【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2016/10/17(月) 20:05:12.65

過去スレ：
【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/

**１３２人目の素数さん** · 2017/11/14(火) 23:59:48.60

で、エレ解の方ですが…

9月号問題１の解答で、立方陣が可能（冨永氏）なのは驚きでした。

具体的には手前から
［10，26， 6］［23， 3，16］［ 9，13，20］
［24， 1，17］［ 7，14，21］［11，27， 4］
［ 8，15，19］［12，25， 5］［22， 2，18］
のように並べたものです。

各要素から１を引いて、3進数で表わすと、
［100，221，012］［211，002，120］［022，110，201］
［212，000，121］［020，111，202］［101，222，010］
［021，112，200］［102，220，011］［210，001，122］
となり、各桁が（3次元の）ラテン方格になっています。すなわち、
上の桁の数は mod(i+j+k-2，3)
中の桁の数は mod(-i+j+k，3)
下の桁の数は mod(i-j+k，3)
ここでｉは左から右へ、ｊは上から下へ、ｋは手前から奥へ増加する座標で｛0,1,2｝の値をとります。

この種の立方陣は何通りできるんでしょう？

**１３２人目の素数さん** · 2017/11/16(木) 02:32:09.61

何言ってるのかサパーリ分かんねぇ？　それぢゃ…

　　　ｋ
　　↗
　・→ｉ
　↓
　ｊ

上の桁の数は　…　mod(i+j+k-2，3)
［1，2，0］　［2，0，1］　［0，1，2］
［2，0，1］　［0，1，2］　［1，2，0］
［0，1，2］　［1，2，0］　［2，0，1］

中の桁の数は　…　mod(-i+j+k，3)
［0，2，1］　［1，0，2］　［2，1，0］
［1，0，2］　［2，1，0］　［0，2，1］
［2，1，0］　［0，2，1］　［1，0，2］

下の桁の数は　…　mod(i-j+k，3)
［0，1，2］　［1，2，0］　［2，0，1］
［2，0，1］　［0，1，2］　［1，2，0］
［1，2，0］　［2，0，1］　［0，1，2］

となり、それぞれ（3次元の）ラテン方格になっています。

**１３２人目の素数さん** · 2017/11/17(金) 14:31:35.10

>>651

立方体の中心を「１」と決めると
その上下、左右、前後はそれぞれ｛0,2｝か｛2，0｝の 2とおり、全部で 8とおりです。
中心をとおる断面は
［ 1，a，b ］　［ b，a，1 ］
［ b，1，a ］　［ a，1，b ］
［ a，b，1 ］　［ 1，b，a ］
となるので、いずれか１つに決まります。
8頂点の要素も１とおりに決まります。
∴ １つの桁について、8とおりです。

なお、この8つは、１つを（上下、前後、左右に）鏡映したものです。

上下方向に 0→1→2→0 となるか、 0←1←2←0 となるか　は
中心をとおる3つにより決まります。

左右方向、前後方向でも同様ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/11/17(金) 17:39:47.22

>>653

中心を通って 0→1→2 となるような向きを i '軸（左右），j '軸（上下），k '軸（前後）とします。

数字は　mod（i '+j '+k '-2，3）と表わせます。

対応する体対角線に垂直な平面上に、同じ数字が並びます。