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【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】 [無断転載禁止]©2ch.net
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0785とあるエレ解常連
垢版 |
2018/04/14(土) 12:05:31.93ID:OmmA56DO
2018年4月号の講評です。
今月は良質で軽めの問題が1問、エレガントな難問が1問です。

■出題1：レベル4～5 （常連正解率90％）

生ける伝説一松先生の出題。
変数を正としてf(a,b,c;t)≡(a^2+b^2+c^2)-t(ab+bc+ca)+9(t-1)abc/(a+b+c)が
すべてのa,b,cに対して≧0、あるいは≦0となるtの範囲を考えさせる問題。
≦0のときはa,b,cが三角形成立条件を満たすように動く。

一見して数オリの練習問題のようですが実際にそんな感じです。
必要性と十分性をきちんと押さえて議論する必要があり基礎力が問われます。
大学入学を控えた18歳がエレ解の世界へ足を踏み入れる導入問題として
4月号に似つかわしい優れた問題と言えるでしょう。


■出題2：レベル8～？（常連正解率15％～？）

単調非減少な関数f:{1,2,3,...,m}→{1,2,3,...,n}の総数を求める岡本先生の問題。
小問(1)は上記のとおり。(2)は任意のiでf1(i)≦f2(i)を満たす組の総数を求める。
(3)はf1(i)≦f2(i)≦f3(i)を満たす3つ組の総数を求める。

シンプルで難しく、しかし美しい組み合わせ論の問題です。
組み合わせ論はエレガントな問題の宝庫ですね。
私は苦手としているのであんまり出さないでほしいのですがｗ
高校生以下でもチャレンジできますので題材としてはうってつけでしょう。
組み合わせ論はアイデア一発でエレガントな解答が書けることが多いです。
逆にアイデアが浮かばなければ路頭に迷いまくるという困った性質を持ちます。

(1)は重複組み合わせを考えれば終わりなので簡単です。
問題は(2)です。あるf1に対してf2が何通りあるか(*)は論文が出ています。
しかし(f1,f2)の組み合わせの総数については参考文献が見当たりません。
(*)より簡単なのだろうと思いますがエレ解レベルの数学ファンには難しいです。
なんてあたかも私がエレ解ファンの代表かのように語ってますが、
組み合わせ論は『こう解けば簡単じゃん、バカなの？』というコメントで
落ち込まされることが経験上多いので怖いですｗ
0786１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/15(日) 12:12:42.08ID:ZO3/JPf/
2018年4月号

■出題１

〔シューア不等式〕の拡張版
　p,q,r≧0 かつ (a,b,c) と (p,q,r) が同順または逆順のとき
　F(a,b,c) = p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b) ≧ 0
をまづ示しましょう。
　bとqがそれぞれ中間にあるとして、p-q+r≧0, (a-b)(b-c)≧0,
　F(a,b,c) = p(a-b)^2 + (p-q+r)(a-b)(b-c) + r(b-c)^2 ≧ 0,

(1)
　(a+b+c) f(a,b,c；2) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) ≧ 0,
　t≦2　⇒　f(a,b,c；t) ≧ 0,
　t>2 に対して f(a,b,c；t) < 0 となるような (a,b,c) の例を探す。

(2)
(a,b,c)∈△ のとき
　(a+b+c) f(a,b,c；3) = -(b+c-a)(a-b)(a-c) -(c+a-b)(b-c)(b-a) -(a+b-c)(c-a)(c-b) ≦ 0,
　t≧3　⇒　f(a,b,c；t) ≦ 0,
　0<t<3 に対して f(a,b,c；t) >0 となるような (a,b,c)∈△ の例を探す。

(3)
　t_3 = (t_1 + t_2)/2 = 5/2,
　(a+b+c) f(a,b,c；5/2) = (2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)/2 = 0,
　∴ (a,b,c) は等間隔に並ぶ。
　これは (a,b,c) = (1,3,5) のような、△をなさない例も含む。
0787とあるエレ解常連
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2018/04/15(日) 15:25:27.83ID:y2agdfqD
>>772
> では、L個の関数 f_1 ≦ f_2 ≦ … ≦ f_L に対しては
> ブロックBに収まる３次元ヤング図形の数にならぬか？

3軸の斜交格子を使って非交差経路の組を数え上げようというわけですか。
f1,f2,f3の経路のスタート、ゴールはある軸方向に1ずつ離れていると。
それは3次元ヤング図形に対応すると。
0788とあるエレ解常連
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2018/04/15(日) 15:50:24.38ID:y2agdfqD
>>786
統一された手法で解けるんですね。エレガントです。

> t≧3　⇒　f(a,b,c；t) ≦ 0,

すべてのt≧3で成り立つのは自明ですかね？
0789１３２人目の素数さん
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2018/04/15(日) 21:32:28.34ID:ZO3/JPf/
>>788

tの1次式で、係数が負。
（a,b,cを固定すれば）tについて単調減少。
問題文にもあった希ガス…
0790とあるエレ解常連
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2018/04/15(日) 22:35:07.95ID:dInGck+5
>>789
あのヒントというかお膳立ては必要ない気もしたんですが。
一松センセのあらゆる読者への配慮みたいなものを感じます
0792１３２人目の素数さん
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2018/04/16(月) 22:48:00.94ID:I9VNB52o
>>789

正三角形を除き、tの係数は負の定数。
tを増大すれば、とこかで負になる。

(a,b,c)∈△ についての上限が t_2 = 3
非△ついては上限なさそう。
(a+1+1) f(a,1,1；ｔ) = (a-1)^2 (a+4-2t)
零点 t = (a+4)/2.
0793１３２人目の素数さん
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2018/04/20(金) 14:08:29.21ID:W4yzbmXa
数オリとエレガントな解答をもとむって、どちらの方が難しいの？
0794１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/20(金) 23:58:07.64ID:W4yzbmXa
エレガントな解答をもとむと大学へのの宿題となら、どちらの方が難しいのでしょうか？
0796１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/21(土) 19:41:50.90ID:LCJcAykv
近畿大学数学コンテストなんて簡単だよ
エレガントな解答をもとむが一番難しいわ
0797１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/21(土) 19:55:29.52ID:LCJcAykv
難易度：エレガントな解答をもとむ>数オリ>宿題>近畿大学数学コンテスト>学コン>東大理系数学>センター数学
0809とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/12(土) 00:32:12.74ID:h4NJI8KX
18年5月号の講評です。

■出題1：レベル2～3（数学好きの高校生正解率85％）

整数係数n次多項式Pの0≦x≦1における最大値Max(|P|)が
1/sqrt(LCM(1,...,2n+1))以上であることを示す問題。

2n+1はどこから出てくるのでしょうか？
このヒントでピンと来なければ超難問、ピンと来れば超易問。
常連ソルバーには物足りないでしょうが、LCMとの意外な繋がりが美しい良問。


■出題2：レベル1～2（中学受験生正解率50％）

『チェスのナイトが矩形盤のマスを一度ずつ通り元に戻る経路（ナイトツアー）』
が存在しないことを示す問題。

(1)は『ダメなマスの集合Sが存在⇒ナイトツアーが存在しない』を示す問題。
さすがに小学生には無理か？？しかし大した論証ではないと思います。
(2)は大した試行錯誤もせず見つかります。

5月号は新入生歓迎号なのは分かりますがさすがに簡単過ぎではないかと。
出題1はともかく出題2は明らかにヒント過多。
"ダメなマスの集合S"の存在をうまく隠せれば良問になっただけに残念です。
Sを使ったエレガントな解法を自分で見つけたかった人は多かったはず。
0810１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 02:26:32.31ID:ERQyPxVg
■出題１

　{P(x)}^2 を展開したとき、x^{奇数｝の係数は偶数だから
　√(2/L）以上であることを示すのかとオモタ。

■出題２

(2)　4×n は 2列ジグザグのSが作れるので存在しない

6×6，8×8，10×10 には存在するらしい。

http://www.geocities.jp/m_hiroi/puzzle/index.html
→　パズルの解法　→　・チェスのパズル　→　騎士の周遊

ワーンスドロフの規則については

秋山 仁・中村義作 共著「ゲームにひそむ数理」森北出版 (1998/Apr) 2376円
の p.72
http://www.morikita.co.jp/books/book/117
0811とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/12(土) 09:53:53.76ID:h4NJI8KX
>>810
リンク先のページではダメ集合Sへの言及はないですね。
ダメ集合Sの効率的な探索法は？という問いはプログラミング的に面白いかもしれない。
0813１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 02:42:55.47ID:dQIRZ6zE
>>810

多項式P(x) の一例

・nが奇数のとき
　P(x) = {x(1-x)}^{(n-1)/2}･(2x-1),
　Max{ |P(x)| } = (1/2)^(n-1) √{(n-1)^(n-1) / (n^n)}，　x = 1/2 ± 1/(2√n),

・nが偶数（n≧4)のとき
　P(x) = {x(1-x)}^(n/2 -1)･(2x-1)^2,
　Max{ P(x) }= (1/2)^(n-3) √{(n-2)^(n-2) / (n^n)}，　x = 1/2 ± 1/√(2n),

・nが偶数(n≦4)のとき
　P(x) = {x(1-x)}^(n/2),
　Max{ P(x) } = (1/2)^n，　x = 1/2,

どれも √(2/L) よりかなり大きい…orz

分かスレ443 - 004

>>812

8×8 （チェス盤）はオイラーの時代からあったらしい…
0814とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/13(日) 11:07:41.37ID:3y7zv360
>>813
集合Sが探索効率を上げるんですかね
未解決部分があるようですが最近の研究はどうなっているのか
0815とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/13(日) 11:10:56.05ID:3y7zv360
>>813
多項式の問題すんなりイケました？
実のところそのx(1-x)の形に捕らわれて時間を食いましたわ
0817とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/13(日) 11:33:17.09ID:3y7zv360
どうもチェビシェフを使って振れ幅を最小にできるようで
ちゃんと読んでませんけど
0818とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/13(日) 11:38:39.87ID:3y7zv360
>>816
積分以外の別解法でmax≧1/f≧1/sqrtLCMと押さえられるんでしょうか？
本問のエレガント賞は積分使わなかった人かもw
0819１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 20:57:47.74ID:dQIRZ6zE
>>715-719

3月号の出題2

定義
　"number of permutations of n elements with no fixed points"
に基づいて
　d_n = (n-1)(d_{n-1} + d_{n-2}),
を出すのに手間取った。これから
　d_n - n･d_{n-1} = - (d_{n-1} - (n-1)･d_{n-2})
　= ……
　= (-1)^n (d_2 - 2･d_1)
　= (-1)^n,
これを3回使うと「エレガントな漸化式」
　d_n = n(n-1)(n-2) d_{n-3} + (-1)^n (n-1)^2,
が出る。

http://oeis.org/A000166

なお、6月号の締切は　6月8日（消印）
0820とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/14(月) 23:03:48.51ID:EjCwyYuo
>>819
> なお、6月号の締切は　6月8日（消印）

消印締め切りのおかげで投函時に祈らなくてもよくなりました
0821１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 02:49:28.54ID:iriy4b81
>>812

ご老公も大昔に出題されてますね^^

数セミ増刊「数学の問題」第(2)集、日本評論社（1978)
の No. 46

>>814

現在は、6×6の盤でも周遊可能のようです。
0822１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 15:20:17.92ID:iriy4b81
>>821

6×6 ナイト周遊の例（4回対称）

1 8 23 16 31 10
22 15 2 9 24 17
7 36 21 30 11 32
14 29 12 3 18 25
35 6 27 20 33 4
28 13 34 5 26 19
0823とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/16(水) 20:40:24.04ID:peJi7xrg
>>821
なんと過去に出題済みでしたか
昔の出題分かります？
今より難しかったんじゃなかろうか。
時代への迎合度を測りたい。
0824１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 01:07:01.50ID:FDCSht5h
>>823

●４６
　西洋のチェスのナイト（騎士）は、四方八方に桂馬と
びをします。3×4の長方形の盤の各目に 1～12の番号
をふります。このときつぎの2命題を証明してください：

(i)　適当な位置から出発して、つぎつ
ぎにナイトを動かしてゆき、すべての目
をただ一度だけ通ることは可能である。

(ii)　しかし全部を通過して、最後の目
からふたたびナイトの飛び方で出発点に
戻ることは不可能である。

注意　(ii)はもちろんあらゆる可能性をためせば、証
明にはなりますが、もっと＜エレガントな数学的な＞不
可能の証明を期待します。
0825１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 05:53:49.67ID:FDCSht5h
>>812 >>814
　n×n (nは偶数)の正方形盤について

　n が4で割り切れない偶数 (n≧6) のとき、4回対称な解がある。
　n が4の倍数 (n≧8) のとき、2回対称な解はあるが、4回対称な解は無い。

I. J. Dejter： Ars. Combin. １６, p.285-295 (1983)
　"Equivalent conditions for Euler's problem on Z_4-Hamilton cycles"

例)

I. Parberry: Discrete Applied Mathematics, ７３, p.251-260 (1997)
　"An efficient algorithm for the Knight's tour problem"
　http://larc.unt.edu/ian/pubs/algoknight.pdf
　http://larc.unt.edu/ian/research/puzzles/knightstour/
0826１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 14:55:49.51ID:FDCSht5h
>>812 >>814

10×10 ナイト周遊の例（4回対称）

1, 92, 87, 6, 3, 74, 69, 66, 61, 76,
86, 5, 2, 97, 88, 65, 60, 75, 80, 67,
91, 100, 93, 4, 7, 70, 73, 68, 77, 62,
94, 85, 98, 89, 96, 59, 64, 79, 72, 81,
99, 90, 95, 84, 33, 8, 71, 82, 63, 78,
28, 13, 32, 21, 58, 83, 34, 45, 40, 49,
31, 22, 29, 14, 9, 46, 39, 48, 35, 44,
12, 27, 18, 23, 20, 57, 54, 43, 50, 41,
17, 30, 25, 10, 15, 38, 47, 52, 55, 36,
26, 11, 16, 19, 24, 53, 56, 37, 42, 51,

これも >>822 と同様、分かりづらい…
0827１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 16:14:58.24ID:FDCSht5h
>>822

6×6 ナイト周遊（4回対称）　の別解

1, 26, 13, 24, 3, 28,
12, 23, 2, 27, 14, 17,
33, 36, 25, 16, 29, 4,
22, 11, 34, 7, 18, 15,
35, 32, 9, 20, 5, 30,
10, 21, 6, 31, 8, 19,

4つの「結び目」を除いて考えると、外周を3周するだけ…
0828１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 17:56:56.89ID:FDCSht5h
>>814

・n×n (正方形盤)
　nが奇数または5以下　→　不可能。
　nが偶数 (n≧6) 　→　可能、2回対称な解もある。
　nが4で割り切れない偶数 (n≧6)　→　4回対称な解もある。

n　　　　合　計　　　　　　4回対称　　2回対称　　　　　非対称
------------------------------------------------------------------
4　　　　　　　　　　0　　　　　0　　　　　 0　　　　　　　　　　0
6　　　　　　　　1,245　　　　　5　　　　　17　　　　　　　　1,223
8　　1,658,420,855,433　　　　　0　　 608,233　　1,658,420,247,200
10　　　　?　　　　　　　　415,902　　　 ?　　　　　　　　?

・3×偶数 (n≦8)　→　不可能。
・3×偶数 (n≧10)　→　可能。n=12を除き、2回対称な解がある。

n　　 合 計　2回対称　　非対称
------------------------------
8　　　　0　　　　0　　　　 0
10　　　　6　　　　4　　　　 2
12　　　 44　　　　0　　　　44
14　　　396　　　 24　　　 372
16　　 3868　　　 24　　　3844
18　　37078　　　292　　 36786
20　 362192　　　176　　362016

・3×(4k+2)　→　2回対称な解と面対称な解は同数ある。
・4×n　→　不可能　…　Sainte-Marie (1887)

"Knight's tour notes"
http://www.mayhematics.com/t/t.htm
0829とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/17(木) 23:53:00.15ID:5HviOqXJ
>>824
> 注意　(ii)はもちろんあらゆる可能性をためせば、証
> 明にはなりますが、もっと＜エレガントな数学的な＞不
> 可能の証明を期待します。

いいじゃないですか。エレ解らしくて。
エレファント解も用意されているのがgood.
集合S以外の解き方はぱっと浮かばず、考えさせられます

対して先月の問題はぜんぜん面白くない。
『問題文に提示されたエレガントな解答の"説明"をもとむ』という名のコーナーじゃないんだが
エレガントな"解答"を求まれたい。

>>809
> 出題1はともかく出題2は明らかにヒント過多。
> "ダメなマスの集合S"の存在をうまく隠せれば良問になっただけに残念です。
> Sを使ったエレガントな解法を自分で見つけたかった人は多かったはず。
0830１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/18(金) 03:17:36.06ID:539vwTx6
>>822 >>827

6×6　4回対称解　の続き

(L)
　 1,　26,　13,　16,　 3,　28,
　12,　15,　 2,　27,　 6,　17,
　25,　36,　23,　14,　29,　 4,
　22,　11,　32,　 5,　18,　 7,
　35,　24,　 9,　20,　33,　30,
　10,　21,　34,　31,　 8,　19,

これは (g) >>827 とよく似ている。

(a)
　 1,　26,　13,　16,　 3,　28,
　12,　15,　 2,　27,　 6,　17,
　25,　36,　23,　14,　29,　 4,
　22,　11,　32,　 5,　18,　 7,
　35,　24,　 9,　20,　33,　30,
　10,　21,　34,　31,　 8,　19,

形は似ているが「結び目」でＵターンするので、結局外周を1回りするだけ。

(i)
　 1,　 8,　31,　16,　 3,　10,
　30,　23,　 2,　 9,　32,　17,
　 7,　36,　15,　24,　11,　 4,
　22,　29,　 6,　33,　18,　25,
　35,　14,　27,　20,　 5,　12,
　28,　21,　34,　13,　26,　19,

これは反転を含んでいる(4回)点で (e) >>822 に似ている。

以上が 6x6 の4回対称解 (a，e，g，i，L)

2回対称解は17種もあるらしい。
0831１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/18(金) 03:32:54.15ID:539vwTx6
>>830
訂正ｽﾏｿ

(a)
　 1,　14,　35,　 6,　 3,　28,
　12,　 7,　 2,　27,　34,　 5,
　15,　36,　13,　 4,　29,　26,
　 8,　11,　22,　31,　18,　33,
　23,　16,　 9,　20,　25,　30,
　10,　21,　24,　17,　32,　19,
0833１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/20(日) 02:23:00.20ID:1IiDnvUy
3×10　ナイト周遊

・ 2回対称解 (Bergholt)　2つ
"NSI"
4, 7, 10, 19, 16, 1, 14, 23, 28, 25,
9, 18, 5, 2, 11, 20, 29, 26, 13, 22,
6, 3, 8, 17, 30, 15, 12, 21, 24, 27,

"NSU”
6, 3, 8, 19, 16, 1, 14, 21, 24, 27,
9, 18, 5, 2, 11, 20, 29, 26, 13, 22,
4, 7, 10, 17, 30, 15, 12, 23, 28, 25,

・ 鏡面対称解 (Sulian)　2つ
"NSI"
4, 7, 10, 29, 16, 1, 14, 25, 22, 19,
9, 28, 5, 2, 11, 26, 17, 20, 13, 24,
6, 3, 8, 27, 30, 15, 12, 23, 18, 21,

"NSU"
6, 3, 8, 29, 16, 1, 14, 23, 18, 21,
9, 28, 5, 2, 11, 26, 17, 20, 13, 24,
4, 7, 10, 27, 30, 15, 12, 25, 22, 19,

（中央で180°ひねったような…）

・非対称解　　2つ

>>828 の下表では　対称解（2回対称または鏡面対称）　とすべきでござった。
0834１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/08(金) 18:44:52.96ID:volchZbj
今月6月号の解答よろぴく
0835１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/10(日) 13:11:19.65ID:8kKQJipm
解答はよ
0837とあるエレ解常連
垢版 |
2018/06/10(日) 17:19:58.88ID:Oq6PatgL
18年6月号の講評です：

■出題1：レベル7～？（常連正解率50％以下）

三角形ABCの3辺を両方向に等距離延長し、各頂点から伸びた2点を結んでできる3直線の交点をA'B'C'とする。
このときAA',BB',CC'が1点に交わることを示す問題。

幾何センスを問われる良難問。
数オリが得意な若い頭脳には簡単なことでしょう。
何度メネラウスを計算したことか。
明けても暮れてもメネラウス。
もう当分のあいだ三角形と直線のなす比は考えたくありません。
締め切り日に気付いたことは相似形とメネラウスだけではダメということです。
延長距離ゼロなら内心で交わることに気付いたPCの前のキミ！
それが何かの役に立ちましたか？


■出題2：レベル7（常連正解率50％）

a_i+b_j＝c_{i,j}（{a_i},{b_j} i,j=1～10は0以上の整数列）
が0から99を渡るような{a_i},{b_j}の組を列挙する問題。

本質的な組み合わせが「～通りに限られる」ことを示すのが難しい。
考えやすいように{a_i},{b_j}に適切な制限を加えることがまず必要。
そのうえで0～99まで数字がどのように増えていくかを考えると、
題意を満たす数列のパターンはそう多くないことに気付くでしょう。
厳密に示すのはやはり並の高校生レベルでは厳しいといえます。
解くのが難しいのではなく本質を突く補題を自分で設定して解くところが難しい。
本誌エレ解をもとむコーナーの腕の見せ所はこういうところにあります。
0838１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/11(月) 00:19:45.64ID:6eoyO+PA
問1はベクトルで。単純計算で分点比からチェバる。

>延長距離ゼロなら内心で交わることに気付いたPCの前のキミ！
>それが何かの役に立ちましたか？

役に立ちそうで立たなかった
0839とあるエレ解常連
垢版 |
2018/06/11(月) 00:32:03.74ID:L5NBC2N9
>>838
平面幾何にはベクトルで一刀両断。
エレガンスなんて糞食らえ。同感です。

> 役に立ちそうで立たなかった

ですよね
0840１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/11(月) 12:03:00.02ID:TnGShdQw
>>837

■出題2 は

(ア)　A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
　　　B = { 0,10,20,30,40,50,60,70,80,90}

(イ)　A = { 0, 1,20,21,40,41,60,61,80,81}
　　　B = { 0, 2, 4, 6, 8,10,12,14,16,18}

(ウ)　A = { 0, 1, 2, 3, 4,50,51,52,53,54}
　　　B = { 0, 5,10,15,20,25,30,35,40,45}

(エ)　A = { 0, 1, 4, 5, 8, 9,12,13,16,17}
　　　B = { 0, 2,20,22,40,42,60,62,80,82}

(オ)　A = { 0, 1,10,11,20,21,30,31,40,41}
　　　B = { 0, 2, 4, 6, 8,50,52,54,56,58}

(カ)　A = { 0, 1, 2, 3, 4,10,11,12,13,14}
　　　B = { 0, 5,20,25,40,45,60,65,80,85}

(キ)　A = { 0, 1, 2, 3, 4,25,26,27,28,29}
　　　B = { 0, 5,10,15,20,50,55,60,65,70}

の７とおり（A，Bを入れ替えれば14とおり）かな。。。

Aの等差部分列A’、Bの等差部分列B’とすると、A’(＋)B’は穴のないブロックをなす筈。
0841１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/12(火) 00:38:04.46ID:XI7mPJ/0
おお、問２はどうやら正解っぽい。問１も挑戦したが解けず。垂心かな？と予想したんだけど、とっかかりすらつかめなかった。
0842１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/12(火) 19:01:00.72ID:OOb2Cgfm
今月号の1問目だが、解答者をバカにしたような問題。
間違いなく、ここ数年で一番易しい問題だと思う｡
0844１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/17(日) 02:30:53.58ID:lI+JiKnS
〔Igarashi の不等式〕
　a，b，c>0 のとき、
　a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c),
　2018年7月号NOTE

(略証)
　a' = bb + bc + cc,
　b' = cc + ca + aa,
　c' = aa + ab + bb,
とおくと
　aa' + bb' + cc' = (a+b+c) (ab+bc+ca),　　…　これがミソ（?）

(1) コーシーにより
　(左辺) = a/a' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa' + bb' + cc') = (a+b+c)/(ab+bc+ca),

(2)　f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより
　(左辺) = a f(a') + b f(b') + c f(c')
　　≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c))
　　= (a+b+c) f(ab+bc+ca)
　　= (a+b+c)/(ab+bc+ca),

不等式スレ９ - 620～623
0845842
垢版 |
2018/07/09(月) 00:48:44.45ID:QA4ysVPG
締め切り過ぎたし、易しいと書いた手前、7月号の1問目の回答らしきもの書いとくかw
「
整数mが4の倍数のとき(m=4h)　4h=(h+1)^2 -(h-1)^2
整数mを4で割ったときの余りが1のとき(m=4h+1)　4h+1=(2h+1)^2 -(2h)^2
整数mを4で割ったときの余りが3のとき(m=4h+3)　4h+3=(2h+2)^2 -(2h+1)^2
よって、mを4で割ったときの余りが2ではないとき、mは平方数の差であることが分かる。

したがって、nが奇数のとき、x(n)≡0 (mod 4)、nが偶数のとき、x(n)≡1 (mod 4)が言えれば題意は言える。
x(0)≡x(2)≡1、x(1)≡0 (mod 4)だから、帰納的に
x(2k+1)≡x(2k)+x(2k-1)ｰx(2k-2)≡1+0-1≡0 (mod 4)
x(2k+2)≡x(2k+1)+x(2k)ｰx(2k-1)≡0+1-0≡1 (mod 4)
がいえるから、題意は言えた。
」
0846１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/09(月) 13:03:47.51ID:TFGOLUbm
>>845
お見事でござる。

小生はまづ、
特性多項式 t^3 -5t^2 -5t +1 = (t+1)(tt-6t+1) の根が
　α^2，αγ=-1，γ^2 となることに注意する。
（α=1-√2，γ=1+√2)
もし　x_n = (y_n)^2 - (z_n)^2　の形に表わせるなら、
{y_n}，{z_n} の特性値は α，γと予想されるから、
特性方程式：　(t-α)(t-γ) = tt-2t-1,
∴　b_{n+1} = 2b_n +b_{n-1}
　y_n = (γ^n + α^n)/2,
　z_n = (γ^n - α^n)/(2√2),
を求めたのであった。
　y_0 = 1，z_0 = 0,
　y_{n+1} = y_n + 2z_n,
　z_{n+1} = y_n + z_n,
ゆえ、{y_n}，{z_n} は自然数である。
なお、これらは「ペル方程式」
　(y_n)^2 - 2(z_n)^2 = (-1)^n
も満たす。
0847とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/09(月) 19:15:04.10ID:f7BKW3Q1
>>846
一般項を求めたかったんですが自分は諦めました
さすがの一言です
0848１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/13(金) 06:33:33.32ID:JMIiTTdZ
わたくしの解法はこうです。
3以上のnについてx(n)の下2桁が周期的にあるパターンを繰り返すことに着目し、すべてのx(n)が奇数×奇数、または偶数×偶数で表されることを示しました。
これをpq(=x(n))と表すと、a+b=p, a-b=qとおいたとき、a, bはともに整数解をもつことが分かります。したがってx(n)=pq=a^2-b^2と表せるので題意は示された。
なんとなく>>845氏の考え方に似ている気がしましたが、氏の解法のほうが洗練されていていいですね。
0849とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/14(土) 09:55:08.45ID:tGdUMoW8
2018年7月号の講評です：

■出題１：レベル3（数学好きな高校生正解率60％）

a_{n＋3}＝5a_{n＋2}＋5a_{n＋1}－a_n
a_0＝1, a_1＝0，a_2＝5
で定まるa_nが平方数の差で表せることを示す問題。

「補題：mod4で2と合同でないなら平方数の差で表せる」
を運悪く知っている人には合同式の初歩的な練習問題でしかない。
>>845は運が悪かった一人ですが、解法は簡潔でエレガントです。
（>>848もこれに似た解法）

しかし、合同式で解いたら問題自体に何も面白さが感じられない。
一般項が求められるからこそ面白い。
>>846はさすがエレ解常連という感じ。
（もう一人のとあるエレ解常連はあっさりギブアップｗ）

いろんな解法があり、簡単過ぎてつまらないとは言い切れない良問でしたが、
もうちょっと難しくても良いかも？
ただ出題2のおかげでバランスは取れていました。


■出題２：レベル8～10（常連正解率20％以下）


正四面体、正八面体の各面に、隣接する2面が
同じ数字にならないように1,2,3,4の番号を振る。
同じ値が連続しない有限数列a0,a1,...,am∈{1,2,3,4}が与えられ、
その数字の面が下になるように平面状で転がしていくとき、
最後に①位置が最初と同じ、②向きが最初と同じ
になる数列の条件を求める問題

山田修司先生の良難問。
エレガントな解法は不明（コメント求む）

正四面体の場合、展開図を平面上に1通りで敷き詰めることができる。
結果的に平面上の各正三角形にはひとつの数字が対応するため
条件①、②を見つけ出すのはそれほど苦労しない。
（論証はそれなりに面倒。レベル6～7）

正八面体の場合、平面上の1つの正三角形は複数の数字をとりうる。
正四面体の場合と違い平面から規則性を見出すアプローチは採りづらい。
予想はなんとなくできるが、有限列と対応させて論証するのは難しい。

正八面体で詰まってしまい正十二面体には手を伸ばせなかった人が多いと予想。
0850とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/14(土) 10:00:58.31ID:tGdUMoW8
>>849
> その数字の面が下になるように平面状で転がしていくとき、

平面上で転がして　です

微妙に日本語として意味が通ってしまうので修正
0851とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/14(土) 10:13:25.11ID:tGdUMoW8
>>809
> 18年5月号の講評です。
>
> ■出題1：レベル2～3（数学好きの高校生正解率85％）
>
> 整数係数n次多項式Pの0≦x≦1における最大値Max(|P|)が
> 1/sqrt(LCM(1,...,2n+1))以上であることを示す問題。
>
> 2n+1はどこから出てくるのでしょうか？
> このヒントでピンと来なければ超難問、ピンと来れば超易問。
> 常連ソルバーには物足りないでしょうが、LCMとの意外な繋がりが美しい良問。


本誌8月号を見ましたが、意外に正解者が少ないです
正解率だけで言えばレベル6～7（常連正解率60％）くらい。
上に書いたように、解法にピンと来なければまず解けない問題です
こういう問題はレベル付けが難しい

私も実は気付くまでに時間がかかりました
2n+1だから気付けましたが、これが2n+1ではない数で
緩く抑えられていたら絶対に解けなかったと思います。


> ■出題2：レベル1～2（中学受験生正解率50％）

鳩ノ巣原理の練習問題ですが、なんと10代の応募がゼロでした
編集部としてはものすごく残念だったことでしょう
0852とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/14(土) 13:14:26.79ID:tGdUMoW8
そろそろ夏休み。一足先に自由研究をば。

［数セミの適正な読者数に関する一考察]

数セミがメディアで紹介され、さらにAIブームに乗じて購読者数が一桁増えたとしよう。
解答にB5 2枚を要するレベル6程度の問題に対して、
これまで数十人の投稿者だったのが数百人になる計算。
果たして出題者はすべての答案にきちんと目を通せるだろうか？
いくら聡明な数学者と言えど心無い汚い文字を読むのに苦労し、
スジが明快でないアマチュアの記述を読むのにまた苦労し、
すべて読み終えるのに軽く丸3日はかかりそうである。
10万程度の謝礼だったらお断りしたいレベル。
よって投稿者が高々数十に収まるよう難問はより難化するのである。

仮に易問を出したとしよう。
100を超えていた投稿者数が一桁増により1000のオーダーに達する計算。
こうなると「最終的な結論が合っているならOK」という問題に限定しておかないと
答案を見る時間はいくらあっても足りず、出題者は悲惨なことになる。
思いもよらない解法が出てくるのは本コーナーの醍醐味であるが、
そんなのがあったら大変であり、出題者は気を抜くことができない。
よって一目で正誤が判定できる問題に限定され、易問はより易化するのである。

よって問題を難しくしても簡単にしても読者はエレ解から離れ、ひいては数セミから離れていくのである。

ところで購読者が一桁減ったとすると、もはや豊島区大塚の駅近に事務所を構えるのは無理であり、
「数セミ？エレ解？何それトレンド」は加速し、エレ解常連が多けれ少なかれ感じてきた
わずかながらの功名心も失われ、コア層を失う危機がいよいよ到来、雑誌存続は不可となる。

以上を総合すると、現在の読者数は多くも少なくもなく、良い平衡状態にあると言えるのではなかろうか・・・
編集者の給料が上がらないのはとても残念なことだが・・・
0853１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/14(土) 14:37:14.37ID:fIrZynJm
5月号■出題1の解説より

lim[n→∞] (Max|P|)^(1/n) = C　とおくと　1/e < C < 1/√5,

文献によれば
　0.4213 < C < 0.4232
らしい。
I.E.Pritsker: J. d'Analyse Math.，９６，p.151-190 (2005)
　"Small polynomials with integer coefficients"
0857１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/04(土) 13:29:18.71ID:Bw0Mcxrs
>>852
解けって言われれば解けるけど、
エレガンスを追求しようと思うと
遠慮しちゃう部分はあるのよねー。
だから、易しい問題のほうが、
本来の趣旨には合ってると思ふ。
0858とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/04(土) 14:01:23.31ID:x3zycMOc
>>857
その意見は理解できます
自分はエレガンスを追求しないので、遠慮なんかしませんけどね。
そもそもエレガントな模範解答が用意されてないことのほうが多いので注意です。
0859１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/04(土) 14:05:02.63ID:6Ul+7C89
エレガントでなくても正解扱いしてくれる出題者がほとんどだから、あまり気にしてないです。
0860とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/04(土) 14:37:40.09ID:x3zycMOc
>>859
> エレガントでなくても正解扱いしてくれる出題者がほとんどだから、

それもありますね。
　XXさんは緻密な計算で解答までたどり着いていました。
　他の解答者はほぼ全員、～変換を施すことで計算量を減らしていました。
って書かれると俺アホなんだな・・と落ち込みますがね
0861１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/04(土) 16:47:07.15ID:Bw0Mcxrs
>>860
出題者は、「（背理法とかを使って）正しいことは証明してるんだけど、
もっと小わかりのする直接的な（たとえば幾何学的な）証明」を求めて
いるから出題してるんじゃないかと思うので、
そのあたりのツボを押さえるかどうかという話なんじゃないだろうか。
0862とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/04(土) 21:49:59.87ID:LQ6snzQH
>>861
出題者が本当の意味でエレガントな解答を求めているケースですか。たしかに、たまにみかけますね。
0863１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 09:17:17.48ID:hoqi0kdC
>>861
正解発表号で解答（出題者のも含めて）が掲載されなかったこともありますね。
大昔、竹内郁雄先生（８月号第１問出題）が「たらい回し関数」（計算機学の世界で「竹内関数」とも呼ばれる）の問題を出題されましたが
"エレガントな"解答がなかったためか、解答が掲載されなかった記憶があります。
0865とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 10:31:51.30ID:NK4LdsTX
>>863
> 正解発表号で解答（出題者のも含めて）が掲載されなかったこともありますね。

私見ですがT内センセの問題は『この問題捨ててもいいや』と思ってしまう何かがある
0866１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 12:13:08.96ID:+Do+cqXV
>>863 >>865
共立出版の『bit』が休刊する前の、
『ナノピコ教室』の最終回に、
「芸術的なプログラムを求む」で
「Tarai 関数」のプログラムが掲載されてた。
0867１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 12:22:22.50ID:+Do+cqXV
『エレガントな解答をもとむ』で、直方体のチョコレートケーキ
（チョコレートが入ったケーキではなく、直方体のケーキの表面を
一様な厚さで覆ったケーキ）の表面のチョコと中身のケーキを
含めて三等分しろ。ただし、三つのパーツは（回転・鏡像も含めて）
違う形にすること」というのが思い浮かぶ。
「これは幾何学的に解いてなんぼだ」と思って、最初に中心点から任意の向きに
直線（正確には半線分）で切ったときに、そこから三等分するという条件を
つけて解いて、「いや、これはまだエレガントじゃない」と思って
後から別解答を送った、という記憶がある。
0868１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 13:26:12.10ID:hoqi0kdC
締め切りすぎたら　具体的な解答が出てくると思いますが
今月の問１は、エレガントかどうかの違いが　ほとんど出ないのではと思われます。
エレガントにもいろいろありますが
　簡明で普通の高校生でも理解できる。
　一般的である。
　逆に問の条件の特殊性を活用。など
0869とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 13:39:38.94ID:NK4LdsTX
>>868
> 今月の問１は、エレガントかどうかの違いが　ほとんど出ないのではと思われます。

きっとあなたは解けたのですな？？すばらしい。
話題のT内さんですが、今月の出題1（2）は面白い、と今まさに書き込もうとしていました。

エレガント（＝シンプル）な式を見つけ、これから証明しようというところ。
で、ふと思ったんだが、この問題は証明を求められているんだろうか？
普通はエレ解で証明ナシはありえんのだがT内さんの場合は分からんｗ
厳密な数学的証明を求めるヒトではなさそうだし、
失礼だが書いたところできちんと読んでくれるのか疑わしい。
n＝１００００００００まで計算機回して一致してりゃ正解、とかじゃないだろうな

14年9月号ニッコリ賢者問題をまだ根に持っておりますｗ
水も漏らさない厳密な証明をがんばって書いたのに誤答扱いしやがってチクシヨウｗ
ニッコリ問題こそプログラムで検証すりゃ良かったのに、まったくもう。

前スレ参照
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/241
0870とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 13:47:45.38ID:NK4LdsTX
>>867
その問題はいかにもエレ解の匂いぷんぷんですな
すぐにはいい方法が浮かびませぬ
0871１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 14:12:40.32ID:hoqi0kdC
>>869
> n＝１００００００００まで計算機回して一致してりゃ正解、とかじゃないだろうな

T内さん はハッカー（最j高級計算機屋）ですから、その可能性は完全には否定できませんが、
今回のは一応無限の問題なのでそれはないと思います。

他の出題者だったと思いますが2017年9月問１（有限の問題）で　計算機ですべての場合を求めてプログラムまでつけたけど
模範解答にはなりませんでした。Ｔ内さんなら模範解答だったかも。
0872とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 14:19:34.92ID:NK4LdsTX
>>871
> 今回のは一応無限の問題なのでそれはないと思います。

ですよねぇ。
けどニッコリ問題（有限問題）の前科が鮮烈過ぎて信用ならんです
0873とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 14:26:32.98ID:NK4LdsTX
>>871
> 他の出題者だったと思いますが2017年9月問１（有限の問題）で　計算機ですべての場合を求めてプログラムまでつけたけど
> 模範解答にはなりませんでした。Ｔ内さんなら模範解答だったかも。

>>601ですね。
この問題は色々解法ありましたね。
これを計算機もちだして解くという発想は出てこないですが、
プログラミングのいい練習問題ではあります。
0874とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 16:22:06.91ID:NK4LdsTX
>>868
> 今月の問１は、エレガントかどうかの違いが　ほとんど出ないのではと思われます。

私も証明含めて解き終わりました
>>868さんのように解答のバリエーションまで考察することはできませんでしたが

今月の消印締め切りは8/8。
まだ手を付けていない方、今月は今からでも何とかなります
がんばってくださいまし
0875１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 16:42:07.61ID:hoqi0kdC
>>874
知った風に書きましたが、単に私が１とおりの証明しか思いつかなかっただけかも知れません。
0876１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 16:46:10.05ID:+Do+cqXV
それ言うたら Maka 10 とか 8 Qeen とか
どないなるんやねん、とかいう話には
なるんスけどね。『ナノピコ教室』がなくなっちゃったんで、
鬱憤が溜まってるんじゃないっスか？
0877とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 17:00:22.22ID:NK4LdsTX
>>875
> 知った風に書きましたが、単に私が１とおりの証明しか思いつかなかっただけかも知れません。

証明の方法は1通りだとして、解答のバリエーションはどうでしょうか？
複数あるように思いますが、私は1通り思いついて終わりにしちゃいました。
0878１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 17:09:15.44ID:+Do+cqXV
「数学におけるエレガンス」とは何か、というのは
追求すると面白いぞ？
「面積の自乗」とかいうと、「何なんだこれは」と
頭を抱えることになる。
0879１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/06(月) 18:18:07.70ID:QABFtd9V
>>877
>証明の方法は1通りだとして、解答のバリエーションはどうでしょうか？
(2) の式を思いつく過程（実はここが肝心かも知れません）が　いくつかあると思いますが、
明には解答に出てこない可能性があります。
0880学術
垢版 |
2018/08/06(月) 19:23:19.23ID:+5/cclug
エレファントガッツトンズ　ハキョウレギオン
0882１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/08(水) 18:06:32.77ID:WknwQPYm
>>881
今夜24時が締め切り（消印有効）でしたっけ？
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