0010現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2016/07/15(金) 21:55:47.76ID:A9zfkBNj>>618 つづき
１．>>27の山田光太郎先生 ”例10.6. 自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合(演習問題10-1)．”も含めて、統一的な説明を与えよう
２．極限と収束の観点から、山田光太郎先生のUn = (-1/n, 1/n) (開区間) の例は、”単に、Un = (-1/n, 1/n) (開区間)という包含関係（Un ⊃Un+1 ）を持つ開集合族が、n→∞で Un = {0}に収束するという数学的事実を示したに他ならない">>27
３．同様に、上記室田一雄先生の例は、n→∞の極限で閉区間Fn = [1/n, 1] の和集合は(0, 1] に収束するという数学的事実を示したに他ならない
但し、1/n→0で、0は閉区間Fn = [1/n, 1] の和集合に含まれないから、半開区間になるのだ。それは、数学的帰納法の責任ではない
４．上記例２と例３も同じ。例２は”極限a = 0 は集合G に含まれない”から、閉集合にならないが、半開区間になるのだ。それは、数学的帰納法の責任ではない。例３も上記の説明通り。
５．上記の例を、数学的帰納法の役割という観点で見ると、いずれもn-1までの結果と、nの要素との共通部分を取るなり、集合の合併を作るなりをしている。
つまりは、極限と収束については、数学的帰納法の責任外なのだ
６．さらに砕けた言い方をすれば、この各例で、「n-1の結果と、n番目の要素とのある演算をして下さい」と数学的帰納法に指示しているのは依頼側
そして、数学的帰納法は、依頼された仕事を忠実に行うところまでの責任はあるが、その結果、極限と収束がどうなるかは、依頼側の指示次第
７．だから、極限と収束の結果が、閉集合になったり開集合になったりしても、それをもって、「数学的帰納法は不完全であると言える」という主張は不成立
８．この観点で、>>27-29を見直すと、>>27はそのままで良いだろう。>>28は、最後の１０項を取り消します（削除）。>>29も修正するのが面倒なので全体を取り消します（削除）。
８．あとは、疑問があるなら、位相を講義する先生方に質問してください。「先生これ数学的帰納法の反例ですね」と。（もし、Yesと回答する先生が居たら、報告お願いします。）
