ルジャンドル予想を証明したかもしれない [無断転載禁止]©2ch.net

[0001 １３２人目の素数さん 2016/06/28(火) 22:23:11.95 ID:A43nIS8m]

ルジャンドル予想
任意の自然数xについて
x^2<p<(x+1)^2となる素数pが必ず存在する

[0002 １３２人目の素数さん 2016/06/28(火) 22:24:19.53 ID:A43nIS8m]

x=1,2のとき、(x,p)=(1,2),(1,3),(2,5),(2,7)となり素数pが存在する。

nを以下を満たす整数とすると
x^2<n<x(x+1)
x>2のとき、nはxで割り切れない。
2<=q<xとなる素数q、m>1の整数mによって、n=mqと表されるとすると
x^2<mq<x^2+x…�@

a,bを0<=b<mを満たす整数として、x=am+bと表されるとすると

a^2*m^2+2abm+b^2<mq<a^2*m^2+2abm+b^2+am+b
a^2*m+2ab+b^2/m<q<a^2*m+2ab+b(b+1)/m+a
この式が成立するためには、整数rを
r=q-(a^2*m+2ab)…�A
として
b^2/m<r<b(b+1)/m+a…�B
を満たす整数rが存在することが必要である。

x<mのとき、a=0で、x=b
2m<=mq<mx x^2<mq<x^2+x
上式が同時に成り立つためには
m<x/m(x+1)<x+1
x<mであるから、これを満たすmは存在しない。

(続く)

[0003 １３２人目の素数さん 2016/06/28(火) 22:24:39.67 ID:A43nIS8m]

a>0のとき、kを0<=k<=m-1を満たす整数とし、b=m-kとすると
(m-k)^2/m<r<(m-k)(m-k+1)/m+a

m=(x-b)/aであるからmの値の範囲はx^2<m<=x-b=am…�C
だからrは
m-2k+k^2/m<r<m-2k+k^2/m+1-k/m+a
x^2-2k+k^2/x^2<r<x-b-2k+k^2/(am)+1-k/(am)+a

上式を満たすrの個数の最大値をR(x,m)とすると
R(x,m)=x-b-2k+k^2/(am)+1-k/(am)+a-(x^2-2k+k^2/x^2)+1
=x-b+k(k-1)/(am)+a-(x^2/2+k^2/x^2)+2

x^2+1<=n<=x^2+x-1…�D
の範囲には整数がx個存在するから、素数の数をN(x,m)とすると
N(x,m)=x-R(x,m)-(b^2-b-2)/2
=b-k(k-1)/(am)-a+x^2/2+k^2/x^2-2-(b^2-b-2)/2
=-k^2(1/am-1/x^2)+k/(am)+x^2/2-a+b-2-(b^2-b-2)/2

N(x,m)が最小となるのは、N(x,m)がkの2次式でその2次の項の係数が負であり
頂点がk=1/(2(1-am/x^2))<1/2であるからk=m-1、b=1のときに最小となる。
�Bから、1/m<r<2/m+a
m=2のとき、1<r<1+aとなり、rはa-1個存在する
m>2のとき、1<r<=1+aとなり、rはa個存在する


mは�Cの範囲をとるので
x^2+1<=m<=x-1、mの取り得る個数は、-x^2+x-1となり
この範囲でのrの取り得る個数の最大値は、a(-x^2+x-1)
よって、�Dの範囲でpの取り得る値の個数の最小値P(x)は
P(x)=x-a(-x^2+x-1)=x(a(x-1)+1)+a>0

したがって、x^2+1<=n<=x^2+x-1の範囲に、少なくとも1個以上の素数が存在する。

[0004 １３２人目の素数さん 2016/06/28(火) 22:27:03.59 ID:A43nIS8m]

>>3
�Dの部分を訂正します。

x^2+1<=n<=x^2+x-1…�D
の範囲には整数がx個存在するから、素数の数をN(x,m)とすると
N(x,m)=x-R(x,m)
=b-k(k-1)/(am)-a+x^2/2+k^2/x^2-2
=-k^2(1/am-1/x^2)+k/(am)+x^2/2-a+b-2