【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】 [無断転載禁止]©2ch.net

[0001 １３２人目の素数さん 2016/10/17(月) 20:05:12.65 ID:wKo94p2r]

過去スレ：
【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/

[0516 １３２人目の素数さん 2017/07/28(金) 10:42:51.20 ID:j+jikqys]

>>259

2次元平面に　青い点m個と赤い点n個があるとき、
m=n ならば
Σ（同色の2点の距離） ≦ Σ（異色の2点の距離）

これは｜m-n｜= 1 のときも成り立つんでせうか？

（1，2）は△不等式

（2，3）は Kurschak-1981
10th JMO-2000、本選 第3問
不等式スレの［初代スレ.811(2)，827，870]

（m，n）が大きいときは…

[0517 １３２人目の素数さん 2017/07/30(日) 01:07:56.28 ID:jxqKlyAk]

>>516

(1) W氏の解
　xよりも左側にある青点の数を B(x)、赤点の数を R(x) とおく。
　S, Dのうち、点xを通る線分の本数を S(x), D(x）とおく。
　S(x) = B(x){m-B(x)} + R(x){n-R(x)},
　D(x) = B(x){n-R(x)} + R(x){m-B(x)},
∴　S(x) - D(x) = -{B(x)-R(x)}{B(x)-R(x)+n-m} ≦ 0,　(← |m-n|≦1)
これを -∞ < x < ∞ で積分すると
　S - D ≦ 0,

[0518 １３２人目の素数さん 2017/07/30(日) 01:14:10.12 ID:jxqKlyAk]

>>516

(2) 出題者解
　青点、赤点の数を (n+1,n) とする。
　m=nのときは端から順に見ていくのだが、ここでは両端から探す。
　青点のうちで最小・最大のものを b_n, b_(n+1) とする。
　b_n ≦ x ≦ b_(n+1) ⇒　d(b_n, x) + d(b_(n+1), x) = d(b_n, b_(n+1)) = d_o,
　それ以外　⇒　d(b_n, x) + d(b_(n+1), x) > d(b_n, b_(n+1)) = d_o,
　b_n, b_(n+1) を追加した際の S, D の増加分�儡, �僖 は
　�儡 = d(b_n, b_(n+1)) + Σ[i=1,n-1] {d(b_i, b_n) + d(b_i, b_(n+1))}
　= d_o + Σ[i=1,n-1] d_o = n d_o,
　�僖 = Σ[j=1,n] {d(b_n, r_j）+ d(b_(n+1), r_j)｝
　≧ Σ[j=1,n] d_o = n d_o,
　�儡 - �僖 ≦ 0,
　帰納法の仮定より、b_n と b_(n+1) を除去した（n-1,n）の場合には成立つ。
　∴ S - D ≦ 0.