1文字変えたら難易度が激変する問題 3文字目 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/04(日) 23:07:23.95

1スレ目　http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1047608164/
2スレ目　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1299412685/

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/02(火) 21:22:58.92

[Hard] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、49の倍数はいくつあるか？但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。

[Easy] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、4の倍数はいくつあるか？但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/03(水) 11:59:11.11

>>220
[Hard] 値を求めることはできる
49次の逆行列を求めることができたら一般式も出せるだろうが
そんなのやりたくない
https://ideone.com/lAtxLx

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/05(金) 20:49:50.53

>>220
[Easy] 値を求めることはできる
　下2桁が12で、上の桁に4を含む　　……　3^(n-2) - 2^(n-2)
　下2桁が24で、上の桁に1を含む　　……　3^(n-2) - 2^(n-2)
　下2桁が44で、上の桁に1,2を含む　……　3^(n-2) - 2･2^(n-2) + 1,
これを合計すれば一般式を出せるだろうが…
　3^(n-1) - (2^n) + 1,

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/06(土) 07:42:49.73

>>222
Hardもやってご覧よ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/07(日) 01:03:24.60

そんなのやりたくない。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/10(月) 09:34:10.96

[Hard] \int^1_0 [log(1+x)]÷ x dxを求めよ。
[Easy] \int^1_0 [log(1+x)]✕ x dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/14(月) 20:45:40.39

[Lunatic] r=p^3+4q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。
[Easy] r=p^3+3q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/17(木) 20:42:32.65

[Lunatic] x,y,z,nを自然数とし、n≧3且つn<zとする。x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z,n)の組が存在しないことを示せ。
[Easy] x,y,z,nを自然数とし、n≧3且つn≧zとする。x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z,n)の組が存在しないことを示せ。
https://artofproblemsolving.com/community/c4913_1987_india_national_olympiad

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 19:45:10.58

[Hard] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに裏の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
　・「0ノ型」東に20m走る
　・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
　・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。

[Easy] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに表の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
　・「0ノ型」東に20m走る
　・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
　・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/05(土) 21:47:24.48

[Hard] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、9回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
[Easy] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、7回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/26(土) 21:45:31.45

[Hard] xについての方程式tanx=xの正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
[Easy] xについての方程式tanx=0の正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/19(日) 16:47:27.38

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/07(木) 12:07:05.68

このスレも20周年か
実質何人くらいで維持してきたんだろう

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1文字変えたら難易度が激変する問題

1 ：１３２人目の素数さん：02/04/13 13:30

いろいろ作れそうですが、センスを感じるもの希望

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**１３２人目の素数さん** · 2022/07/10(日) 08:26:27.06

有名ですが…121回数検1級とか
x^14 + x^7 + 1 を係数が整数の範囲で因数分解しなさい。
x^14 + x^7 + 1 を係数が実数の範囲で因数分解しなさい。

実数なら高校範囲でゴリ押せるけど整数だと難易度めっちゃ上がる気がする…

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/25(月) 22:06:40.34

[Hard] \int (1+tan x)^{-1} dxを求めよ。
[Easy] \int (1+tan x)^{+1} dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/06(火) 23:01:20.34

[Hard] ∫^{1}_{-1} x^2/(1+e^x) dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{-1} x^0/(1+e^x) dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/27(木) 21:45:20.99

[Hard] 円x^2+(y-1)^2=2のy≧0の部分を、x軸周りに1回転させて出来る立体の体積を求めよ。
[Easy] 円x^2+(y-0)^2=2のy≧0の部分を、x軸周りに1回転させて出来る立体の体積を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/27(木) 21:45:37.83

[Hard] ∫^{1}_{3^{+1}} 1/\sqrt{|x(2-x)|} dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{3^{-1}} 1/\sqrt{|x(2-x)|} dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 23:00:29.36

https://i.imgur.com/X5pDktH.jpg
https://i.imgur.com/RFg4r2B.jpg
https://i.imgur.com/18xTUyr.jpg
https://i.imgur.com/TM6srjb.jpg
https://i.imgur.com/ooY1HtO.jpg
https://i.imgur.com/mas8VTW.jpg
https://i.imgur.com/HGF8p1j.jpg
https://i.imgur.com/n0WZK4r.jpg
https://i.imgur.com/duGTElb.jpg
https://i.imgur.com/BjRi4sl.jpg
https://i.imgur.com/UQdUsct.jpg
https://i.imgur.com/FF3XiA2.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/10(火) 21:01:39.40

[Hard] f(x)=x^3-20005xとする。a<b<c且つf(a)>f(b)>f(c)を満たす正の整数の組(a,b,c)はいくつあるか?
[Easy] f(x)=x^2-20005xとする。a<b<c且つf(a)>f(b)>f(c)を満たす正の整数の組(a,b,c)はいくつあるか?

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/27(月) 21:24:21.65

[Hard] (1/π)arccos(1/p)が有理数となる3以上の素数pは存在するか?
[Trivial] (1/π)arccos(1/p)が有理数となる2以上の素数pは存在するか?

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/27(月) 21:35:15.73

[Hard] "1"、"√3"、"i"、"i√3"、"1+i√3"、"√3+i"の目が等確率1/6で出るサイコロをn回投げ、出た目の積をz_nとする。|z_n|<5^9となる確率を求めよ。
[Easy] "1"、"√3"、"i"、"i√3"、"1+i√3"、"√3+i"の目が等確率1/6で出るサイコロをn回投げ、出た目の積をz_nとする。|z_n|<5^1となる確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 19:22:44.02

[Hard] 1/[2×9^(1/3)+3^(1/2)+5]の分母を有理化せよ。
[Easy] 1/[2×9^(1/3)+3^(1/3)+5]の分母を有理化せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/10(金) 21:15:30.04

[Hard] θ=30°とする。x軸を軸とする半径2の円柱から「|y|<1且つ|z|<1」で表される角柱の内部を取り除いた立体をAとする。Aをx軸周りにθ/2回転してからz軸周りにθ回転した立体をBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。
[Easy] θ=90°とする。x軸を軸とする半径2の円柱から「|y|<1且つ|z|<1」で表される角柱の内部を取り除いた立体をAとする。Aをx軸周りにθ/2回転してからz軸周りにθ回転した立体をBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/29(水) 17:20:28.56

[Hard] \int^{2023}_0 2/(x+e^x) dxの整数部分を求めよ。
[Easy] \int^{2023}_0 1/(x+e^x) dxの整数部分を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/03(月) 07:10:30.09

[Hard] 球に内接する体積最大の5面体を求めよ。
[Easy] 球に内接する体積最大の4面体を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/27(土) 23:48:24.75

[Hard] \int^3_{-3} |x^4-2x^2+x+3|dxを求めよ。
[Easy] \int^3_{-3} |x^4-2x^2+x^2+3|dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/02(日) 09:52:58.21

ランダムな整数係数をもつ多項式が既約である確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/21(金) 22:50:21.00

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/07(土) 19:35:19.80

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/17(火) 02:53:47.58

あら、さすが庶民ですわね。このような所にわたくしが座れるとおもって？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/16(木) 22:05:25.39

[Hard] x^{100} - 3x^{10}-2x-1=0の区間-2≦x≦3内の実数解の個数を求めよ。
[Easy] x^{100} - 3x^{10}-2x-1=0の区間 2≦x≦3内の実数解の個数を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/29(水) 22:11:39.91

[Lunatic] p^q-q^p=rを満たす素数(p,q,r)の組を全て求めよ。
[Easy] p^q+q^p=rを満たす素数(p,q,r)の組を全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/10(日) 19:48:45.11

[Hard] ∫^1_0 |x^4+9x^3+16x^2-(x+3)|dxを求めよ。
[Easy] ∫^1_0 |x^4+9x^3+16x^2+(x+3)|dxを求めよ。
https://www.youtube.com/watch?v=xBjg7L3BoiI

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/18(月) 22:08:51.30

[Hard] nを自然数とする。x<0で1+Σ_{k=1}^{2n} x^k/k!>0を示せ。
[Easy] nを自然数とする。x>0で1+Σ_{k=1}^{2n} x^k/k!>0を示せ。
http://www.batmath.it/matematica/raccolte_es/ek_competitions/ek_competitions.pdf (1974年[3])

**prime_132** · 2024/01/14(日) 17:55:09.25

>>234
∫ (1+tan x) dx = x - log(cos x),
∫ 1/(1+tan x) dx = ∫ cos x /(cos x + sin x) dx
　= (1/2)∫ {1 + (-sin x + cos x)/(cos x + sin x) } dx
　= (1/2) (x + log(cos x + sin x) )

>>235
∫ 1/(1+e^x) dx = ∫ {1 - e^x /(1+e^x)} dx
　= x - log(1+e^x),
∫ x^2 / (1+e^x) dx = ∫ x^2*e^(-x) /(1+e^(-x)) dx
　= - x^2 log(1+e^(-x)) + 2 x Li_2{-e^(-x)} + 2 Li_3{-e^(-x)},
　　　↑部分積分を繰り返す
>>237
∫^{1}_^{a} 1/sqrt{|x(2-x)|} dx
　= arcsin(a-1)　　　　1≦a≦2,
　= (π/2) + 2*log(sqrt{a}+sqrt{a-2}) - log(2),　a≧2,

>>242
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/3) + 5] = [19 + 7*3^(1/3) - 9*3^(2/3)] /110,
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/2) + 5] = [1109 + 222*3^(1/6) + 726*3^(1/3) + 59*3^(1/2) - 488*3^(2/3) - 234*3^(5/6)] /10078,

**prime_132** · 2024/01/14(日) 19:34:41.47

>>241
　√３または i√3 が出た回数をx,
　1+i√3 または √3 + i が出た回数をy
とすると、求める条件は
　log(√3)*x + log(2)*y < log(5) または 9*log(5).
　log(√3) = 0.549306…
　log(2) = 0.693147…
　log(5) =1.609438…
5 については、合計2回以下となる。　x + y ≦ 2,
　(1/3)^{n} + C[n,1](1/3)^{n-1}*(2/3) + C[n,2](1/3)^{n-2}*(2/3)^{2}

5^9 については、各yに対してxの上限が与えられる。
　y : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
　x : 26,25,23,22,21,20,18,17,16,15, 13, 12, 11, 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 1.

>>244
　y = log(x) は上に凸だから x=1 で接線を曳くと
　log(x) < x-1,
　0 < x < e^(x-1),
これより
　∫_0 ^a 1/(x+e^x) dx < ∫_0 ^a e^(-x) dx = 1 - e^(-a) < 1,
　∫_0 ^a 2/(x+e^x) dx > (2/(1+1/e))∫_0 ^a e^(-x) dx
　　= 1.4621…{1 - e^(-a)} > 1,
ここで
　e^(-2023) = 2.644…*10^(-879)　<< 1

**prime_132** · 2024/01/14(日) 20:11:12.44

>>233
(x^2 +x+1)*(x^12 -x^11 +x^9 -x^8 +x^6 -x^4 +x^3 -x+1),

x^7 + 1 + x^(-7) = (x + 1 + 1/x)*{x^6 -x^5 +x^3 -x^2 +1 -x^(-2) +x^(-3) -x^(-5) +x^(-6)}
= (t+1)*(t^6 - t^5 - 6t^4 + 6t^3 + 8t^2 - 8t + 1)
= (t+1) {(t-2)(t-1)t(t+2)(t^2 -2) + 1},
t = x + 1/x.

**prime_132** · 2024/01/17(水) 01:14:36.20

>>225
[Easy]
　x = {(x^2 -1)/2} '　により部分積分して
∫ log(1+x)*x dx = log(1+x)*(x^2 -1)/2 - ∫ (x-1)/2 dx
　　= log(1+x)*(x^2 -1)/2 - (x-1)^2 /4,
　[0,1] では 1/4.

[Hard]
マクローリン展開で
　log(1+x) /x = Σ[k=1,∞] (1/k)*(-x)^{k-1},
∫ log(1+x) /x dx =　Σ[k=1,∞] (-1)^{k-1} (x^k)/kk,
　[0,1] では (1 - 1/2)ζ(2) = (π^2)/12 = 0.8224670

これら積分の相乗平均は π/(4√3) = 0.45344984 である。
一方、相乗平均の積分は
∫ log(1+x) dx = (1+x)*log(1+x) - x　より,
　2*log(2) - 1 = 0.38629436

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/17(水) 02:47:30.85

>>245
球の半径 R＝１とします。

[Easy]　正４面体とすると
　1辺の長さa　4/√6,
　各面の面積S　2/√3,
　高さh　　　4/3,
　体積V　　　8/(9√3) = 0.5132
　https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1258853022

[Hard]　正３角柱とすると
　正３角形の一辺の長さa　√2,
　正３角形の面積S　(√3)/2,
　高さh　2/√3,
　体積V　１.
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13274146463

**prime_132** · 2024/01/17(水) 20:34:56.67

補足
[Easy]
　もし a角形の面と他の頂点があると、(a+1)面体(以上)になる。
　∴ 4面体の各面は3角形に限る。4頂点をABCDとする。

　体積V = (1/3)*(⊿ABCの面積)＊(頂点Dの高さ),
ここで、高さの基準は ABC平面です。

いま、⊿ABCを固定し、頂点Dを動かしてみる。
　外接球の中心OからABC面に垂線OHを下ろす。
　OA=OB=OC　より　AH＝BH=CH,　∴ HはABCの外心。
　HOの延長線と球面の交点をPとする。　AP=BP=CP,

　ところで
　(頂点Dの高さ) ≦ DH ≦ DO + OH
　= PO + OH = PH = (点Pの高さ),
　よって　体積Vが最大になるのは頂点DがPにあるとき。
　このとき　AD=BD=CD,
　これが4面について言えるから、6稜はすべて等長。
　４面はすべて合同な正3角形で、正４面体となる。　(終)

**prime_132** · 2024/01/17(水) 21:17:39.20

>>210
　√5 + 2 = φ^3,
　φ = (√5 + 1)/2 ～ 1.618034　　(黄金比)
　1/φ = (√5 - 1)/2 ～ 0.618034
これを使うと
　(√5 + 2)^n = φ^{3n} = Ｌ_{3n} - (-1/φ)^{3n},

Ｌ_n = φ^n + (-1/φ)^n　　　　　(リュカ数)

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/19(金) 23:03:38.61

[Hard] 5^πは整数か？
[Easy] 2^πは整数か？

**prime_132** · 2024/01/21(日) 13:09:10.78

[Easy]
　2^π > 2^3 = 8,
　π < 22/7 (約率)　と 2^11 = 2048 < 2187 = 3^7 より
　2^π < 2^{22/7} < 3^2 = 9,
よって整数ではない。

**prime_132** · 2024/01/21(日) 18:05:36.41

>>251
[Easy]
　|x| > 1.1 では x^{100} が圧倒的に大きいから
　実数解 0個
[Hard]
　実数解 4個
　-1.0080753102
　-0.8691931251
　-0.5015096784
　1.0191496071
これどうやって見つける？　(WolframAlpha ?)

>>252
[Easy]
　(2,3,17)

>>253
[Easy]
　x ≧ 0 では | … | の中身 > 0.
　677/60 ≒ 11.28333.
[Hard]
　| … | の中身が (xx+2x-1)(xx+7x+3)
　0 ≦ x < √2 -1 では | … | の中身 < 0,
　x > √2 -1 では | … | の中身 > 0,
　(951-416√2)/60 ≒ 6.0448

**prime_132** · 2024/01/22(月) 01:34:50.30

>>262-263
[Hard]
　π > 311/99 = 3.141414…　と
　5^311 = 2.397018…*10^217 > 1.316240…*10^217 = 156^99 より
　5^π > 5^{311/99} > 156,

　π < 355/113　(密率)　と
　5^355 = 1.362547…*10^248 < 1.369811…*10^248 = 157^113 より
　5^π < 5^{355/113} < 157,
よって整数ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/22(月) 10:38:12.64

そんな円周率の評価値証明なしに使えんやろ

**prime_132** · 2024/01/22(月) 20:26:07.58

>>254
[Hard]
nについての帰納法による。
・n=1 のとき
　1 > e^t,　　　　　(t<0)
を u<t<0 で積分すると
　-u > 1 - e^u,　　　(u<0)
これを x<u<0 で積分すると
　xx/2 > -x -1 + e^x,　　　　(x<0)
∴　1 + x + xx/2 > e^x > 0.　(x<0)
・あるnについて
　1 + Σ[k=1, 2n] t^k / k! > e^t,　　　(t<0)
が成り立つと仮定する。これを u<t<0 で積分すると
　－Σ[k=1, 2n+1] u^k /k! > 1 - e^u,　(u<0)
これを x<u<0 で積分すると
　Σ[k=2, 2n+2] x^k /k! > -x -1 + e^x ,　(x<0)
∴　1 + Σ[k=1, 2n+2] x^k /k! > e^x,　　(x<0)
∴　n+1 についても上式は成り立つ。　(終)

**prime_132** · 2024/01/23(火) 00:21:32.33

>>236
[Easy]
　半径√2 の球
　体積V = (8π√2)/3 = 11.8476878
[Hard]
　(y≧0 の部分の面積)　A = 1 + 3π/2 = 5.71239
　(重心のy)　　η = (5/3 + 3π/2)/A = 1.1167054
　体積V = 2πη*A = π(10/3 + 3π) = 40.0808
　体積に関する Guldin の法則
出典
　高木「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)　§98, p.371

>>246
[Easy]
　x^4 - xx + 3 = (xx - 1/2)^2 + 11/4 ≧ 11/4.
　∫_{-3}^{3} (x^4 - xx + 3) dx
　　= [ (1/5)x^5 - (1/3)x^3 + 3x ]_{-3}^{3}
　　= 97.2
[Hard]
　| … | 内 ≧ 0.943827115
　　等号は x ≒ -1.1071598717 のとき。
　∫_{-3}^{3} (x^4 - 2xx + x + 3) dx
　　= [ (1/5)x^5 - (2/3)x^3 + xx/2 + 3x ]_{-3}^{3}
　　= 79.2

**prime_132** · 2024/01/23(火) 03:53:50.43

>>235　>>255
　f(x) が偶関数のとき
　∫[-a,a] f(x)/(1+e^x) dx
　= ∫[0,a] {f(x)/(1+e^x) + f(-x)/(1+e^{-x})} dx
　= ∫[0,a] f(x) dx,
[Easy]　1
[Hard]　1/3

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/26(月) 22:39:51.04

[Hard] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々3個であることを示せ。
[Easy] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々6個あることを示せ。