奇数の完全数の有無について [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/09(月) 03:37:33.28

これについて誰か証明できませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 15:04:29.41

なんで馬鹿は特定の例(例えばと書いてある)だけ避ければすべて解決すると思い込むのか
3^5-1=242は11の倍数だけど5は10の倍数じゃない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 15:13:24.98

>>33
ならんね
素数pよりはるかに小さい次数で奇素数の冪の剰余が1になる例だってある
7^5≡1(mod 2801)とかね

素数pについて、pの倍数でない整数mがp-1より小さな正整数kでm^k≡1(mod p)とならなければmをpの原始根という
任意の素数pについて、pより小さい素数がすべてpの原始根かというとそうではない
上の例では素数2801に対して素数7は原始根でない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 16:06:15.67

yが完全数である場合
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-y
となるから
(1+p+p^2+…+p^n)x/2=y…①

1. qkに一つでも奇数がある場合
①から
(1+p+p^2+…+p^n)x/(2p^n)=y/p^n
y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数であり、
分母は素因数2を一つ持ち、xは項数がSとなるので、qkが奇数
となる項の個数を非負整数tとするとxは素因数2をt個以上持つことに
なり偶数となる。
よって、1+p+p^2+…+p^nは奇数でなければならず、nは偶数でtは1で
なくてはならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 16:32:00.59

2. qkが全て偶数の場合
y/p^nは奇数であり、分母は素因数2を一つ持ち、qkが全て偶数の場合、
Sは奇数となるからxは奇数となる。よって1+p+p^2+…+p^n≡2 (mod 4)
とならなければならない。よって、uを正整数としてn=4u+1でなければ
ならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 06:52:13.03

清書版

奇数の完全数をy、そのうち一つの素因数をp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk) …①

xの項数Sは
S=Π[k=1,m](qk+1) …②
となる

yが完全数である場合
y=x(1+p+p^2+…+p^n)-y
となるから
xΣ[k=0,n]p^k/2=y
xΣ[k=0,n]p^k/(2p^n)=y/p^n …③

1. qkに一つでも奇数がある場合
qkが奇数となる項の個数を正整数tとすると、
y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkは奇数であり、左辺の分母は素因数2を
一つ持つので、②から、xは素因数2をt個以上持つことになり
偶数となる。
よって、Σ[k=0,n]p^kは奇数でなければならず、nは偶数でtは1で
なければならない。

2. qkが全て偶数の場合
y/p^nは奇数、左辺の分母は偶数であり、qkが全て偶数の場合に
Sは奇数となるから、xは奇数となる。よって、
Σ[k=0,n]p^k≡0 (mod 2)
となることが必要で、nは奇数でなければならない。

1,2から、奇数の完全数が存在するためには、
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 08:26:14.75

ｐとｐ以外に分ける意味なし

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 11:17:31.84

>>39
素数のうち一つを考えない証明プリーズ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 12:20:49.36

奇数の完全数は(存在するならば)「奇数の平方と奇素数の積となることが必要」って条件は広く知られてるしこれ以上掘り下げなくてもよくね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 13:20:17.52

>>38を書いていてｐが他の素数と同じ事やってるのに気付かないものか

Πp^nが奇数の完全数
Π(1+p+p^2+...+p^n)=2Πp^n
1+p+p^2+...+p^nの一つが偶数で残りは奇数
nの一つが奇数で残りは偶数

さらに進めると
1+p+p^2+...+p^nが偶数のときは4の倍数+2で
1+p+p^2+...+p^nは1+pの倍数だからpは4の倍数+1
1+p+p^2+...+p^nを4で割った余りとn+1を4で割った余りは等しいからnは4の倍数+1

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 18:24:27.81

>>42
1+3+9+27=40≡0 (mod 4)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 18:35:28.42

>>43
1+p+p^2+...+p^nが4の倍数だったらyが奇数にならないでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 19:34:59.44

>>38の続き

yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
なるが、pは整数であるからpはa-2bを約数に持ち、pが素数ある
ことに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 19:55:36.75

もう無茶苦茶ですな

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 23:02:53.32

>>45 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

aはbで割り切ることができるから、整数dをd=a/bとすると
a-2b=bd-2b=b(d-2)
となる。b>1であることから、|a-2b|は1にならない。
よって、pは約数a-2bを持つことになり、素数であることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 01:10:47.47

＞p=(c-2b)/(a-2b) となる。
＞よって、pは約数a-2bを持つ
こういうこと言ってるようではアカンです

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 01:19:50.68

>>48
>>47では、|a-2b|>1としていますが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 01:56:32.95

>>49
よく考えようよ
＞p=(c-2b)/(a-2b)
から
(c-2b)は約数(a-2b)を持つ
ことは言えるけど
＞pは約数a-2bを持つ
とは言えんでしょうが

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 03:12:23.72

>>48
その部分は誤りでした。

>>47 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

aはbで割り切れるから、整数dをd=a/bとすると
p=(d/p^n-2)/(d-2)
となるが、p^n>1であるから、p<1となりpが素数であることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 05:22:53.00

>>51
＞aはbで割り切れる
どうしてそう言い切れる？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 07:41:42.13

>>52
言い切れません。dは実数に変更します。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 07:44:59.01

>>52
有理数にしました。

>>51 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
p=(d/p^n-2)/(d-2)
となるが、p^n>1であるから、p<1となりpが素数であることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 08:08:41.74

奇数であることを使ってないからその証明が正しいなら偶数の完全数も存在しないことになるからおかしいってことに気づけ

a/b=(2p^n)/(1+p+p^2+…+p^n)なんだからdは2より少し小さい数
(d/p^n-2)は-2より少し大きい数
(d-2)は0より少し小さい数
(d/p^n-2)/(d-2) は1より大きい数だから矛盾なんてしていない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 08:56:09.94

>>55
この証明は>>38から続いている

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 09:07:21.99

>>56
矛盾につながる部分に>>54の最初の行から上は全く使われてない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 10:10:25.97

>>54 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。

yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)

(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<2(p-1)/p …④
の値をとる。

p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d)

pは④の範囲で、変数dの単調増加関数であるから
(2-1/p^n)<p<(2-2(p-1)/(pp^n))/(2-2(p-1)/p) …⑤

右辺は
(2-2(p-1)/(pp^n))/(2-2(p-1)/p)
=(p-(p-1)/(p^n))/(p-(p-1))
=p-(p-1)/(p^n)
となるから、⑤は
(2-1/p^n)<p<p-(p-1)/(p^n)
となるが
p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、④は成立しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 10:17:04.79

>>58 訂正
×p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、④は成立しない。
〇p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、⑤は成立しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 10:28:19.01

＞(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、pは2より大きい素数であるから

p-1/p^n<pだから(p-1)/p<(p-1)/(p-1/p^n)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 11:11:34.80

＞a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
＞b=Π[k=1,m]pk^qk
＞a/p^nは整数となりこれをcとする
＞p=(c-2b)/(a-2b) となる。
aと2bの大小は定義からは明らかでない。したがって場合わけをする

1)a＞2bの場合
以下の主張は正しいように思われる
＞有理数dをd=a/bとするとp=(d/p^n-2)/(d-2)となるが、
＞p^n>1であるから、p<1となりpが素数であることに矛盾する。

2)a＝2bの場合
これは即ちbが奇数の完全数であることを示している
そのような例が存在するかは別途証明が必要

3)a＜2bの場合
p=(2b-a/p^n)/(2b-a)となる。
pは奇素数であるから(2b-a/p^n)/(2b-a)≧3
よってこの場合、2b/aについて解くと
3/2-1/(2p^n)≧2b/a＞1
であることが必要といえる

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 11:45:30.65

>>61
2)a＝2bの場合
(2b-a/p^n)=(2b-a)pの式は
左辺は0でなく、右辺は0であるため成立しない

以上より「3)a＜2bの場合」であることが必要

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 22:14:46.43

正整数Nの正の約数の総和とNの比を「Nの約数和比」というとして、
正整数Nが完全数であることはNの約数和比が2であることと同値である。
素数pと正整数qについて、D(p,q)をp^qの約数和比と定義するとき、
素因数分解表示N=Π[k=1→m]pk^qk(i≠jのとき素数pi≠素数pj,かつqk≧1)を持つ
正整数Nについて、Nの約数和比はΠ[k=1→m]D(pk,qk)であるから、このとき、
正整数Nが完全数であるということはΠ[k=1→m]D(pk,qk)=2と同値である。

ところで、D(p,q)=Σ([j=0→q]p^j)/p^q=1+(1-1/p^q)/(p-1)であるから、
任意の素数pと正整数qについて1＜D(p,q)＜2である。
1＜D(pk,qk)であるから、D(pk,qk)は1つ乗じる毎に約数和比は必ず増加する。
D(pk,qk)を乗じてゆくといつか2を超える(ここでは「バーストする」と表現する)かもしれない。
D(p,q)の性質を調べ、それらを幾つどのように掛け合わせればバーストするかしないかを
調べることは、奇数の完全数の存在性を調べる為に有用であると考える。
・D(p,q)は、定義域でqについて単調増加である。（つまりq1＜q2⇒D(p,q1)＜D(p,q2)）
・D(p,1)=1+1/p,D(p,2)=1+(p+1)/pp,...,lim[q→∞]D(p,q)=1+1/(p-1)であり、
　任意の素数pと自然数q≧1について1+1/p≦D(p,q)＜1+1/(p-1)である
・D(p,q)は、定義域でpについて単調減少である。（つまりp1＜p2⇒D(p1,q)＞D(p2,q)）

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 22:15:55.93

>>63のつづき
これらの性質を使うと、例えば以下のことが言える
・奇数の完全数は少なくとも3種類の素因数を持つ
　∵1＜D(p1,q1)＜2のため1種類の奇素数を素因数に持つN=p1^q1は完全数でない。
　　2種類の奇素数を素因数に持つN=p1^q1・p2^q2は、p1=3,p2=5のとき
　　約数和比はD(3,q1)D(5,q2)＜(1+1/2)(1+1/4)=15/8＜2であり、
　　他の奇素数の組み合わせではこれよりも更に小さくなる。
・奇数の完全数がちょうど3種類の素因数を持つならば、最大の素因数は7を超える
　∵3つの素数p1≦p2≦p3を7以下の奇素数の組み合わせで選ぶとp1=3,p2=5,p3=7であるが、
　　pk≡1(mod 4)となるpkがp2=5のみなのでq2は奇数、q1,q3は偶数である。
　　約数和比の下界はD(3,2)D(5,1)D(7,2)=(1+4/9)(1+1/5)(1+8/49)=494/245＞2
　　となり、D(3,q1)D(5,q2)D(7,q3)はこれより大きいので必ずバーストする。
とまあ、こんな感じでひとつひとつ性質を調べていって積み上げることになるのでは。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 22:32:56.83

>>38と>>58でQ.E.D.ではないかと思います
acceptだと聞こえてきていますし

本当かどうかは分かりませんが

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 23:03:31.91

>>58
＞(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、
この部分が誤り

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:08:43.55

>>66
その部分は不等号が反対でした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:10:40.87

>>58 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)

(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)
であり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<p/(p+1) …④
の値をとる。

p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d)

pは④の範囲で、変数dの単調増加関数であるから
(2-d/p^n)<p<(2-p/((p+1)p^n))/(2-p/(p+1)) …⑤

右辺は
(2-p/((p+1)p^n))/(2-p/(p+1))
=(2p+2-p/p^n)/(p+2)
=2+(2-p/p^n)/(p+2)<3
となり、⑤から
(2-d/p^n)<p<3
が成立することから、pが素数であることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:26:08.61

>>68
×pが素数であることに矛盾する。
〇pが奇素数であることに矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:32:44.29

p=3とすれば6という完全数も存在しないことになるな

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:43:44.20

>>68 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)

p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d) …④

(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)
であり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<p/(p+1) …⑤
の値をとる。

p/(p+1)<1であるから、⑤を満たす整数dが存在しないので
④を満たす素数pは存在しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:45:14.00

>>70
奇数の完全数が存在しないことの証明をしています

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:01:57.70

>>72
偶数には使えないことは使ってないから偶数の完全数も存在しないことになるが

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:12:54.81

>>73
pが2より大きい素数をいう条件が途中にある

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:18:12.00

y=6でp=3とすれば矛盾するんだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:28:31.08

6が完全数だとするとy=6,p=3として>>71を使うと1<d<3/4となって矛盾するから6は完全数じゃない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:42:26.35

＞(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
これマチガイよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 02:05:41.39

>>77
じゃないか
＞d=2(p-1)/(p-1/p^n)
＞(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)であり、
＞となるから、dは1<d<p/(p+1) …⑤
2を掛けるの忘れてるよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 02:39:10.90

>>71
この方向性ではいくらやってもダメなのよ

｜a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
｜b=Π[k=1,m]pk^qk
｜y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b

から、a/b＝2p^n/(1+p+p^2+…+p^n) こうなるんだけれども
左辺＝a/b＞1は定義より明らか
右辺＝2p^n/((p^(n+1)-1)/(p-1))
＝2p^n(p-1)/(p^(n+1)-1)
＝(2p^(n+1)-2p^n)/(p^(n+1)-1)
＝((p^(n+1)-2p^n+1)+(p^(n+1)-1))/(p^(n+1)-1)
＝(p^(n+1)-2p^n+1)/(p^(n+1)-1)+1
＝((p-2)p^n+1)/(p^(n+1)-1)+1
なのでp≧2なら右辺＞1
だからこの式をいくらいじってもd＝a/b＜1は出てこない

また、1＜d＜2のときp=(2-d/p^n)/(2-d)＞1だから、
この式をいくらいじってもp＜1は出てこない
出てきたとしたら導出が誤っている

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 07:59:42.15

>>71 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。

y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)

b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b≢0 (mod p)

正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する

c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c≢0 (mod p)

ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)

2b=(ap-c)/(p-1)

正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<p
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 08:02:23.66

>>80 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

c-h≡gi≡0 (mod p)
整数jを用いて
pj=gi
p=gi/j

pは素数だから、i=1で、g=pjでなければならい。
g≡0 (mod p)

2b=jp^2+h

c-h≡0 (mod p)だから、整数をk(0<k<p)として
c=pk+h

ap-2bp+2b=c

ap=2b(p-1)+c
=(jp^2+h)(p-1)+pk+h
=jp^3+ph-jp^2-h+pk+h
=jp^3+ph-jp^2+pk

a=jp^2-jp+h+k
∴a≡h+k (mod p)

c=pk+hで、c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は反対になり、
h+kは奇数となる。

整数をmとして
a=mp+h+k

a-2b=mp+h+k-(jp^2+h)=mp-jp^2+k≡k (mod p)
c-2b=pk+h-(jp^2+h)=pk-jp^2≡0 (mod p)
a-c≡k (mod p)

a≡h+k (mod p)
c≡h (mod p)だから、2b≡c≡h (mod p)

gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0

p^3-p(p+a-h)+c-h=0
p^3-p^2+(-a+h)p+c-h=0
p^2(p-1)+h(p-1)-ap+c=0

ap-c≡0 (mod p-1)

ap-c-a(p-1)=a-c≡0 (mod p-1)
a-c≡k (mod p)
a-c≡0 (mod p-1)

整数をsとして
a-c=ps+k
ここで、a-cは偶数だから、sとkの偶奇は反対になっている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 08:03:07.57

>>81 つづき
整数をtとして
a-c=(p-1)t

ps+k=(p-1)t
k+t=(t-s)p
k+t≡0 (mod p)

整数をuとして
k=up-t
a-c=(p-1)(up-k)
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a/(p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1))=up-k
a=(up-k)p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)

a≡0 (mod p)
c≡-k (mod p)

a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)、0<h,k<pだから
h+k=p

a=jp^2-jp+h+k
a=jp^2-jp+p=jp(p-1)+p

a≡1 (mod p-1)

整数をvとして
a=v(p-1)+1

a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(v(p-1)+1)((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)

(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n≡0 (mod p-1)

整数wとして
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n=w(p-1)

w=(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)/p^n
wp^n=p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1

wp^n≡0 (mod p)
p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1≡1 (mod p)

となり、wが整数になることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 08:45:53.89

東アジアなら　兵糧、金、兵士数の実数の　ほうが大事だと思われ。
僕は１なんて数を打ち続けても、レア化しないで、直観数術にならないし、
駄目だと思うけどなあ。虚数となるとさらに。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 09:58:09.93

>>81 長いね
＞pj=gi
＞pは素数だから、i=1で、g=pjでなければならい
iがpの倍数でないとなぜ言えるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 11:23:04.07

>>84
やっぱりか
＞gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
＞整数iを用いて
＞p(-a+h)+c-h=gi
よりgp^2-gp+gi=0であり、i=p-p^2
新しい変数を持ち出すときは、その意味するところを考えた方がいい

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 12:26:08.67

数学は一度部分点が出たぐらいで意外に特異な方。確率統計は
ギャンブル好きだから、確実には極めない方がよい。

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 12:38:53.17

記号が簡単すぎて幼いころに積み上げた数学が台無しになる。数も小数点
分数、数自体の集合分岐がないから、つまらないものにしたくない。

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 12:46:04.61

数式を血統と数式で議論するのも本末転倒だが、詩学と数学の相性を考えると、
数式は真　空　中に建てる方が　綺麗かもしれない。将来は。
私は他者であり、数学は自分だ。

般若心経よりもいいのか。はたして。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 12:58:37.75

>>82
＞a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
＞a/(p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1))=up-k
ここの変換も違う
分母と分子を取り違えてる

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 15:30:39.59

>>89
その部分は計算の誤りでした。

>>82 訂正
>>81 つづき
整数をtとして
a-c=(p-1)t

ps+k=(p-1)t
k+t=(t-s)p
k+t≡0 (mod p)

整数をuとして
k=up-t
a-c=(p-1)(up-k)
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)=(up-k)p^n

a≡0 (mod p)
c≡-k (mod p)

a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)、0<h,k<pだから
h+k=p

a=jp^2-jp+h+k
a=jp^2-jp+p=jp(p-1)+p

a≡1 (mod p-1)

整数をvとして
a=v(p-1)+1

a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(v(p-1)+1)((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)

(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n≡0 (mod p-1)

整数wとして
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n=w(p-1)

w=(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)/p^n
wp^n=p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1

wp^n≡0 (mod p)
p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1≡1 (mod p)

となり、wが整数になることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 15:43:21.81

>>90
＞(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
左辺は整数じゃないよねえ…

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 15:49:33.23

>>90
あと、
＞a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)
これはg≡0(mod p)が証明できてないから言えない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 16:18:11.83

>>92
>>81に書いてあります。

>>38, >>80-81, >>90が正しいと思われるレスです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 16:35:15.40

>>93
>>84>>85で指摘した通りです

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 20:06:21.75

奇数に完全がないのは当たり前だが奇数を経て完全というのもおかしい話だな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/17(土) 00:46:55.71

>>64
二番目のは３種類に限らない
４種類以上でも成り立つ
つまり３と５と７を同時に約数にもつ完全数は存在しない
言い換えると、１０５の倍数は完全数でない

**DJ学術** · 2018/02/17(土) 08:13:55.42

約数といったって　詩を引いて隠す感じが大事であって、数よりクオリア向きだよな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 08:38:15.10

>>81 訂正
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2

i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。

整数jを用いて
pj=gi

pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp

j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。

g≡j (mod p) …④

c-h≡0 (mod p)だから、整数をk(0<k<p)として
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。

ap-2bp+2b=c

ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp

a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k

∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)
hとkの偶奇は逆だから、h+kは奇数となるが
④の右辺は偶数であるから矛盾が生じる。
よって、上記の整数b,gは存在しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 08:40:09.00

全ての証明は
>>38, >>80, >>98
となります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 08:59:19.96

10≡7(mod.3)だけど矛盾はしてないな

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 09:27:17.54

>>98
うん。矛盾しないね
＞g≡h+k (mod p)
＞hとkの偶奇は逆だから、h+kは奇数となるが
＞④の右辺は偶数であるから矛盾が生じる。
pは奇数だからね
偶数≡奇数 (mod p) でも何も問題ない

あのさ、いい加減書き込む前に自分で検証しようよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 09:49:06.74

>>101
④の右辺はjでjは偶数。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 10:07:03.69

>>101
j=h+kとはいえんでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 11:01:24.94

test

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:23:30.07

>>80 から訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。

yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。

y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、整数をa,bとし
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)

b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b?0 (mod p)

正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する

c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c?0 (mod p)

ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)

2b=(ap-c)/(p-1)

正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<pとすると
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0

gp+hが偶数になることから、gとhの偶奇は一致する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:24:41.85

>>105 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

c-h≡0 (mod p)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2

i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。

整数jを用いて
pj=gi

pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp

j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。

g≡j (mod p)

c-h≡0 (mod p)だから、整数をkとして
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。

ap-2bp+2b=c

ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp

a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k
∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)

a=gp-g+h+k=g(p-1)+h+k
c≡a≡h+k (mod p-1)

gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、

p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:25:36.01

>>107 つづき
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0から
gp(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
gp(p-1)+h(p-1)-c(p^n-1)=0
gp+h-c(p^(n-1)+…+1)=0
2b-c(p^(n-1)+…+1)=0
cとp^(n-1)+…+1は両方とも奇数であるから、上式は成立しないので
条件を満たす整数b,cは存在しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:33:08.92

>>105
?になっていることろは、?です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:34:12.19

>>108
?は≡の否定の記号です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 18:35:39.94

ap=cp^(n+1)が間違ってるし
cとp^n+…+1は両方とも奇数にはならない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 18:39:15.43

＞y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b

ここに戻っただけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 21:55:28.98

>>107 あわてんぼさんね
｜gp(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
｜gp(p-1)+h(p-1)-c(p^n-1)=0
この導出が違うとこね

gp(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
gp(p-1)+h(p-1)-(cp^n)p+c=0
gp(p-1)+h(p-1)-c(p^(n+1)-1)=0 が正解
p-1で割っても 2b-c(p^n+…+1)=0 となり矛盾しない

何度も言われてるけど検算しましょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 22:03:24.65

>>107
｜gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
｜p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
｜-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、
｜p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
｜=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
｜=(gp+k±(gp-k)/(2g)
｜=p, k/g
ここの部分は p=p であることを再確認しているだけで無意味
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、 gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0 が恒等式になるのです

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 22:58:44.71

>>105-107 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。

yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。

y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、整数をa,bとし
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)

b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b≢0 (mod p)

正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する

c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c≢0 (mod p)

ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)

2b=(ap-c)/(p-1)

正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<pとすると
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0

gp+hが偶数になることから、gとhの偶奇は一致する。 …(1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 23:00:28.44

>>114 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

c-h≡0 (mod p)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2

i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。

整数jを用いて
pj=gi

pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp

j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。

g≡j (mod p)

c-h≡0 (mod p)だから、整数をkとして
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。 …(2)

ap-2bp+2b=c

ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp

a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k
∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)

a=gp-g+h+k=g(p-1)+h+k
c≡a≡h+k (mod p-1)

gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、

p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 23:01:06.54

>>115 つづき
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、n=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となる。

a-c=(g-k)(p-1)より、
g-k=(kp+h)(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)

p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
∴g-k≡n(h+k)

2b-c≡g-k≡n(h+k)≡nc (mod p-1)
(n+1)c≡2b (mod p-1)
(4m+2)c≡2b (mod p-1)
b≡(2m+1)c (mod p-1)

b≡g+h (mod p-1)より、
g+h≡(2m+1)(h+k) (mod p-1)
g≡2mh+(2m+1)k (mod p-1)

となり、gとkの偶奇が一致するが、これは(1)、(2)の条件と矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 23:50:57.72

｜(4m+2)c≡2b (mod p-1)
｜b≡(2m+1)c (mod p-1)
p-1は2の倍数なのでこういう導出はしちゃダメです。
(4m+2)c-2b が p-1の倍数だからと言って (2m+1)c-b が p-1の倍数とはいえません

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 00:35:51.68

>>117
計算間違いを直しました。

>>116 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となる。

a-c=(g-k)(p-1)より、
g-k=(kp+h)(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)

p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
∴g-k≡n(h+k)

2b-c≡g-k≡n(h+k)≡nc (mod p-1)
(n+1)c≡2b (mod p-1)
(4m+2)c≡2b (mod p-1)

整数をrとして、p-1=4qとすると、
(4m+2)c-2b=4qr
(2m+1)c-b=2qr

1. rが奇数のとき
(2m+1)c-b≡2qr (mod p-1)
b≡g+h (mod p-1)より、
g+h≡(2m+1)(h+k)-2qr (mod p-1)
g≡2(mh-qr)+(2m+1)k (mod p-1)

2. rが偶数のとき
(2m+1)c-b≡0 (mod p-1)
b≡(2m+1)c
b≡g+h (mod p-1)より、
g+h≡(2m+1)(h+k) (mod p-1)
g≡2mh+(2m+1)k (mod p-1)

1.、2.の両方の場合で、gとkの偶奇が一致するが、
これは(1)、(2)の条件と矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 00:37:29.27

>>118 訂正
＞g≡2(mh-qr)+(2m+1)k (mod p-1)
g≡2(mh-qr)h+(2m+1)k (mod p-1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 00:49:28.95

いつになったら自分で確認できるようになるのか
>b≡g+h (mod p-1)より
なんて出るわけないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 12:52:50.05

>>120
また、計算間違いを直しました。

>>118 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

④のpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの２解を持つとすると
以下の式が成立しなければならない。
g(p-4q+1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
(-4gq+g-k)p+4kq-k-((-a-g+h)p+c-h)=0
(a-4gq+2g-k-h)p+4kq-k-c+h=0
ap-c+(-4gq+2g-k)p+4kq-k-h(p-1)=0

ap-c=2b(p-1)から
ap-c≡0 (mod p-1)を用いると
-4gq+2g-2k+4kq≡0 (mod p-1)

rを整数として、
-4gq+2g-2k+4kq=r(p-1)
-2gq+g-k+2kq=r(p-1)/2
p-1は4の倍数となるから、(p-1)/2が偶数となるから
右辺は偶数になり、gとkの偶奇は一致することになる。
しかしこれは、(1)、(2)に矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 13:55:31.17

>>121
＞④のpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの解を持つとすると
p=k/gだと矛盾すると自分で言っておきながらなぜそういう仮定をするのか
最初から正しくない式を持ち出してそこから矛盾を引き出すことを背理法とは言いません

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 14:11:26.90

>>121
＞④のpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの２解を持つとすると
以下の式が成立しなければならない。
＞g(p-4q+1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
最初の1の符号が違う
g(p-4q-1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
この式を同じように変形するとg-kの項は消える

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 16:02:43.64

>>123
訂正します。

＞g(p-4q+1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
g(p-4q+1)(p-k/g)-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 16:22:38.54

>>121 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

④のpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの２解を持つとすると
gp^2-4gqp+gp-kp+4kq-k-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
-4gqp+gp-kp+4kq-k-((-a-g+h)p+c-h)=0
(-4gq+2g-k+a-h)p+4kq-c-k+h=0
ap-c+2gp-4gqp+4kq-(p+1)k-h(p-1)=0

ap-c=2b(p-1)から
ap-c≡0 (mod p-1)を用いると
-4gq+2g-2k+4kq≡0 (mod p-1)

rを整数として、
-4gq+2g-2k+4kq=r(p-1)
-2gq+g-k+2kq=r(p-1)/2
p-1は4の倍数であり、(p-1)/2が偶数となるから
右辺は偶数になり、gとkの偶奇は一致することになる。
しかしこれは、(1)、(2)に矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 17:28:08.07

>>125
ダメ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 19:57:22.76

>>124
｜g(p-4q+1)(p-k/g)-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
この式も間違いです。p=4q+1が解となるには以下でないといけません
g(p-(4q+1))(p-k/g)-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
　

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/21(水) 08:38:44.42

>>127
計算が間違えてました。

>>125 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

p=(c-2b)/(a-2b)、c-2b=(k-g)pより
a-2b=k-g
a-c=a-2b-(c-2b)=k-g-(k-g)p=(g-k)(p-1)

g-k=(a-c)/(p-1)=(p^n-1)c/(p-1)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)

p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)

n=4m+1であるから
g≡(4m+1)h+(4m+2)k (mod p-1)
となり、gとhの偶奇が異なるが、これは(1)と矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/21(水) 14:42:40.83

>>128
＞g≡(4m+1)h+(4m+2)k (mod p-1)
＞となり、gとhの偶奇が異なる
なにゆえ？
g≡奇数×h+偶数 (mod 偶数) なのに？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 07:19:59.39

>>85
i=p-p^2が答えでした。だいぶ遠回りをしましたが。

>>129
その通りでございます。

>>115 訂正
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

c-h≡0 (mod p)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2

p^2-p+i=0
p=(1±√(1-4i))/2

pが整数となるためにはi=0
このとき、pは0か1となるため、奇素数pは存在しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 09:26:32.77

i=p-p^2と書いてる時点でiは負の整数なんだなと思わないのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 09:58:48.54

わざと間違えたふりをして煙に巻こうとしてるんだからたちが悪い

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 10:11:00.48

>>130
書くまでもありゃしないが
i=p-p^2
だったら
p=(1+√(1-4i))/2
=(1+√(1-4(p-p^2)))/2
=(1+√(1-4p+4p^2))/2
=(1+(2p-1))/2=2p/2=p
なーんもおかしくない