【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2016/10/17(月) 20:05:12.65

過去スレ：
【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/08(金) 18:44:52.96

今月6月号の解答よろぴく

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/10(日) 13:11:19.65

解答はよ

**とあるエレ解常連** · 2018/06/10(日) 15:40:19.27

幾何解いた人のコメントもとむ

**とあるエレ解常連** · 2018/06/10(日) 17:19:58.88

18年6月号の講評です：

■出題1：レベル7～？（常連正解率50％以下）

三角形ABCの3辺を両方向に等距離延長し、各頂点から伸びた2点を結んでできる3直線の交点をA'B'C'とする。
このときAA',BB',CC'が1点に交わることを示す問題。

幾何センスを問われる良難問。
数オリが得意な若い頭脳には簡単なことでしょう。
何度メネラウスを計算したことか。
明けても暮れてもメネラウス。
もう当分のあいだ三角形と直線のなす比は考えたくありません。
締め切り日に気付いたことは相似形とメネラウスだけではダメということです。
延長距離ゼロなら内心で交わることに気付いたPCの前のキミ！
それが何かの役に立ちましたか？

■出題2：レベル7（常連正解率50％）

a_i+b_j＝c_{i,j}（{a_i},{b_j} i,j=1～10は0以上の整数列）
が0から99を渡るような{a_i},{b_j}の組を列挙する問題。

本質的な組み合わせが「～通りに限られる」ことを示すのが難しい。
考えやすいように{a_i},{b_j}に適切な制限を加えることがまず必要。
そのうえで0～99まで数字がどのように増えていくかを考えると、
題意を満たす数列のパターンはそう多くないことに気付くでしょう。
厳密に示すのはやはり並の高校生レベルでは厳しいといえます。
解くのが難しいのではなく本質を突く補題を自分で設定して解くところが難しい。
本誌エレ解をもとむコーナーの腕の見せ所はこういうところにあります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/11(月) 00:19:45.64

問1はベクトルで。単純計算で分点比からチェバる。

>延長距離ゼロなら内心で交わることに気付いたPCの前のキミ！
>それが何かの役に立ちましたか？

役に立ちそうで立たなかった

**とあるエレ解常連** · 2018/06/11(月) 00:32:03.74

>>838
平面幾何にはベクトルで一刀両断。
エレガンスなんて糞食らえ。同感です。

> 役に立ちそうで立たなかった

ですよね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/11(月) 12:03:00.02

>>837

■出題2 は

(ア)　A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
　　　B = { 0,10,20,30,40,50,60,70,80,90}

(イ)　A = { 0, 1,20,21,40,41,60,61,80,81}
　　　B = { 0, 2, 4, 6, 8,10,12,14,16,18}

(ウ)　A = { 0, 1, 2, 3, 4,50,51,52,53,54}
　　　B = { 0, 5,10,15,20,25,30,35,40,45}

(エ)　A = { 0, 1, 4, 5, 8, 9,12,13,16,17}
　　　B = { 0, 2,20,22,40,42,60,62,80,82}

(オ)　A = { 0, 1,10,11,20,21,30,31,40,41}
　　　B = { 0, 2, 4, 6, 8,50,52,54,56,58}

(カ)　A = { 0, 1, 2, 3, 4,10,11,12,13,14}
　　　B = { 0, 5,20,25,40,45,60,65,80,85}

(キ)　A = { 0, 1, 2, 3, 4,25,26,27,28,29}
　　　B = { 0, 5,10,15,20,50,55,60,65,70}

の７とおり（A，Bを入れ替えれば14とおり）かな。。。

Aの等差部分列A’、Bの等差部分列B’とすると、A’(＋)B’は穴のないブロックをなす筈。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 00:38:04.46

おお、問２はどうやら正解っぽい。問１も挑戦したが解けず。垂心かな？と予想したんだけど、とっかかりすらつかめなかった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 19:01:00.72

今月号の1問目だが、解答者をバカにしたような問題。
間違いなく、ここ数年で一番易しい問題だと思う｡

**とあるエレ解常連** · 2018/06/16(土) 18:09:32.14

>>842
今月は実質1問ですか
二問目はどうですか

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 02:30:53.58

〔Igarashi の不等式〕
　a，b，c>0 のとき、
　a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c),
　2018年7月号NOTE

(略証)
　a' = bb + bc + cc,
　b' = cc + ca + aa,
　c' = aa + ab + bb,
とおくと
　aa' + bb' + cc' = (a+b+c) (ab+bc+ca),　　…　これがミソ（?）

(1) コーシーにより
　(左辺) = a/a' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa' + bb' + cc') = (a+b+c)/(ab+bc+ca),

(2)　f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより
　(左辺) = a f(a') + b f(b') + c f(c')
　　≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c))
　　= (a+b+c) f(ab+bc+ca)
　　= (a+b+c)/(ab+bc+ca),

不等式スレ９ - 620～623

**842** · 2018/07/09(月) 00:48:44.45

締め切り過ぎたし、易しいと書いた手前、7月号の1問目の回答らしきもの書いとくかw
「
整数mが4の倍数のとき(m=4h)　4h=(h+1)^2 -(h-1)^2
整数mを4で割ったときの余りが1のとき(m=4h+1)　4h+1=(2h+1)^2 -(2h)^2
整数mを4で割ったときの余りが3のとき(m=4h+3)　4h+3=(2h+2)^2 -(2h+1)^2
よって、mを4で割ったときの余りが2ではないとき、mは平方数の差であることが分かる。

したがって、nが奇数のとき、x(n)≡0 (mod 4)、nが偶数のとき、x(n)≡1 (mod 4)が言えれば題意は言える。
x(0)≡x(2)≡1、x(1)≡0 (mod 4)だから、帰納的に
x(2k+1)≡x(2k)+x(2k-1)ｰx(2k-2)≡1+0-1≡0 (mod 4)
x(2k+2)≡x(2k+1)+x(2k)ｰx(2k-1)≡0+1-0≡1 (mod 4)
がいえるから、題意は言えた。
」

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/09(月) 13:03:47.51

>>845
お見事でござる。

小生はまづ、
特性多項式 t^3 -5t^2 -5t +1 = (t+1)(tt-6t+1) の根が
　α^2，αγ=-1，γ^2 となることに注意する。
（α=1-√2，γ=1+√2)
もし　x_n = (y_n)^2 - (z_n)^2　の形に表わせるなら、
{y_n}，{z_n} の特性値は α，γと予想されるから、
特性方程式：　(t-α)(t-γ) = tt-2t-1,
∴　b_{n+1} = 2b_n +b_{n-1}
　y_n = (γ^n + α^n)/2,
　z_n = (γ^n - α^n)/(2√2),
を求めたのであった。
　y_0 = 1，z_0 = 0,
　y_{n+1} = y_n + 2z_n,
　z_{n+1} = y_n + z_n,
ゆえ、{y_n}，{z_n} は自然数である。
なお、これらは「ペル方程式」
　(y_n)^2 - 2(z_n)^2 = (-1)^n
も満たす。

**とあるエレ解常連** · 2018/07/09(月) 19:15:04.10

>>846
一般項を求めたかったんですが自分は諦めました
さすがの一言です

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/13(金) 06:33:33.32

わたくしの解法はこうです。
3以上のnについてx(n)の下2桁が周期的にあるパターンを繰り返すことに着目し、すべてのx(n)が奇数×奇数、または偶数×偶数で表されることを示しました。
これをpq(=x(n))と表すと、a+b=p, a-b=qとおいたとき、a, bはともに整数解をもつことが分かります。したがってx(n)=pq=a^2-b^2と表せるので題意は示された。
なんとなく>>845氏の考え方に似ている気がしましたが、氏の解法のほうが洗練されていていいですね。

**とあるエレ解常連** · 2018/07/14(土) 09:55:08.45

2018年7月号の講評です：

■出題１：レベル3（数学好きな高校生正解率60％）

a_{n＋3}＝5a_{n＋2}＋5a_{n＋1}－a_n
a_0＝1, a_1＝0，a_2＝5
で定まるa_nが平方数の差で表せることを示す問題。

「補題：mod4で2と合同でないなら平方数の差で表せる」
を運悪く知っている人には合同式の初歩的な練習問題でしかない。
>>845は運が悪かった一人ですが、解法は簡潔でエレガントです。
（>>848もこれに似た解法）

しかし、合同式で解いたら問題自体に何も面白さが感じられない。
一般項が求められるからこそ面白い。
>>846はさすがエレ解常連という感じ。
（もう一人のとあるエレ解常連はあっさりギブアップｗ）

いろんな解法があり、簡単過ぎてつまらないとは言い切れない良問でしたが、
もうちょっと難しくても良いかも？
ただ出題2のおかげでバランスは取れていました。

■出題２：レベル8～10（常連正解率20％以下）

正四面体、正八面体の各面に、隣接する2面が
同じ数字にならないように1,2,3,4の番号を振る。
同じ値が連続しない有限数列a0,a1,...,am∈{1,2,3,4}が与えられ、
その数字の面が下になるように平面状で転がしていくとき、
最後に①位置が最初と同じ、②向きが最初と同じ
になる数列の条件を求める問題

山田修司先生の良難問。
エレガントな解法は不明（コメント求む）

正四面体の場合、展開図を平面上に1通りで敷き詰めることができる。
結果的に平面上の各正三角形にはひとつの数字が対応するため
条件①、②を見つけ出すのはそれほど苦労しない。
（論証はそれなりに面倒。レベル6～7）

正八面体の場合、平面上の1つの正三角形は複数の数字をとりうる。
正四面体の場合と違い平面から規則性を見出すアプローチは採りづらい。
予想はなんとなくできるが、有限列と対応させて論証するのは難しい。

正八面体で詰まってしまい正十二面体には手を伸ばせなかった人が多いと予想。

**とあるエレ解常連** · 2018/07/14(土) 10:00:58.31

>>849
> その数字の面が下になるように平面状で転がしていくとき、

平面上で転がして　です

微妙に日本語として意味が通ってしまうので修正

**とあるエレ解常連** · 2018/07/14(土) 10:13:25.11

>>809
> 18年5月号の講評です。
>
> ■出題1：レベル2～3（数学好きの高校生正解率85％）
>
> 整数係数n次多項式Pの0≦x≦1における最大値Max(|P|)が
> 1/sqrt(LCM(1,...,2n+1))以上であることを示す問題。
>
> 2n+1はどこから出てくるのでしょうか？
> このヒントでピンと来なければ超難問、ピンと来れば超易問。
> 常連ソルバーには物足りないでしょうが、LCMとの意外な繋がりが美しい良問。

本誌8月号を見ましたが、意外に正解者が少ないです
正解率だけで言えばレベル6～7（常連正解率60％）くらい。
上に書いたように、解法にピンと来なければまず解けない問題です
こういう問題はレベル付けが難しい

私も実は気付くまでに時間がかかりました
2n+1だから気付けましたが、これが2n+1ではない数で
緩く抑えられていたら絶対に解けなかったと思います。

> ■出題2：レベル1～2（中学受験生正解率50％）

鳩ノ巣原理の練習問題ですが、なんと10代の応募がゼロでした
編集部としてはものすごく残念だったことでしょう

**とあるエレ解常連** · 2018/07/14(土) 13:14:26.79

そろそろ夏休み。一足先に自由研究をば。

［数セミの適正な読者数に関する一考察]

数セミがメディアで紹介され、さらにAIブームに乗じて購読者数が一桁増えたとしよう。
解答にB5 2枚を要するレベル6程度の問題に対して、
これまで数十人の投稿者だったのが数百人になる計算。
果たして出題者はすべての答案にきちんと目を通せるだろうか？
いくら聡明な数学者と言えど心無い汚い文字を読むのに苦労し、
スジが明快でないアマチュアの記述を読むのにまた苦労し、
すべて読み終えるのに軽く丸3日はかかりそうである。
10万程度の謝礼だったらお断りしたいレベル。
よって投稿者が高々数十に収まるよう難問はより難化するのである。

仮に易問を出したとしよう。
100を超えていた投稿者数が一桁増により1000のオーダーに達する計算。
こうなると「最終的な結論が合っているならOK」という問題に限定しておかないと
答案を見る時間はいくらあっても足りず、出題者は悲惨なことになる。
思いもよらない解法が出てくるのは本コーナーの醍醐味であるが、
そんなのがあったら大変であり、出題者は気を抜くことができない。
よって一目で正誤が判定できる問題に限定され、易問はより易化するのである。

よって問題を難しくしても簡単にしても読者はエレ解から離れ、ひいては数セミから離れていくのである。

ところで購読者が一桁減ったとすると、もはや豊島区大塚の駅近に事務所を構えるのは無理であり、
「数セミ？エレ解？何それトレンド」は加速し、エレ解常連が多けれ少なかれ感じてきた
わずかながらの功名心も失われ、コア層を失う危機がいよいよ到来、雑誌存続は不可となる。

以上を総合すると、現在の読者数は多くも少なくもなく、良い平衡状態にあると言えるのではなかろうか・・・
編集者の給料が上がらないのはとても残念なことだが・・・

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/14(土) 14:37:14.37

5月号■出題1の解説より

lim[n→∞] (Max|P|)^(1/n) = C　とおくと　1/e < C < 1/√5,

文献によれば
　0.4213 < C < 0.4232
らしい。
I.E.Pritsker: J. d'Analyse Math.，９６，p.151-190 (2005)
　"Small polynomials with integer coefficients"

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/17(火) 11:38:35.92

先生、今月1(2)でn/nとか(n+n)/nとかを使うのは有りですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/20(金) 02:19:16.65

なしです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/20(金) 15:20:54.76

えー

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 13:29:18.71

>>852
解けって言われれば解けるけど、
エレガンスを追求しようと思うと
遠慮しちゃう部分はあるのよねー。
だから、易しい問題のほうが、
本来の趣旨には合ってると思ふ。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/04(土) 14:01:23.31

>>857
その意見は理解できます
自分はエレガンスを追求しないので、遠慮なんかしませんけどね。
そもそもエレガントな模範解答が用意されてないことのほうが多いので注意です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 14:05:02.63

エレガントでなくても正解扱いしてくれる出題者がほとんどだから、あまり気にしてないです。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/04(土) 14:37:40.09

>>859
> エレガントでなくても正解扱いしてくれる出題者がほとんどだから、

それもありますね。
　XXさんは緻密な計算で解答までたどり着いていました。
　他の解答者はほぼ全員、～変換を施すことで計算量を減らしていました。
って書かれると俺アホなんだな・・と落ち込みますがね

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 16:47:07.15

>>860
出題者は、「（背理法とかを使って）正しいことは証明してるんだけど、
もっと小わかりのする直接的な（たとえば幾何学的な）証明」を求めて
いるから出題してるんじゃないかと思うので、
そのあたりのツボを押さえるかどうかという話なんじゃないだろうか。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/04(土) 21:49:59.87

>>861
出題者が本当の意味でエレガントな解答を求めているケースですか。たしかに、たまにみかけますね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 09:17:17.48

>>861
正解発表号で解答（出題者のも含めて）が掲載されなかったこともありますね。
大昔、竹内郁雄先生（８月号第１問出題）が「たらい回し関数」（計算機学の世界で「竹内関数」とも呼ばれる）の問題を出題されましたが
"エレガントな"解答がなかったためか、解答が掲載されなかった記憶があります。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/05(日) 10:22:12.20

この記事面白いですね
https://www.nue.org/nue/nue-essays/nue-essays/2005-summer-prosym-houkoku.pdf

**とあるエレ解常連** · 2018/08/05(日) 10:31:51.30

>>863
> 正解発表号で解答（出題者のも含めて）が掲載されなかったこともありますね。

私見ですがT内センセの問題は『この問題捨ててもいいや』と思ってしまう何かがある

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 12:13:08.96

>>863 >>865
共立出版の『bit』が休刊する前の、
『ナノピコ教室』の最終回に、
「芸術的なプログラムを求む」で
「Tarai 関数」のプログラムが掲載されてた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 12:22:22.50

『エレガントな解答をもとむ』で、直方体のチョコレートケーキ
（チョコレートが入ったケーキではなく、直方体のケーキの表面を
一様な厚さで覆ったケーキ）の表面のチョコと中身のケーキを
含めて三等分しろ。ただし、三つのパーツは（回転・鏡像も含めて）
違う形にすること」というのが思い浮かぶ。
「これは幾何学的に解いてなんぼだ」と思って、最初に中心点から任意の向きに
直線（正確には半線分）で切ったときに、そこから三等分するという条件を
つけて解いて、「いや、これはまだエレガントじゃない」と思って
後から別解答を送った、という記憶がある。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 13:26:12.10

締め切りすぎたら　具体的な解答が出てくると思いますが
今月の問１は、エレガントかどうかの違いが　ほとんど出ないのではと思われます。
エレガントにもいろいろありますが
　簡明で普通の高校生でも理解できる。
　一般的である。
　逆に問の条件の特殊性を活用。など

**とあるエレ解常連** · 2018/08/05(日) 13:39:38.94

>>868
> 今月の問１は、エレガントかどうかの違いが　ほとんど出ないのではと思われます。

きっとあなたは解けたのですな？？すばらしい。
話題のT内さんですが、今月の出題1（2）は面白い、と今まさに書き込もうとしていました。

エレガント（＝シンプル）な式を見つけ、これから証明しようというところ。
で、ふと思ったんだが、この問題は証明を求められているんだろうか？
普通はエレ解で証明ナシはありえんのだがT内さんの場合は分からんｗ
厳密な数学的証明を求めるヒトではなさそうだし、
失礼だが書いたところできちんと読んでくれるのか疑わしい。
n＝１００００００００まで計算機回して一致してりゃ正解、とかじゃないだろうな

14年9月号ニッコリ賢者問題をまだ根に持っておりますｗ
水も漏らさない厳密な証明をがんばって書いたのに誤答扱いしやがってチクシヨウｗ
ニッコリ問題こそプログラムで検証すりゃ良かったのに、まったくもう。

前スレ参照
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/241

**とあるエレ解常連** · 2018/08/05(日) 13:47:45.38

>>867
その問題はいかにもエレ解の匂いぷんぷんですな
すぐにはいい方法が浮かびませぬ

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 14:12:40.32

>>869
> n＝１００００００００まで計算機回して一致してりゃ正解、とかじゃないだろうな

T内さんはハッカー（最j高級計算機屋）ですから、その可能性は完全には否定できませんが、
今回のは一応無限の問題なのでそれはないと思います。

他の出題者だったと思いますが2017年9月問１（有限の問題）で　計算機ですべての場合を求めてプログラムまでつけたけど
模範解答にはなりませんでした。Ｔ内さんなら模範解答だったかも。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/05(日) 14:19:34.92

>>871
> 今回のは一応無限の問題なのでそれはないと思います。

ですよねぇ。
けどニッコリ問題（有限問題）の前科が鮮烈過ぎて信用ならんです

**とあるエレ解常連** · 2018/08/05(日) 14:26:32.98

>>871
> 他の出題者だったと思いますが2017年9月問１（有限の問題）で　計算機ですべての場合を求めてプログラムまでつけたけど
> 模範解答にはなりませんでした。Ｔ内さんなら模範解答だったかも。

>>601ですね。
この問題は色々解法ありましたね。
これを計算機もちだして解くという発想は出てこないですが、
プログラミングのいい練習問題ではあります。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/05(日) 16:22:06.91

>>868
> 今月の問１は、エレガントかどうかの違いが　ほとんど出ないのではと思われます。

私も証明含めて解き終わりました
>>868さんのように解答のバリエーションまで考察することはできませんでしたが

今月の消印締め切りは8/8。
まだ手を付けていない方、今月は今からでも何とかなります
がんばってくださいまし

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 16:42:07.61

>>874
知った風に書きましたが、単に私が１とおりの証明しか思いつかなかっただけかも知れません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 16:46:10.05

それ言うたら Maka 10 とか 8 Qeen とか
どないなるんやねん、とかいう話には
なるんスけどね。『ナノピコ教室』がなくなっちゃったんで、
鬱憤が溜まってるんじゃないっスか？

**とあるエレ解常連** · 2018/08/05(日) 17:00:22.22

>>875
> 知った風に書きましたが、単に私が１とおりの証明しか思いつかなかっただけかも知れません。

証明の方法は1通りだとして、解答のバリエーションはどうでしょうか？
複数あるように思いますが、私は1通り思いついて終わりにしちゃいました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 17:09:15.44

「数学におけるエレガンス」とは何か、というのは
追求すると面白いぞ？
「面積の自乗」とかいうと、「何なんだこれは」と
頭を抱えることになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/06(月) 18:18:07.70

>>877
>証明の方法は1通りだとして、解答のバリエーションはどうでしょうか？
(2) の式を思いつく過程（実はここが肝心かも知れません）が　いくつかあると思いますが、
明には解答に出てこない可能性があります。

学術 · 2018/08/06(月) 19:23:19.23

エレファントガッツトンズ　ハキョウレギオン

**とあるエレ解常連** · 2018/08/07(火) 23:15:36.32

>>879
締め切りすぎたらレスしますね

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/08(水) 18:06:32.77

>>881
今夜24時が締め切り（消印有効）でしたっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/08(水) 18:25:34.75

今月の消印締め切りは8/8。と書いてありました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/09(木) 00:00:02.37

締め切りになりましたので８月号問１の略解を書きます。

(1)数列を{a(n)} とすると、
「増加数列で,各自然数kについてa((k-1)k+1)=a(k(k+1))=k」であればよい。これを（条件）という。
n=(k-1)k+1のときk=(1+√(4n-3))/2
a(n)=[(1+√(4n-3))/2] とおくと(条件)を満たす。[　]はガウス記号

(2)√{((1)の答え)^2} から推測してa(n)=√(n+√n)とすると(条件)を満たす。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)(2)ともに証明は定義にしたがって計算するだけですので容易です。

例えば(2)で
k≧2のとき
　√((k-1)k+1)=k-1 なので、
　 a((k-1)k+1)=√((k-1)k+1+(k-1))=√(k^2)=k
　√(k(k+1))=k なので
　 a(k(k+1))=√(k(k+1)+k)=√(k^2+2k)=k
など。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/09(木) 14:17:19.03

>>884
いや、問題を見てないからよくわかんないけどさ、
> √(k^2+2k)=k
っておかしくねぇ？
「√(k^2) = k」とか、
「√(k^2+2k + 1)=k + 1」とか謂うんなら
「だよなー」と思うんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/09(木) 15:56:03.90

>>885
問題1の(2)では√の定義が「平方根（正）にガウス記号を適用したもの」になってる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/09(木) 17:54:47.81

>>885
（問題の略記）
k=1,2,3,...が順に2k個ずつ並んだ数列について
(1)第n項をnを１回だけ使って書け
(2)√xを越えない最大の整数を√xと書く
　第n項をn,√,四則演算、カッコのみを使って書け。
　（数値定数は使えない）
問題には書いてないですが　(n+n)/nなどもダメと推定されます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/09(木) 19:02:42.24

>>886 >>887
了解した。ありがとう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/10(金) 04:00:47.56

>>849

2018年7月号
■出題１
関連情報(？)

一つの整数を二つの平方数の差で表わす方法
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1463594522/

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/10(金) 10:03:20.71

>>889
「一つの整数を二つの平方数の差で表わす方法」っていうと、
「偶奇の異なる互いに素な自然数 m,n で原始ピタゴラス数を
表したときの、偶数でも最大数でもない数」っちゅーのが
真っ先に思いうかぶなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/10(金) 23:52:51.22

それでは解答です！
…と言っても >>867 のですが。
小生は2次元で考えました。

長方形を (0,0) (a,0) (a,b) (0,b) とする。a≧b>0
外周上に「等間隔に」3点 P1，P2，P3 をとる。すなわち
　P1 (0，0)
　P2 (a，(2b-a)/3)　…　(2b≧a≧b のとき)
　P2 (2(a+b)/3，0)　…　(a≧2b のとき)
　P3 ((2a-b)/3，b)

(解1)
　長方形の内部に1点Qをとり、線分 P1-Q，P2-Q，P3-Q で切る。
　周長と面積とを同時に3等分するので、題意を満たす。
・2b≧a≧b のとき
　P1(0，0)　P2(a，(2b-a)/3)　P3((2a-b)/3，b)
　Q(a(2aa-ab+3bb)/[2(a+b)^2]，b(3aa-ab+2bb)/[2(a+b)^2])

・a≧2b のとき
　P1(0，0)　P2(2(a+b)/3，0)　P3((2a-b)/3，b)
　Q((2aa+bb)/[3(a+b)]，ab/(a+b))

(解2)
　短辺の2等分線上に2点Q1，Q2をとり、線分 P1-Q1-P3-Q2-P2 で切る。
　周長と面積とを同時に3等分するので、題意を満たす。
・a≧2b のとき
　P1(0，0)　P2(2(a+b)/3，0)　P3((2a-b)/3，b)
　Q1((2a+b)/6，b/2)　Q2((4a-b)/6，b/2)

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 07:16:02.77

８月号問１の(2)の式を(1)からの何となくの推測ではなくて　必然的な定め方をした方おられますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 10:33:15.63

>>891
おー、やったやった。おれは五日じゃ解けなかった。
たしか一九九三年あたりの号で出題・解答されてたはずなので、
ちょっとバックナンバー漁ってみる。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/11(土) 11:27:21.25

18年8月号の講評：

■出題１：レベル3（数学好きな高校生正解率60％）

k＝1,2,3,...が2k個ずつ並んだ数列の一般項を
(1) nを一回だけ使う
(2) √x≡floor(sqrt(x))と再定義された√,n,四則,括弧のみを使う（数値定数は使用不可）
の2通りの条件で表す問題。

(1)は等差数列と二次方程式が分かれば解けるのでレベル2くらい。
問題は(2)だが、数値定数が使えないという厳しすぎる条件下で、
なるべく(1)に似せようと思ったときに最初に浮かぶ式が正解となる。

>>884のようにfloor(sqrt())が綺麗に外せることに気付けば証明は簡単。
外せることに気付かなかったとあるエレ解常連は
『数値計算で正解を確認した後、証明方法に悩んだあげく泥臭い方法で式を評価』
していました。

>>869は『なんか証明難しそうだなぁ』と悩んでいるさなかのアホコメント。
こんな阿呆でも解けるんだからエレ解の間口は広いんです。
まだ投稿したことのない人は9月号からLet'sチャレンジ。

> エレガント（＝シンプル）な式を見つけ、これから証明しようというところ。
> で、ふと思ったんだが、この問題は証明を求められているんだろうか？

さて小問(3)を追加します：
(3) (2)の条件を満たす式は幾つあるか？

■出題２：レベル6（常連正解率75％)

エレ解頻出の二項係数です。[n,k]=n!/(k!(n-k)!)、F_nをフィボナッチ数として
(1) Σ_{k=0 to floor(n/2)} (-1)^k [n-k,k]
(2) Σ_{k=0 to floor(n/2)} (-1)^k [n-k+1,k] F_{n-2k+1}
を求める問題。

floor関数がある時点でげんなりするが、実は2問とも長手数だが
　[n+1,k+1]＝[n,k+1]+[n,k]
　F_{n+2}＝F_{n+1}+F_n
を使うだけで解けてしまう
（エレガント解答は不明。コメントもとむ）

１．最初の数項を調べる
２．和の規則性を発見する
３．証明すべき漸化式を見出す
４．漸化式を証明する
という至ってオーソドックスな方法で解けるが、
この問題は１に手数がかかるので諦めてしまった人が多いかもしれない。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/11(土) 11:45:07.43

>>892
> ８月号問１の(2)の式を(1)からの何となくの推測ではなくて　必然的な定め方をした方おられますか？

必然的ではなく、なんとなくの推測もほどほどに、そもそも使用できる記号とその組み合わせが少なすぎるので
こういう組み合わせしかないよねーと1個式を作ってみたらそれが正解でした。
この式で全域一致するのは面白いなあと思いました。
必然的に導けた人がいたら私も聞いてみたいです。

割り算が使えるので、√を重ねがけした関数を互いに割り算すれば無かったこと（＝0）に出来ますかね・・
>>894の小問(3)は愚問でしたか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 13:02:01.93

>>894

■出題２

(1) はパスカルの公式(?)
　 C[n+1,k+1] = C[n,k+1] + C[n,k]　　{ ただし C[n,n+1] = C[n,-1] = 0 とする.}
から漸化式
　a_{n+1} = a_n - a_{n-1} = -a_{n-2},
が出る。　周期6

(2) n次の整係数多項式を
　u_n(x) = Σ_{k=0 ～ floor(n/2)} (-1)^k C[n-k,k] (2x)^(n-2k)
とおくと、漸化式は (1)と同様にして
　u_{n+1}(x) + u_{n-1}(x) = 2x･u_n(x)
これと　u_0 = 1，u_1(x) = 2x，u_2(x) = 4xx -1 から
u_n(x) = U_n(x)　　… 第二種チェビシェフ多項式

これとフィボナッチ数の「ビネの式」
　F_m = {φ^m - (-1/φ)^m}/√5，　　　φ = (1+√5)/2 = 1.618034
を使いましたが…

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 13:09:37.22

>>896
　U_n(cos(t)) = sin((n+1)t) / sin(t),
　U_n(cosh(t)) = sinh((n+1)t) / sinh(t),
によって定まる n次の整係数多項式。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/11(土) 13:48:38.09

>>896-897
最新装備＆最短時間で目標を破壊するかのような米軍的解法ですね。
一方私が示した漸化式はa_{n+4}－a_{n+3}－a_{n+2}－a_{n+1}－a_n＝0というものです。
貧弱装備で苦しい行軍だが戦陣訓の精神で乗り切ろうという帝国陸軍的解法です。
季節柄不謹慎な例えですみません。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/11(土) 13:49:34.31

> a_{n+4}－a_{n+3}－a_{n+2}－a_{n+1}－a_n＝0

思い切り間違えたｗ
正しくは
a_{n+4}－a_{n+3}＋a_{n+2}－a_{n+1}＋a_n＝0
です

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 14:15:16.25

T内先生のエレガントな解答を求む出題の最強問題（レベル5)
整数x,y,zについて関数f(x,y,z)　（竹内のたらい回し関数）
を
　x≦yのときf(x,y,z)=y
　x＞yのときf(x,y,z)=f(f((x-1),y,z),f(y-1,z,x),f(z-1,x,y))で定める。
f(x,y,z)をfを使わず表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 14:20:27.99

>>900
10段階ならレベル10

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 16:18:10.34

うちの近所の本屋が閉店しちゃったんで、
『数セミ』がなかなか買えねぇんだよなぁ ……
定期購読したらいいんだろうと思うんだけど、
おまいらどうしてる？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 16:25:04.07

>>900 >>901
自慢しちゃうけど、おれは『bit』の『ナノピコ教室』の
『芸術的なプログラムを求む』で、竹内先生の Tarai 関数
プログラムと一緒に掲載されたことがある。
『エレガントな解答を求む』と『ナノピコ教室』は
学生の頃から憧れだったんだよ（二冠達成）。
最近はなんかねぇのかなぁ ……

**とあるエレ解常連** · 2018/08/11(土) 17:50:39.74

amazonで『続ナノピコ教室―プログラミング問題集』をチラ見できますね

こんな記述も
https://www.wdic.org/w/SCI/bit%20%28%E9%9B%91%E8%AA%8C%29

1969(昭和44)年に創刊し、2001(平成13)年4月号で休刊、すなわち事実上の廃刊となった。

研究者の間では、この雑誌に載るのがステータスとなっていた。本当なら電気通信学会誌などの方が上なのだが、学会誌は一般向きでは無いため、一般技術者の間ではこの雑誌の人気が高かった。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/11(土) 18:09:27.62

>>902
毎月エレ解に投稿するなら定期購読ですよ
なるべく早めに問題を見て、頭のなかで転がせておくべし

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 18:43:11.50

>>904
そうそう。円周率の世界記録も、『ナノピコ教室』で
「円周率への収束が速い公式を探せ」というので
「マーチンの公式」が着目されたことから、
金田さんが挑戦したんで達成された、っていうのが
あるんだよな。
あと、入山徳夫さんの「入山のアルゴリズム」とかな。
「入選」で名前が出るだけで嬉しかったなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 00:36:02.94

>>899
出題２　（2)
その式から
　a_{n+5} = a_{n+4} - a_{n+3} + a_{n+2} - a_{n+1} = - a_n
が出ますね。　周期10

また　a_{6-n} = a_n

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 04:22:31.58

>>867 の類題

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492348752/028

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1270807732
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1472769074

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 09:40:03.19

>>908
そうそう。これこれ。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/12(日) 10:07:54.12

>>907
Fが掛かるとこの漸化式が現れるのは不思議。
(2)はグラフ的な解き方があるんだろうか。
この和は一体どこからやってきたのかとか、
色々分からないことが多い。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/12(日) 12:39:19.16

>>910
> (2)はグラフ的な解き方があるんだろうか。

グラフというか組み合わせ論。
出てくる値が1, 0, -1で、何かを判定しているかのようです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 14:10:40.01

昔の話で恐縮ですが、『数学セミナー』創刊３０周年で、
『試脳賞』として「エレガントな問題をもとむ」
（一九九二年四月号）という企画があったのをご存じでしょうか？
「試脳賞」の受賞者は、宇和島市の国村史子さんで、問題は
「凸五角形の面積を S、対角線でつくられる小五角形の面積を
S' とするとき、S'/S の最大値を求めてください。」です。
解答者は、東京工業大学理学部数学科の増田一男・宍倉充広両氏。
四月号・七月号・八月号・十一月号と、四回にわたって悪戦苦闘の
記録が遺されているので一読されるとよろしいかと思います。
なお、一松信先生のコメントによれば、「このような問題が今日まで
残っていた（？）のは、たぶん誰しも思いついて答の見当はつくものの、
容易には解けなかったせいだろう。この種の幾何学的な問題は、
おそらくまだ多数埋もれているものと思う。」だそうです。
このスレでも、解答だけじゃなくって問題も募集するのも面白いかもしれません。
だけど『５ちゃんねる』だと図も HTML5 の数式も入れられないしなー、
なんかそういうサイトとかあったらいいなー、とも思いますけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 14:18:58.14

読者が作った問題（命題など）と解答（証明）が掲載されるコーナーとしては、「NOTE」がありますが
NOTE コーナーは、いつごろから出来て現在どのくらいの累積件数になっているのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 15:30:31.60

>>913
当時、病気療養中だったので詳しいことは分かりませんが、
一九九五年にはまだなかったらしくて、一九九八年には
確実にあったということは、バックナンバーで確認できました。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/12(日) 15:44:57.91

>>907
もしかしていきなり a_{n+5} = - a_n を示すこともできたのかな。分かりませんが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 16:44:40.53

NOTEのコーナーって問題というより、自分で発見した定理みたいな感じでしょ。ちょっと敷居が高い。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 17:31:07.62

>>916
> 自分で発見した定理みたいな感じでしょ。ちょっと敷居が高い。
学問の世界は、「発表しない奴はどっか逝け（Publish or perish）」だから、
「それは××年にダレソレが証明してる。この先がんばれ」って
返事が返ってくるだけマシじゃねぇの？
そんなん、研究者だったら「恥掻いてなんぼ」の世界じゃん。
おまえ、一生「ヘタレ」って呼ばれたいの？
「独立に証明したんだから、俺様スゲェ！」って胸張れよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 18:21:20.16

バックナンバーの目次を見ると1980年にもNOTEコーナーがあるようですが、詳細は不明です。
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/4711.html
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/backnumber/4.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 19:06:10.08

>>918
一九八〇年っていうと、現在の「雪より白い」って
云われる表紙になる前ですよね？
そっちの方は見てませんでした。ちょっと探して
みます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 21:55:12.37

>>917
ごめん、ちょっと何言ってるのか分からない。そういうことを言ってるわけじゃないんだ。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/12(日) 22:18:35.62

>>920
私もNOTEは敷居が高いですｗ
毎月エレ解を考えるのに精一杯で自由研究するには力不足です
でもこのスレには非常に優れた人もいらっしゃってるので
>>912のような取り組みは面白いんじゃないかと思います
> このスレでも、解答だけじゃなくって問題も募集するのも面白いかもしれません。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/12(日) 22:20:57.60

ところで>>903氏は
http://animaleconomicus.blog106.fc２.com/?m&no=481
に書かれている方でしょうか。

（NGワード回避テスト　２）

**とあるエレ解常連** · 2018/08/12(日) 22:21:33.23

fc2はNGワードなんですね、しらなかった

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 22:25:29.20

>>920
まぁ、怖気（おじけ）づくのはしょうがないよね。
だって、うちらからしてみれば、「雲の上の人」みたいな
ひとが、本気で見てるんだもん。
だけど、「数学が好き」っていう気持はいっしょだよね？
「振られるのは覚悟してるけど、アタックしなかったら後悔する！」
みたいな感じで突撃するのが正解だと思うのよ。
だって、『エレガントな解答をもとむ』だって、高校生でも
解けるような（って言っちゃあ、高校生に申し訳ないけど）
レベルの問題があるじゃない！
一松先生と細矢治夫先生が、「これが解けないのは、癪に障る」と
仰ってた問題を、行列を使わないで幾何学的に解いた、っていうのが
あたしらの自慢なのよ（そうよ。ここで自慢しなかったら、他で
自慢できないじゃない！）。
「こんなことを考えてみました」って言って怒る数学好きは
いないと思う（もっとも、数学嫌いの数学教師みたいなのは
いたりするんですけどね）ので、まずは『数セミ』編集部に
ファンレターを出すあたりから始めてみれば？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 22:31:25.88

>>922
いかにも私らでございます m(_ _)m
所長、わたくしこと Mr.Moto 、Maria と三人で
お邪魔しております（なんか、うちのメンバーの一員である
M.B. っちゅーのも出没してて、そっちでも評判を落としております）。
あっちゃこっちゃの板で、スレッドを荒らしまくっておりますので、
かなり評判が悪いのは存じておりますが、なにとぞ
ご容赦のほどお願い申し上げます。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/12(日) 22:44:27.70

>>925
そうでしたか。なかなかマニアックな方達とお見受けしました

**とあるエレ解常連** · 2018/08/12(日) 22:54:21.63

9月号のピーターフランクル出題1はなかなか手強そうです
出題2の岩沢氏も手強い問題を出すに決まってます（問題文長いのでまだ読んでないw）

8月9月は観光シーズンです。
予定調整のため、斥候部隊の早目の報告をお待ちしてます。

**Mr.Moto** · 2018/08/12(日) 23:06:37.53

>>926
> なかなかマニアックな方達とお見受けしました
だろうなぁ（笑）
もともとは東京都立日比谷高校全日制普通科の
天文部 OB 会（『星和会』）が、『bit』の『ナノピコ教室』で、
常勝軍団のだった東大の「TULIPS」とか早稲田の「WINKS」
とかに対抗して作ったプログラマ集団だったんだけどね。
その後、所長が『発達障礙者相互支援ネットワーク』っちゅーのに
関わってから、なんかしら連合して、『秘密結社A』っつー名前で
地下に潜伏したのが発祥だから。

**とあるエレ解常連** · 2018/08/12(日) 23:45:05.47

出題2は私の好物であるロジック物、戦略形ゲームです
ワクワクがとまりません

>>928
今月の出題1はプログラミング問題としても楽しめそうですよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/13(月) 00:28:49.05

>>910 >>911

■出題２
　C(n+1,k+1) = C(n,k+1) + C(n,k)　　… パスカルの公式
　F_{m+2} = F_{m+1} + F_m
から
　F_{m+1} = Σ(j=0 ～ floor(m/2)) C(m-j,j)
が出る。
これを使えば組み合せ論っぽくなる。（？)

**とあるエレ解常連** · 2018/08/13(月) 00:35:31.11

>>930
そんな関係があるんですか。
なにやらエレガント解の匂いが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/13(月) 15:38:16.79

>>931
うん。その嗅覚は大事な要素だ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/13(月) 21:15:42.86

>>917
既知かどうかの判断は難しいですね。（今はネットで検索するとかなり情報が得られますが）
投稿する価値があるかどうかはさらにむつかしいです。
そこはNOTEの講評と解説者のZZZ氏（大学教授？）にお任せするしかないですね。