レモワーヌの予想の証明を書きます。

レモワーヌの予想
全ての大きな奇数 (n > 5) は1つの素数と1つの素数の2倍の和である

p,qを素数とする。
n=p+2q

mを整数とし
2<=m<=n-1
を満たすものとする。

a,bを整数とし
2q≡a (mod m), a>0
n≡b (mod m)
とする。
b=0の場合には、p+2q≡0 (mod m)となるから
p?0 (mod m)となる。

b>0の場合には
p+2q≡b (mod m)
となるから
p≡b-a (mod m)
となることが必要となる。

n>5のときには、nより小さい素数は2個以上存在する。
rを整数として
p≡r (mod m)
を考える。
mがm>5のとき、それより小さい素数を2個以上持つので
rは2個以上の値を持つ。
3≡2 (mod 5)
5≡0 (mod 5)
m=4の場合は
3≡3 (mod 4)
5≡1 (mod 4)
m=3の場合は
3≡0 (mod 3)
5≡2 (mod 3)
となるので、m>2を満たす全てのmに対して、rは2個以上となる。
n>5のnに対し、b=0の場合はp?0 (mod p)となり
b>0のとき、m=2の場合は、p≡b?0 (mod m)であり、m>2の場合は
全てのmに対して、それぞれのrをb≠aを満たすように選択すること
により、p≡b-a?0となり、pを素数にすることができる。
以上により、命題は示された。