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奇数の完全数の有無について [無断転載禁止]©2ch.net
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0002１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/01/09(月) 12:24:02.89ID:Q52KfRFd
出来るよ
(3^6151818)(5^816191)(7^81612)(11^7161)(13^61)(23)(59)(19173431197)
は完全数
0004１３２人目の素数さん
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2017/01/10(火) 09:22:51.87ID:FU/1ZKud
p^q*rr の形のはずだが…
pは奇素数、
p≡q≡1 （mod 4)
r：奇数（pで割れない)。
0006１３２人目の素数さん
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2017/01/12(木) 18:20:25.53ID:KoI7U9S5
>>2
約数の総和が(1+23)で、つまりは4で割りきれるのはおかしい
0017１３２人目の素数さん
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2017/08/06(日) 17:57:37.72ID:oDKJI1vJ
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
0019１３２人目の素数さん
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2017/08/06(日) 18:02:17.04ID:oDKJI1vJ
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
0021１３２人目の素数さん
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2017/08/06(日) 18:11:09.38ID:oDKJI1vJ
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
0024１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 20:00:16.83ID:a7KOzsQQ
>>22 訂正
奇素数をy、その素因数のうち一つをp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Σ[k=1,m]pk^qk

指数qmの値の合計は
S=Σ[k=1,m]qk
となる

yが完全数である場合
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-y
となるから
(1+p+p^2+…+p^n)x/2=y
(p^(n+1)-1)x/(2(p-1))=y
(p-1/p^n)x/(2(p-1))=y/p^n

y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数だから
左辺は分母が整数なので、分子も整数にならなければ
ならないので、xはp^nで割り切れなければならない

xは組み合わせの個数が2^Sであるから、S>0の場合には
偶数となるからxをp^nで割ることはできない。

よって、奇数の完全数は存在しない
0026１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 21:50:06.58ID:au7pDmu5
>>24
＞x=Σ[k=1,m]pk^qk
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)とは違うの？
0027１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 23:08:44.33ID:a7KOzsQQ
>>26
その式が正しいと思います。

Sの式も
S=Π[k=1,m](qk+1)
の誤りであることが分かり、xが偶数になる
qkが一つでも奇数がある場合の証明と
なっていました。
0028１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/12(月) 00:22:09.41ID:5RA+qSJZ
奇数の合成数をy、その素因数のうち一つをp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)

xの項数Sは
S=Π[k=1,m](qk+1)
となる

yが完全数である場合
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-y
となるから
(1+p+p^2+…+p^n)x/2=y
(p^(n+1)-1)x/(2(p-1))=y
(p-1/p^n)x/(2(p-1))=y/p^n

y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数であり、左辺は分母が整数なので
分子も整数にならなければならないので、xはp^nで割り切れ
なければならない

1. qkに一つでも奇数がある場合
xの項数Sが偶数となるので、xは偶数となるから
xをp^nで割ることはできない。

2. qkが全て偶数の場合
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
=Π[k=1,m](pk^(qk+1)-1)/(pk-1)

pk^(qk+1)-1がpで割り切れるためにはフェルマーの小定理から
sを非負整数として
qk+1=s(p-1)
となることが必要になるが、pは奇素数だから右辺は偶数と
なり、qkは奇数となり矛盾が生じる。
よって、pk^(qk+1)-1はpで割ることができない。

以上から、奇数の完全数は存在しない
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