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小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 54 [無断転載禁止]©2ch.net
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0001132人目の素数さん2017/01/08(日) 19:48:14.70ID:Dk5s2RyM
小中学生の数学大好き少年少女!
ならびに小中学校範囲の算数・数学の問題で悩んでいる方!(年代を問わず)

分からない問題があったら気軽にレスしてください。
学校の宿題、塾の問題など幅広く扱っていきたいと思います。
文字の使い方等は>>2を参照のこと。

※あくまで小中学生のためのスレなので範囲外のものについては別スレに。
皆様のご協力よろしくお願いします。

前スレ
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 53
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1477714638/
0952132人目の素数さん2019/01/20(日) 13:10:36.99ID:eaqXGbSP
三平方で解けるってことは、相似でも解ける。相似は昔は小学校でやっていたらしく受験中学の範疇らしい。
0953132人目の素数さん2019/01/20(日) 13:54:50.14ID:RSKo8iTt
1×2の直角三角形と1×3の直角三角形の小さい角度の和が45度になるっていう有名問題があるんだが
それを知ってるかって問題だな
0954イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/20(日) 14:24:24.73ID:o7grfr7U
>>950三角形が5つある。
未知数が5つ以内なら解けるに。
∠C+∠APC+∠PAC=180°――@
∠PAB+∠ABP=∠APC――A
∠PBQ+∠BPQ=∠PBQ+∠APC(∵対頂角)=90°――B
∠PAB+∠ABP+∠PBQ=90°――C
∠PAC+∠PAB+∠ABP+∠C=180°――D
@にAを代入すると、
∠C+∠PAB+∠ABP+∠PAC=180°
Dと同じ。
BとCを辺々足すと、
∠PBQ+∠APC+∠PAB+∠ABP+∠PBQ=180°
2(∠PBQ+∠APC)=180° 2PBQ+∠∠BC=90°――E
@より、
∠C+180°+
APC+-PAC
=180°- PC ((-PCAA∠PAB






惜しいな、文字化けして書けなくなった。
0955132人目の素数さん2019/01/20(日) 20:14:27.20ID:CCGX47nW
6.5㎠やねえ

んー辺の長さに集中して三平方で解けるっちゃ解けるけど、最終的に計算量ある二次方程式解かされるな(ACBが直角二等辺かどうかなんか知らんくとも出せる

けど中学レベルとなるとやはりどっかに補助線引っ張って角度で直角二等辺証明するくさいなあ
0956132人目の素数さん2019/01/20(日) 21:15:49.33ID:OGd/X8zl
CからABに垂線、CからABにBQとの平行線を引くと細長い三角形と相似の三角形が4つ出来る
そのうちの一番小さい三角形は直角を挟む長い方の辺の長さが2とわかるので三平方を使えば斜辺の長さ(※)もわかる
垂線とAC、ABで囲まれた三角形は直角二等辺三角形になるので、相似な三角形のうちの2つは合同だとわかる
そうすると辺の比から直角三角形の短い辺の長さは※の5/4倍だとわかる
ABの長さは三平方を使えばわかるので面積を求められる

三平方無しだとどうやればいいんだろうか
0958132人目の素数さん2019/01/20(日) 21:37:27.49ID:OGd/X8zl
わかった
相似の比から※はABの2/5倍、垂線の長さはその5/4倍だからABの1/2倍ということになる
従って垂線の脚をHとするとBHも垂線の長さと同じということになるから垂線とAB、ACで囲まれる三角形も直角二等辺三角形だとわかる
ABを1辺とする正方形を描き、元の図の細長い直角三角形を正方形の各辺の内側に並べていくと
正方形の面積は細長い直角三角形4つと1辺が4の正方形の面積の和だとわかるので26
求める面積はその1/4
0959132人目の素数さん2019/01/20(日) 21:42:08.42ID:xIdaXiMW
う〜ん、944の指摘どおり方眼紙に作図すれば1発で答えが出るんだけどなぁ


辺BQを右に延長し、Cからその延長線に垂線を引き、その交点をHとすると
三角形PBQを1として、相似比3の三角形BCHができる。

点Aより右方向に辺BQに平行な線を引き、そこに点Cから垂線を引き好転をIとする。

方眼紙上で見ると、三角形ACIと三角形BCHは合同なので、角Cは90°
0960132人目の素数さん2019/01/20(日) 21:57:06.59ID:OGd/X8zl
方眼紙上で合同って言われてもなあ
それってぱっと見合同に見えるってだけじゃないの?
実際に合同ではあるけどその段階では相似であることがわかるだけなのでは?
0962132人目の素数さん2019/01/20(日) 22:23:35.26ID:xIdaXiMW
だから方眼紙上で見れば、だれがどう見ても合同
まずは作図してみな
0964132人目の素数さん2019/01/20(日) 22:42:58.42ID:CCGX47nW
なるほどその補助線の引き方が正解だな
相似と合同と初歩的な三平方だけでCHがABの垂直二等分の証明まで持っていける。まあ結局面積出すのに角C直角使わんでええけども。
0965イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/20(日) 22:52:53.09ID:o7grfr7U
>>954方眼紙みたいな卑怯な手使うなよ。ジャポニカ学習帳じゃない子どうすんだよ? 俺が三平方なしで解いてやるよ。三角形が5つある。未知数が5つ以内ならかならず解ける。
∠C+∠APC+∠PAC=180°――@
∠PAB+∠ABP=∠APC――A
∠PBQ+∠BPQ=∠PBQ+∠APC(∵対頂角)=90°――B
∠PAB+∠ABP+∠PBQ=90°――C
∠PAC+∠PAB+∠ABP+∠C=180°――D
@にAを代入すると、
∠C+∠PAB+∠ABP+∠PAC=180°
これはDと同じ。
BとCを辺々足すと、
∠PBQ+∠APC+∠PAB+∠ABP+∠PBQ=180°
2(∠PBQ+∠APC)=180°
∠PBQ+∠APC=90°
これは自明。
@より、
∠C=180°-∠APC-∠PAC
=180°-∠APC-∠PBQ(これは言えないか。見た感じ∠PAC=∠PBQ=40°なんだが)

ACとBQの延長線の交点をDとすると、△ABDにおいてAC=x、CD=y、DQ=zとして、メネラウスの定理より、
(BP/PC)(CA/AD)(DQ/QB)=1
(1/2){x/(x+y)}(z/1)=1
xz=2(x+y)
(x+y)^2=z^2+25
(xz/2)^2=z^2+25
x^2・z^2=4z^2+100
(x^2-4)z^2=100
x=√13
z=10/3
y=(2/3)√13
PQ=2/3
AP=13/3
ピタゴラス使うなって言うなら方眼紙もだめだろ。せやて方眼紙で面積出してっじゃん。角度も長さも一意に決まるものだし、三平方だけ知ってるものを知らないふりして計算するのはむだな努力だと思う。
0966132人目の素数さん2019/01/20(日) 22:59:40.55ID:xIdaXiMW
これは受験算数の問題だよ。方眼紙使えば三平方なんか使わなくても面積は出る。

三角形ABCが直角二等辺三角形なのがわかったから、三角形ABCと合同な三角形を
辺ABに貼り付け正方形を作る

その正方形の各辺に三角形BCHと合同な三角形を貼り付け、一辺が5cmの正方形を作る
そこから三角形BCHの面積×4を引き、更に2分の1で答えが出る
0967132人目の素数さん2019/01/20(日) 23:06:08.34ID:xIdaXiMW
つづき

正方形を作らない場合、三角形ABCに三角形BCHを2つ貼り付け
上底2、下底3、高さ5の台形を作る。そこから三角形ABHの面積×2を引く。
0968イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/20(日) 23:13:53.59ID:o7grfr7U
>>965補足。
△ABD=BD×AQ×(1/2)
=(1+10/3)×5×(1/2)
=(13/3)(5/2)
=65/6
AC:CD=3:2だから、
△ABC=△ABD×(3/5)
=(65/6)×(3/5)
=13/2
=6.5(cu)
0969132人目の素数さん2019/01/20(日) 23:17:19.01ID:CCGX47nW
相手にしたく無かったけど
方眼紙とかまじめに言ってるんだな
哀れだな
0970132人目の素数さん2019/01/20(日) 23:36:29.26ID:aCo32OmV
Bを原点(0,0),Qを(1,0)Aを(1,5)とおく
Cを通りAQに平行な線をひく。
辺の比に注目したらC(3,○)

C'を(3,2)にとると右下と右上に辺の長さが2,3で挟角が直角になる、合同な三角形が出来てその斜辺からAC'=BC'の直角二等辺三角形が出来る。

角BACが45度になる様にとるには
CがAC'上の点である必要があるからC(3,○)を満たす事からC=C'である事がいえる。

所詮は算数なんで わざわざC'なんて想定しなくても
(3,2)である事は勝手にいっていい
0971132人目の素数さん2019/01/20(日) 23:39:41.55ID:aCo32OmV
これを雑に方眼紙っていってるのだよ 分かってないのは 2次方程式をとくしかないとかピタゴラスの定理を使う!とかいってるアホだけなんだなぁ
0972132人目の素数さん2019/01/20(日) 23:42:49.69ID:YGFLUALG
座標を設定して解いたら
せいぜいセンター試験レベルの問題だろ?

Aを原点にとって、Qをy軸上、B(-1, 5)となるように座標をとると、
C(2, 3)、面積は13/2と出た。

図を逆さにしたくなかったら、
Aを原点にしてC(2, -3)ということ。
0975 【末吉】 2019/01/21(月) 00:41:09.19ID:SdfTkvr/
>>968
試験会場に辞書持ちこむとか、面積求める問題に方眼紙使うとか、小学生じゃあるまいに、大の大人が卑怯だ、開運!!
0976132人目の素数さん2019/01/21(月) 08:23:36.84ID:vUGyFC3R
こういうことか
http://iup.2ch-library.com/i/i1965362-1548026187.jpg
∠Aが45°なのでCは正方形ABCDの対角線AD上にある
BQが1なのでQHは2、BFが5なのでHFも2
従ってCはADの中点であるので対角線BEの中点でもある
よって△ABCの面積は正方形ABCDの1/4
正方形ABCDの面積はさらに大きく描いた正方形の面積36からはみ出た三角形4つの面積(合わせて10)を引いて26
答え6.5
0977イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/21(月) 13:21:18.49ID:SdfTkvr/
>>975題意より、中高生ならこう解くだろう答案を整理した。
AQ=5p、BQ=1p、∠AQB=90°だから、AB=√26
点CからABに下ろした垂線は、ACsin45°
△ABC=(1/2)(√26)ACsin45°=(√13)AC/2
AC=xとして、AP+PQ=5でxの二次方程式を立てる。
AP=(√13)x/3
PQ={√(x^2-9)}/3
2x^2-5(√13)x+39=0
これを解いて、x=√13
∴△ABC=13/2=6.5(cu)
0978132人目の素数さん2019/01/21(月) 13:33:47.58ID:/N37nG4D
だからそれ、△ABCが直角二等辺三角形であることを示してからでないとダメだろ
何回指摘されてるんだよ
0982132人目の素数さん2019/01/21(月) 21:29:07.07ID:vUGyFC3R
>>981
そうはなるけど、そうなることが示せてるか?その表現で
CがADの中点にあることを示さないとダメなんじゃ?
>>976に書かれてるよ
0983132人目の素数さん2019/01/21(月) 22:34:35.38ID:sb1L1MYB
ちょっと訂正
>2 (添付図形の記号を使います)傳HIに対して相似比3の三角形は、対角線は点Cで接する
2 (添付図形の記号を使います)傳HIに対して相似比3の三角形は、対角線と点Cで接する

>>982
これ https://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org570244.png は
点Cが(3,2)であることを説明しただけ

んで、https://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org570222.png に戻って
台形ABFEの面積から傳CFと僊CEの面積を引けば、僊BCの面積が出る


もしくは、僊BCの座標を使い
|1×2 − 5×3| / 2 としても僊BCの面積は求められる
0984イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/22(火) 03:25:21.21ID:O+Ipxe5A
>>977相似が言えない。

PQ=vとおく。
CからAQに垂線ARを下ろすと垂線は、
2p
垂線の足RはPからA方向に、
2vp
の位置にある。
CからBQの延長線に垂線CHを下ろすと垂線の長さは、
3vpである。
△PBQと△CARにおいて、
BQ:PQ=AR:CR(-_-;)
1:v=(5-3v):2
(5-3v)v=2
3v^2-5v+2=0
(3v-2)(v-1)=0
v=2/3
△ABC=(1/2)AP(BQ+RC)
=(1/2)(5-v)(1+2)
=(1/2)(13/3)3
=13/2
=6.5(cu)
0985132人目の素数さん2019/01/22(火) 07:46:01.21ID:9LPu3Ks9
>>984
∠Cが直角であることを示さないとダメだと何度指摘されたらわかるの?
そしてそれが∠Cが直角だとわかったのなら△ABCは直角二等辺三角形なのだからややこしい計算しなくても面積を求められることも何度も指摘されてる
0986イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/22(火) 09:57:40.59ID:O+Ipxe5A
>>984
>>985∠Cが直角になることを示せないかと考えていたら、△ABCの面積が求まりそうになって結局は方程式を立てる問題かな、と。

AC=x、AP=wとかおいて(ACの延長線とBQの延長線の交点をDとして、CD=y、QD=z)辺の比からwの三次方程式が立ち、w=13/3と出るか! と思いました。もし出たら、
PQ=5-w=2/3です。
メネラウスの定理を使ってはいけないと言われそうで留まっています。
0987イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/22(火) 10:11:42.28ID:O+Ipxe5A
>>986補足。
x/y=(3w-10)/(15-3w)
z=3w/(3w-10)
AR=3w-10
RP=10-2w
PQ=5-w
△ABC=(1/2)AP(BQ+RC)
=(1/2)w・3
=3w/2
0988132人目の素数さん2019/01/22(火) 11:19:43.08ID:ujBDzOv8
>>986
どこがおかしいと指摘されているのかわかってるか?
>>984を見るとBQ:PQ=AR:CR(-_-;)と顔文字書いてるから自分でもわかってるんだろうけど
その比が等しいことを言うには△PBQと△CARが相似であることを示す必要があるだろう?
>>987も相似であることを示せていないのに使っちゃってないか?
0990イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/22(火) 11:58:33.72ID:O+Ipxe5A
>>987整理します。
∠BCAが何度かわからない前提で解くなら、方眼紙は使えない。
∵∠BCA=90°とわかってしまうから。
小学生ならあるいは方眼紙を持ちこんでも許されると思う。
中高生以上は、角度に関して式を立てるか、辺について相似比かメネラウスの定理を使ってAP=wまたはPQ=vの三次方程式か二次方程式を立てるか、だと思いました。
三角形の相似条件は、
「2角が等しい」
「2辺の比とそのあいだの角が等しい」
「3辺の比が等しい」
のいずれかだと思う。
相似が言えないならメネラウス、ということです。
∠ACPの角度がわからないまま式を立てることができると思います。
0992132人目の素数さん2019/01/22(火) 12:14:37.93ID:PtBw+kQD
方眼は持ち込むのではなくて
中学受験生なら自分でフリーハンドで描く訓練をしてるだろ
0993イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/22(火) 12:32:51.37ID:O+Ipxe5A
>>990俺、青チャートで独学した派だから、加法定理たぶんやってない。

tanはsin/cosでなんとか。

メネラウスとチェバは授業で何回もやってたからまあまあわかる。
0994132人目の素数さん2019/01/22(火) 12:41:27.61ID:KmvfzYEW
コイツ方眼紙ってホントに物理的に方眼紙を持ってきて当てるとでも思ってるのか?www
アホすぎwww 直行座標系で考えるってのを小学生的表現で方眼紙っていってるだけで 実際に方眼紙当ててみるわけじゃねぇからwww
0995132人目の素数さん2019/01/22(火) 12:54:37.81ID:ujBDzOv8
方眼を想定することで∠Cが直角だと導くことが出来るのならそれはそれでOKだろう
直角だと想定して方眼描いて答え導いちゃダメだけど
方程式でもなんでもいいけどその前提を勝手な推測・決めつけでやっちゃダメだという話なのに
0996イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/26(土) 16:53:31.77ID:CJ9oP9eJ
>>993これで文句ないだろ。ピタゴラスは禁止するなよ。AC=tとして、
A(0,0)
B(√26,0)
C(t/√2,t/√2)とおく。
直線BCは、
y=-t(x-√26)/(2√13-t)
直線AQは、y=x/5
2式より交点Pのx座標は、
x/5=-t(x-√26)/(2√13-t)(2√13-t+5t)x/(10√13-5t)=t√26/(2√13-t)
x=t√26・5(2√13-t)/2(2√13-t)(√13+2t)
=5t√26/2(√13+2t)
y座標は、
y=t√26/2(√13+2t)
題意よりPC=2BPだから、
x座標について、
5t√26/(2√13+4t)-t/√2=2{√26-5t√26/(2√13+4t)}
5t√26-(√13+2t)t√2=4√26(13+2t)-10t√26
5t√26-t√26-2t^2・√2-52√2-8t√26+10t√26=0
2t^2・√2-6t√26+52√2=0
t^2-3t√13+26=0
(t-√13)(t-2√13)=0
t=√13またはt=2√13――@
y座標について、
t/√2-t√26/(2√13+4t)=2t√26/(2√13+4t)
t=√13――A
@Aより、t=√13
△ABC=(1/2)AB・ACsin45°
=(1/2)√26・t(1/√2)
=t√13/2
=13/2
=6.5(cu)
0998イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/26(土) 18:48:47.43ID:CJ9oP9eJ
>>996
>>997BQの中点とAを結んでその線分を軸に△BAQを反転させてみて。線対称な△Q'AB'でAQ'の傾きは、1/5だよ。
∠Cではできないことが∠Qだとできるんだよ。
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