1文字変えたら難易度が激変する問題 3文字目 [無断転載禁止]©2ch.net
>>30
〔補題の補題〕
[Hard]のとき
a_{m+n}- a_m は(a_n)^2 で割り切れる。(kisato氏)
(略証)
m についての帰納法で。
m=1 のとき、漸化式より
a_{n+1}- a_1 ={(a_n)^2 + 1}- 1 =(a_n)^2,
また、
a_{m+n+1}- a_{m+1} =(a_{m+n}+ a_m)(a_{m+n}- a_m)
ゆえ、あるmに対して成立なら、m+1に対しても成立。
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割り切れる。(乗法的)
これが分かると難易度に差はない、というのが出題の趣旨でしょうか。
http://suseum.jp/gq/question/2658 >>38
2項漸化式を少し一般化して、
a_{n+1} = P( a_n ), ただし P(x)は多項式で P(0) = a_1,
としても
a_{n+1} - a_1 = P(a_n) - a_1 = Q(a_n, 0)a_n ≡ 0(mod a_n),
a_{m+n+1} - a_{m+1} = P(a_{m+n}) - P(a_m)
= Q(a_{m+n}, a_m)(a_{m+n} - a_m),
なので、同様のことが成立つ(?) [Lunatic] n^m=4m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
[Easy] n^m= m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。 [Hard] 正の実数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
[Easy] 正の整数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。 [3,1,0]
[Hard] A=[0,0,1]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
[3,1,0]
[Easy] A=[0,0,0]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2] [Hard] 点(k,-8)を通る、y=x^4-6x^2の接線は何本あるか?
[Easy] 点(k,-8)を通る、y=x -6x^2の接線は何本あるか? [Hard] nを自然数とする。0≦x<2^{+1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
[Easy] nを自然数とする。0≦x<2^{-1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。 座標平面上にA(0,2)、B(1,-1)があり、動点Pがx軸上全体を動く。
[Hard] PA-PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Easy] PA+PBの最小値があれば、その値を求めよ。 [Easy]の方はピタゴラスの定理が必要だが
[Hard]の方は不要
考え方によっては[Hard]の方が簡単 >>40
[Lunatic](m,n)=(1,4)(8,2) たぶん…
[Easy] (m,n)=(m,m)(2,4)(4,2)
>>41
整式を差分すると次数が1つ下がるから、fは2次式。
>>45
[Easy]
[ 3^n,3^(n-1),0 ]
A^n =[ 0,0,0 ]
[ 0,2^n,2^n ]
[Hard]
[ 3^n,3^n - f_{n+1},3^n -(1/2)f_{n+2}]
A^n =[ 0,2f_{n-1},f_n ]
[ 0,2f_n,f_{n+1}]
ここに f_n ={(1+√3)^n -(1-√3)^n}/(2√3),
漸化式
f_{n+1}= 2f_n + 2f_{n-1},
f_0 = 0,f_1 = 1,f_2 = 2,f_3 = 6,…
>>46
[Easy]
k <(1-√193)/12,k >(1+√193)/12 2本
k =(1±√193)/12 1本
(1-√193)/12 < k <(1+√193)/12 なし
[Hard]
(±2,-8)(±√2,-8)を通る。
(±1,-5)変曲点
|k|< 11/8 2本
11/8 ≦|k|≦√2 3本
√2 <|k|<2 2本
|k|= 2 3本
2 <|k| 4本
>>57
[Easy]x=π/4,
[Hard] 増減表より
nが偶数のとき x=π/4 + nπ/2,
nが奇数のとき x=π/4 + nπ,
>>58
[Hard]最小値なし。下限 -1,P(-∞,0)
[Easy]△不等式より AB=√10,P(2/3,0) >>4
[2014/5]+[2014/25]+[2014/125]+[2014/625]= 501,
2014! = 5^501 ×(2 + 15 + 25 + 250 + 0 + 12500 + …)
= 5^501 ×(2+15)+ 5^503・M
[Easy] 0
[Hard] 17×5^501 >>57
[Hard]増減表より
nが偶数のとき周期π x = π/4 + mπ/2
nが奇数のとき周期2π x = π/4 + mπ
(mは任意の整数)
>>58
[Hard]
P(x,0)とおく
PA + PB >|x|+|1-x|= Max{|2x-1|,1}≧|2x-1|,
PA - PB + 1 = 2(x+1)/(PA+PB)+ 1 > 0, 結び目の完全分類法。ジョーンズ多項式までなら理解できたのだが。
Γとηとζとθの関数等式。どこかで見たけどどんなんだったかな。 [easy]1^9999999999999999を求めよ
[hard]2^9999999999999999を求めよ 数字変えるのは反則だろとオモタが
縛りきつすぎるかな [easy]2+9999999999999999を求めよ
[hard]2^9999999999999999を求めよ >>91
100^2 = 1.0000E+4
100! =
= 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864 * 10^24
= 9.3326215443944… E+157
スターリング近似では
√(2π)n^(n+1/2) e^(-n)= 9.3248… E+157 (誤差 -8.33E-4)
√(2π)n^(n+1/2)e^(-n +1/12n)= 9.332621570… E+157 (誤差 +2.78E-9)
√(2π)n^(n+1/2)e^(-n +1/12n -1/360n^3)= 9.3326215443936… E+157 (誤差 -7.93E-14) >>103
リーマン予想
高度経済成長期に台頭したリーマン達にとっては
2008年の金融破綻はショックだったであろう。 >>77
[Easy] 1
>>79
[Easy] 10000000000000001 >>126
サラリーマン → サラリーパーソン
と云ウべきか? >>128
スレタイに合わせて1文字変更で何とかしてくれないか [Hard] y=x^2 exp(-x)のグラフを、極値、変曲点を含めて描け。
[Easy] y=x exp(-x)のグラフを、極値、変曲点を含めて描け。 >>130
[Easy]
極大 x=1, y=1/e,
変曲点 x=2, y=2/ee,
[Hard]
極小 x=0, y=0,
極大 x=2, y=4/ee,
変曲点 x=2±√2 (xx-4x+2=0の根) >>131
Hardは、2つの変曲点のy座標がどちらが上かを考えたうえで
グラフを描くのが最大の難所ですね。2.71<e<2.72は証明なしに使ってもいいものとして。 >>130
y(2-√2)/y(2+√2)={(2-√2)e^(-2+√2)}/{(2+√2)e^(-2-√2)}
=(3-2√2)e^(2√2)
>(3-2√2)(1+2√2+4) (*)
= 7 -4√2
> 1.343
y(2-√2)> y(2+√2)
*) a>0 ⇒ e^a > 1+a+aa/2 [Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+i/n|^nを求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+1/n|^nを求めよ。 [Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+i/n)^n)を求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+1/n)^n)を求めよ。 [Hard] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。
[Easy] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (-1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。?? [POSSIBLE]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=1.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-5((a_n)^2+(a_n)) [Lunatic] n^3+7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。
[Easy] n^3-7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。 [Hard] 赤玉と白玉が6つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
[Easy] 赤玉と白玉が2つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
(いずれも回転して同じ並びになる場合は、同じ並べ方とする) [Hard] 2019文字の置換から、無作為に置換を1つ選んだとき長さ200の巡回置換を含む確率を求めよ。
[Easy] 2019文字の置換から、無作為に置換を1つ選んだとき長さ2000の巡回置換を含む確率を求めよ。
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/19/n01.html [Hard] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=2)を解け。
[Easy] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=1)を解け。?? KJ2guel2aRE
障害者顔のゴミ山ほだかヒトモドキ轢き殺されろ [Hard] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
[Easy] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+2|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。 [Hard] \lim_{n→+∞} cos (2πen!)を求めよ。
[Easy] \lim_{n→+∞} cos (2πn!)を求めよ。 [未解決]x^3+y^3+z^3=114を満たす整数x,y,zを求めよ
[糞簡単]x^3+y^3+z^3=514を満たす整数x,y,zを求めよ >>169
Easy: {x, y, z} = {8, 1, 1} {9, -6, 1} [例9-3]
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか1つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
[Easy] |a + b√2 + c√3|< 10^(-11),
[Hard] |a + b√2 + c√3|< 10^(-12),
秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著:
[完全攻略]数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)
注) Hrad は鳩ノ巣原理では解けません。 97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ・・・・ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ・・・・ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ・・・・ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5) ・・・・ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6) ・・・・ (5)
* 3.352882344113・・・・×10^(-13)まではあるらしい。 [Hard]
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
a + b√2 + c√3 = 3.352882344113・・・×10^(-13) 6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、
[Easy] 均衡素数を10個見つけよ
[Hard] 均衡素数を20個見つけよ [Easy]
2 (0)
3 (0)
7 (1)
13 (2)
19 (3)
37 (5)
43 (6)
79 (10)
163 (18)
223 (23)
229 (24) >>174
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10), >>174
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +(2-√3)^8}/28, ・・・・ (3) 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9) ・・・・ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10) ・・・・ (7)
(4)×2 - (5)×7
-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7) ・・・・ (8)
(6)×4 - (3)
153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12) ・・・・ (9) >>139
n=7,8,13,14,16,19,25,・・・・ >>182
(3)×1372 - (2)
-38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9) ・・・・ (10)
また
-292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6) ・・・・ (11)
(5) - (11)×2
789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ・・・・ (12)
(11) - (3)×79
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ・・・・ (7)
(10)×3 + (7)×50
-19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8) ・・・・ (13)
(13) - (3)
-19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9) ・・・・ (14)
(13) - (14)×15
269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12) ・・・・ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12) ・・・・ (16)
(16) - (9)
96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13) ・・・・ (17) >>167
[Hard?]
0<α≦π/12 のとき
f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),
π/12≦α<π/2 のとき
f(t) ≧ f(α-π/12)
= 1 + (α-π/12) - cos(π/6)
= 1 + (α-π/12) - (√3)/2,
[Easy]
t<0 で単調減少、t>0 で単調増加だから
f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),
1文字変えても難易度が変わらない問題 >>168
[Hard?]
e = Σ(k=0,∞) 1/k!,
より
{e・n!} = 1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) + 1/((n+1)(n+2)(n+3)) + ・・・・
< 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ・・・・ (等比級数)
= 1/n,
cos(2πen!) = cos(2π{e・n!}) ゆえ
1 > cos(2πen!) > cos(2π/n) > 1 - 2(π/n)^2,
∴ cos(2πen!) = 1 (n→∞)
[Easy]
cos(2πn!) = cos(0) = 1,
1文字変えても難易度が変わらない問題 >>165
与式は
{(y '(x))^2 - exp(-2・y(x))} ' = 0,
xで積分して
(y '(x))^2 - exp(-2・y(x)) = (y '(0))^2 - 1
= cosh(b)^2 - 1 = sinh(b)^2 = aa, (とおく)
両辺に exp(2・y(x)) を掛けて
{y '(x)・exp(y(x))}^2 - 1 = {a・exp(y(x))}^2
a・exp(y(x)) = z(x) とおくと
(z '(x)/a)^2 - 1 = (z(x))^2,
z(0) = a・exp(y(0)) = a・exp(0) = a,
z '(0) = a・y '(0) = a・cosh(b),
よって
z(x) = sinh(ax+b),
y(x) = log| sinh(ax+b) /a |.
1文字変えても難易度が変わらない問題 [Hard] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも77で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
[Easy] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも17で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。 [Hard] 1/9998の小数第96位の数を求めよ。
[Easy] 1/9999の小数第96位の数を求めよ。 1/9998 = 1/(10^4 -2) = Σ[k=1,∞] 2^{k-1} (1/10000)^k
k≦23 の項は小数第92位迄で収まる。
k≧24 の項の和は
8388608×10^{-96} + 16777216×10^{-100} + 33554432×10^{-104} + 67108864×10^{-108} + ・・・・
= (8388608 + 1677.7216 + 0.335544 + 0.0000671 + ・・・・) × 10^{-96}
= 8390286.057×10^{-96}
よって小数第93〜96位の数は 0286
(参考)
1/9998 =
0.0001000200 0400080016 0032006401 2802560512 1024204840
9681936387 2774554910 9821964392 8785757151 4302860572
1144228845 7691538307 6615323064 6129225845 1690338067
6135227045 4090818163 6327265453 0906181236 2472494498 9
[Easy]
1/9999 = 0.000100010001・・・・
∴ 小数第93〜96位の数は 0001 >>176 [Hard] 残り9個
608981812891 (11669295392)
608981812951 (11669295393)
608981812993 (11669295394)
608981813507 (11669295402)
608981813621 (11669295403)
608981813819 (11669295409)
608981813837 (11669295410)
608981813861 (11669295411)
608981813929 (11669295412) p ≡ +1 p ≡ -1 (mod 6)
-------------------------------
608981812721
608981812759
608981812771
608981812867
608981812891*
608981812919
608981812951*
608981812961
608981812993*
608981813017
608981813029
608981813123
608981813137
608981813191
608981813261
608981813269
608981813273
608981813303
608981813311
608981813347
608981813357
608981813449
608981813459
608981813501
608981813507*
608981813569
608981813621*
608981813677
608981813683
608981813701
608981813707
608981813711
608981813717
608981813719
608981813777
608981813779
608981813789
608981813807
608981813819*
608981813833
608981813837*
608981813851
608981813861*
608981813927
608981813929*
608981813939
608981813941*
608981813963
608981814019*
608981814043
608981814127
608981814131
608981814143*
608981814149
608981814173
------------------------------
* 印は「均衡素数」 >>178 [Easy] の方は
p≡+1 p≡-1 (mod 6)
-----------------
5
7 *
11
13 *
17
19 *
23
29
31
37 *
41
43 *
47
53
59
61
67
71
73
79 *
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163 *
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223 *
227
229 *
233
239
241
251
257
263
269
271
* 印は「均衡素数」 [Hard] p(p+2)が30個の正の約数を持つような、素数pのうち最小のものを求めよ。
[Easy] p(p+2)^2が30個の正の約数を持つような、素数pのうち最小のものを求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c920896_2019_india_prmo >>196
30=2*3*5 であるから、30 個の正の約数をもつ正数は 3種類の素数 p1,p2,p3 で p1*p2^2*p3^4 と表される
p=2 のとき p(p+2)=8 や p(p+2)^2=32 は条件を満たさない
pが奇素数ならば p+2 は p と素であるから、
[Hard] p=p1,p+2=p2^2*p3^4
p2^2*p3^4 の形の数は 2025, 3969, 5625, ... であり、そのうち p=p2^2*p3^4-2 が素数になる最小数は p=3967 のとき
[Easy] p=p1,p+2=p2*p3^2
p2*p3^2 の形の数は 45, 63, 75, ... であり、そのうち p=p2*p3^2-2 が素数になる最小数は p=43 のとき [Easy]
No.18
What is the smallest prime number p such that p^3 + 4p^2 + 4p has exactly 30 positive divisors ?
p+2 = q^7 とすると… (q=2,3,5は×) q=7 で p=823541
[Hard]
p+2 = q^14 とすると… (q=2,3 は×) q=5 で p=6103515623 [Lunatic] pとp^4+15が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。 Lunaticって
恐ろしく簡単
って意味なんだったっけ 訂正
[Lunatic] pとp^4+18が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。 [Trivial]
存在しない。
p=3 のとき p^4 + 14 = 95 = 5×19,
p=5 のとき p^4 + 14 = 639 = 3×3×71,
p≠3,5 のとき 15の倍数。
京大の問題らしい… [Lunatic]
p = 5, 13, 29, 31, 73, 97, … などがある。
すべてぢゃないけど。 Lunatic] \int^1_{-1} |x^6-x/2-1/2| dxを求めよ。
[Trivial] \int^1_{-1} |x^2-x/2-1/2| dxを求めよ。 >>186
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ・・・・ (3)
789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ・・・・ (12)
(3)×21 - (12)×17
-14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10) ・・・・ (18)
1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ・・・・ (7)
(7)×2 - (18)
17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10) >>204
[Trivial]
x^2 - x/2 - 1/2 = (x+1/2)(x-1) = (x-α)(x-β),
(与式) = ∫[-1, α] (xx - x/2 - 1/2) dx + ∫[α,β] (β-x)(x-α) dx
= [ (1/3)x^3 - (1/4)xx - (1/2)x ](x=-1,α) + (1/6)(β-α)^3 (←公式)
= 1/12 + 7/48 + 9/16
= 19/24
= 0.791667 [Hard] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=r[x]の相異なる正の実数解の個数を求めよ。
[Easy] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=rxの相異なる正の実数解の個数を求めよ。 [Hard]
x>0 より (左辺) >0, [x] ≧ 0,
・r≦0 のとき
(右辺) = r[x] ≦ 0 だから0個,
・0≦r<4 のとき
[r] 個
・4≦r のとき
[r] = r' とおく。
0 ≦ {r} < 1/(r'-2) のとき3個 (r'-2≦x<r'-1, r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)
1/(r'-2) ≦ {r} < 1 のとき2個 (r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)
[Easy]
与式と x>0 より x=r,
・r≦0 のとき0個
・r>0 のとき1個
1文字変えても難易度が変わらない問題 >>173
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか1つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか?
|a + b√2 + c√3|< 1/(n^2),
[Hard] n = 10^6
[Lunatic] n = 10^m [Lunatic] (√5+2)^{20000}の小数第13000位の数字を求めよ。
[Hard] (√5+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
[Trivial] (√4+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。 [Trivial]
4^20000 = 158426015・・・(12042桁)・・・5509376
答え「0」(整数なので 999・・・ の表示も可能だがここでは 000・・・ をとる)
[Hard / Lunatic]
(√5 +2)^20000 = 181307178・・・(12540桁)・・・000000002 - (√5 -2)^20000,
(√5 -2)^20000 = 5.51550142・・・ × 10^{-12540}
第12000位は0 ・・・ 答え「9」
第13000位は6 ・・・ 答え「3」 >>206
∫[α,β] (β-x)(x-α) dx = (1/6)(β-α)^3,
4点 (α,0,0) (β,0,0) (α,0,β-α) (β,β-α,0) を頂点とする
四面体を考える。
x軸に垂直な断面は長方形で S(x) = (β-x)(x-α),
体積Vは縦・横・高さが β-αの立方体の体積の 1/6
∴ (左辺) = V = (1/6)(β-α)^3, >>201
[Trivial]
nが偶数のとき
n^4 + 14 ≡ 0 (mod 2)
nが3の倍数でないとき
n^2 ≡ 1 (mod 3) フェルマーの小定理
n^4 + 14 ≡ 1^2 + 14 = 15 ≡ 0 (mod 3)
nが5の倍数でないとき
n^4 + 14 ≡ 1 + 14 = 15 ≡ 0 (mod 5)
nが7の倍数のとき
n^4 + 14 ≡ 0 (mod 7)
これらはいずれも素数でない。
n^4 + 14 が素数になるのはnが奇数かつ15の倍数であり7と素である場合に限る。
(例) 165, 195, 255, 405, … [Easy] 2^m + 47 が素数であるような自然数mを全て求めよ。
m:偶数 → 3の倍数
m≡3 (mod 4) → 5の倍数
残りは m≡1 (mod 4) だが…
m≡1 (mod 3) → 7の倍数
m≡3 (mod 10) → 11の倍数
m≡9 (mod 12) → 13の倍数
m≡2 (mod 8) → 17の倍数
m≡-1 (mod 18) → 19の倍数
最小の素数: m=5 2^5 + 47 = 79 残りは m≡-7,5 (mod 36) だが…
2番目の素数: m=209 [Hard] 方程式(√3)×tan50°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。
[Easy] 方程式(√3)×tan20°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。 [Hard] 実数x,yがx^2+y^2+xy≦6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。
[Easy] 実数x,yがx^2+y^2+xy=6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。 u = (x+y)/√2,
v = (x-y)/√6,
とおくと
xx+xy+yy = (3/2)(uu+vv),
f(x,y) = (x+y)(x-1)(y-1)
= (u/√2){(u-√2)^2 - 3vv},
uu+vv ≦ 4 では
最大値 3 (u=-1/√2, v=±√(7/2))
最小値 -2(√2)(1+√2)^2 (u=-2, v=0) [Hard] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、49の倍数はいくつあるか?但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。
[Easy] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、4の倍数はいくつあるか?但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。 >>220
[Hard] 値を求めることはできる
49次の逆行列を求めることができたら一般式も出せるだろうが
そんなのやりたくない
https://ideone.com/lAtxLx >>220
[Easy] 値を求めることはできる
下2桁が12で、上の桁に4を含む …… 3^(n-2) - 2^(n-2)
下2桁が24で、上の桁に1を含む …… 3^(n-2) - 2^(n-2)
下2桁が44で、上の桁に1,2を含む …… 3^(n-2) - 2・2^(n-2) + 1,
これを合計すれば一般式を出せるだろうが…
3^(n-1) - (2^n) + 1, [Hard] \int^1_0 [log(1+x)]÷ x dxを求めよ。
[Easy] \int^1_0 [log(1+x)]✕ x dxを求めよ。 [Lunatic] r=p^3+4q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。
[Easy] r=p^3+3q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。 [Lunatic] x,y,z,nを自然数とし、n≧3且つn<zとする。x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z,n)の組が存在しないことを示せ。
[Easy] x,y,z,nを自然数とし、n≧3且つn≧zとする。x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z,n)の組が存在しないことを示せ。
https://artofproblemsolving.com/community/c4913_1987_india_national_olympiad [Hard] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに裏の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
・「0ノ型」東に20m走る
・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。
[Easy] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに表の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
・「0ノ型」東に20m走る
・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。 [Hard] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、9回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
[Easy] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、7回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか? [Hard] xについての方程式tanx=xの正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
[Easy] xについての方程式tanx=0の正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。 このスレも20周年か
実質何人くらいで維持してきたんだろう
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1文字変えたら難易度が激変する問題
1 :132人目の素数さん :02/04/13 13:30
いろいろ作れそうですが、センスを感じるもの希望
------------------------------------------- 有名ですが…121回数検1級とか
x^14 + x^7 + 1 を係数が整数の範囲で因数分解しなさい。
x^14 + x^7 + 1 を係数が実数の範囲で因数分解しなさい。
実数なら高校範囲でゴリ押せるけど整数だと難易度めっちゃ上がる気がする… [Hard] \int (1+tan x)^{-1} dxを求めよ。
[Easy] \int (1+tan x)^{+1} dxを求めよ。 [Hard] ∫^{1}_{-1} x^2/(1+e^x) dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{-1} x^0/(1+e^x) dxを求めよ。 [Hard] 円x^2+(y-1)^2=2のy≧0の部分を、x軸周りに1回転させて出来る立体の体積を求めよ。
[Easy] 円x^2+(y-0)^2=2のy≧0の部分を、x軸周りに1回転させて出来る立体の体積を求めよ。 [Hard] ∫^{1}_{3^{+1}} 1/\sqrt{|x(2-x)|} dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{3^{-1}} 1/\sqrt{|x(2-x)|} dxを求めよ。 [Hard] f(x)=x^3-20005xとする。a<b<c且つf(a)>f(b)>f(c)を満たす正の整数の組(a,b,c)はいくつあるか?
[Easy] f(x)=x^2-20005xとする。a<b<c且つf(a)>f(b)>f(c)を満たす正の整数の組(a,b,c)はいくつあるか? [Hard] (1/π)arccos(1/p)が有理数となる3以上の素数pは存在するか?
[Trivial] (1/π)arccos(1/p)が有理数となる2以上の素数pは存在するか? [Hard] "1"、"√3"、"i"、"i√3"、"1+i√3"、"√3+i"の目が等確率1/6で出るサイコロをn回投げ、出た目の積をz_nとする。|z_n|<5^9となる確率を求めよ。
[Easy] "1"、"√3"、"i"、"i√3"、"1+i√3"、"√3+i"の目が等確率1/6で出るサイコロをn回投げ、出た目の積をz_nとする。|z_n|<5^1となる確率を求めよ。 [Hard] 1/[2×9^(1/3)+3^(1/2)+5]の分母を有理化せよ。
[Easy] 1/[2×9^(1/3)+3^(1/3)+5]の分母を有理化せよ。 [Hard] θ=30°とする。x軸を軸とする半径2の円柱から「|y|<1且つ|z|<1」で表される角柱の内部を取り除いた立体をAとする。Aをx軸周りにθ/2回転してからz軸周りにθ回転した立体をBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。
[Easy] θ=90°とする。x軸を軸とする半径2の円柱から「|y|<1且つ|z|<1」で表される角柱の内部を取り除いた立体をAとする。Aをx軸周りにθ/2回転してからz軸周りにθ回転した立体をBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。 [Hard] \int^{2023}_0 2/(x+e^x) dxの整数部分を求めよ。
[Easy] \int^{2023}_0 1/(x+e^x) dxの整数部分を求めよ。 [Hard] 球に内接する体積最大の5面体を求めよ。
[Easy] 球に内接する体積最大の4面体を求めよ。 [Hard] \int^3_{-3} |x^4-2x^2+x+3|dxを求めよ。
[Easy] \int^3_{-3} |x^4-2x^2+x^2+3|dxを求めよ。 ランダムな整数係数をもつ多項式が既約である確率を求めよ。 あら、さすが庶民ですわね。このような所にわたくしが座れるとおもって? [Hard] x^{100} - 3x^{10}-2x-1=0の区間-2≦x≦3内の実数解の個数を求めよ。
[Easy] x^{100} - 3x^{10}-2x-1=0の区間 2≦x≦3内の実数解の個数を求めよ。 [Lunatic] p^q-q^p=rを満たす素数(p,q,r)の組を全て求めよ。
[Easy] p^q+q^p=rを満たす素数(p,q,r)の組を全て求めよ。 [Hard] ∫^1_0 |x^4+9x^3+16x^2-(x+3)|dxを求めよ。
[Easy] ∫^1_0 |x^4+9x^3+16x^2+(x+3)|dxを求めよ。
https://www.youtube.com/watch?v=xBjg7L3BoiI [Hard] nを自然数とする。x<0で1+Σ_{k=1}^{2n} x^k/k!>0を示せ。
[Easy] nを自然数とする。x>0で1+Σ_{k=1}^{2n} x^k/k!>0を示せ。
http://www.batmath.it/matematica/raccolte_es/ek_competitions/ek_competitions.pdf (1974年[3]) >>234
∫ (1+tan x) dx = x - log(cos x),
∫ 1/(1+tan x) dx = ∫ cos x /(cos x + sin x) dx
= (1/2)∫ {1 + (-sin x + cos x)/(cos x + sin x) } dx
= (1/2) (x + log(cos x + sin x) )
>>235
∫ 1/(1+e^x) dx = ∫ {1 - e^x /(1+e^x)} dx
= x - log(1+e^x),
∫ x^2 / (1+e^x) dx = ∫ x^2*e^(-x) /(1+e^(-x)) dx
= - x^2 log(1+e^(-x)) + 2 x Li_2{-e^(-x)} + 2 Li_3{-e^(-x)},
↑部分積分を繰り返す
>>237
∫^{1}_^{a} 1/sqrt{|x(2-x)|} dx
= arcsin(a-1) 1≦a≦2,
= (π/2) + 2*log(sqrt{a}+sqrt{a-2}) - log(2), a≧2,
>>242
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/3) + 5] = [19 + 7*3^(1/3) - 9*3^(2/3)] /110,
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/2) + 5] = [1109 + 222*3^(1/6) + 726*3^(1/3) + 59*3^(1/2) - 488*3^(2/3) - 234*3^(5/6)] /10078, >>241
√3 または i√3 が出た回数をx,
1+i√3 または √3 + i が出た回数をy
とすると、求める条件は
log(√3)*x + log(2)*y < log(5) または 9*log(5).
log(√3) = 0.549306…
log(2) = 0.693147…
log(5) =1.609438…
5 については、合計2回以下となる。 x + y ≦ 2,
(1/3)^{n} + C[n,1](1/3)^{n-1}*(2/3) + C[n,2](1/3)^{n-2}*(2/3)^{2}
5^9 については、各yに対してxの上限が与えられる。
y : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
x : 26,25,23,22,21,20,18,17,16,15, 13, 12, 11, 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 1.
>>244
y = log(x) は上に凸だから x=1 で接線を曳くと
log(x) < x-1,
0 < x < e^(x-1),
これより
∫_0 ^a 1/(x+e^x) dx < ∫_0 ^a e^(-x) dx = 1 - e^(-a) < 1,
∫_0 ^a 2/(x+e^x) dx > (2/(1+1/e))∫_0 ^a e^(-x) dx
= 1.4621…{1 - e^(-a)} > 1,
ここで
e^(-2023) = 2.644…*10^(-879) << 1 >>233
(x^2 +x+1)*(x^12 -x^11 +x^9 -x^8 +x^6 -x^4 +x^3 -x+1),
x^7 + 1 + x^(-7) = (x + 1 + 1/x)*{x^6 -x^5 +x^3 -x^2 +1 -x^(-2) +x^(-3) -x^(-5) +x^(-6)}
= (t+1)*(t^6 - t^5 - 6t^4 + 6t^3 + 8t^2 - 8t + 1)
= (t+1) {(t-2)(t-1)t(t+2)(t^2 -2) + 1},
t = x + 1/x. >>225
[Easy]
x = {(x^2 -1)/2} ' により部分積分して
∫ log(1+x)*x dx = log(1+x)*(x^2 -1)/2 - ∫ (x-1)/2 dx
= log(1+x)*(x^2 -1)/2 - (x-1)^2 /4,
[0,1] では 1/4.
[Hard]
マクローリン展開で
log(1+x) /x = Σ[k=1,∞] (1/k)*(-x)^{k-1},
∫ log(1+x) /x dx = Σ[k=1,∞] (-1)^{k-1} (x^k)/kk,
[0,1] では (1 - 1/2)ζ(2) = (π^2)/12 = 0.8224670
これら積分の相乗平均は π/(4√3) = 0.45344984 である。
一方、相乗平均の積分は
∫ log(1+x) dx = (1+x)*log(1+x) - x より,
2*log(2) - 1 = 0.38629436 >>245
球の半径 R=1とします。
[Easy] 正4面体とすると
1辺の長さa 4/√6,
各面の面積S 2/√3,
高さh 4/3,
体積V 8/(9√3) = 0.5132
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1258853022
[Hard] 正3角柱とすると
正3角形の一辺の長さa √2,
正3角形の面積S (√3)/2,
高さh 2/√3,
体積V 1.
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13274146463 補足
[Easy]
もし a角形の面と他の頂点があると、(a+1)面体(以上)になる。
∴ 4面体の各面は3角形に限る。4頂点をABCDとする。
体積V = (1/3)*(僊BCの面積)*(頂点Dの高さ),
ここで、高さの基準は ABC平面です。
いま、僊BCを固定し、頂点Dを動かしてみる。
外接球の中心OからABC面に垂線OHを下ろす。
OA=OB=OC より AH=BH=CH, ∴ HはABCの外心。
HOの延長線と球面の交点をPとする。 AP=BP=CP,
ところで
(頂点Dの高さ) ≦ DH ≦ DO + OH
= PO + OH = PH = (点Pの高さ),
よって 体積Vが最大になるのは 頂点DがPにあるとき。
このとき AD=BD=CD,
これが4面について言えるから、6稜はすべて等長。
4面はすべて合同な正3角形で、正4面体となる。 (終) >>210
√5 + 2 = φ^3,
φ = (√5 + 1)/2 〜 1.618034 (黄金比)
1/φ = (√5 - 1)/2 〜 0.618034
これを使うと
(√5 + 2)^n = φ^{3n} = L_{3n} - (-1/φ)^{3n},
L_n = φ^n + (-1/φ)^n (リュカ数) [Hard] 5^πは整数か?
[Easy] 2^πは整数か? [Easy]
2^π > 2^3 = 8,
π < 22/7 (約率) と 2^11 = 2048 < 2187 = 3^7 より
2^π < 2^{22/7} < 3^2 = 9,
よって整数ではない。 >>251
[Easy]
|x| > 1.1 では x^{100} が圧倒的に大きいから
実数解 0個
[Hard]
実数解 4個
-1.0080753102
-0.8691931251
-0.5015096784
1.0191496071
これどうやって見つける? (WolframAlpha ?)
>>252
[Easy]
(2,3,17)
>>253
[Easy]
x ≧ 0 では | … | の中身 > 0.
677/60 ≒ 11.28333.
[Hard]
| … | の中身が (xx+2x-1)(xx+7x+3)
0 ≦ x < √2 -1 では | … | の中身 < 0,
x > √2 -1 では | … | の中身 > 0,
(951-416√2)/60 ≒ 6.0448 >>262-263
[Hard]
π > 311/99 = 3.141414… と
5^311 = 2.397018…*10^217 > 1.316240…*10^217 = 156^99 より
5^π > 5^{311/99} > 156,
π < 355/113 (密率) と
5^355 = 1.362547…*10^248 < 1.369811…*10^248 = 157^113 より
5^π < 5^{355/113} < 157,
よって整数ではない。 >>254
[Hard]
nについての帰納法による。
・n=1 のとき
1 > e^t, (t<0)
を u<t<0 で積分すると
-u > 1 - e^u, (u<0)
これを x<u<0 で積分すると
xx/2 > -x -1 + e^x, (x<0)
∴ 1 + x + xx/2 > e^x > 0. (x<0)
・あるnについて
1 + Σ[k=1, 2n] t^k / k! > e^t, (t<0)
が成り立つと仮定する。これを u<t<0 で積分すると
−Σ[k=1, 2n+1] u^k /k! > 1 - e^u, (u<0)
これを x<u<0 で積分すると
Σ[k=2, 2n+2] x^k /k! > -x -1 + e^x , (x<0)
∴ 1 + Σ[k=1, 2n+2] x^k /k! > e^x, (x<0)
∴ n+1 についても上式は成り立つ。 (終) >>236
[Easy]
半径√2 の球
体積V = (8π√2)/3 = 11.8476878
[Hard]
(y≧0 の部分の面積) A = 1 + 3π/2 = 5.71239
(重心のy) η = (5/3 + 3π/2)/A = 1.1167054
体積V = 2πη*A = π(10/3 + 3π) = 40.0808
体積に関する Guldin の法則
出典
高木「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961) §98, p.371
>>246
[Easy]
x^4 - xx + 3 = (xx - 1/2)^2 + 11/4 ≧ 11/4.
∫_{-3}^{3} (x^4 - xx + 3) dx
= [ (1/5)x^5 - (1/3)x^3 + 3x ]_{-3}^{3}
= 97.2
[Hard]
| … | 内 ≧ 0.943827115
等号は x ≒ -1.1071598717 のとき。
∫_{-3}^{3} (x^4 - 2xx + x + 3) dx
= [ (1/5)x^5 - (2/3)x^3 + xx/2 + 3x ]_{-3}^{3}
= 79.2 >>235 >>255
f(x) が偶関数のとき
∫[-a,a] f(x)/(1+e^x) dx
= ∫[0,a] {f(x)/(1+e^x) + f(-x)/(1+e^{-x})} dx
= ∫[0,a] f(x) dx,
[Easy] 1
[Hard] 1/3 [Hard] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々3個であることを示せ。
[Easy] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々6個あることを示せ。 >>270
g(x) = x (xx+ax+b),
[Easy]
n=1, |1+a+b| = p,
n=-1, |1-a+b| = p,
n = ±p, nn+an+b = ±1,