-c≡0 (mod p-1)
整数をsとして
a-c=ps+k
ここで、a-cは偶数だから、sとkの偶奇は反対になっている。 >>81 つづき
整数をtとして
a-c=(p-1)t
ps+k=(p-1)t
k+t=(t-s)p
k+t≡0 (mod p)
整数をuとして
k=up-t
a-c=(p-1)(up-k)
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a/(p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1))=up-k
a=(up-k)p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)
a≡0 (mod p)
c≡-k (mod p)
a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)、0<h,k<pだから
h+k=p
a=jp^2-jp+h+k
a=jp^2-jp+p=jp(p-1)+p
a≡1 (mod p-1)
整数をvとして
a=v(p-1)+1
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(v(p-1)+1)((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n≡0 (mod p-1)
整数wとして
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n=w(p-1)
w=(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)/p^n
wp^n=p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1
wp^n≡0 (mod p)
p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1≡1 (mod p)
となり、wが整数になることに矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 東アジアなら 兵糧、金、兵士数の実数の ほうが大事だと思われ。
僕は1なんて数を打ち続けても、レア化しないで、直観数術にならないし、
駄目だと思うけどなあ。虚数となるとさらに。 >>81 長いね
>pj=gi
>pは素数だから、i=1で、g=pjでなければならい
iがpの倍数でないとなぜ言えるの? >>84
やっぱりか
>gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
>整数iを用いて
>p(-a+h)+c-h=gi
よりgp^2-gp+gi=0であり、i=p-p^2
新しい変数を持ち出すときは、その意味するところを考えた方がいい 数学は一度部分点が出たぐらいで意外に特異な方。確率統計は
ギャンブル好きだから、確実には極めない方がよい。 記号が簡単すぎて幼いころに積み上げた数学が台無しになる。数も小数点
分数、数自体の集合分岐がないから、つまらないものにしたくない。 数式を血統と数式で議論するのも本末転倒だが、詩学と数学の相性を考えると、
数式は真 空 中に建てる方が 綺麗かもしれない。将来は。
私は他者であり、数学は自分だ。
般若心経よりもいいのか。はたして。 >>82
>a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
>a/(p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1))=up-k
ここの変換も違う
分母と分子を取り違えてる >>89
その部分は計算の誤りでした。
>>82 訂正
>>81 つづき
整数をtとして
a-c=(p-1)t
ps+k=(p-1)t
k+t=(t-s)p
k+t≡0 (mod p)
整数をuとして
k=up-t
a-c=(p-1)(up-k)
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)=(up-k)p^n
a≡0 (mod p)
c≡-k (mod p)
a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)、0<h,k<pだから
h+k=p
a=jp^2-jp+h+k
a=jp^2-jp+p=jp(p-1)+p
a≡1 (mod p-1)
整数をvとして
a=v(p-1)+1
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(v(p-1)+1)((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n≡0 (mod p-1)
整数wとして
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n=w(p-1)
w=(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)/p^n
wp^n=p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1
wp^n≡0 (mod p)
p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1≡1 (mod p)
となり、wが整数になることに矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>90
>(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
左辺は整数じゃないよねえ… >>90
あと、
>a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)
これはg≡0(mod p)が証明できてないから言えない >>92
>>81に書いてあります。
>>38, >>80-81, >>90が正しいと思われるレスです。 奇数に完全がないのは当たり前だが奇数を経て完全というのもおかしい話だな。 >>64
二番目のは3種類に限らない
4種類以上でも成り立つ
つまり3と5と7を同時に約数にもつ完全数は存在しない
言い換えると、105の倍数は完全数でない 約数といったって 詩を引いて隠す感じが大事であって、数よりクオリア向きだよな。 >>81 訂正
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)
整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi
gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2
i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。
整数jを用いて
pj=gi
pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp
j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。
g≡j (mod p) …C
c-h≡0 (mod p)だから、整数をk(0<k<p)として
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。
ap-2bp+2b=c
ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp
a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k
∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)
hとkの偶奇は逆だから、h+kは奇数となるが
Cの右辺は偶数であるから矛盾が生じる。
よって、上記の整数b,gは存在しない。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 全ての証明は
>>38, >>80, >>98
となります。 >>98
うん。矛盾しないね
>g≡h+k (mod p)
>hとkの偶奇は逆だから、h+kは奇数となるが
>Cの右辺は偶数であるから矛盾が生じる。
pは奇数だからね
偶数≡奇数 (mod p) でも何も問題ない
あのさ、いい加減書き込む前に自分で検証しようよ >>80 から訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、整数をa,bとし
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)
b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b?0 (mod p)
正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する
c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c?0 (mod p)
ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)
2b=(ap-c)/(p-1)
正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<pとすると
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
gp+hが偶数になることから、gとhの偶奇は一致する。 >>105 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)
c-h≡0 (mod p)
整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi
gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2
i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。
整数jを用いて
pj=gi
pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp
j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。
g≡j (mod p)
c-h≡0 (mod p)だから、整数をkとして
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。
ap-2bp+2b=c
ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp
a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k
∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)
a=gp-g+h+k=g(p-1)+h+k
c≡a≡h+k (mod p-1)
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、
p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g >>107 つづき
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0から
gp(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
gp(p-1)+h(p-1)-c(p^n-1)=0
gp+h-c(p^(n-1)+…+1)=0
2b-c(p^(n-1)+…+1)=0
cとp^(n-1)+…+1は両方とも奇数であるから、上式は成立しないので
条件を満たす整数b,cは存在しない。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 ap=cp^(n+1)が間違ってるし
cとp^n+…+1は両方とも奇数にはならない >y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
ここに戻っただけ >>107 あわてんぼさんね
|gp(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
|gp(p-1)+h(p-1)-c(p^n-1)=0
この導出が違うとこね
gp(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
gp(p-1)+h(p-1)-(cp^n)p+c=0
gp(p-1)+h(p-1)-c(p^(n+1)-1)=0 が正解
p-1で割っても 2b-c(p^n+…+1)=0 となり矛盾しない
何度も言われてるけど検算しましょう >>107
|gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
|p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
|-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、
|p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
|=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
|=(gp+k±(gp-k)/(2g)
|=p, k/g
ここの部分は p=p であることを再確認しているだけで無意味
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、 gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0 が恒等式になるのです >>105-107 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、整数をa,bとし
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)
b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b≢0 (mod p)
正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する
c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c≢0 (mod p)
ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)
2b=(ap-c)/(p-1)
正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<pとすると
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
gp+hが偶数になることから、gとhの偶奇は一致する。 …(1) >>114 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)
c-h≡0 (mod p)
整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi
gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2
i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。
整数jを用いて
pj=gi
pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp
j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。
g≡j (mod p)
c-h≡0 (mod p)だから、整数をkとして
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。 …(2)
ap-2bp+2b=c
ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp
a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k
∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)
a=gp-g+h+k=g(p-1)+h+k
c≡a≡h+k (mod p-1)
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、
p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g >>115 つづき
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、n=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となる。
a-c=(g-k)(p-1)より、
g-k=(kp+h)(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)
p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
∴g-k≡n(h+k)
2b-c≡g-k≡n(h+k)≡nc (mod p-1)
(n+1)c≡2b (mod p-1)
(4m+2)c≡2b (mod p-1)
b≡(2m+1)c (mod p-1)
b≡g+h (mod p-1)より、
g+h≡(2m+1)(h+k) (mod p-1)
g≡2mh+(2m+1)k (mod p-1)
となり、gとkの偶奇が一致するが、これは(1)、(2)の条件と矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 |(4m+2)c≡2b (mod p-1)
|b≡(2m+1)c (mod p-1)
p-1は2の倍数なのでこういう導出はしちゃダメです。
(4m+2)c-2b が p-1の 倍数だからと言って (2m+1)c-b が p-1の 倍数とはいえません >>117
計算間違いを直しました。
>>116 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となる。
a-c=(g-k)(p-1)より、
g-k=(kp+h)(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)
p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
∴g-k≡n(h+k)
2b-c≡g-k≡n(h+k)≡nc (mod p-1)
(n+1)c≡2b (mod p-1)
(4m+2)c≡2b (mod p-1)
整数をrとして、p-1=4qとすると、
(4m+2)c-2b=4qr
(2m+1)c-b=2qr
1. rが奇数のとき
(2m+1)c-b≡2qr (mod p-1)
b≡g+h (mod p-1)より、
g+h≡(2m+1)(h+k)-2qr (mod p-1)
g≡2(mh-qr)+(2m+1)k (mod p-1)
2. rが偶数のとき
(2m+1)c-b≡0 (mod p-1)
b≡(2m+1)c
b≡g+h (mod p-1)より、
g+h≡(2m+1)(h+k) (mod p-1)
g≡2mh+(2m+1)k (mod p-1)
1.、2.の両方の場合で、gとkの偶奇が一致するが、
これは(1)、(2)の条件と矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>118 訂正
>g≡2(mh-qr)+(2m+1)k (mod p-1)
g≡2(mh-qr)h+(2m+1)k (mod p-1) いつになったら自分で確認できるようになるのか
>b≡g+h (mod p-1)より
なんて出るわけないだろ >>120
また、計算間違いを直しました。
>>118 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。
Cのpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの2解を持つとすると
以下の式が成立しなければならない。
g(p-4q+1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
(-4gq+g-k)p+4kq-k-((-a-g+h)p+c-h)=0
(a-4gq+2g-k-h)p+4kq-k-c+h=0
ap-c+(-4gq+2g-k)p+4kq-k-h(p-1)=0
ap-c=2b(p-1)から
ap-c≡0 (mod p-1)を用いると
-4gq+2g-2k+4kq≡0 (mod p-1)
rを整数として、
-4gq+2g-2k+4kq=r(p-1)
-2gq+g-k+2kq=r(p-1)/2
p-1は4の倍数となるから、(p-1)/2が偶数となるから
右辺は偶数になり、gとkの偶奇は一致することになる。
しかしこれは、(1)、(2)に矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>121
>Cのpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの解を持つとすると
p=k/gだと矛盾すると自分で言っておきながらなぜそういう仮定をするのか
最初から正しくない式を持ち出してそこから矛盾を引き出すことを背理法とは言いません >>121
>Cのpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの2解を持つとすると
以下の式が成立しなければならない。
>g(p-4q+1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
最初の1の符号が違う
g(p-4q-1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
この式を同じように変形するとg-kの項は消える >>123
訂正します。
>g(p-4q+1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
g(p-4q+1)(p-k/g)-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0 >>121 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。
Cのpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの2解を持つとすると
gp^2-4gqp+gp-kp+4kq-k-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
-4gqp+gp-kp+4kq-k-((-a-g+h)p+c-h)=0
(-4gq+2g-k+a-h)p+4kq-c-k+h=0
ap-c+2gp-4gqp+4kq-(p+1)k-h(p-1)=0
ap-c=2b(p-1)から
ap-c≡0 (mod p-1)を用いると
-4gq+2g-2k+4kq≡0 (mod p-1)
rを整数として、
-4gq+2g-2k+4kq=r(p-1)
-2gq+g-k+2kq=r(p-1)/2
p-1は4の倍数であり、(p-1)/2が偶数となるから
右辺は偶数になり、gとkの偶奇は一致することになる。
しかしこれは、(1)、(2)に矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>124
|g(p-4q+1)(p-k/g)-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
この式も間違いです。p=4q+1が解となるには以下でないといけません
g(p-(4q+1))(p-k/g)-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
>>127
計算が間違えてました。
>>125 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。
p=(c-2b)/(a-2b)、c-2b=(k-g)pより
a-2b=k-g
a-c=a-2b-(c-2b)=k-g-(k-g)p=(g-k)(p-1)
g-k=(a-c)/(p-1)=(p^n-1)c/(p-1)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)
p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
n=4m+1であるから
g≡(4m+1)h+(4m+2)k (mod p-1)
となり、gとhの偶奇が異なるが、これは(1)と矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>128
>g≡(4m+1)h+(4m+2)k (mod p-1)
>となり、gとhの偶奇が異なる
なにゆえ?
g≡奇数×h+偶数 (mod 偶数) なのに? >>85
i=p-p^2が答えでした。だいぶ遠回りをしましたが。
>>129
その通りでございます。
>>115 訂正
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)
c-h≡0 (mod p)
整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi
gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2
p^2-p+i=0
p=(1±√(1-4i))/2
pが整数となるためにはi=0
このとき、pは0か1となるため、奇素数pは存在しない。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 i=p-p^2と書いてる時点でiは負の整数なんだなと思わないのか わざと間違えたふりをして煙に巻こうとしてるんだからたちが悪い >>130
書くまでもありゃしないが
i=p-p^2
だったら
p=(1+√(1-4i))/2
=(1+√(1-4(p-p^2)))/2
=(1+√(1-4p+4p^2))/2
=(1+(2p-1))/2=2p/2=p
なーんもおかしくない >>132
本当に間違えています。調子が悪いと思います。
>>131,133
誤りを直しました。
>>130 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。
p^2-p+i=0
p=(1±√(1-4i))/2
ap-c-h(p-1)=-gi
(p^(n+1)-1)c-h(p-1)=-gi
(p-1)((p^n+…+1)c-h)=-gi
(p-1)((p^n+…+1)c-h)=gp(p-1)
gp=(p^n+…+1)c-h
(p^n+…+1)c-h>=(p+1)c-h>c+p-h>c>0だから、
g>0
となる。よって
(p-1)((p^n+…+1)c-h)>0
から
i<0 >>134 つづき
p>0となるのは、
p=(1+√(1-4i))/2
のときである。
pはqを整数として、
p=4q+1とならなければならないので
4q+1=(1+√(1-4i))/2
8q+2=1+√(1-4i)
√(1-4i)=8q+1
1-4i=64q^2+16q+1
-4i=64q^2+16q
i≡0 (mod p-1)
だからiは偶数であり、√(1-4i)が整数になるために
奇数をsとして、
s=-i/2 (s>0)
8s=64q^2+16q
s=8q^2+2q
となり、sは偶数となり矛盾がおきる。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 根拠のない思い込みやめろよ
>奇数をsとして、
iはp-1(4の倍数)の倍数だからこんなのでないだろ >>136
ただの計算間違いです。
>>115 訂正
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)
c-h≡0 (mod p)
整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi
gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2
i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。
整数jを用いて
pj=gi
pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp
j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。
g≡j (mod p)
c-h≡0 (mod p)だから、整数をkとして
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。 …(2)
ap-2bp+2b=c
ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp
a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k
∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)
a=gp-g+h+k=g(p-1)+h+k
c≡a≡h+k (mod p-1)
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0 …C >>138 つづき
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0 …C
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、
p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g
Cの方程式がpとk/gの2解を持つxの2次方程式だとすると
gx^2+(-a-g+h)x+c-h=0 …D
g(x-p)(x-k/g)=0
(x-p)(gx-k)=0
gx^2-(gp+k)x+kp=0
上式とDのxの1次式の項の係数を比較すると
gp+k=-a-g+h
2b=gp+hより
2b=gp+h=-a-g+2h-k
∴a+2b=-g+2h-k …E
p=(c-2b)/(a-2b)、c-2b=(k-g)pより
a-2b=k-g …F
E、Fから
a=-g+h
2b=-k+h
となるが、(1)から-g+hは偶数になりaが奇数であることに反し
(2)から-k+hは奇数になるが、2bが偶数であることに反する。
方程式Dの解から矛盾がおきたので、Dの方程式は正しくない。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>139
>gx^2+(-a-g+h)x+c-h=0 …D
>gx^2-(gp+k)x+kp=0
>上式とDのxの1次式の項の係数を比較すると
>gp+k=-a-g+h
符 号 が 逆 >>140
符号の計算を間違えました。
>>139 訂正
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、
p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。
ap-c=(p^(n+1)-1)c=(p-1)(p^n+…+1)=(p-1)(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
ap-c≡0 (mod p+1)
ap-c≡-a-c≡-a-(-k+h)≡0 (mod p+1)
a≡k-h (mod p+1)
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b=c(p^n+p^(n-1)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b≡0 (mod p+1)
c=kp+h
≡-k+h (mod p+1) >>141 つづき
p^n≡p^(n-1)(p+1)-p^(n-1)≡-p^(n-1) (mod p+1)
から
p^n≡(-1)^x*p^(n-x) (mod p+1)
p^n≡-1 (mod p+1)
a≡cp^n≡-c (mod p+1)
a+c≡0 (mod p+1)
a-c≡2k-2h≡0 (mod p+1)
整数s,tを用いて
a-c=(p-1)s
a+c=(p+1)t
2a=(p-1)s+(p+1)t
p=4q+1とすると
2a=4qs+(4q+2)t
a=2qs+(2q+1)t
aは奇数だから、tは奇数
2c=(p+1)t-(p-1)s
2c=(4q+2)t-4qs
c=(2q+1)t-2qs
ap-2bp+2b=c
2b(p-1)=ap-c=(2qs+(2q+1)t)p-(2q+1)t+2qs
=(2q+1)t(p-1)+2qs(p+1)
p+1=4q+2
p-1=4q
(p+1)/(p-1)=1+1/(2q)
2b=(2q+1)t+2qs(1+1/(2q))
=(2q+1)t+(2q+1)s
=(2q+1)(t+s)
tが奇数だからsは奇数となり、bが奇数だから(s+t)/2は奇数となる。
p=(a-c)/s+1=(a+c)/t-1
p=(a-c)t+st=(a+c)s-st
(a+c)s-(a-c)t=2st
a(s-t)+c(s+t)=2st
a(s-t)/2+c(s+t)/2=st
(s+t)/2が奇数のとき、(s-t)/2は奇数となるので左辺は偶数となるが
これはstが奇数になることと矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 正しいと思われるレスは、
>>38,>>114,>>138,>>141,>>142
になります。 >>142
>(s+t)/2が奇数のとき、(s-t)/2は奇数となる
なにゆえ?
(s+t)/2-(s-t)/2=tは奇数だと上で言ってるやん >>139 訂正
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、
p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。
a=cp^n≡k+h (mod p-1)
2b=gp+h≡g+h (mod p-1)
c≡k+h (mod p-1)
a-c≡0 (mod p-1)
a+c≡2k+2h (mod p-1)
整数をrとして
2r=g+h
2b=(p-1)s+2r
2b=(p+1)t
(s-t)p=s+t-2r
p=1+2(t-r)/(s-t)
2q=(t-r)/(s-t)
2(s-t)q=t-r
rが奇数なので、tは奇数となる。
(2q+1)t=2sq+r
t=(2sq+r)/(2q+1)
=s+(r-s)/(2q+1)
m=(r-s)/(2q+1)とすると
m(2q+1)=r-s
s=-m(2q+1)+r
t=-m(2q+1)+r+m
t=-2mq+r
2(s-t)q=-2mq
s-t=-2m
tが奇数なので、sは奇数となる。 >>145 つづき
t=s+mだから
s-t=-m
-2m=-m
∴m=0
これにより、
r=s=t
が成立する。
2b=(p+1)r
2b=gp+hであるから、
g=h=r
が成立し、gとhは奇数となる。
a=gp+k
2b=gp+g
c=kp+g
a≡g+k≡n(h+k)+2k (mod p-1)
2b≡2g≡2n(h+k)+2k (mod p-1)
c≡k+g (mod p-1)
gが奇数であるから、kは偶数になる。
p=(c-2b)/(a-2b)、c-2b=(k-g)pより
a-2b=k-g
a-c=a-2b-(c-2b)=k-g-(k-g)p=(g-k)(p-1)
a>c、p-1>0より、g>k
g-k=(a-c)/(p-1)=(p^n-1)c/(p-1)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)
p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
n=4m+1、h=gであるから
g≡(4m+1)g+(4m+2)k (mod p-1)
となる。 >>146 つづき
a-c=(g-k)p+k-g=(p-1)(g-k)
a+c=(g+k)p+g+k=(p+1)(g+k)
(a-c)/(g-k)+1=(a+c)/(g+k)-1
(g+k)(a-c)+(g-k)(g+k)=(g-k)(a+c)-(g-k)(g+k)
(g-k)(a+c)-(g+k)(a-c)=2(g-k)(g+k)
(g-k-(g+k))a+(g-k+g+k)c=2(g-k)(g+k)
-2ka+2gc=2(g-k)(g+k)
-ka+gc=(g-k)(g+k)
ka-gc=-(g-k)(g+k)
(kp^n-g)c=-(g-k)(g+k)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)より
u=p^(n-1)+…+1とすると
g-k=cu
(kp^n-g)c=-cu(g+k)
kp^n-g=-u(g+k)
(u-1)g=-kp^n-uk
u≡n (mod p-1)
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
から
(u-1)g≡(n-1)(n(h+k)+k)≡n(n-1)(h+k)+(n-1)k (mod p-1)
-kp^n-uk≡-k-nk≡-(n+1)k (mod p-1)
n(n-1)(h+k)+(n-1)k+(n+1)k≡0 (mod p-1)
n(n-1)(h+k)+2nk≡0 (mod p-1)
n(n-1)h+n(n+1)k≡0 (mod p-1)
p=4q+1とすると、整数をvとして
n(n-1)h+n(n-1)k=4qv
n((n-1)/2)h+n((n-1)/2)k=2qv
hが奇数、kが偶数であるから、左辺は奇数となるが
右辺は偶数なので矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>147
最近の証明もどきは長いわりに最後の文を見ただけで誤りがわかるから助かる
>n((n-1)/2)h+n((n-1)/2)k=2qv
>hが奇数、kが偶数であるから、左辺は奇数となる
n-1が4の倍数だから左辺は偶数ね >>148
このような計算間違いをすることは、普段は少ないのですが。
>>145 訂正
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、
p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。
a=cp^n≡k+h (mod p-1)
2b=gp+h≡g+h (mod p-1)
c≡k+h (mod p-1)
a-c≡0 (mod p-1)
a+c≡2k+2h (mod p-1)
ap-c=(p^(n+1)-1)c=(p-1)(p^n+…+1)=(p-1)(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
ap-c≡0 (mod p+1)
ap-c≡-a-c≡-a-(-k+h)≡0 (mod p+1)
a≡k-h (mod p+1)
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b=c(p^n+p^(n-1)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b≡0 (mod p+1)
c=kp+h
≡-k+h (mod p+1)
a-c≡2k-2h (mod p+1)
a+c≡0 (mod p+1)
奇数をr、整数をs,tとして
r=k-h
a-c=(p+1)s+2r
a+c=(p+1)t
a+c=(p^n+1)c=(p+1)(p^(n-1)-p^(n-2)+p^(n-3)-…+1)c
となり、p^(n-1)-p^(n-2)+p^(n-3)-…+1は2で割れないから
tは奇数となる。
2a=(p+1)(s+t)+2r
a=(p+1)(s+t)/2+r
rとtが奇数だから、s+tは偶数になるのでsは奇数となる。 >>149 訂正
2a=(p+1)(s+t)+2r
(p+1)(s+t)=2(a-r)
p=2(a-r)/(s+t)-1
2c=(p+1)(t-s)-2r
c=(p+1)(t-s)/2-r
a=(p+1)(s+t)/2+r
=(s+t)p/2+(s+t+2r)/2
c=(p+1)(t-s)/2-r
=(t-s)p/2+(t-s-2r)/2
a=gp-g+h+k
c=kp+h
だから
g=(s+t)/2
-g+h+k=(s+t+2r)/2
k=(t-s)/2
h=(t-s-2r)/2
-g+h+k=-s-t+t-s-2r+t-s
=-3s+t-2r
s+t+2r=-3s+t-2r
4s+4r=0
∴s=-r
a-c=(p+1)(-r)+2r=-rp+r
g=(t-r)/2
-g+h+k=(r+t)/2
k=(r+t)/2
h=(t-r)/2
これにより、g=hが成立する。
a=gp+k
b=gp+g
c=kp+g
a-c=(g-k)p+k-g=(p-1)(g-k)
a+c=(g+k)p+g+k=(p+1)(g+k)
(a-c)/(g-k)+1=(a+c)/(g+k)-1
(g+k)(a-c)+(g-k)(g+k)=(g-k)(a+c)-(g-k)(g+k)
(g-k)(a+c)-(g+k)(a-c)=2(g-k)(g+k)
(g-k-(g+k))a+(g-k+g+k)c=2(g-k)(g+k)
-2ka+2gc=2(g-k)(g+k)
-ka+gc=(g-k)(g+k)
ka-gc=-(g-k)(g+k) >>150 つづき
(kp^n-g)c=-(g-k)(g+k)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)より
u=p^(n-1)+…+1とすると
g-k=cu
(kp^n-g)c=-cu(g+k)
kp^n-g=-u(g+k)
(u-1)g=-kp^n-uk
u≡n (mod p-1)
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
から
(u-1)g≡(n-1)(n(h+k)+k)≡n(n-1)(h+k)+(n-1)k (mod p-1)
-kp^n-uk≡-k-nk≡-(n+1)k (mod p-1)
n(n-1)(h+k)+(n-1)k+(n+1)k≡0 (mod p-1)
n(n-1)(h+k)+2nk≡0 (mod p-1)
n(n-1)h+n(n+1)k≡0 (mod p-1)
整数をqとしてp=4q+1だから、整数をvとして
n(n-1)h+n(n+1)k=4qv
k=(r+t)/2
h=(t-r)/2
より
n(n-1)(t-r)+n(n+1)(r+t)=8qv
tn^2+rn=4qv
n(nt+r)/2=2qv
整数をw,zとして
t=2w+1
r=2z+1とすると
(nt+r)/2=((4m+1)(2w+1)+2z+1)/2
=(8mw+4m+2w+2z+2)/2
=4mw+2m+w+z+1
となるから、(nt+r)/2は奇数となる。
よって、n(nt+r)/2は奇数となるから矛盾がおきる。
以上から、奇数の完全数は存在しない。 >>152 追加
g≡n(h+k)+kは以下のように計算されます。
g-k=(a-c)/(p-1)=(p^n-1)c/(p-1)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)
p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
正しいと思われるレスは、
>>38,>>114,>>138,>>149-152
になります、 >>150
これまで正しい証明が一度もないので普段は間違わないと言われても信じがたい
>a=(p+1)(s+t)/2+r
>=(s+t)p/2+(s+t+2r)/2
>c=(p+1)(t-s)/2-r
>=(t-s)p/2+(t-s-2r)/2
>a=gp-g+h+k
>c=kp+h
>だから
>g=(s+t)/2
>-g+h+k=(s+t+2r)/2
>k=(t-s)/2
>h=(t-s-2r)/2
今日のおかしいところはここかな
a=gp-g+h+k=(s+t)p/2+(s+t+2r)/2 から
>g=(s+t)/2
>-g+h+k=(s+t+2r)/2
は言えないし
c=kp+h=(t-s)p/2+(t-s-2r)/2 から
>k=(t-s)/2
>h=(t-s-2r)/2
も言えない ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています