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【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】 [無断転載禁止]©2ch.net

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0635１３２人目の素数さん
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2017/10/15(日) 18:48:28.96ID:qbyQ3Mho
>>632 のあと

・nがkの倍数でないとき
　n≡k-j　（mod k)
　1≦ j ≦k-1,
として
　f ^n 〜 f ^(2k-j）= f^(k-j+1）・g,
　f ^n(a_j）= f ^(k-j+1)(g(a_j)）= f ^(k-j+1)(j）= 1,
　f ^n(a_{j+1}）= f ^(k-j+1)(g(a_{j+1})）= f ^(k-j+1)(j+1）= 2,
より
　h(a_j）= 1-a_j < 0,
　h(a_{j+1}）= 2 - a_{j+1｝> 0,
ゆえ
　h(x）= f^n(x） - x = 0,
　a_{j+1｝< x < a_j
となる x= x_n がある。

・nがkの倍数のときは
　f ^n(1）= 1，f ^n(2）=2.
0636１３２人目の素数さん
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2017/10/20(金) 08:25:00.30ID:auvGi4HJ
〔問題１〕
1辺の長さが１の正三角形ABCがある。
AP=a，BP=b，CP=c がすべて有理数である点Pを全有理距離点とよぶ。

（初級問題）　正三角形の辺上および外接円の周上に
全有理距離点が無限個あることを証明してください。

（上級問題）　正三角形の内部にある全有理距離点
（3個の距離）を挙げてください。

（2009年5月）

［Vol6．440-442］
0638１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/21(土) 11:38:00.65ID:juihTYxZ
つ[参考書]

数セミ増刊　（日本評論社）
「数学の問題　第１集」（1977/Feb）　1404円
「数学の問題　第２集」（1978/May）　1728円
「数学の問題　第３集」（1988/Sep）　1728円
　　http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1589.html
「エレガントな解答をもとむ selections」（2001/June）　2052円
　　http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1721.html


矢野健太郎「エレガントな解答」ちくま学芸文庫（2007/Nov）　1080円
　http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480091178
0649１３２人目の素数さん
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2017/11/14(火) 23:04:24.38ID:8GRq7eAg
拙者は風車の弥七って忍びの者でござる。
このスレには誰も居らぬでござるな。
されば天井裏に忍んで、今月の水戸黄門でも思い出すでござるよ。
0650１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/14(火) 23:06:44.72ID:8GRq7eAg
>>649

■第３話：「旅籠で格さん瓜二つ（福島)」　　 10/18（水)

第３話では、渥美格之進役の荒井敦史が２役に挑戦！旅籠の主人、多一郎と格さんを演じる。
御老公一行の悪党退治の末に感動のラストシーンが！？
さらに、福島県北部で親しまれている郷土料理・いかニンジンも劇中に登場。

■第４話：「悪を糺した弥治郎こけし（白石)」 10/25（水)

第４話では、舞台となる白石市の伝統工芸品「弥治郎こけし」が登場。
宮城県伝統こけしの一つとして、素朴で童のあどけない面立ちが特色。
劇中でも、色とりどりのこけしが立ち並ぶ。

■第５話：「硯の里の仇討ち（雄勝)」　　 11/01（水)

第５話の劇中では、宮城県石巻市の伝統工芸品「雄勝硯」が登場。
雄勝硯の歴史はとても古く、室町時代から伝わるとも言われている。
程よい固さとなめらかさを併せ持ち、墨の発色が良いのが特徴。
さらに今回は東北出身ゲストとして、大船渡市出身の歌手・新沼謙治さんが登場。

■第６話：「愛しき妻は里隠れ（志津川)」　 11/08（水)

第６話からは、新キャストが登場！
元AKB・篠田麻里子さんが、里隠れのくの一として御老公一行の前に立ちはだかります。
さらに、敵役として忍びの頭目・蛇骨の升六を中村嘉葎雄さんが演じます。
後半に向けてますます悪党退治の旅が盛り上がりを見せます！

■第７話：「時の太鼓とじゃじゃ馬姫（一関)」　11/15（水)

第７話の劇中に出てくる「時の太鼓」は、実際に江戸期幕府から一関藩が特別待遇を受けて許されていたもの。
民に昼夜12時を知らせる役目を果たしていたといいます。
そして、今回のゲストには子役としてドラマ、CMなどで活躍中の鈴木梨央ちゃんが登場！

http://www.bs-tbs.co.jp/mitokomon/index.html
0651１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/14(火) 23:59:48.60ID:8GRq7eAg
で、エレ解の方ですが…

9月号問題１の解答で、立方陣が可能（冨永氏）なのは驚きでした。

具体的には手前から
［10，26， 6］［23， 3，16］［ 9，13，20］
［24， 1，17］［ 7，14，21］［11，27， 4］
［ 8，15，19］［12，25， 5］［22， 2，18］
のように並べたものです。

各要素から１を引いて、3進数で表わすと、
［100，221，012］［211，002，120］［022，110，201］
［212，000，121］［020，111，202］［101，222，010］
［021，112，200］［102，220，011］［210，001，122］
となり、各桁が（3次元の）ラテン方格になっています。すなわち、
上の桁の数は mod(i+j+k-2，3)
中の桁の数は mod(-i+j+k，3)
下の桁の数は mod(i-j+k，3)
ここでｉは左から右へ、ｊは上から下へ、ｋは手前から奥へ増加する座標で｛0,1,2｝の値をとります。

この種の立方陣は何通りできるんでしょう？
0652１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/16(木) 02:32:09.61ID:+0/ZGG+j
何言ってるのかサパーリ分かんねぇ？　それぢゃ…

　　　ｋ
　　↗
　・→ｉ
　↓
　ｊ

上の桁の数は　…　mod(i+j+k-2，3)
［1，2，0］　［2，0，1］　［0，1，2］
［2，0，1］　［0，1，2］　［1，2，0］
［0，1，2］　［1，2，0］　［2，0，1］


中の桁の数は　…　mod(-i+j+k，3)
［0，2，1］　［1，0，2］　［2，1，0］
［1，0，2］　［2，1，0］　［0，2，1］
［2，1，0］　［0，2，1］　［1，0，2］

下の桁の数は　…　mod(i-j+k，3)
［0，1，2］　［1，2，0］　［2，0，1］
［2，0，1］　［0，1，2］　［1，2，0］
［1，2，0］　［2，0，1］　［0，1，2］

となり、それぞれ（3次元の）ラテン方格になっています。
0653１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/17(金) 14:31:35.10ID:VLF4tQu0
>>651

立方体の中心を「１」と決めると
その上下、左右、前後 はそれぞれ｛0,2｝か｛2，0｝の 2とおり、全部で 8とおり です。
中心をとおる断面は
［ 1，a，b ］　［ b，a，1 ］
［ b，1，a ］　［ a，1，b ］
［ a，b，1 ］　［ 1，b，a ］
となるので、いずれか１つに決まります。
8頂点の要素も１とおりに決まります。
∴ １つの桁について、8とおりです。

なお、この8つは、１つを（上下、前後、左右に）鏡映したものです。

上下方向に 0→1→2→0 となるか、 0←1←2←0 となるか　は
中心をとおる3つにより決まります。

左右方向、前後方向でも同様ですね。
0654１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/17(金) 17:39:47.22ID:VLF4tQu0
>>653

中心を通って 0→1→2 となるような向きを i '軸（左右），j '軸（上下），k '軸（前後）とします。

数字は　mod（i '+j '+k '-2，3）と表わせます。

対応する体対角線に垂直な平面上に、同じ数字が並びます。
0655とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/18(土) 00:29:21.13ID:s5IEY3g0
17年11月号の講評です。

■出題１：　(1)はレベル4 （常連正解率95％），(2)はレベル8〜？（常連正解率20％以下）

加古先生出題の良問。
周期関数を要素とする行列の正則性を問う問題でした。
(1)は正攻法で解けるので余裕でしょう。
場合分けが出てきますがこれで手こずるようでは修行が足りません。

(2)は七転八倒必至の難問に感じました（正攻法で突っ込みすぎたか。）
あっさり解けた人がいるなら手を挙げてください。
栄えある『とあるエレ解常連』の称号を譲ります。
その代わり来月から講評をお願いします。


■出題２：　問題1, 2はレベル3（常連正解率100％），番外問題はレベル4？（常連正解率90〜95％？）

岩I先生の問題。
ビギナー向け教科書のcoffee breakコーナーにあるような軽めの問題。
「滑らか」の定義を知らないとポカーンとなってしまいそうですが
よもや数セミ読者で困ってしまう人はいないでしょう。
番外問題がちょっとだけ面白かったかな？程度の印象。

決して悪い問題ではないのですが、私は時弘先生や加古先生が出題するような
骨も心もバッキバキに折れそうな難問が好みです。
税込1177円で何日何時間も我を忘れて熱中できるのですから安いものでしょう。
難しすぎて絶対解けないというならストレスフルで嫌にもなりますが、
諦めなければいつかは解ける（解けないときもあるが）という絶妙な按配。
ファンは私以外にも多いはずです。絶対。知らんけど。
0656とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/18(土) 08:31:26.73ID:s5IEY3g0
>>245
9月号の解答編について：

>>601
> (3)N個の式をエレガントに網羅する
>
> のは簡単ではない。
> ここを深く考察してくるのが常連のトップレベル。
> 果たして分かりやすい表示があるでしょうか？
>
> 考え過ぎ！と思う向きがあるかもしれませんが、
> 平太氏がこの考察の準備なしに出題したとは思えません。

えっとまあ考えすぎでしたねｗ
平太氏も準備がなかったと。そういうことでした。
一番深い考察は一般の場合まで調べた>>608さんです。
>>651-654の三次元構造を考察するところはさすが本物の常連ですね。
とある名無しの常連とはレベルが違います。
0658とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/18(土) 09:12:42.87ID:s5IEY3g0
9月号の解答編について（続き）：

出題2はT内氏の素数クロスワード。
（最初にはっきり言っておきますが私はアンチです。ファンの方ごめんなさいｗ）

設計図が重要とおっしゃるが阿呆の直感でスっと出来ましたよ。
ただただ可逆素数表とにらめっこ。
0を意識しないといけない？そんなの当たりまえでしょう。
誰だってわかりますよ。そういう人為的ルールなんだから。
ここにはめてやれ、どうだ！いけた！やったーなんて調子。
408点がすごい？まあ確かにすごいですよ。
こんな問題にエレガントな解答をひねくりだすK原氏は文句なくすごいですよ。
逆にK原氏の解答がなければ3ページも記事書けてませんよあなた。

数学知識を盛り込んだエレガントなプログラムが用意されてるんだろう。
誰しもそう思いましたよ。
　設計図をベースに乱数でテキトウに割り当てていくといういい加減なプログラム
やっぱりそうかそうきたかと。正直なT内氏に逆に好感を抱いちゃったり。

数学を解いているというより単なる作業。家内制手工業。
3ヶ月後に待っていた報酬がこれかと。
やりきれませんが誰でも出来る仕事に報酬が少ないのは仕方ない。
注目すべきは31名しか投稿がなかったことです。
単純簡単な問題なのになぜ投稿が少ないのか？
ネットで可逆素数表を見れる環境なら誰でもアプローチできるのになぜ？
その意味を雑誌関係者はよく考えていただきたい。
本問も解いてきたのはほとんど常連ばかりでしたよね。
彼らは悪く言えば惰性で毎月投稿してくるんですよ。
問題がつまらなくてもきちんと解答を書いて投稿します。
自分のライフワーク、ずっと続けてきた習慣を崩したくないからです。
習慣を崩したくないという動機だけで私は解きましたよ。
最後に。フォローするわけではないが、問題と解答が間違ってないだけ
T内氏の出題としてはマシだったと思います。

これだけ言ってやればT内氏のファンは黙ってないだろう。
異論反論オブジェクションをどうぞｗ
0659１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/18(土) 11:49:00.85ID:zyffN9l2
個人的には、こういう正解のない、または最適解を求めるのがほとんど不可能な問題は嫌いじゃない。
まあエレ解に出すのはどうよって意見もあるだろうが、あくまで「もとむ」だから良いんじゃない？
今回の問題だって、誰かがエレガントな方法で最大値を証明する可能性だってあったわけで。
0660とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/18(土) 12:37:20.90ID:s5IEY3g0
>>659
楽しめたなら何よりです。私はダメでした。
408点を目指せ、という問題だったら良かったのかな。
ルールもなんだか人為的すぎて思い入れがなく。
れっきとした数学でしょうけど、この問題の研究に時間を使うんだったら別の本でも読みたいなとｗ
研究派の常連さんには良問だったかもしれませんね。
0661１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/19(日) 17:33:42.44ID:PrPXB/k6
>>655

■出題２：　番外問題ですが、小生は
４つの側面を
⌒　
⌒　
⌒　
⌒
にするのと、ねじって
〜
〜
〜
〜
にするのを出しました
（天面と底面はほとんど自動的に決まりました。）
0662とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/19(日) 18:22:01.28ID:mm/NR720
こんばんは

>>661
> ■出題２：　番外問題ですが、小生は
> ４つの側面を
> ⌒　
> ⌒　
> ⌒　
> ⌒
> にするのと、ねじって
> 〜
> 〜
> 〜
> 〜
> にするのを出しました
> （天面と底面はほとんど自動的に決まりました。）

番外問題は1個見つけて終わりにしてしまいました
何通りあるかを考えるのも面白い？？
0663１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/22(水) 13:20:38.48ID:XxzuuRWx
さて、今月も皆さんお帰りのようでござる。
拙者の出番でござるな。
…と、天井裏から降りてきて水戸黄門のみどころを

■第８話「盗まれた印籠（花巻）」　11/22（水）

第８話は、花巻石鳥谷の酒蔵が舞台。石鳥谷は、日本三大杜氏の一つに謳われる”南部杜氏”発祥の地と言われている。
長い歴史を持つ”南部杜氏”は現在も全国にその技術を伝えています。
そして、今回のゲストには「3年B組 金八先生」で生徒役として武田鉄矢さんと共演した川上麻衣子さんが登場！
0664１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/24(金) 22:12:24.74ID:2XbK5FAe
■第９話「風来坊の片想い（浄法寺）」　11/29（水）

第９話の舞台は岩手県の北端、二戸市。
劇中にも登場する「浄法寺塗」は二戸市の伝統工芸品。
国内で採れる漆のおよそ７割が二戸地域のもの。
生産量だけでなく質の高さにも定評があり、使うほどに艶や輝きが増していくのが特徴。
さらには、日本最古の盆踊りと言われる「ナニャトヤラ」という伝統芸能も劇中に登場。
古くから二戸に伝わる太鼓のリズムと歌に合わせて繰り広げられる踊り。
村人を集めた盆踊りのシーンでは、ドラマではあまり見かけない人が登場するかも！？
0665とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/25(土) 11:16:35.79ID:fXah2w3K
>>663-664
スレチですがエレ解常連の年齢層を考えるとずっぽしというw
しかも何だか観たくなります
番宣屋さんと呼ばせてもらいます
0667１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/05(火) 20:29:12.67ID:E3mLmu88
■第10話【最終回】：「炎に消えた黄門様（八戸)」　　 12/06（水)

いよいよ最終回！
ゲストには、女優。松坂慶子さんが登場。役どころはなんと、黄門様の初恋相手！
また、劇中で松坂さんが作っている「南部姫毬」は、八戸に伝わる名産品の一つ。
平安時代に子どもたちの遊び道具として生まれた手毬を観賞用にしたもの。
糸を幾重にも巻き上げ、菱型や三角形を組み合わせた色鮮やかな模様を施している「南部毛毬」は、飾られた家の邪気を払いながら色あせていく、その家のお守り。
結婚や出産のお祝い品としても重宝されている。

最後に出演者全員で「贈ることば」を合唱？（「金八先生」1st シリーズの主題歌だったなぁ…）

http://www.bs-tbs.co.jp/mitokomon/index.html

（長い間ご愛読ありがとうございました。）
0668とあるエレ解常連
垢版 |
2017/12/06(水) 23:37:48.78ID:vkpD5gDG
2017年6月号から「問題のご感想も歓迎します」って注記されてるんですね
気付かなかった
0669とあるエレ解常連
垢版 |
2017/12/09(土) 09:20:25.61ID:p52Yk7RK
17年12月号の講評です

■出題１：レベル5（常連正解率90％）

やや易しめの良問。
隣り合う数字が連続する条件下では魔方陣が成立しないこと示す問題。
一見すると整数問題だが、グラフを考えることがエレガントに解く鍵となる。


■出題２：n＝４，５はレベル2〜3（高校生正解率90％），n＝6はレベル5（常連正解率90％）

n＝４，５はとても易しい。問題なのはn＝６でかなり悩まされた。
長時間悩んだ結果めでたく解答の道筋が立ち、
論理を整理しつつB5用紙に解答を清書していったところ
出来上がった答案は当初書くはずだった結論の逆を証明していた、という珍しい体験をした（←アホ）
0670１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/10(日) 20:39:52.02ID:W/9Gj/R8
今月は早いでござるな。それでは…

■出題２　（と言っても蛇足だが）

・n≧3、奇数の場合の１例

単色点M（他のn-1点と同色の辺でつながる点）が１つある。
他の n-1点も、同色の辺でつながる対をなす。
M−A(2k-1)−A(2k)−M　　　色1
それ以外の辺はすべて違う色とする。

（多数の三角形が１点を共有するイメージ。）

・n≧8、偶数の場合の１例

上記の n-1点の例に、点Bと次の辺を追加する。
B−A1　　　　　　　色1
B−A3−A1　　　　色2
B−A(k+2)−Ak　　色k
B−A2−A(n-3)　　色n-3
B−A4−A(n-2)　　色n-2
これ以外の辺はすべて違う色とする。
0671１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/12(火) 01:02:06.03ID:A7tAwVS8
>>670 （蛇足）の下の方は

k = 3，…，n-4 です。

我ながら、何ともセコい解だ。。。

で、本題の n=6 の方でござるが、
長時間悩んだが解答の道筋も立たず、でござった。
修行が足りぬ。。。
0672とあるエレ解常連
垢版 |
2017/12/13(水) 00:09:28.00ID:VzDBlmx4
>>671
> 長時間悩んだが解答の道筋も立たず、でござった。

n＝6にエレガントな解法があるのか疑問です。
解答編を楽しみに待ちましょう。

>>670は凄いですねえ。よく一般のケースを考えようと思いましたね。
n≧8が簡単なんて想像してませんでしたよ。
n＝6が特異なんですね。面白いです。
0673１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/26(火) 04:59:12.17ID:YnF5Qwmi
問１が手がかりすら掴めん・・・
２０１１年８＋９月号なんて手元にないよ(；´Д｀)
内容知ってる人教えてもらえませんか
0675１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/27(水) 12:05:49.33ID:SBGZPQuO
>>674
そう。停電というよりこの頃は製紙工場が被災して、とにかく紙が足りなかった。実質9月号を飛ばしたことになる。
じゃあこの年はエレ解が11ヶ月分しか出なかったかというとそうではなくて、9月号分はネットで出題された。
0676とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/03(水) 22:30:31.82ID:ck/F8hfZ
>>673
> 問１が手がかりすら掴めん・・・

というコメントを読んで問2から手をつけましたが、(2)は無茶苦茶骨が折れます
これから問1を考えます。間に合うだろうか・・・
0677１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/05(金) 07:23:13.83ID:wRuETOK7
1は3通りの方法で解いてみたが、互いに微妙に違う上に、正解とも異るという
0678１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/05(金) 23:30:16.18ID:TIUiz4a3
>>673

数学セミナー，2011年 8/9月号，p.65-71 (2011)
岩沢宏和：「とっておきの」確率パズル
　（「確率パズルの迷宮」連載●第５回）

次の本の紹介記事

ピーター・ウィンクラー「とっておきの数学パズル」日本評論社（2011/July)
　坂井・岩沢・小副川（訳）　　2592円

最後の問題27　＝　本書の§4．9　＝　出題1（n=500，k=1）

「同書に収められている解答は、なかなか秀逸な着想に基づき、難しい計算をいっさい使わずに、2/3が答えであることの証明を行なっている。
だが、その内容自体は、そう簡単ではなく、数ページに及ぶ長いものである。
やはりこの問題は相当に難しいようだ。」

がんばれ
0681１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/15(月) 00:05:16.35ID:jq3xvZvh
2月号
数学基礎論の特集

「今は昔の竹内物語」に
竹内外史先生（1926/01/25〜2017/05/10）の思い出話があって、

６．辻先生が「竹の内君」と云った話（p.20）がある。

竹内端三先生（東大、1887/06/〜1945/08/07）のことだったようですが…

今の人ならきっと
竹之内脩先生（阪大・基礎工、函数解析）
と思うでしょうね。
0683とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/17(水) 00:50:28.74ID:U4C1l9Ky
2018年1月号の講評です。

■出題１：レベル6〜7（常連正解率50〜70％）
［ノーヒントならレベル9〜10（常連正解率0〜10％）］

2n個の点からランダムにn個の区間を選ぶとき、
すべての区間と交わる『支配区間』がk個以上できる確率を問う問題。
親切にもヒント付きなので苦労しつつも解けた人が多いのではないでしょうか。
果たしてこの問題をノーヒントで解ける読者がいるんだろうかと思いますね。
あんな解法は100年かかっても思いつけない自信が私にはあります。
世の中には恐ろしく頭の良い人がいるものです。
良い問題、良い解法、凄い数学者、いろんな出会いのある良問でした。
エレガントな別解があるのか、解答編も楽しみです。


■出題２：レベル7〜8（常連正解率20〜40％）
［ノーヒントならレベル9〜10（常連正解率0〜5％）］

『強正則グラフ』というワードを知っている人はヒントにたどり着けたでしょう。
しかしヒント付きでもグラフの数え上げ、もっといえばuniquenessの証明は決して簡単ではないです。
そんなわけでレベルは7〜8程度と高めです。
ノーヒントなら限りなくレベル10（正解者0〜1人レベル）です。
特にn＝9, n＝10の一部のグラフを自力で探すのは無理ゲーではないか。
仮に探せたとしてもその唯一性を示すのがまた無理ゲー。
ヒント付きでも解答をきちんと記述するのは大変です。

一見とっつきやすそうな問題だけにノーヒントで突き進んだ人も多いと思いますが、
早めに情報収集して武装するのが吉という問題でした。
ノーヒントで解けた人は大いに自慢してよいと思います。
はっきりいってイチ数学ファンのレベルを超えていますから。
あるいは武装せずともエレガントに解けるんでしょうか？

----

２問とも
・オリジナリティがなく他所で情報を拾えてしまう
・ヒントがなければ超難問である
・ヒント付きでもそこそこの難問である
という共通項がありました。
ある意味悪問と言えなくもないですが、
両問とも我を忘れて熱中できる面白さがありました。
ゆっくり時間を取れる冬休みの宿題としては良いレベルだったと思います。
0684１３２人目の素数さん
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2018/01/17(水) 03:13:28.16ID:K1wc0vuW
1月号
岩澤理論の特集　……　代数的整数論の中心的なテーマ

（岩澤加群・セルマー群 と p進ζ関数・p進L関数 とが本質的に一致する？）

それはさて置き、出題１はのちのち、支配区間論における岩沢理論とでも呼ばれるでしょうか？

ジャステイツ氏の秀逸な着想に基づき、難しい計算を使わずに解けるらしいですが…　　>>678
0685とあるエレ解常連
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2018/01/17(水) 22:52:58.56ID:U4C1l9Ky
>>684
Justiczの論文の『秀逸な着想』は２ページにまとまってますね。
any k＜nは"With slightly more care"で解けるとあります。
Justiczにとってのslightは私にとってのslightではないので困ります。
0686１３２人目の素数さん
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2018/01/18(木) 00:24:15.71ID:3VMTZnuL
>>685

最後の4数（a〜d）もA(n-1)，B(n-1)，A(n)，B(n）で表わしましょう。

本書の解は

支配区間が１つある　⇔　最後の2つの区間（n-1とn）が「左側〜右側」

（初めのn-2の区間は無関係）というものですね。

これを slight 拡張すると、

支配区間がｋ個ある　⇔　最後のk+1の区間が「左側〜右側」

（初めのn-k-1の区間は無関係）

となり、証明もほとんど同様にできそう。

・補足

定義により、A（j）とB（j）とが
「左側〜右側」　⇔　「右向き」あるいは「左向き」の区間が継続する。
「同じ側」　⇔　「右向き」と「左向き」が反転する。このとき区間１〜区間ｊはいずれも支配区間でなくなる。（頓死）
0687１３２人目の素数さん
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2018/01/18(木) 00:31:10.14ID:3VMTZnuL
>>686 訂正

「支配区間」が（１つ以上）ある　⇔　最後の2つの区間（n-1とn）が「左側〜右側」

「支配区間」がｋ個以上ある　⇔　最後のk+1の区間（n-k〜n）が「左側〜右側」
0688とあるエレ解常連
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2018/01/19(金) 00:56:53.35ID:keGyyLu4
>>686
> となり、証明もほとんど同様にできそう。

必要性をきっちり証明するのは自分には面倒でslight careでは済まなかったです。
細心のcareをしました。

>>687
> 「支配区間」がｋ個以上ある　⇔　最後のk+1の区間（n-k〜n）が「左側〜右側」

これって正確ですか？
0689１３２人目の素数さん
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2018/01/19(金) 01:53:54.91ID:4j7tlg3r
>>688

any k＜n では…

なお、n-1個あるなら当然n個ありますが、これは「n-1個」と云うことにしました。
0690とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/20(土) 09:12:38.01ID:ViA3eIh+
2ケースあるので場合分けしなければいけないですよね。
0691とあるエレ解常連
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2018/01/20(土) 09:51:20.82ID:fNIqamCN
先月は斥候>>673氏のコメントのおかげで早めに着手し、間に合いました。
今月はどうでしょうか？
0693１３２人目の素数さん
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2018/01/20(土) 14:29:54.41ID:BdHhmenA
・A(j）とB(j）が「同じ側」のとき、区間１〜区間ｊはいずれも支配区間でなくなる。（トン死）
・最後のk+1個の区間がすべて「左側〜右側」なら、最後のk個が支配区間になる。
ことを示せばOK
0695１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/21(日) 03:26:33.09ID:SUkk+U6n
>>694
　確かにそうですね。
　区間jが左向き　B(j）> A(j）のケースでは、右側の未定数が左側より２個多く、
　次の区間の「同じ側」と「反対側」が入れ替わるので面倒ですね。
　というわけで、　「右向き」と「左向き」に戻しましょう^^

j=n-2 の例で考えると、a<b<c<d としたので
　A(n-2）< B(n-2）：右向きのとき、b <｛n，A(j)｝< c
　A(n-2）> B(n-2）：左向きのとき、a <｛n，A(j)｝< b
（j≦n-2）

このとき A(n-1）= b で、最後の区間nはつねに右向きになります。

・B(n-1）= a なら区間n-1 は左向き、区間nは右向き となります。向きが変わったので支配区間はありません。（頓死）

・B(n-1）= c または d なら区間n-1 〜 区間n で右向きが継続し、支配区間が（１つ以上）あります。
0697とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/21(日) 10:37:00.26ID:JR12JicI
［何しゃべってるかわからん！という方はまず下の論文のp.7,8をお読みください］
https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Ford/Joyce-Scheinerman881-889.pdf

>>695-696
そうですね。「右向き区間の連続」が必要十分です。
論文ではそのような書き方はされていないのでany kではちょっと悩みました。
まずここに気付けるかどうかが第一関門です。

十分性は明らかで必要性が問題ですね。
示すべきは「連続しなければ支配区間は高々k-1個となる」ことです。
これを証明できるかが第二関門です。

n-k番目から始めてn-k+a番目(0≦a≦k-1）で右向きの連続が途絶えたとすれば
[1] n-k+a 〜 n番目が支配区間となりうるのは高々k-1-a個
[2] 1 〜 n-k+a-1 番目は支配区間にならない
が成り立ちます。[1]と[2]の両方を、
■case1：左側と右側の点が同数の場合
■case2：左側よりも右側の方が2点多い場合
の2ケースで示せばOKということになります。
証明は論文の方法と同様なので"With slightly more care"なんでしょうね。
0698とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/21(日) 11:00:20.50ID:JR12JicI
>>697の出題は岩沢先生ですが補足にあるヒントの書き方は絶妙だなと思いました。
私のようなチキンはこの補足を読んですぐに「自力では無理」と悟りました（笑）
結果として論文を読んでもなお難しいと感じたので、ネット情報で武装したのは正解でした。
論文の方法を自力で編み出すのは私の能力の遥か遠方を飛び越えます。

>>677氏は自力で3通りの方法を試したようです。
結果が不正解だったにせよ3通りも編み出すのは凄いと思いますね。
>>677
> 1は3通りの方法で解いてみたが、互いに微妙に違う上に、正解とも異るという

３ヶ月後の解答編が楽しみです。
１）論文にあるエレガントな方法
２）論文にある積分の方法（この方針で解けるのか私は知りません）
２通り以上の解答を期待。
0699１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/22(月) 01:15:14.15ID:EFMpeTLH
>>697

逆に辿る方が簡単？
for any k＜n,
最後のk+1区間（n-k〜n）が右向き、区間n-k-1が左向きとすると
最後のk区間（n-k+1 〜 n）が支配区間で、初めのn-k区間（1〜n-k）は支配区間でない。
（区間n-k-1 と区間n-kは重ならない。）

>>687
区間j-1 と区間j が同じ向き　⇔　A(j)，B(j）が反対側
区間j-1 と区間j が逆向き　　⇔　A(j)，B(j）が同じ側
なので、
最後のk+1区間（n-k〜n）が同じ向き　⇔　最後のk区間（n-k+1 〜n）でA(j）とB(j）が反対側

（区間nが右向きということを使えば、まだ改良できるけど…）
0700とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/22(月) 22:35:35.85ID:+Yy6qakN
>>699
なるほど・・
「向きが左（右）へ変わったら、その左向き（右向き）区間と、そこまでに連続した右（左）区間たちはすべて支配区間でない」
これは直感的に理解できますね。これを押さえれば必要条件も見通しよく書けそうです。
n個の区間を　「向きが連続した区間列」の列　と捉え、最後の区間が左向きでないことに注意すれば、必要十分条件は容易に導けそうです。

難問が易問に変わりました。
それもこれもエレガントな手法のおかげです。
組み合わせ論おそるべし。
0701１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/24(水) 01:26:42.65ID:9ooAixL8
>700
支配区間がｋ個以上あるかどうかは、最後のk+1区間の向きで決まり、それより前の向きに依らない。
k+1区間のすべてが支配区間になる確率の問題に帰着するから、難しい計算を使わずに解ける。
これはｎに依らない。（解決）

それはそうと、今月の問題もナニだ・・･･
0702とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/26(金) 00:56:37.32ID:y7mLXSVj
>>701
> それはそうと、今月の問題もナニだ・・･･

そうですかナニですか・・
出題2の問題2で手が止まってます。
出題1は問題文だけは読みましたが、難しそうなので後回しに・・
0703１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/26(金) 03:31:06.37ID:dGgp4j0R
>>702

出題１は、n+3 を n で表わして、出てきた末項たちをまとめると、
末項 ｖｓ 総和、つまり「末項勝負」になる？

（1）の（1+x)^n はΣの隣項比から末項率が押さえられるか？
（2）の（1+x+xx)^n は準・末項がズラズラ…　一体どうするんでしょうね？

もちろん、当てにはなりませんが。
0704とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/28(日) 10:20:08.29ID:JN2hGa2G
>>703
> 末項 ｖｓ 総和、つまり「末項勝負」になる？

朝方に読んで吹き出しましたわ
0705とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/10(土) 10:57:54.92ID:puSUR9wA
2018年2月号の講評です。
今月は締め切りが9日でした。
問題の難易度が高く間に合わなかった方も多かったのでは。

■出題1：問題1はレベル6（常連正解率70〜80％）、問題2はレベル8（常連正解率20％）

徳重典英先生の出題。
n個の整数x_k∈{0,1}［{0,1,2}］の和がfloor(n/3)［floor(2n/3)］以下となる組み合わせの総数がc^n（c＜2）［d^n（d＜3］で押さえられるかを問う問題。
問題文はsimpleですが、simpleな問題は往々にして難しいという典型例。
良問ですが良く知られた有名問題の匂いがします。

上のレベルは正攻法で解いた場合です。
おそらくエレガントな解答が用意されています。
正攻法では知識と多少面倒な計算が必要です。
問題文には『根拠を示して答えよ』とあります。
これは裏を返せば『厳密でなくてもよい』という意味かもしれません。
正攻法で厳密な議論を展開するのはなかなか面倒です。

阿呆のコメントはひとまずこれくらいに。
ぬるぽさんか早解きさんか水戸黄門さんか、どなたかのコメントを待って議論したいと思います。


■出題2：問題1はレベル2〜3（高校生正解率80％）、問題2はレベル7〜8（常連正解率20〜30％）

丹下基生先生の出題。
凸多角形の隣接3点を使った等積変形（I-変形と名付けられている）で凸性を保ちながら正多角形にできるかを問う問題。
n角形（n≧4）では対角線を底辺とするI-変形のみが許される。
こちらも良問と言ってよいと思います。

ウォーミングアップ問題、問題1は瞬殺ですが、問題2の凸5角形のケースは簡単ではないです。
スジさえ通っていればマルがもらえるかもしれませんが、『どんな点配置でもこの変形が可能か？』を厳密に考えると結構大変です。
それを解答として記述するのもまた大変。


先月に続き、今月も本誌名物コーナー『エレガントな解答をもとむ』の醍醐味が存分に味わえる美味しい月でした。
2問とも良問なのはうれしいですね。
5chで愚問悪問排除運動を推し進めた成果が出始めているのかｗ
0707１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/13(火) 19:12:05.80ID:ZOqrSE8B
>>670

・nが奇数のとき

正n角形の任意の2頂点p,qに対して、それから等距離な頂点がちょうど１つある。
　↓
辺と対角線を長さごとに彩色すれば、題意を満たす。

美しく、かつエレガントな結果です。（なかなか出て来ない…）

・n≧8、偶数の場合

これも おkでしたね^^（清水氏）
0708１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/14(水) 17:03:04.49ID:/bHsoXtp
2018年3月号の講評です。
（えっ！まだ出たばかりぢゃ？）

といっても NOTE の、ですが。
（なーんだ）

■長岡京の公式

1+2+……+k = T_k
とおくと「図」から
k = T_k - T_{k-1},
kk = Ｔ_k + T_{k-1}
辺々掛けてたす。
Σ[k=1,n］ k^3 = Σ[k=1,n］（T_k - T_{k-1}）（T_k + T_{k
-1}）
= Σ[k=1,n］（(T_k)^2 -（T_{k-1})^2）
=（T_n)^2,　　　（← T_0=0）

なんともエレガント。
クスコ副将軍の墳墓は立方体を重ねた形にしてほしい、という程でござる。

■宇都宮の不等式

単調減少な正数列 x_1 > x_2 > …… > x_n > 0 について
Σ[j=1,n］（x_j)^x_{j-1｝＞ Σ[k=1,n］（x_j)^x_{j+1}
　ただし、x_0 = x_n，x_{n+1}= x_1 とする。

これも美しい不等式。
名著「不等式への招待」の著者も今や古希でござる。
0709とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/15(木) 00:42:18.78ID:83qwjldB
>>707
> ・n≧8、偶数の場合
>
> これも おkでしたね^^（清水氏）

そう簡単に思いつけないと思うんですけどね。
>>670で気付かれていたのはさすがの一言です。

解答編>>669で
> n＝４，５はとても易しい。問題なのはn＝６でかなり悩まされた。
> 長時間悩んだ結果めでたく解答の道筋が立ち、
> 論理を整理しつつB5用紙に解答を清書していったところ
> 出来上がった答案は当初書くはずだった結論の逆を証明していた、という珍しい体験をした（←アホ）

と書きましたが、まったく同じことを答案にコメントした人が居たみたいですね。
私のドッペルゲンガーかと。ビックリしました。
0710とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/15(木) 00:54:15.67ID:83qwjldB
>>709に補足。

本誌に『苦労の時間は至福のときだったのではないでしょうか？』とありますが、
さすがにこの苦労は至福とはいえなかったですね・・ｗ
方針がまったく定まらず、題意を満たすグラフがあるのかないのか分からず。
いよいよどうしようもなくなり非存在をシラミツブシで調べることにしたという経緯なわけで。
絵に描いたようなエレファントロードです。
オレは才能ないんだなーと悲しみを抱えつつ虱を潰してました。
そして最後には『グラフあるんかーい！』でずっこけて大団円というオチ。
0712とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/17(土) 16:02:19.94ID:qinAy9D+
>>711
> 今月は両方解けそうだ。エレガントかどうかは別として。

斥候ご苦労！

今月はゆったりできそうですね
0713１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/18(日) 03:25:45.94ID:e4NqLH6n
2月号　
■出題1
問題（1）
　x_1 + x_2 + …… + x_n = k　となる解（x_1，x_2，……，x_n）の個数はＣ[n，k］
求めるものは
　f_n = Σ(k=0，m）Ｃ(n，k)，　　　m =［n/3]
ところで、k < n/3 のとき
　Ｃ(n，k）=｛(k+1)/(n-k)}Ｃ(n，k+1）<（1/2)Ｃ(n，k+1)
　< … <（1/2)^(m-k）Ｃ(n，m).

　f_n = Σ(k=0，m）Ｃ(n，k)
　< Ｃ(n，m）（1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …）
　< Ｃ(n，m）* 2

〔補題〕
n≧2 のとき　Ｃ(n，m）≦（4/9)c^n,
ただし、c = 3/4^(1/3）= 1.889881575

(略証)
　Ｃ(2，0）= 1 < 4^(1/3）=（4/9)c^2,
　Ｃ(3，1）= 3 =（4/9)c^3,
　Ｃ(4，1）= 4 < 9/4^(1/3）=（4/9)c^4,
これと
　Ｃ(n+3，m+1）=｛(n+3)(n+2)(n+1)/[(m+1)(n-m+2)(n-m+1)]}Ｃ(n,m)
　<（27/4)Ｃ(n,m)
から出る。(終)

∴　f_n < c^n,
0714とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/18(日) 10:45:54.76ID:2pXRmNxD
>>713
> Ｃ(n+3，m+1）　=　｛(n+3)(n+2)(n+1)/[(m+1)(n-m+2)(n-m+1)]}Ｃ(n,m)　<　（27/4)Ｃ(n,m)

この漸化式で帰納法ですか。
さらっと書いてますけど思い付かんでしょうねフツーはｗ

微妙な差はありますが、
f_n＜A x Ｃ(n，m）＜B x c^n
というステップを踏むところは私と同じです
やはりこれが本筋ですね
0715１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/20(火) 21:22:33.93ID:Sc+VCWMp
2番って漸化式からすぐに言えるんとちゃんのん？
0717１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/21(水) 13:14:32.53ID:05r7aMQa
>>715
「その他、漸化式から証明した人が多数いました」の「多数」の一員でよければどうぞ。
0719１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/21(水) 19:17:37.53ID:05r7aMQa
3月号の問2のことだろ。
東大の入試問題としても丁度よさそうなレベル。
漸化式を使って解くのが普通だし、それなら20分もあればちゃんと完答できる。
その回答で満足できるのならそれでいい。ケチをつける気はないよ。
0720１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/22(木) 13:17:42.88ID:e0oVX/cg
東大舐めすぎ
0722１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/25(日) 06:21:12.27ID:gGaVEUAO
解くべき問題が無くなって暇な人に…

〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式
　F（x）= a_0･x^n + a_1･x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝･x + a_n,
について
・a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0　ならば
　F（x）= 0 の解の絶対値は１より小さい。
・0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n　ならば
　F（x）= 0 の解の絶対値は１より大きい。
0723１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/27(火) 03:14:44.71ID:M/Cc1/YM
(1)
n次方程式 F(x）= 0 の根｛r_k｝がすべて実数のとき、
　F(x）が極値・停留値をとる点b｛F '(x）= 0 の実数解｝は次をみたす。
　r_min ≦ b ≦ r_max

(2)
n次多項式 F(x）が停留値をとる点β｛F '(x）= 0 の解｝は、
　F(x）= 0 のすべての根を含む凸領域内にある。

例）　すべて単根｛α_k｝のときは
　β = Σ[k=1,n］ｔ_k α_k
　重み　t_k = |β-α_k|＾(-2)／{Σ[ｊ=1,n］｜β-α_ｊ|＾(-2)}
0724１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/01(木) 16:28:38.74ID:utcJHdiE
f(x) が下に凸であるとは、a≠b、0<λ<1 に対して
　(1-λ)f(a) + λf(b) ＞ f((1-λ)a+λb)
が成り立つこととする。

〔補題〕
f(x）が 0≦x≦1 で下に凸ならば

1）　（1/n）Σ[k=1，n］f(k/(n+1)）＞｛1/(n-1)｝Σ[k=1，n-1］f(k/n),

2）　｛1/(n+1)｝Σ[k=0，n］f(k/n）＞｛1/(n+2)｝Σ[k=0，n+1］f(k/(n+1)),
0725１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/02(金) 05:10:33.95ID:IyAEI4K5
f(x) が下に凸であるとは、a≠b、0<λ<1 に対して
　(1-λ)f(a) + λf(b) ＞ f((1-λ)a+λb)
が成り立つこととする。

〔Popoviciuの不等式〕
f(x) が下に凸ならば、 (a+b+c)/3 = m に対して、
f(a) + f(b) + f(c) + 3f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f((a+c)/2) + 2f((b+c)/2),

佐藤淳郎（訳）「美しい不等式の世界」 朝倉書店(2013) p.41 演習問題1.89
0726とあるエレ解常連
垢版 |
2018/03/03(土) 00:03:14.63ID:qWbxhH7e
みなさんが簡単だの受験レベルだの言うので全く手をつけてません
一身上の都合により明日1日で終わらせないといけません
これで簡単でなかったら激オコですよ
0727１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/03(土) 05:56:22.65ID:hUH2ieOC
>>669-672

2017年12月号　■出題2

n=6 の解答を残しておく。

A1-A2-A3-A1
A1-B1
A2-B2
A3-B3
以上を色1で
B2-A1-B3-B1　　色2
B3-A2-B1-B2　　色3
B1-A3-B2-B3　　色4

3回（120ﾟ）対称らしい
0729とあるエレ解常連
垢版 |
2018/03/04(日) 02:58:14.77ID:FuxS60Ot
>>726
> 一身上の都合により明日1日で終わらせないといけません
> これで簡単でなかったら激オコですよ

激オコしかけましたがなんとか大丈夫でした（笑

よい週末を。
0730とあるエレ解常連
垢版 |
2018/03/10(土) 09:51:13.14ID:L1Ot5zPy
>>683
> ■出題１：レベル6〜7（常連正解率50〜70％）
> ［ノーヒントならレベル9〜10（常連正解率0〜10％）］
>
> 2n個の点からランダムにn個の区間を選ぶとき、
> すべての区間と交わる『支配区間』がk個以上できる確率を問う問題。
>
>
> ■出題２：レベル7〜8（常連正解率20〜40％）
> ［ノーヒントならレベル9〜10（常連正解率0〜5％）］
>
> 『強正則グラフ』

2問ともノーヒントでレベル9〜10という超難問だった1月号の解答がもうすぐ来ます。
待ち遠しいですね。果たして何人解けているのか。
特に出題２をノーヒントで解くのは、とあるエレ解常連レベルでは3ヶ月時間をもらっても無理です。
両問ともヒントを使ったかどうかは解き方を見ればすぐに分かります。
ヒントなしで解いた人間がいたら本スレで崇め奉りたいと思ってます。
0731１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/10(土) 22:06:03.45ID:z9TqCAdc
大数3月号の宿題はどうですか
0732１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/11(日) 01:18:05.30ID:WtEF6UI/
>>722
〔掛谷の定理〕
　不等式スレ９.453 459 465

>>724
　不等式スレ９.463

>>725
　〔Popoviciuの不等式〕

(i) a, b ≦ m ≦ c のとき
　f(m) + f((m+c)/2) ≧ f((a+c)/2) + f((b+c)/2),
(ii) a ≦ m ≦ b，c のとき
　f((a+m)/2) + f(m) ≧ f((a+b)/2) + f((a+c)/2),
は次から出る。

〔補題471〕
f(x) は m，nを含む区間で下に凸
m+d，n-d が m と n の中間にあるとき
　f(m) + f(n) ＞ f(m+d) + f(n-d)

　不等式スレ９.465 471

>>729
激オコしなかったんですか^^
0733とあるエレ解常連
垢版 |
2018/03/14(水) 00:23:42.30ID:sLl67O8h
4月号の出題1は一松先生、またの名を「エレガントな解答をもとむコーナーの生ける伝説」です。
ぱっと見、難易度がぜんぜん掴めません。
不等式スレの住人に斥候を頼みたいところです。

出題2は岡本吉央先生。
いつも通りエレガントな問題。安心安定のハイクオリティ。
たぶん相当な難問です。（１）、（２）、（３）までありますよ。気合入れないといかんです。
早めに取り掛かるのが吉。私のように組み合わせ論が苦手な人はなおさらです。

組み合わせ論も不等式も苦手な私は今月覚悟して取り組みます
0734１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/14(水) 05:33:58.00ID:ovqCjVLT
2は気づけばなーんだという問題。(3)まで含めてB5の半分程度で行けるかな。
でも良問だと思う。
0735とあるエレ解常連
垢版 |
2018/03/14(水) 23:20:12.94ID:sLl67O8h
>>734
は、早い・・・もう見通したんですか。
心強いお言葉ですねぇ

出題1もよろしくです。
コメントを聞いてから春旅行のスケジュールを立てますｗ
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