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1文字変えたら難易度が激変する問題 3文字目 [無断転載禁止]©2ch.net
0132１３２人目の素数さん
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2018/01/16(火) 22:09:09.29ID:YF+l3Gp4
>>131
Hardは、2つの変曲点のy座標がどちらが上かを考えたうえで
グラフを描くのが最大の難所ですね。2.71<e<2.72は証明なしに使ってもいいものとして。
0133１３２人目の素数さん
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2018/01/17(水) 00:51:05.73ID:K1wc0vuW
>>130

y(2-√2)/y(2+√2）=｛(2-√2)e^(-2+√2)｝/｛(2+√2)e^(-2-√2)｝
=（3-2√2）e^(2√2)
>（3-2√2）（1+2√2+4）　　　(*)
= 7 -4√2
> 1.343

y(2-√2）> y(2+√2)

*）　a>0　⇒　e^a > 1+a+aa/2
0135１３２人目の素数さん
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2018/02/25(日) 23:42:25.89ID:iugM+Z3a
[Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+i/n|^nを求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+1/n|^nを求めよ。
0136１３２人目の素数さん
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2018/02/28(水) 07:49:31.51ID:rbpccide
[Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+i/n)^n)を求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+1/n)^n)を求めよ。
0137１３２人目の素数さん
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2018/02/28(水) 07:56:21.13ID:rbpccide
[Hard] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。
[Easy] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (-1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。??
0138１３２人目の素数さん
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2018/02/28(水) 09:21:11.77ID:1Wsk73nl
[POSSIBLE]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=1.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-5((a_n)^2+(a_n))
0139１３２人目の素数さん
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2018/03/19(月) 11:46:19.19ID:zrr7I11y
[Lunatic] n^3+7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。
[Easy]　n^3-7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。
0140１３２人目の素数さん
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2018/03/29(木) 18:05:52.31ID:nr8D4FMz
>>139
Easy(京大)
0151１３２人目の素数さん
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2018/04/19(木) 22:04:14.87ID:uApzZa50
[Hard] 赤玉と白玉が6つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
[Easy] 赤玉と白玉が2つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
(いずれも回転して同じ並びになる場合は、同じ並べ方とする)
0162１３２人目の素数さん
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2018/07/31(火) 06:36:57.82ID:OcKQyzud
age
0165１３２人目の素数さん
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2019/04/18(木) 21:14:05.89ID:P7w6zJwg
[Hard] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=2)を解け。
[Easy] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=1)を解け。??
0166１３２人目の素数さん
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2019/04/18(木) 21:25:51.36ID:avxFv/rD
KJ2guel2aRE

障害者顔のゴミ山ほだかヒトモドキ轢き殺されろ
0167１３２人目の素数さん
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2019/04/27(土) 23:01:12.21ID:PK3jSwMr
[Hard] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
[Easy] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+2|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
0168１３２人目の素数さん
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2019/05/24(金) 06:39:52.59ID:o9XC54ZH
[Hard] \lim_{n→+∞} cos (2πen!)を求めよ。
[Easy] \lim_{n→+∞} cos (2πn!)を求めよ。
0169１３２人目の素数さん
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2019/09/27(金) 12:46:07.54ID:tGYpjaBC
[未解決]x^3+y^3+z^3=114を満たす整数x,y,zを求めよ
[糞簡単]x^3+y^3+z^3=514を満たす整数x,y,zを求めよ
0173１３２人目の素数さん
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2020/05/31(日) 02:09:33.77ID:LICLE/8y
[例9-3]
　次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
[Easy]　　｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-11),
[Hard]　　｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),

秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著：
　［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)

注）　Hrad は鳩ノ巣原理では解けません。
0174１３２人目の素数さん
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2020/06/01(月) 03:43:07.02ID:LHxMDESI
97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4)　････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5)　････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5)　････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6)　････ (5)

*　3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡
0175１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 04:42:24.72ID:TPydHgX/
[Hard]
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
　a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)
0176１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 14:05:44.39ID:hfqlPygz
6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、
[Easy] 均衡素数を10個見つけよ
[Hard] 均衡素数を20個見つけよ
0181１３２人目の素数さん
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2020/06/08(月) 07:56:26.00ID:4nsS10XA
>>174
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28,　････ (3)
0182１３２人目の素数さん
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2020/06/09(火) 10:33:58.10ID:oCR5MqlE
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9)　　････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10)　　････ (7)

(4)×2 - (5)×7
　-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7)　　････ (8)

(6)×4 - (3)
　153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12)　　････ (9)
0183１３２人目の素数さん
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2020/06/09(火) 11:18:36.38ID:oCR5MqlE
>>139
>>140
[Easy]
2018 京都大学前期 数学(理系) 第2問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11187969786 2018/03/23
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12186895702 2018/03/01
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12202651132 2019/01/29

http://www.youtube.com/watch?v=qrepKWHlGBQ 02:07　東ふく郎
http://www.youtube.com/watch?v=tIcb9m3LAOQ 03:52　鈴木貫太郎
0186１３２人目の素数さん
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2020/07/27(月) 20:10:11.95ID:ywO4S5HE
>>182
(3)×1372 - (2)
　-38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9)　････ (10)
また
　-292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6)　････ (11)
(5) - (11)×2
　789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　････ (12)
(11) - (3)×79
　1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(10)×3 + (7)×50
　-19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8)　････ (13)
(13) - (3)
　-19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9)　････ (14)
(13) - (14)×15
　269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12)　････ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
　249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12)　････ (16)
(16) - (9)
　96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13)　････ (17)
0187１３２人目の素数さん
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2020/08/03(月) 02:02:59.98ID:I6C2ZYeB
>>167
[Hard?]
　0<α≦π/12　のとき
　　f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),
　π/12≦α<π/2　のとき
　　f(t) ≧ f(α-π/12)
　　= 1 + (α-π/12) - cos(π/6)
　　= 1 + (α-π/12) - (√3)/2,

[Easy]
　t<0 で単調減少、t>0 で単調増加だから
　f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),

1文字変えても難易度が変わらない問題
0188１３２人目の素数さん
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2020/08/03(月) 02:11:36.00ID:I6C2ZYeB
>>168
[Hard?]
　e = Σ(k=0,∞) 1/k!,
より
{e･n!} = 1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) + 1/((n+1)(n+2)(n+3)) + ････
　　< 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ････　　　(等比級数)
　　= 1/n,
　cos(2πen!) = cos(2π{e･n!}) ゆえ
　1 > cos(2πen!) > cos(2π/n) > 1 - 2(π/n)^2,
　∴　cos(2πen!) = 1　　　(n→∞)

[Easy]
　cos(2πn!) = cos(0) = 1,

1文字変えても難易度が変わらない問題
0189１３２人目の素数さん
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2020/08/03(月) 14:44:05.07ID:I6C2ZYeB
>>165
与式は
　{(y '(x))^2 - exp(-2･y(x))} ' = 0,
xで積分して
　(y '(x))^2 - exp(-2･y(x)) = (y '(0))^2 - 1
　　= cosh(b)^2 - 1 = sinh(b)^2 = aa,　(とおく)
両辺に exp(2･y(x)) を掛けて
　{y '(x)･exp(y(x))}^2 - 1 = {a･exp(y(x))}^2
a･exp(y(x)) = z(x)　とおくと
　(z '(x)/a)^2 - 1 = (z(x))^2,
　z(0) = a･exp(y(0)) = a･exp(0) = a,
　z '(0) = a･y '(0) = a･cosh(b),
よって
　z(x) = sinh(ax+b),
　y(x) = log| sinh(ax+b) /a |.

1文字変えても難易度が変わらない問題
0190１３２人目の素数さん
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2021/01/20(水) 20:57:07.64ID:vsh0LBBi
[Hard] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも77で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
[Easy] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも17で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
0191１３２人目の素数さん
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2021/02/03(水) 22:39:26.47ID:s1FS7q5L
[Hard] 1/9998の小数第96位の数を求めよ。
[Easy] 1/9999の小数第96位の数を求めよ。
0192１３２人目の素数さん
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2021/02/10(水) 00:04:06.10ID:V7Ph0vhz
1/9998 = 1/(10^4 -2) = Σ[k=1,∞] 2^{k-1} (1/10000)^k
k≦23 の項は小数第92位迄で収まる。
k≧24 の項の和は
　8388608×10^{-96} + 16777216×10^{-100} + 33554432×10^{-104} + 67108864×10^{-108} + ････
　= (8388608 + 1677.7216 + 0.335544 + 0.0000671 + ････) × 10^{-96}
　= 8390286.057×10^{-96}
よって小数第93〜96位の数は ０２８６
(参考)
1/9998 =
0.0001000200 0400080016 0032006401 2802560512 1024204840
　9681936387 2774554910 9821964392 8785757151 43028６0572
　1144228845 7691538307 6615323064 6129225845 1690338067
　6135227045 4090818163 6327265453 0906181236 2472494498 9

[Easy]
1/9999 = 0.000100010001････
∴　小数第93〜96位の数は ０００１
0193１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/11(木) 01:53:44.38ID:cfUWdQYu
>>176 [Hard] 残り9個
608981812891 (11669295392)
608981812951 (11669295393)
608981812993 (11669295394)
608981813507 (11669295402)
608981813621 (11669295403)
608981813819 (11669295409)
608981813837 (11669295410)
608981813861 (11669295411)
608981813929 (11669295412)
0194１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/17(水) 06:28:36.94ID:pOGUunX7
　　p ≡ +1　　　　　p ≡ -1　　　(mod 6)
-------------------------------
　　　　　　　　　608981812721
　608981812759
　608981812771
　608981812867
　608981812891*
　　　　　　　　　608981812919
　608981812951*
　　　　　　　　　608981812961
　608981812993*
　608981813017
　608981813029
　　　　　　　　　608981813123
　608981813137
　608981813191
　　　　　　　　　608981813261
　608981813269
　　　　　　　　　608981813273
　　　　　　　　　608981813303
　608981813311
　608981813347
　　　　　　　　　608981813357
　608981813449
　　　　　　　　　608981813459
　　　　　　　　　608981813501
　　　　　　　　　608981813507*
　608981813569
　　　　　　　　　608981813621*
　608981813677
　608981813683
　608981813701
　608981813707
　　　　　　　　　608981813711
　　　　　　　　　608981813717
　608981813719
　　　　　　　　　608981813777
　608981813779
　　　　　　　　　608981813789
　　　　　　　　　608981813807
　　　　　　　　　608981813819*
　608981813833
　　　　　　　　　608981813837*
　608981813851
　　　　　　　　　608981813861*
　　　　　　　　　608981813927
　608981813929*
　　　　　　　　　608981813939
　608981813941*
　　　　　　　　　608981813963
　608981814019*
　608981814043
　608981814127
　　　　　　　　　608981814131
　　　　　　　　　608981814143*
　　　　　　　　　608981814149
　　　　　　　　　608981814173
------------------------------
* 印は「均衡素数」
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/19(金) 04:36:26.82ID:45fvrIx7
>>178　　[Easy] の方は
　p≡+1　　p≡-1　　(mod 6)
-----------------
　　　　　　5
　7 *
　　　　　　11
　13 *
　　　　　　17
　19 *
　　　　　　23
　　　　　　29
　31
　37 *
　　　　　　41
　43 *
　　　　　　47
　　　　　　53
　　　　　　59
　61
　67
　　　　　　71
　73
　79 *
　　　　　　83
　　　　　　89
　97
　　　　　　101
　103
　　　　　　107
　109
　　　　　　113
　127
　　　　　　131
　　　　　　137
　139
　　　　　　149
　151
　157
　163 *
　　　　　　167
　　　　　　173
　　　　　　179
　181
　　　　　　191
　193
　　　　　　197
　199
　211
　223 *
　　　　　　227
　229 *
　　　　　　233
　　　　　　239
　241
　　　　　　251
　　　　　　257
　　　　　　263
　　　　　　269
　271
* 印は「均衡素数」
0197１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/21(日) 20:37:52.24ID:j1fi0g6q
>>196
30=2*3*5 であるから、30 個の正の約数をもつ正数は 3種類の素数 p1,p2,p3 で p1*p2^2*p3^4 と表される
p=2 のとき p(p+2)=8 や p(p+2)^2=32 は条件を満たさない
pが奇素数ならば p+2 は p と素であるから、
[Hard] p=p1,p+2=p2^2*p3^4
p2^2*p3^4 の形の数は 2025, 3969, 5625, ... であり、そのうち p=p2^2*p3^4-2 が素数になる最小数は p=3967 のとき
[Easy] p=p1,p+2=p2*p3^2
p2*p3^2 の形の数は 45, 63, 75, ... であり、そのうち p=p2*p3^2-2 が素数になる最小数は p=43 のとき
0198１３２人目の素数さん
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2021/02/22(月) 13:40:11.20ID:WaTuyXRA
[Easy]
No.18
　What is the smallest prime number p such that p^3 + 4p^2 + 4p has exactly 30 positive divisors ?

　p+2 = q^7　とすると… (q=2,3,5は×) 　q=7 で p=823541

[Hard]
　p+2 = q^14　とすると… (q=2,3 は×)　q=5 で p=6103515623
0199１３２人目の素数さん
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2021/02/25(木) 22:35:57.80ID:7afa7qFU
[Lunatic] pとp^4+15が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
0201１３２人目の素数さん
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2021/02/27(土) 23:10:18.47ID:mIXbckyZ
訂正
[Lunatic] pとp^4+18が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
0202１３２人目の素数さん
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2021/03/04(木) 03:02:16.87ID:cVC4XyuV
[Trivial]
　存在しない。
　p=3 のとき　p^4 + 14 = 95 = 5×19,
　p=5 のとき　p^4 + 14 = 639 = 3×3×71,
　p≠3,5 のとき　15の倍数。
京大の問題らしい…
0204１３２人目の素数さん
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2021/03/18(木) 11:57:23.57ID:26zMuxAb
Lunatic] \int^1_{-1} |x^6-x/2-1/2| dxを求めよ。
[Trivial] \int^1_{-1} |x^2-x/2-1/2| dxを求めよ。
0205１３２人目の素数さん
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2021/03/19(金) 10:15:36.66ID:kblq5sn9
>>186
　 -28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　　　　････ (3)
　 789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　　････ (12)
(3)×21 - (12)×17
　-14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10)　････ (18)

　1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(7)×2 - (18)
　17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10)
0206１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 23:28:12.48ID:Eu8CzLjp
>>204
[Trivial]
x^2 - x/2 - 1/2 = (x+1/2)(x-1) = (x-α)(x-β),
(与式) = ∫[-1, α] (xx - x/2 - 1/2) dx + ∫[α,β] (β-x)(x-α) dx
　= [ (1/3)x^3 - (1/4)xx - (1/2)x ](x=-1,α) + (1/6)(β-α)^3　　(←公式)
　= 1/12 + 7/48 + 9/16
　= 19/24
　= 0.791667
0207１３２人目の素数さん
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2021/03/30(火) 23:14:40.05ID:5YDL31sD
[Hard] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=r[x]の相異なる正の実数解の個数を求めよ。
[Easy] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=rxの相異なる正の実数解の個数を求めよ。
0208１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 11:12:52.22ID:jAHOCp/v
[Hard]
　x>0 より　(左辺) >0,　[x] ≧ 0,

・r≦0　のとき
　(右辺) = r[x] ≦ 0　だから０個,
・0≦r<4　のとき
　[r] 個
・4≦r　のとき
　[r] = r' とおく。
　0 ≦ {r} < 1/(r'-2)　のとき３個 (r'-2≦x<r'-1, r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)
　1/(r'-2) ≦ {r} < 1　のとき２個 (r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)

[Easy]
与式と x>0 より　x=r,
・r≦0　のとき０個
・r>0　のとき１個

1文字変えても難易度が変わらない問題
0209１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 11:37:32.09ID:jAHOCp/v
>>173
　次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか？
　　｜a + b√2 + c√3｜< 1/(n^2),

[Hard]　　　 n = 10^6
[Lunatic]　　n = 10^m
0210１３２人目の素数さん
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2021/04/27(火) 20:25:13.46ID:zO6wGSmd
[Lunatic] (√5+2)^{20000}の小数第13000位の数字を求めよ。
[Hard] (√5+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
[Trivial] (√4+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
0211１３２人目の素数さん
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2021/06/03(木) 15:16:38.18ID:HMcyGjac
[Trivial]
4^20000 = 158426015･･･(12042桁)･･･5509376
　　答え「０」(整数なので 999･･･ の表示も可能だがここでは 000･･･ をとる)

[Hard / Lunatic]
　(√5 +2)^20000 = 181307178･･･(12540桁)･･･000000002　- (√5 -2)^20000,

　(√5 -2)^20000 = 5.51550142･･･ × 10^{-12540}
　第12000位は0　･･･　答え「９」
　第13000位は6　･･･　答え「３」
0212１３２人目の素数さん
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2021/06/03(木) 20:16:36.36ID:HMcyGjac
>>206
∫[α,β] (β-x)(x-α) dx = (1/6)(β-α)^3,


4点 (α,0,0)　(β,0,0)　(α,0,β-α)　(β,β-α,0) を頂点とする
四面体を考える。
　x軸に垂直な断面は長方形で S(x) = (β-x)(x-α),
体積Vは縦・横・高さが β-αの立方体の体積の 1/6
∴　(左辺) = V = (1/6)(β-α)^3,
0213１３２人目の素数さん
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2021/07/01(木) 08:54:01.73ID:3LOTp7It
>>201
[Trivial]
nが偶数のとき
　n^4 + 14 ≡ 0　(mod 2)
nが3の倍数でないとき
　n^2 ≡ 1　　(mod 3)　　　フェルマーの小定理
　n^4 + 14 ≡ 1^2 + 14 = 15 ≡ 0　　(mod 3)
nが5の倍数でないとき
　n^4 + 14 ≡ 1 + 14 = 15 ≡ 0　　(mod 5)
nが7の倍数のとき
　n^4 + 14 ≡ 0　(mod 7)

これらはいずれも素数でない。
n^4 + 14 が素数になるのはnが奇数かつ15の倍数であり7と素である場合に限る。
(例)　165, 195, 255, 405, …
0215１３２人目の素数さん
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2021/09/09(木) 03:51:22.71ID:41HtP13l
[Easy]　2^m + 47 が素数であるような自然数mを全て求めよ。

m：偶数　→　3の倍数
m≡3　(mod 4)　→　5の倍数
残りは　m≡1　(mod 4)　だが…
m≡1　(mod 3)　→　7の倍数
m≡3　(mod 10)　→　11の倍数
m≡9　(mod 12)　→　13の倍数
m≡2　(mod 8)　→　17の倍数
m≡-1　(mod 18)　→　19の倍数


最小の素数：　m=5　　2^5 + 47 = 79
0217１３２人目の素数さん
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2021/09/16(木) 21:19:29.87ID:oiL8ZJ3/
[Hard] 方程式(√3)×tan50°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。
[Easy] 方程式(√3)×tan20°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。
0218１３２人目の素数さん
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2021/10/21(木) 21:40:34.27ID:J76W6j2E
[Hard] 実数x,yがx^2+y^2+xy≦6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。
[Easy] 実数x,yがx^2+y^2+xy=6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。
0219132人目の素数さん＠そうだ選挙に行こう
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2021/10/31(日) 08:08:58.70ID:O5wXnDZ3
　u = (x+y)/√2,
　v = (x-y)/√6,
とおくと
　xx+xy+yy = (3/2)(uu+vv),
　f(x,y) = (x+y)(x-1)(y-1)
　　　　 = (u/√2){(u-√2)^2 - 3vv},

uu+vv ≦ 4 では
最大値　3　　　　　　　　　(u=-1/√2, v=±√(7/2))
最小値　-2(√2)(1+√2)^2　　(u=-2, v=0)
0220１３２人目の素数さん
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2021/11/02(火) 21:22:58.92ID:la8IjbBZ
[Hard] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、49の倍数はいくつあるか？但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。

[Easy] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、4の倍数はいくつあるか？但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。
0222１３２人目の素数さん
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2021/11/05(金) 20:49:50.53ID:MO5Kof3j
>>220
[Easy] 値を求めることはできる
　下2桁が12で、上の桁に4を含む　　……　3^(n-2) - 2^(n-2)
　下2桁が24で、上の桁に1を含む　　……　3^(n-2) - 2^(n-2)
　下2桁が44で、上の桁に1,2を含む　……　3^(n-2) - 2･2^(n-2) + 1,
これを合計すれば一般式を出せるだろうが…
　3^(n-1) - (2^n) + 1,
0225１３２人目の素数さん
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2022/01/10(月) 09:34:10.96ID:n8SK/aQl
[Hard] \int^1_0 [log(1+x)]÷ x dxを求めよ。
[Easy] \int^1_0 [log(1+x)]✕ x dxを求めよ。
0226１３２人目の素数さん
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2022/02/14(月) 20:45:40.39ID:rUDVwSgL
[Lunatic] r=p^3+4q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。  
[Easy] r=p^3+3q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。
0228１３２人目の素数さん
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2022/03/02(水) 19:45:10.58ID:rWMw7QhA
[Hard] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに裏の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
　・「0ノ型」東に20m走る
　・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
　・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。

[Easy] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに表の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
　・「0ノ型」東に20m走る
　・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
　・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。
0229１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/03/05(土) 21:47:24.48ID:Yggdk8l8
[Hard] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、9回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
[Easy] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、7回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
0230１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/03/26(土) 21:45:31.45ID:t5ho5kYu
[Hard] xについての方程式tanx=xの正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
[Easy] xについての方程式tanx=0の正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
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