締め切りになりましたので８月号問１の略解を書きます。

(1)数列を{a(n)} とすると、
「増加数列で,各自然数kについてa((k-1)k+1)=a(k(k+1))=k」であればよい。これを（条件）という。
n=(k-1)k+1のときk=(1+√(4n-3))/2
a(n)=[(1+√(4n-3))/2] とおくと(条件)を満たす。[　]はガウス記号

(2)√{((1)の答え)^2} から推測してa(n)=√(n+√n)とすると(条件)を満たす。
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(1)(2)ともに証明は定義にしたがって計算するだけですので容易です。

例えば(2)で
k≧2のとき
　√((k-1)k+1)=k-1 なので、
　 a((k-1)k+1)=√((k-1)k+1+(k-1))=√(k^2)=k
　√(k(k+1))=k なので
　 a(k(k+1))=√(k(k+1)+k)=√(k^2+2k)=k
など。