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虚数とか複素数ってなんですか？ [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 18:14:24.34ID:eB2ZNtUO
誰か教えてください
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 20:26:48.02ID:SDFAhgF4
共役をとったあと
a0+a1z*+a2z*^2+....+anz*^n=0
のような式になるまでをもう少しくわしく教えていただけますか
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 20:32:47.55ID:1+vTQ2mp
初めてこのｽﾚに書き込みます。私なりの解説です。
正の数も負の数も、2乗すると、正の数になります。
そのため、「実数を2乗すると負の数になる」ことはありません。
そこで、実数以外の数として、「-1の平方根」を、無理やり作ります。それを、「i」と書き、「虚数単位」と呼びます。
a,bを実数として、「a+bi」の形の数を、「複素数」と呼びます。もちろん、aやbが0であってもよいです。b=0の場合が、実数に相当します。
bが0でないとき、a+biを「虚数」と呼びます。(つまり、「実数以外の複素数」のことです。)
a=0で、bが0でないとき、「bi」を「純虚数」と呼びます。
0091１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 20:41:29.21ID:SDFAhgF4
>>90
実数以外で平方根を作ろうとすると
実数以外でかけ算を考えないといけないと思うのですが
どのように考えればいいのでしょうか？
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 20:44:49.99ID:hG8FJ4fj
>>91
考えなくていいのですよ
実数の平方根？と定義することもできますがめんどくさいのです


>>89
(ab)*=a*b*
aが実数のとき、a*=a
これを使いましょう
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 20:53:10.91ID:SDFAhgF4
>>88
は　０の共役は０で
共役は和でも積でも分けられて
実数の共役はそのままだから
ということだったんですね

わかりました　ありがとうございます
0094１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 20:59:28.71ID:SDFAhgF4
実数の積しか定義していない段階では-1の平方根は存在しないと思うのですが
実数以外の積を考えずにとうやって-1の平方根を作ればいいのですか？
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 21:13:26.32ID:hG8FJ4fj
複素数を先に定義してしまえばいいのです
そうすればiと-iが平方根になります

さっきの>>92は他の話と混ざりました
忘れてください
0097１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 21:23:22.39ID:SDFAhgF4
>>96
体の拡大を勉強すれば
複素数体は実数体に i を添加した体
複素数体は実数を係数とする多項式環を
多項式x^2+1 で生成されるイデアルで割った環（体）とみなせる

というのは理解できるようになりますか？
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 21:31:01.15ID:hG8FJ4fj
今日も「解けない側」の圧勝かぁ・・・。
毎日毎日、ワケ分からん問題ばかりだから常勝なんだよね・・・。
たまには、解ける解けるって悩んで負けてみたい、それが今の切実な悩み。
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/11/30(水) 21:33:18.79ID:SDFAhgF4
>>98
どういうこと
0101１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/01(木) 00:26:54.29ID:IzooBQWU
>>85
書いてることは合っているが、それだけでは
まだ複素数の性質の一部でしかない。
0102１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/01(木) 00:31:22.25ID:IzooBQWU
>>87
それが、「共役」という言葉の意味だからだよ。
日常的には「複素共役」と略称するが、
代数学上は「複素数の実-共役」だな。
0103１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/01(木) 00:32:13.20ID:tCUO4ulm
代数方程式の解
0116１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/01(木) 14:03:56.04ID:IzooBQWU
>>103
正解。
体の拡大K/Lについて、Lの元がK-共役であるとは
共通なK上既約代数方程の解になっていることをいう。
実/複素は体の2次拡大だから、その代数方程式の
次数は2または1で、1の場合が実数、2の場合が虚数。
共役複素数はひとつの実2次方程式の解ということだ。
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/02(金) 17:48:11.66ID:IqV2A6ZS
頭でイメージしにくい概念は良く分からん
極座標の計算なら仕事でも使うからイメージ出来る
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/07(水) 21:24:00.18ID:Q0K9Migw
>>1
ない数
0154１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/10(土) 00:33:52.50ID:BwtxsKEK
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0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/23(金) 03:49:25.32ID:06iuOQ6r
だって、二次方程式くらいいつでも解きたいじゃない？
代数学の基本定理やコーシー・リーマンの関係式まで
最初から見通してたわけでもなかろうけどさ。

差し迫って二次方程式の虚数解を求めたかった理由は、
三次方程式をカルダノの方法で解くときに、
３実解を持つ場合だと二次方程式の虚数解を経由
しなければならなかったことにあるそうな。
解が実であるときに補助方程式の解が虚になる
という話は、虚数解の実在感に大きく影響したらしい。
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/25(日) 00:01:59.94ID:A+3zJFAv
【複素数の歴史】

-曖昧な時代-
ある型の代数方程式の根を表すため、負のn乗根の存在を仮定し、数を拡張する
拡張された数はx+y√(-1)と表せる
x-y平面上の点と見なせる
拡張された数では代数方程式が必ず根を持つことが予想され、後にほぼ厳密に証明される

-厳密な時代-
平面上の点(x,y)に形式的な（それ故に厳密な定義として）演算を導入した体系を考えると、自然に実数の拡張と見なせる
厳密に拡張された数には-1の平方根√(-1)が存在し、厳密に拡張された数はx+y√(-1)と表せる
厳密に拡張された数では代数方程式が必ず根を持つことが証明される

※分かりやすくするため、ここでは実数の厳密な定義を巡る話は無視した
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/25(日) 04:14:22.13ID:ti1UN9vF
猫は数学よりフェチ板とかがあってるよ
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/25(日) 09:47:32.92ID:9NS1rBSM
>>174
体上の多項式環を既約元の単項イデアルで割ると、体ができる。
解の無い代数方程式が解を持つような拡大体が定義できるということ。
歴史的にも、複素数は xx+1 の分解体として導入された。
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