小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 54 [無断転載禁止]©2ch.net
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小中学生の数学大好き少年少女！
ならびに小中学校範囲の算数・数学の問題で悩んでいる方！(年代を問わず)
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学校の宿題、塾の問題など幅広く扱っていきたいと思います。
文字の使い方等は>>2を参照のこと。
※あくまで小中学生のためのスレなので範囲外のものについては別スレに。
皆様のご協力よろしくお願いします。
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小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 53
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1477714638/ ２組の夫婦がブリッジをしている。カードが配られたあとで、ゲームに参加していない人が、
ゲームの参加者１人にエースを持っているか尋ねると、彼女はうなずいた。
２回目にカードが配られたあと、スペードのエースを持っているか尋ねると、
また彼女はうなずいた。彼女が２枚以上エースを持っている確率は、どちらの場合が高いか。 ブリッジのルールがよく分からないので、手札は2枚とする。
彼女は嘘をついていないとして、
A:エースを2枚持っている。
B:エースを1枚以上持っている。
C:スペードのエースを持っている。
P(A∩B)=(4P2)/(52P2)=12/2652
P(B)=1-P(￢B)=1-(48P2)/(52P2)=396/2652
P_B(A)=P(A∩B)/P(B)=12/396=1/33
P(A∩C)=(2*3)/(52P2)=6/2652
P(C)=(2*51)/(52P2)=102/2652
P_C(A)=P(A∩C)/P(C)=6/102=1/17
よって2回目の方がエースを2枚持っている確率が高い。 某ネズミの国系の子供用テレビ番組で、多角形(三角形～六角形くらいまで出てくる)の説明に引っ掛かって仕方ないアラフォーです。
｢辺が6つあるから六角形だね！ハハッ！｣。
と、辺の数を数えて○角形って説明するんです。
角形って言うんだから角を数えんかい！
アメリカではそうなんでしょうか、時代が違うんでしょうか？
このモヤモヤをスッキリさせたいです。 昔は、日本もｎ辺形という言葉も使っていたという。
平行四辺形ってのはその名残だと思う。
国会図書館の数学関係のデジタルアーカイブを見てみると、変遷が分かるカモね。 平行なのは辺だから、平行四辺という言葉が自然だったのだろう。
英語で普通の"tetragon"は「四角形」でも「四辺形」でもないが、
類語に四面体"tetrahedronが"あるから、英語圏では
辺より頂点に注目するのが普通なのかもしれない。 三角形の内角の和が常に180度になるのはなんだか不思議
ところで多角形の内角の和を求める一般式は対角線で三角形を作ってやれば導けるけどこの式を三角形の内角の和のように厳密に証明するにはどうしたらいいのだろう？ >>14
> 対角線で三角形を作ってやれば導けるけど
これでいいじゃん
なんでダメなの？ >>15
こう言い換えた方がいいのかな
1億角形でも1兆角形でも内角の和を求める式が成り立つ根拠をどう示せばいいのかということ
例えば八角形くらいだったら作図から明らかにとできるけど >>16
角を一つ増やすたびに三角形が一つ増えるじゃん 外角を足していくと図形を一周することになるから、和は360°
よって、(n角形の内角の和)=360n-360-180n=180(2n-2-n)=180(n-2) [°] ありがとうございます
数学的帰納法ですね
外角の和を使う方法も面白いですね
どんな多角形でも外角の和は360度というのを内角の和の式を使わずに証明するのは難しそうですが外角の和が一定というのは初めて知りました とても興味深いです >>20
辺の角度を変えていくと考えれば1周すると360°じゃろ 辺に沿って鉛筆を滑らしていくと分かりやすいが
どっちみち厳密ではない うん実際に鉛筆で回転させていくとぴったり1回転で感動するね
あと多角形の内角の和は差180度の等差数列なんだということも改めて分かって面白い
180°( n + 1 - 2) - 180°(n - 2) = 180° 中学生の甥っ子に質問されました
三角形ABCがありこの図と同じものを書きなさいという問題です
３つの条件を使って書きなさい
３つの辺の長さ
２つの辺の長さとその間の角の大きさを使う
１つの辺とその両端の角の大きさを使う
底辺BCは書いてあり上記の3つの条件で作図するとのことなのですが
１つ目はコンパスで辺の長さをとればいいのでわかったようなのですが
△ABCには角度が書いてないので
この場合２つ目と３つ目を角度を測ったりしないでもできますか？
角度測ればいいんじゃないかと思ったのですが
測ったらだめなんじゃないかと言うのでどうしたものかと
学校か塾から却ってきた解答には角度が入っていたので
どうしてその角度がでてきたのかどうやって作図したのかわからないようです
おねがいします >>24
問題をうpするか三角形の形状を具体的に書いてください >>24
でもやっぱり問題の意図考えればそうですね、分度器を使っているのでしょう
難しいことは考えずに、実際に三角形作らせてその条件を満たせば同じものができるということを確認させる問題なんだと思います コンパスで同じ長さをとるというのも精密には実行出来ているかどうかわからない
しかし数学における作図ではそれは出来るものとして考えるので、
実際には多少ずれていても問題とせず出来ているものとして扱う
角度についても、分度器を用いるなどしておおむね同じ角度で作図し「こことここが同じ角度」などと表記しておけば
同じ角度が作図出来ているものとして扱うんだと思う 数学の作図で出来ることとして扱われているのは定規で直線を引く、点と点を結ぶ
コンパスで円を描く、点と点の間の長さを計り取るとかだから
同じ角度を作るというのは三辺相等を使って合同な三角形を描くことで行うことになる
だから、本当はその問題はおかしいんじゃないかと思う
中学生のその段階で何が許される操作なのかを教科書とかで確認した方がいいんじゃないかな 分度器使っていいかどうかなんて中学数学全体で決まってなんてないよ
そんな面倒な厳密性、教育には邪魔なだけ、問題ごとに空気読むんだよ 角度を測ってはいけないというのは、高校受験で角度問題が出たときに、実際に作図が行われて
解かれるのを防ぐために受験時に分度器の持ち込みができないというだけの話。
普段の授業では、当然分度器を使っても良い。
ただ、角度の計算問題では駄目だろうなあ。 みなさんありがとうございました
合同条件をわかろうみたいなのが目的だと思うので
この問題は角度測らないとできないから、測っていいんだよと伝えました
それまでにやった問題とか普段の授業で分度器使わないで
とか言われたのが頭にあって使ったらいけないみたいに思ってしまったと推測してます >>26 >>31 が正解だろうが、
不用意に「作図」という言葉を使ったのが失敗かな。
合同条件を学んでるとこってことは、
まさに初等幾何を習っている最中なわけで、
ユークリッド作図でないものを「作図」と呼ぶのはマズい。
「この図と同じものを書きなさい」という
微妙な問題文の含蓄を説明してあげたほうがよいかも。 息子に聞かれたのですが作図の問題です。
l,mの2直線があり、l上に点Aがある。
このAに接してなおかつ直線mにも接する円を書きなさい
とのことなんですが、
息子は点Aを通り直線lに対する垂線を、直線mにも交わるところまで引き、
その直線mにできた交点と点Aの垂直二等分線を引いて、垂線と交わったところを中心とする円を作図しました。
ですが不正解とされていました。
中心から点Aと直線m上にできた交点までの距離は等しいので正解だと思うのですが、私の知識不足で説明できません。
どなたか教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。 >>33
> 息子は点Aを通り直線lに対する垂線を、直線mにも交わるところまで引き、
> その直線mにできた交点と点Aの垂直二等分線を引いて、垂線と交わったところを中心とする円を作図しました。
ちょっとよく意味がわからない
交点と点Aの垂直二等分線って交点と点Aを結んだ線分の垂直二等分線ってこと？
これと垂線の交わったところってその線分の中点でしょ？ 垂直二等分線を引く意味がわからない
> 中心から点Aと直線m上にできた交点までの距離は等しいので正解だと思うのですが、私の知識不足で説明できません。
距離が等しいだけではその円が点Aと直線m上にできた交点を通ることがわかるだけであり、
その点で直線に接しているとは限らない（円の中心は点Aを通る直線lの垂線上にあるので点Aでは接するといえるけど） >>33
お返事ありがとうございます。
点Aと直線mが等しい距離となる点を中心にして円を書く。だと根拠にならないということなんでしょうか？
私の説明がわかりづらくてすみません >>34さんでした。
連投すみません
コンパスが今お家になくて、こんな図なのですが、一応再現してみました。
http://i.imgur.com/eoEDVAm.jpg >>36
都合良く描いているだけでその図は間違ってる
その作図で正しいとすると交点の位置を固定したままmの傾きをどれだけ変えても円とmが接していることになってしまうがそうじゃないことは明らかだろ >>37さん
ご指摘ありがとうございます
たしかにそうですよね…
これと正しいやり方との違いを、本人が納得いくようにしてあげるには、どう説明してあげたら良いでしょうかね…
重ねて質問すみませんがよろしくご教授くださるとありがたいです。 >>38
点Aで直線lに接する円の中心は、点Aを通る直線lの垂線上にある（だから中心を探す際に垂線を描くわけだが）
そして、同じ理由により、円が直線mとも接しているのであればその接点と円の中心を通る直線は直線mと垂直でなければならない
従って、息子さんの作図方法で円の中心が求まるのは直線lの垂線が直線mの垂線にもなっている場合、つまりlとmが平行である場合だけということになる >>39さん
なるほど
直線lと直線mのそれぞれと垂直に交わる垂線の交点じゃなければ中心にできないとのことですかね。
何度か御指南通り書いてみたのですが、
角の二等分線だとどうしてそうなるのかがいまいちわかりません。。。
教えていただいたようにまたやってみます！
ありがとうございます >>40
その作図が問題に出ている段階ではなぜそれでよいのかは当然学んでいる
直角三角形の合同条件
ただ、lとmが問題図として与えられ、しかもlとmが平行に近くて交点が答案用紙からはるかにはみ出るところにある場合、
作図方法を述べてそれっぽく描けばよいのか、実際に作図してみせるためにlとmとの交点を用いずに解くのかはよくわからない
ちょっと面倒な作図にはなるけど交点を用いなくても出来ないわけではない >>33
平行でない直線lと直線mの交点を点Xとする。
Xを中心にAを通る円を描き、この円と直線mの交点BおよびCを求める。
（BとCは、m上でXについて対称の位置。円とlの交点はXについてAの
対称位置にもできるがこの交点は本問には無関係）。
Aを通る直線lの垂線とBを通る直線mの垂線を引き、二つの垂線の交点O1を求める。
また、Cを通る直線mの垂線を引き、Aを通る直線lの垂線との交点O2を求める。
O1を中心としてA(とB)を通る円1、O2を中心としてA(とC)を通る円2の二つの円を描く。
作図方法より、円1の中心からAに引いた半径と直線lが垂直なので円1はAで直線lに
接し、また中心からBに引いた半径と直線mが垂直なので円1はBで直線mに接している。
円2についても同様にAで直線lに接しとCで直線mに接している。
実際に作図すると、直線lとmの交わる狭い方の角度側の円は描けるが、
広い方の角度側の円は用紙からはみ出すかもしれない。二つの直線を
90度に近い角度で交わるようにすれば、二つの円を作図できるだろう。 1,2,3の3つの数字を使って並べるとき全部で7通りの並べ方が出来ます
1
2
3
1 2
1 3
2 3
1 2 3
全部で何パターンあるかを計算式で求める方法を教えてください >>54
並べ方というよりは組合せ
計算で出す必要ある？
敢えてやるとしたら
3Ｃ1+3Ｃ2+3Ｃ3=1 あと1,2,3のそれぞれの数字を使うor使わないの2通りずつ
全ての場合の数
2*2*2=8
そのうち数字を1個も使わないのは1通り
よって8-1=7 （ ´・д・｀)ユトリの計算方法
８５００÷５０
= ８５０÷５
= （１０００－１５０）÷５
= ２００－３０
= １７０ すいません、中1なので授業で習ってなくてCが何を意味してるのかわかりません
1,2,3,4の場合
1
2
3
4
1,2
1,3
1,4
2,3
2,4
3,4 x×5=40のxを求める時に
40÷5をすればよい理由を小学生にうまく説明する方法ありませんか x*5=40
x*5/5=40/5
x*(5/5)=40/5
x*(1)=40/5
x=40/5 >>61
チョコレートx個入りの箱が5箱あります→チョコレートの総数をxで表すとx*5（個）
箱から取り出してチョコレートの総数を数えてみたら40個でした→チョコレートの総数で等式を立てるとx*5=40
xを求める計算は、チョコレート40個を5箱に均等に入れるには1箱あたり何個入れればよいかという問題と同じ→40÷5 >>62-63
ありがとうございます
小学生なので移項とかは難しいかも…
チョコレートの例で行ってみようかと >>64
教科書にりんごやらみかんで説明してあるやろ
それ使えよ 「こういうときに使うのが割り算です」と言って
チョコレートの例題を暗記。
代数学でも、数式を使うだけで
実質それと同じことをやってる。 >>61
x×5=40のxは5とかけて40になる数のこと
5とかけて40になる数を40÷5と書き表す 賛同者が現れたな。
何といっても、それが割り算の定義だからな。 お願いします
小学校３年生です
半径５㎝の円があります
その円の円周上に、点を一点とります
さらに、円周上に、先ほどとった点から直線距離で2㎝離れた点をとりたいのです
授業ではコンパスを使ってとる(見つける)ことになっていますが、友達はものさしでもとれるから大丈夫と言っています
ものさしでも、正しく点を見つけられたことになりますか？ 細かいことを言い出すと数学における「作図」で許される操作とは何かという話になってしまってとても面倒だけど
おおざっぱに言えば、物差しでも出来るというのはものさしをコンパスのように使うことにならざるを得ないので
数学的に言えばその友達がやっていることはコンパスを使って取っているのと同じことのはず >>70さん
返信ありがとうございます
>>物差しでも出来るというのはものさしをコンパスのように使うことにならざるを得ないので
ここのところがよくわかりませんでした
友達の方法は、コンパスと同じだから良い、ということですね >>71
コンパスは支点から等距離にある点の集まりを描くことが出来る道具
その友達の方法というのは最初にとった円周上の点から2cmのところにある別の円周上の点を物差しで探すってことだろ？
このとき結局、最初の点から等距離にある点の集まりの中から元の円周上の点でもある点を探すことをすることになり、
それはコンパスで行う作業と実質的に同じということになる
ただ、物差しをコンパスと同じ作業が出来るものとして扱ってよいのかどうかは別の話で、
おそらく試験では×にされると思う >>72さん
返信ありがとうございます
試験でバツということは、だめだということですね？
良いという意見とだめだという意見、どちらなんでしょう
わからなくなってきました >>73
>>70を書いたのも俺だよ
良いと書いたつもりはない 物差しはだめだろうな
直線距離で2cmの点がキッチリ円周上という保証が無い
パッと見は円周上かもしれないがね ひとくちにコンパスと言っても、いろんな形のものがあってね。
その友人の「ものさし」もコンパスの一種と認められるなら「良い」だし、
それが認められない(>>75の言うように)なら「だめ」ということだろ。
算数ではまだ教えないけれど、中学以上では、
ものさしは目盛を使ってはだめで、線をひくだけの道具だから。
先生の念頭には、おそらくそれがある。算数での扱いは微妙なんだけれど。 >>69
ものさしでは常に2cmを測りとれるとは限らんだろう
仮にそのものさしで2cmが測り得るとしても、円周上には無数の点が存在してすべての点を調べなければならない 両親が小中学校教諭の妹夫婦から、小２の姪っ子の算数の教え方が分からないとの相談を受けました
姪っ子は学校から帰ってきてすぐに宿題を始め、１問が何時間かかっても理解できなかったらしく
両親が仕事から帰ってきた時には自分の頭の悪さに嘆きパニックを起こしていたようです
電話で聞いた限りでは問題としては
・１３×７＝６×□＋△×☆＝
みたいな感じで穴埋めで解き方を誘導し、所見で難しい問題を解かせるのが狙いのようです
小２のため一桁×一桁しか習っていないため10x7+3x7ではありません
・１３×７＝６×７＋７×７＝９１
が正解です
「問題を解かなくてもいい。出来なくてもいい」と言ったところで負けず嫌いな上にパニック症状にまで陥っているため
理解できるまではトラウマとして残ってしまいそうです
何かいい教え方は無いのでしょうか？
マナー違反かとは思いますが、急いでいるためageさせていただきます 問題文ですが
・１３×７＝６×□＋△×☆＝
は誤りで
・１３×７＝６×□と△×☆＝
が正解のようです
妹夫婦もこのような問題を見たことが無く、おそらく和の積を用いると問題があるため
”＋”ではなく”と”が使われています 例えばだけど、おはじきを91個用意して
○○○○○○○○○○○○○ 13個
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
7列
総数は13×7
これを6個のところで区切って
○○○○○○ ○○○○○○○
○○○○○○ ○○○○○○○
○○○○○○ ○○○○○○○
○○○○○○ ○○○○○○○
○○○○○○ ○○○○○○○
○○○○○○ ○○○○○○○
○○○○○○ ○○○○○○○
とすると左側の一団が6×□で右側の一団が△×☆と表すことが出来る
小学校教諭がいるならその人に聞けばいいんでないの？ >>89
問題文が6×◻︎と◻︎×◻︎なら何をさせたいのかはわかります
>>90さんのいうように、分配法則を意識させたいのでしょう
ですが、◻︎△☆とくると単なるパズルでしかなくなるでしょうね 分配則なら、１３×７＝６×□＋△×☆でなく
１３×７＝□×７＋△×☆とかなんじゃない？
パズルの解法としては、九九表を眺めて
１３×７ー△×☆が６の倍数になるような
△×☆を探したらいいような気がする。 一桁×一桁しか習ってないんだから、最初の13×7の答えも出てないんでしょ
分配しかないんじゃない。上にあるおはじきとか その通り
ルートの前に分数の計算をしっかりできるようにね 連立方程式がわかりません
どこがダメなの？？
詰みました
教えて下さい
http://i.imgur.com/VqCdAAb.jpg (-6)^2×(-1)^2=-36って本に書いてあるんですけど間違いですよね？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
