ゴールドバッハ予想の証明を書きます。

nを2以上の整数とするとき
2n=p+q
となる素数p,qが存在する

nが素数の場合には、p=q=nで成立する。
n=2の場合、p=q=2。
nが3以上の場合には、p=2とするとq=2(n-1)となり
qが合成数となるから、pは3以上の素数となる。
p<n<qとしても一般性を失わない。

kを整数として
1<=k<=n-3
を満たすとする。

a,bを整数として
n-k≡a (mod m), a>0
n+k≡b (mod m)
とすると
a+b≡2n (mod m)

m=2のとき
2n≡0 (mod 2)で、b>0となる
m>2のとき
a?2n (mod m)のとき、b>0となる。

それより小さい素数が2個以上となるn>5の場合に
rを整数、0<=r<mとして
p≡r (mod m)
を考える。
mがm>5のとき、それより小さい素数を2個以上持つので
rは2個以上の値を持つ。
m=5の場合は
3≡2 (mod 5)
5≡0 (mod 5)
m=4の場合は
3≡3 (mod 4)
5≡1 (mod 4)
m=3の場合は
3≡0 (mod 3)
5≡2 (mod 3)
となるので、m>2を満たすmに対して、rの値は2個以上となる。
n>5のnに対し、それぞれのmをa?2n (mod m)を満たすように
選択することにより、m+kを素数とすることができる。
2<=n<=5は
(n,p,q)=(2,2,2),(3,3,3),(4,3,5),(5,3,7),(5,5,5)
となるので、命題は示された。