>>64
ルジャンドル予想の証明は間違えていた。再三で申し訳ないがまた直してみました。
以下にルジャンドル予想の証明を書きます。

x=1,2のとき、(x,p)=(1,2),(1,3),(2,5),(2,7)となり素数pが存在する。

整数nが以下の式を満たすとする
x^2<n<(x+1)^2…①
x>2のとき、整数nは整数x+1で割り切れない。
kを整数とし
1<=k<=x-1
を満たすとすると
n=x^2+x+k
a,bを2以上の整数とすると、①の範囲でnが合成数であるとすれば
n=ab

xが偶数のとき、cを整数とし
0<=c<=(x-2)/2
を満たすとする
k=2c+1のとき
n=x^2+x+2c+1≡1 (mod 2)だから
n=ab≡1 (mod 2)で、a>=2,b>=2であるから、ab>=9
x^2+x+2c+1>=9 ∴c<=(-x^2-x+8)/2
以下の不等式が成立するとき、c=(x-2)/2とならない。
-x^2-x+8<x-2 ∴x>-1+√11=2.3166…
4以上の偶数xに対して、x^2+x<n<x^2+2xを満たすnは全て合成数とならない。

xが奇数のとき、dを整数とし
0<=d<=(x-3)/2
を満たすとする
k=2d+1のとき
n=x^2+x+2d+1≡1 (mod 2)だから
n=ab≡1 (mod 2)で、a>=2,b>=2であるから、ab>=9
x^2+x+2d+1>=9 ∴d<=(-x^2-x+8)/2
以下の不等式が成立するとき、c=(x-3)/2とならない。
-x^2-x+8<x-3 ∴x>-1+2√3=2.4641…
3以上の奇数xに対して、x^2+x<n<x^2+2x-1を満たすnは全て合成数とならない。

以上から、全てのxに対してx^2+x<n<(x+1)^2を満たすnに少なくとも
1個以上の素数が存在する。