>>303
＞pがどの値でも妥当だという命題自体がこの問題の条件p=4q+1に反するのではないでしょうか
矛盾しません。

証明の過程でこれら２つの命題「pがどの値でも妥当」と「p=4q+1」が現れたとき、
帰結として言えるのは２つの命題の論理和である「pがどの値でも妥当」かつ「p=4q+1」ということです。
この論理和からなる命題は結局「p=4q+1」と同値です。なにも矛盾していません。

一般的に証明において「変数がどの値でも妥当」という結論を出すことは、変数について何も制限を与えていませんから、その命題を示すことに意味はありません。
意味がないので示すことがないのが普通です。