1文字変えたら難易度が激変する問題 3文字目 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/04(日) 23:07:23.95

1スレ目　http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1047608164/
2スレ目　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1299412685/

**prime_132** · 2024/01/21(日) 18:05:36.41

>>251
[Easy]
　|x| > 1.1 では x^{100} が圧倒的に大きいから
　実数解 0個
[Hard]
　実数解 4個
　-1.0080753102
　-0.8691931251
　-0.5015096784
　1.0191496071
これどうやって見つける？　(WolframAlpha ?)

>>252
[Easy]
　(2,3,17)

>>253
[Easy]
　x ≧ 0 では | … | の中身 > 0.
　677/60 ≒ 11.28333.
[Hard]
　| … | の中身が (xx+2x-1)(xx+7x+3)
　0 ≦ x < √2 -1 では | … | の中身 < 0,
　x > √2 -1 では | … | の中身 > 0,
　(951-416√2)/60 ≒ 6.0448

**prime_132** · 2024/01/22(月) 01:34:50.30

>>262-263
[Hard]
　π > 311/99 = 3.141414…　と
　5^311 = 2.397018…*10^217 > 1.316240…*10^217 = 156^99 より
　5^π > 5^{311/99} > 156,

　π < 355/113　(密率)　と
　5^355 = 1.362547…*10^248 < 1.369811…*10^248 = 157^113 より
　5^π < 5^{355/113} < 157,
よって整数ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/22(月) 10:38:12.64

そんな円周率の評価値証明なしに使えんやろ

**prime_132** · 2024/01/22(月) 20:26:07.58

>>254
[Hard]
nについての帰納法による。
・n=1 のとき
　1 > e^t,　　　　　(t<0)
を u<t<0 で積分すると
　-u > 1 - e^u,　　　(u<0)
これを x<u<0 で積分すると
　xx/2 > -x -1 + e^x,　　　　(x<0)
∴　1 + x + xx/2 > e^x > 0.　(x<0)
・あるnについて
　1 + Σ[k=1, 2n] t^k / k! > e^t,　　　(t<0)
が成り立つと仮定する。これを u<t<0 で積分すると
　－Σ[k=1, 2n+1] u^k /k! > 1 - e^u,　(u<0)
これを x<u<0 で積分すると
　Σ[k=2, 2n+2] x^k /k! > -x -1 + e^x ,　(x<0)
∴　1 + Σ[k=1, 2n+2] x^k /k! > e^x,　　(x<0)
∴　n+1 についても上式は成り立つ。　(終)

**prime_132** · 2024/01/23(火) 00:21:32.33

>>236
[Easy]
　半径√2 の球
　体積V = (8π√2)/3 = 11.8476878
[Hard]
　(y≧0 の部分の面積)　A = 1 + 3π/2 = 5.71239
　(重心のy)　　η = (5/3 + 3π/2)/A = 1.1167054
　体積V = 2πη*A = π(10/3 + 3π) = 40.0808
　体積に関する Guldin の法則
出典
　高木「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)　§98, p.371

>>246
[Easy]
　x^4 - xx + 3 = (xx - 1/2)^2 + 11/4 ≧ 11/4.
　∫_{-3}^{3} (x^4 - xx + 3) dx
　　= [ (1/5)x^5 - (1/3)x^3 + 3x ]_{-3}^{3}
　　= 97.2
[Hard]
　| … | 内 ≧ 0.943827115
　　等号は x ≒ -1.1071598717 のとき。
　∫_{-3}^{3} (x^4 - 2xx + x + 3) dx
　　= [ (1/5)x^5 - (2/3)x^3 + xx/2 + 3x ]_{-3}^{3}
　　= 79.2

**prime_132** · 2024/01/23(火) 03:53:50.43

>>235　>>255
　f(x) が偶関数のとき
　∫[-a,a] f(x)/(1+e^x) dx
　= ∫[0,a] {f(x)/(1+e^x) + f(-x)/(1+e^{-x})} dx
　= ∫[0,a] f(x) dx,
[Easy]　1
[Hard]　1/3

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/26(月) 22:39:51.04

[Hard] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々3個であることを示せ。
[Easy] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々6個あることを示せ。