前>>954方眼紙みたいな卑怯な手使うなよ。ジャポニカ学習帳じゃない子どうすんだよ？　俺が三平方なしで解いてやるよ。三角形が5つある。未知数が5つ以内ならかならず解ける。
∠C+∠APC+∠PAC=180°――①
∠PAB+∠ABP=∠APC――②
∠PBQ+∠BPQ=∠PBQ+∠APC(∵対頂角)=90°――③
∠PAB+∠ABP+∠PBQ=90°――④
∠PAC+∠PAB+∠ABP+∠C=180°――⑤
①に②を代入すると、
∠C+∠PAB+∠ABP+∠PAC=180°
これは⑤と同じ。
③と④を辺々足すと、
∠PBQ+∠APC+∠PAB+∠ABP+∠PBQ=180°
2(∠PBQ+∠APC)=180°
∠PBQ+∠APC=90°
これは自明。
①より、
∠C=180°-∠APC-∠PAC
=180°-∠APC-∠PBQ(これは言えないか。見た感じ∠PAC=∠PBQ=40°なんだが)

ACとBQの延長線の交点をDとすると、△ABDにおいてAC=x、CD=y、DQ=zとして、メネラウスの定理より、
(BP/PC)(CA/AD)(DQ/QB)=1
(1/2){x/(x+y)}(z/1)=1
xz=2(x+y)
(x+y)^2=z^2+25
(xz/2)^2=z^2+25
x^2･z^2=4z^2+100
(x^2-4)z^2=100
x=√13
z=10/3
y=(2/3)√13
PQ=2/3
AP=13/3
ピタゴラス使うなって言うなら方眼紙もだめだろ。せやて方眼紙で面積出してっじゃん。角度も長さも一意に決まるものだし、三平方だけ知ってるものを知らないふりして計算するのはむだな努力だと思う。