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奇数の完全数の有無について [無断転載禁止]©2ch.net
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0002１３２人目の素数さん
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2017/01/09(月) 12:24:02.89ID:Q52KfRFd
出来るよ
(3^6151818)(5^816191)(7^81612)(11^7161)(13^61)(23)(59)(19173431197)
は完全数
0004１３２人目の素数さん
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2017/01/10(火) 09:22:51.87ID:FU/1ZKud
p^q*rr の形のはずだが…
pは奇素数、
p≡q≡1 （mod 4)
r：奇数（pで割れない)。
0006１３２人目の素数さん
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2017/01/12(木) 18:20:25.53ID:KoI7U9S5
>>2
約数の総和が(1+23)で、つまりは4で割りきれるのはおかしい
0017１３２人目の素数さん
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2017/08/06(日) 17:57:37.72ID:oDKJI1vJ
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
0019１３２人目の素数さん
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2017/08/06(日) 18:02:17.04ID:oDKJI1vJ
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
0021１３２人目の素数さん
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2017/08/06(日) 18:11:09.38ID:oDKJI1vJ
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
0024１３２人目の素数さん
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2018/02/11(日) 20:00:16.83ID:a7KOzsQQ
>>22 訂正
奇素数をy、その素因数のうち一つをp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Σ[k=1,m]pk^qk

指数qmの値の合計は
S=Σ[k=1,m]qk
となる

yが完全数である場合
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-y
となるから
(1+p+p^2+…+p^n)x/2=y
(p^(n+1)-1)x/(2(p-1))=y
(p-1/p^n)x/(2(p-1))=y/p^n

y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数だから
左辺は分母が整数なので、分子も整数にならなければ
ならないので、xはp^nで割り切れなければならない

xは組み合わせの個数が2^Sであるから、S>0の場合には
偶数となるからxをp^nで割ることはできない。

よって、奇数の完全数は存在しない
0026１３２人目の素数さん
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2018/02/11(日) 21:50:06.58ID:au7pDmu5
>>24
＞x=Σ[k=1,m]pk^qk
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)とは違うの？
0027１３２人目の素数さん
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2018/02/11(日) 23:08:44.33ID:a7KOzsQQ
>>26
その式が正しいと思います。

Sの式も
S=Π[k=1,m](qk+1)
の誤りであることが分かり、xが偶数になる
qkが一つでも奇数がある場合の証明と
なっていました。
0028１３２人目の素数さん
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2018/02/12(月) 00:22:09.41ID:5RA+qSJZ
奇数の合成数をy、その素因数のうち一つをp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)

xの項数Sは
S=Π[k=1,m](qk+1)
となる

yが完全数である場合
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-y
となるから
(1+p+p^2+…+p^n)x/2=y
(p^(n+1)-1)x/(2(p-1))=y
(p-1/p^n)x/(2(p-1))=y/p^n

y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数であり、左辺は分母が整数なので
分子も整数にならなければならないので、xはp^nで割り切れ
なければならない

1. qkに一つでも奇数がある場合
xの項数Sが偶数となるので、xは偶数となるから
xをp^nで割ることはできない。

2. qkが全て偶数の場合
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
=Π[k=1,m](pk^(qk+1)-1)/(pk-1)

pk^(qk+1)-1がpで割り切れるためにはフェルマーの小定理から
sを非負整数として
qk+1=s(p-1)
となることが必要になるが、pは奇素数だから右辺は偶数と
なり、qkは奇数となり矛盾が生じる。
よって、pk^(qk+1)-1はpで割ることができない。

以上から、奇数の完全数は存在しない
0029１３２人目の素数さん
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2018/02/12(月) 06:02:55.64ID:4KPU6Lms
惜しいね
＞xは偶数となるからxをp^nで割ることはできない。
偶数を奇素数で割り切れても不合理ではない
＞pk^(qk+1)-1がpで割り切れるためにはフェルマーの小定理から
＞sを非負整数としてqk+1=s(p-1)となることが必要
フェルマーの小定理が言っているのは必要条件ではなくて十分条件
つまりqk+1がp-1の倍数でないときにpk^(qk+1)-1がpで割り切れても不合理ではない
0030１３２人目の素数さん
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2018/02/12(月) 06:41:39.59ID:5RA+qSJZ
>>29
＞フェルマーの小定理が言っているのは必要条件ではなくて十分条件
＞つまりqk+1がp-1の倍数でないときにpk^(qk+1)-1がpで割り切れても不合理ではない

pk^(pk+1)がpで割り切れるためには
pk^(pk+1)≡1 (mod p) …①
が必要であり、フェルマーの小定理からaとpが互いに素であるとき
a^(p-1)≡1 (mod p) …②
となるから
pk+1=s(p-1)が成立するときに、①が成立する
ということがいえると考える
0031１３２人目の素数さん
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2018/02/12(月) 07:02:50.77ID:4KPU6Lms
必要条件ではなくて十分条件、というのは
sを非負整数として
＞pk+1=s(p-1)が成立するときに、①が成立する ということがいえる
から、「①が成立する」ならば sを非負整数として「pk+1=s(p-1)が成立する」
とは必ずしも言えない。という意味です

例えば pk≡1 (mod p)であれば、任意の正整数nについて pk^n≡1 (mod p) です。
pk^(qk+1)≡1 (mod p) だけから、(qk+1) が p-1 の倍数とは言えないのです。
0032１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/12(月) 07:09:43.74ID:4KPU6Lms
>>4の人が言っている通り、
＞奇数の合成数をy、その素因数のうち一つをp、pの指数をn、
＞p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk
かつnが奇数ならばqkはすべて偶数であることは言えます。
まずはこれを証明してみてはいかがでしょう？
0033１３２人目の素数さん
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2018/02/12(月) 13:33:33.75ID:5RA+qSJZ
>>31
それでは、pをyの最大の素因数であるとすると
その問題は回避され2.の内容は正しくなると
思います。
0034１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/12(月) 15:04:29.41ID:oL4nF99e
なんで馬鹿は特定の例(例えばと書いてある)だけ避ければすべて解決すると思い込むのか
3^5-1=242は11の倍数だけど5は10の倍数じゃない
0035１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/12(月) 15:13:24.98ID:Ht17raIY
>>33
ならんね
素数pよりはるかに小さい次数で奇素数の冪の剰余が1になる例だってある
7^5≡1(mod 2801)とかね

素数pについて、pの倍数でない整数mがp-1より小さな正整数kでm^k≡1(mod p)とならなければmをpの原始根という
任意の素数pについて、pより小さい素数がすべてpの原始根かというとそうではない
上の例では素数2801に対して素数7は原始根でない
0036１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/12(月) 16:06:15.67ID:5RA+qSJZ
yが完全数である場合
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-y
となるから
(1+p+p^2+…+p^n)x/2=y…①


1. qkに一つでも奇数がある場合
①から
(1+p+p^2+…+p^n)x/(2p^n)=y/p^n
y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数であり、
分母は素因数2を一つ持ち、xは項数がSとなるので、qkが奇数
となる項の個数を非負整数tとするとxは素因数2をt個以上持つことに
なり偶数となる。
よって、1+p+p^2+…+p^nは奇数でなければならず、nは偶数でtは1で
なくてはならない。
0037１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/12(月) 16:32:00.59ID:5RA+qSJZ
2. qkが全て偶数の場合
y/p^nは奇数であり、分母は素因数2を一つ持ち、qkが全て偶数の場合、
Sは奇数となるからxは奇数となる。よって1+p+p^2+…+p^n≡2 (mod 4)
とならなければならない。よって、uを正整数としてn=4u+1でなければ
ならない。
0038１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/13(火) 06:52:13.03ID:wewNn4Nt
清書版

奇数の完全数をy、そのうち一つの素因数をp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk) …①

xの項数Sは
S=Π[k=1,m](qk+1) …②
となる

yが完全数である場合
y=x(1+p+p^2+…+p^n)-y
となるから
xΣ[k=0,n]p^k/2=y
xΣ[k=0,n]p^k/(2p^n)=y/p^n …③

1. qkに一つでも奇数がある場合
qkが奇数となる項の個数を正整数tとすると、
y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkは奇数であり、左辺の分母は素因数2を
一つ持つので、②から、xは素因数2をt個以上持つことになり
偶数となる。
よって、Σ[k=0,n]p^kは奇数でなければならず、nは偶数でtは1で
なければならない。

2. qkが全て偶数の場合
y/p^nは奇数、左辺の分母は偶数であり、qkが全て偶数の場合に
Sは奇数となるから、xは奇数となる。よって、
Σ[k=0,n]p^k≡0 (mod 2)
となることが必要で、nは奇数でなければならない。

1,2から、奇数の完全数が存在するためには、
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
0039１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/13(火) 08:26:14.75ID:BwPDiADw
ｐとｐ以外に分ける意味なし
0041１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/13(火) 12:20:49.36ID:y4S6HgE9
奇数の完全数は(存在するならば)「奇数の平方と奇素数の積となることが必要」って条件は広く知られてるしこれ以上掘り下げなくてもよくね？
0042１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/13(火) 13:20:17.52ID:BwPDiADw
>>38を書いていてｐが他の素数と同じ事やってるのに気付かないものか

Πp^nが奇数の完全数
Π(1+p+p^2+...+p^n)=2Πp^n
1+p+p^2+...+p^nの一つが偶数で残りは奇数
nの一つが奇数で残りは偶数

さらに進めると
1+p+p^2+...+p^nが偶数のときは4の倍数+2で
1+p+p^2+...+p^nは1+pの倍数だからpは4の倍数+1
1+p+p^2+...+p^nを4で割った余りとn+1を4で割った余りは等しいからnは4の倍数+1
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/13(火) 19:34:59.44ID:wewNn4Nt
>>38の続き

yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
なるが、pは整数であるからpはa-2bを約数に持ち、pが素数ある
ことに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。
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