ルジャンドル予想を証明したかもしれない [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2016/06/28(火) 22:23:11.95

ルジャンドル予想
任意の自然数xについて
x^2<p<(x+1)^2となる素数pが必ず存在する

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/08(金) 22:08:01.19

スレが立てられないのでゴールドバッハ予想の証明をここに書くことにしました。

ゴールドバッハ予想
全ての2よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる。

mを2以上の整数とするとき
2m=p+q
となる素数p,qが存在する

mが素数の場合には、p=q=mで成立する。
m=2の場合、p=q=2。
p<qとしても一般性を失わない。
mが3以上の場合には、p=2とするとq=2(m-1)となり
qが合成数となるから、pは3以上の素数となる。

kを整数として
1<=k<=m-3…①
を満たすとする。

a,b,x,yを2以上の整数として、①を満たす全てのkに
ついて、m+kとm-kのどちらかまたは、両方が合成数
であるならば以下の式が成立する。

m+k=ax
m-k=by
k=(ax-by)/2…②
by>=4であり、m-k=3の場合には成立しない。

m+k=ax
m-k=y
k=(ax-y)/2…③

m+k=x
m-k=by
k=(x-by)/2…④
by>=4であり、m-k=3の場合には成立しない。

以上から③の場合を検討する。
cを2<=c<=m-k-1を満たす整数とすると
m-k≡d (mod c) d>0
が成立する。
m=ax-kだから
m-k=ax-2k
m-k≡ax≡1 (mod 2)
a,xは2以上の整数だから
a>=3,x>=3、ax>=9となる。
k=-m+ax>=-m+9…⑤
①と⑤を満たすkが存在するためには
-m+9<=m-3 ∴m>=6
このとき、3<=m<6のmに対してkは存在せず、m>=6のとき
k=-m+9>=3となり、k=1,2が成立しない。

以上から、②,③,④の場合に、偶数は合成数を含む二つの
整数の和のみで表すことができない。よって命題は示された。

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/08(金) 22:36:34.69

m=6、7の場合にしかkが存在しない場合がなかった．．．