1文字変えたら難易度が激変する問題 3文字目 [無断転載禁止]©2ch.net
[Hard] 2014!を5^{503}で割った余りを求めよ。
[Easy] 2014!を5^{500}で割った余りを求めよ。 Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・k
を証明せよ Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
なら自明
ちな
Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・kの最後のkは(n-k)にはかかってないやつ [Hard] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の内心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Intermediate] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の重心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Easy] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の外心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。 [Hard] cos(x)+sin(πx)は周期関数か?
[Easy] cos(x)+sin(x)は周期関数か? [Hard] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{-1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。
[Easy] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{+1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。 [Hard] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k^2+1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。
[Easy] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k +1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。 >>15-16
1/n = a、(n-1)/n = b とおく。
(左辺) = Σ[k=0〜n] C(n,k)・a^k・b^(n-k) = (a+b)^n,
また
C(n,k)・k = n・C(n-1,k-1) (k=1〜n)
だから
(右辺) = nΣ[k=1〜n] C(n-1,k-1)・a^k・b^(n-k)
= naΣ[k=0〜n-1] C(n-1,k)・a^k・b^(n-1-k)
= na(a+b)^(n-1), >>29
[Easy]
f(n) = (1+1)^n = 2^n,
最大値 2^2017,
[Hard]
f(1) = 2、f(2)= 2.5、f(3)=f(4)= 8/3、f(5)= 2.6
n≧6 のとき、
C(n,k) ≧ C(n,2) (2≦k≦n-2)
f(n) < 1 + 1/n + (n-3)/C(n,2) + 1/n + 1
= 2 + 4(n-2)/{n(n-1)}
< 2 + 4/(n+1),
≦ 2 + 4/7,
最大値 8/3 >>28
[Easy]
周期2πをもつ。
[Hard]
f(R) = Max{cos(x)+sin(πx);|x|≦R}
とおき
(1) f(R) < 2,
(2) lim[R→∞] f(R) = 2,
を示せばよい。 >>33
[Hard] f(x)が周期関数だと仮定すると、f(x)=f(T+x)を常に(どんなxでも)満たす
正の定数Tが存在するはず。
f(0)=1、f(±T)=cosT±sin(πT)=1より、cosT=1、sinπT=0。
T=2mπ=2n(m,nは0でない整数)より、π=m/nが有理数になってしまい矛盾。 >>33 (1)
sin(πx)=1 のとき x = 2m + (1/2) ≠ 2Lπ, cos(x)<1,
∴ cos(x)<1 または sin(πx)<1,
∴ cos(x) + sin(πx) < 2,
∴ f(R) < 2.
>>33 (2)
任意のε>0 に対して、n ≧ π/√(2ε) なる自然数nをとる。
|x|≦ π/n ⇒ cos(x) > 1 - ππ/2nn > 1-ε,
区間[0,1) を幅 1/n の小区間にn等分する。
鳩ノ巣原理(ディリクレの引き出し論法)により
0,{1/π},{2/π},{3/π}, ・・・・,{n/π}のn+1個のうちの2つは同じ小区間に含まれる。
0 <{(i-j)/π}={i/π} - {j/π}< 1/n,
0,{(i-j)/π},{2(i-j)/π},{3(i-j)/π}, ・・・・ は 1/n より狭い間隔で並ぶ。
|{m/π} + 1/(4π)|< 1/2n,
を満たす整数(i-jの倍数)mがある。
π/n >|2π{m/π} + 1/2| =|2m + 1/2 -2Lπ|=|x - 2Lπ|,
∴|x - 2Lπ|< π/n < √(2ε),
∴ cos(x)= cos(x-2Lπ)> 1-ε,
∴lim[R→∞]f(R)= 2, >>28
[Super hard / Ultra hard] cos(x)+sin(πx)は一様概周期函数か?
”uniformly almost-periodic function”はBohr(1925)、Bochnner(1927)が創始したらしい。 >>30
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割りきれる。(乗法的)
[Easy] では a_k=k なので明らか。[Hard]は別記。
(略証)
ユークリッド法(背理法)による。
題意の素数が{p_k|k=1,2,…,n}のみだったと仮定する。
各p_k に対し、p_kの倍数である a_φ(k) がある。([Easy] ではφ(k)=p_k)
ψ=φ(1)φ(2)……φ(n)
とおくと、補題により
a_ψ≡ 0(mod p_k)
a_(ψ+1)≡ 1(mod p_k)
は上記のどのp_kでも割りきれないから、仮定に反する。(honda氏の解)
* [Hard] は ヨーロッパ女子数学オリンピック、日本代表選抜一次試験の問題 >>30
〔補題の補題〕
[Hard]のとき
a_{m+n}- a_m は(a_n)^2 で割り切れる。(kisato氏)
(略証)
m についての帰納法で。
m=1 のとき、漸化式より
a_{n+1}- a_1 ={(a_n)^2 + 1}- 1 =(a_n)^2,
また、
a_{m+n+1}- a_{m+1} =(a_{m+n}+ a_m)(a_{m+n}- a_m)
ゆえ、あるmに対して成立なら、m+1に対しても成立。
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割り切れる。(乗法的)
これが分かると難易度に差はない、というのが出題の趣旨でしょうか。
http://suseum.jp/gq/question/2658 >>38
2項漸化式を少し一般化して、
a_{n+1} = P( a_n ), ただし P(x)は多項式で P(0) = a_1,
としても
a_{n+1} - a_1 = P(a_n) - a_1 = Q(a_n, 0)a_n ≡ 0(mod a_n),
a_{m+n+1} - a_{m+1} = P(a_{m+n}) - P(a_m)
= Q(a_{m+n}, a_m)(a_{m+n} - a_m),
なので、同様のことが成立つ(?) [Lunatic] n^m=4m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
[Easy] n^m= m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。 [Hard] 正の実数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
[Easy] 正の整数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。 [3,1,0]
[Hard] A=[0,0,1]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
[3,1,0]
[Easy] A=[0,0,0]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2] [Hard] 点(k,-8)を通る、y=x^4-6x^2の接線は何本あるか?
[Easy] 点(k,-8)を通る、y=x -6x^2の接線は何本あるか? [Hard] nを自然数とする。0≦x<2^{+1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
[Easy] nを自然数とする。0≦x<2^{-1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。 座標平面上にA(0,2)、B(1,-1)があり、動点Pがx軸上全体を動く。
[Hard] PA-PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Easy] PA+PBの最小値があれば、その値を求めよ。