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一つの整数を二つの平方数の差で表す方法 [無断転載禁止]©2ch.net

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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/19(木) 03:02:02.95ID:9egsCnHM
俺知ってる。
お前知らないだろ。

知ってるから715を例にあげると全部で4つある。

358^2-357^2
34^2-21^2
74^2-69^2
38^2-27^2
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/23(月) 21:03:43.42ID:u5lIpjNF
>>80
読みました。
ちょっと精神が滅入ってるので返事は控えます。
とりあえず、
(n+1)-n^3=3n(n+1)+1
又は
(n+m)^3-n^3=3nm(n+m)+m^3
の、式を使って解いていこうと考えてます。

方針は決めてるんですが、体力があまり無いので
一日一日に小分けして勉強するので、報告が遅れます。すみません。
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/23(月) 22:15:29.92ID:Rr6n9p83
>>81
無理をせず、自分のペースで勉強を進めたらよい。
報告が遅れるのはかまわない。
00841です
垢版 |
2016/05/23(月) 22:50:13.61ID:joKNJRPe
1の差の立方数の場合

(n+1)^3-n^3より
ある自然数zが1の差の立法数の差で表すには
その自然数zから1を引いて3で割った数が((z-1)/3)
が1の差の2つの自然数の掛け算で表せれるなら((z-1)/3)/(n(n+1))

二つの立方数の差
(n+1)^3-n^3=z
となり、1つの自然数zを二つの立方数の差で表せれる事になる。

と言うところまで解けました。

例えば2977なら
(2977-1)/3=992
992/n(n+1)=0
n=31
32^3-31^3=2977
と解けます。

まだ差が1の範囲で楽な計算になるだろうけども
992/n(n+1)=0となるnの計算が
少し手間がかかる気がします。
今後、ここの計算が楽になる何らかの方法を見つけなければならないと感じています。
00851です
垢版 |
2016/05/23(月) 22:52:57.19ID:joKNJRPe
>>81
>>83
>>78
>>79
これも自分です。
問題提起した人は最初の提起依頼まだ現れていないです。
00861です
垢版 |
2016/05/24(火) 04:20:54.19ID:TlAfaMBP
nを計算する時
992/n(n+1)=0より
(992/n)=n+1の式の方が
整数nで割った数が整数(n+1)じゃないといけないことが解るから良いかな。
ここでnは992を整数で割り切る数でなければならないことから
nは992の約数でなければならないと言えないか。
00871です
垢版 |
2016/05/24(火) 04:26:47.86ID:TlAfaMBP
と言うことは高々、約数を把握すれば立方数の差の数がみえてくると言えるかもしれない。
00881です
垢版 |
2016/05/24(火) 05:26:00.75ID:TlAfaMBP
>>86
間違えた。
何かおかしいと思ったらこれだ
×992/n(n+1)=0
○992/n(n+1)=1だった。
00891です
垢版 |
2016/05/24(火) 06:32:08.17ID:LQmDhezr
992/n(n+1)=1より
n+1も992の約数でなければならない。
と言える。
あれ992/n=n+1の形にしなくても
nもn+1も992/n(n+1)=1の式から
992の約数でなければならないことが言えるか...
とりあえず、nもn+1も992の約数でなければならい事だけは確かか...
00901です
垢版 |
2016/05/24(火) 06:38:10.53ID:LQmDhezr
なら、手前の計算の時点で3nもn+1も2977-1の約数でなければならないと言えるか。
00911です
垢版 |
2016/05/24(火) 06:40:28.76ID:LQmDhezr
ならこうもいえるか。

1引いて3の倍数でない数は立方数の差の解を持たない。

と。
00921です
垢版 |
2016/05/24(火) 06:46:01.31ID:LQmDhezr
>>91
いや、違うな。
この主張は間違ってるわ。
00931です
垢版 |
2016/05/24(火) 07:00:08.96ID:LQmDhezr
とりあえず、確定していることは
例えば2977を例にあげると
(2977-m^3)にたいして3nmと(n+m) は必ず双方約数でなければ
もし、それが一つの組合わせもないならば2977は立方数の差で表せないと言える。

あれ、(2977-m^3)を3nmで表せれるならばn+mは(2977-m^3)の約数になる
と言えるかも。
00941です
垢版 |
2016/05/24(火) 07:13:11.38ID:LQmDhezr
ちょっと休も
法則が見つかってきて面白くなってきたけど色々と誤解が絡んでる可能性もあることを言ってるかもしれない。
00951です
垢版 |
2016/05/24(火) 07:33:51.98ID:LQmDhezr
>>93
二つ目の主張は間違ってる。
00961です
垢版 |
2016/05/24(火) 07:44:41.75ID:LQmDhezr
>>93
(2977-m^3)=3nm(n+m)
3nmもn+mも(2977-m^3)の約数でなければならない上で以上の式が成り立つnとmの組ならば
(n+m)^3-n^3=2977となる。

纏めるとこうなる。とりあえず、確定していることはこれだけ。
00971です
垢版 |
2016/05/24(火) 08:36:56.46ID:LQmDhezr
変なこと言い過ぎた。
休む。
次、起きたら洗いざらい言ったことを電卓使って検算してみるとする。
00981です
垢版 |
2016/05/24(火) 08:55:41.61ID:FV01VbrI
3,n,m何れも約数でなければならない。
かもしれん。
てことはとりあえず、m^3引いて3の倍数でない数は立方数の差の値にはならない事がいえる。
又mが大きくになるにつれてmが約数である確率は下がっていく。
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/24(火) 08:59:10.08ID:fXYyoo2s
ax^2+bx^2=n
全部自然数a,bは定数でnを表せないかな？
可能なら3乗差も行けると思う
01011です
垢版 |
2016/05/24(火) 17:00:58.38ID:AmQrnBQi
3,n,m,n+mの四つが必ず使われなければならない約数になるならば
m^3引いて約数の3つ以下の数は立方数の差の値を取らないと言える。
01021です
垢版 |
2016/05/24(火) 17:04:49.16ID:AmQrnBQi
>>101
いや1も、ありだからこの主張は駄目か。
どの自然数にも無限個の1の約数が含めえるから駄目だ。
01031です
垢版 |
2016/05/24(火) 19:13:12.57ID:bdeN7j+a
これだけは言えるな。

ある自然数zはm^3（任意の立方数）引いて3の倍数になる組合わせがないならば立方数の差で表せない。
01051です
垢版 |
2016/05/25(水) 21:02:15.07ID:TmuNUYGP
>>104
良いですよ。お願いします。
01061です
垢版 |
2016/05/28(土) 05:51:55.43ID:8DgJGJyx
>>80
行き詰まったからこれ復習します。
0108１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/29(日) 00:11:23.25ID:CBzDBcRn
>>105
それは｢文字式の利用｣を学習するということかな？

そうだったらそれがよい｡
基礎を固めていくことが一番の近道だ。
今考えている問題を簡単に解ける日がすぐにやってくる。

今取り組んでいる問題と、それに対する自分の証明を書いてくれたらアドバイスできる。
01091です
垢版 |
2016/05/29(日) 00:43:08.32ID:oFeT6biL
>>108
アンカ間違ってるけど、そうです。
頑張ります。
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/02(木) 09:51:08.48ID:2zn+4b1e
宇宙人側からの申し入れは、とにかく核の利用と戦争をやめなさい、もう一つは宇宙人の存在を公表しなさい。
ロシアという大国の首相がね、あれは冗談だよでは済まないですね、しかも２回も言ってるんだからね。
https://www.youtube.com/watch?v=FIRXKetUkq8

竹下雅敏
「どうも日本人のレベルの低さというのは、ドイツはUFOテクノロジーを完成させていたのに、日本は戦艦大和で喜んでいたという感じなのです。」

世界演説は英国ＢＢＣが放送

マイト★レーヤが世界に向かって話をする準備は良好に進行しています。この時、初めての本当の身分を明らかにされます。
25分か35分くらいかもしれませんが、歴史上で初めて、世界的規模のテレパシーによる接触が起こるのです。
14歳以上のすべての人々はマイト★レーヤの言葉を彼らのマインドの中で、自国語で聞くでしょう。
https://www.youtube.com/watch?v=6cOvo6n7NOk



　　　　　　　　　【スーパーサヨク覚醒】　　　　　マイト★レーヤ出現　　　　　【ゲスウヨ、貢米ポチ、理研は命乞いしろ】



デフレ脱却ならず、アベノミクス失敗の誤魔化し方は惨めとしか言いようがない。
http://www.chokugen.com/opinion/backnumber/h28/jiji160531_1078.html

日本から始まる世界的株式市場の大暴落

日本がアメリカ国債の25％を引き出すと世界経済が破綻し、マイト★レーヤは出現するでしょう。彼は「匿名」で働いております。
非常に間もなくマイト★レーヤを、テレビで見るでしょう。マイト★レーヤは毎日テレビに現れ、質問に答えるでしょう。
彼は日本人ではありませんが、日本語で話すでしょう。彼は、非常に物静かなやり方で話します。
彼の最初の控えめな態度に混乱してはなりません。マイト★レーヤが公に現れるにつれて、UFOが姿を表すでしょう。
0112￥ ◆2VB8wsVUoo
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2016/06/02(木) 10:06:31.48ID:SPWiTkRI
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
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2016/06/02(木) 10:06:50.00ID:SPWiTkRI
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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2016/06/02(木) 10:08:14.32ID:SPWiTkRI
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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2016/06/02(木) 10:09:07.18ID:SPWiTkRI
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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2016/06/02(木) 10:09:27.17ID:SPWiTkRI
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
0122１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/02(木) 11:42:40.82ID:AKCTt5ua
このスレで1000レスに達するまでにフェルマーの最終定理が解けたら胸熱だなあ・・
0123￥ ◆2VB8wsVUoo
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2016/06/02(木) 11:47:09.08ID:SPWiTkRI
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
0124１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/11(土) 23:48:19.11ID:At/Y0rC4
逆数和考えてたら普通に出来た
1/a + 1/b = 1/c
abcが自然数で考えると
a=2(x^2+xy)
b=2(x^2-xy)
c=x^2-y^2
0125１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/11(土) 23:55:50.39ID:At/Y0rC4
x+y=A
x-y=B
とかおくと
a=A(A+B)
b=B(A+B)
c=AB
でより簡潔になることを書いた後に気づいた

ところで1さんの状況ってどうなってますか？
01261です
垢版 |
2016/06/12(日) 04:16:26.10ID:Q4d4R+mc
現状は
n^2-m^2=(n+m)(n-m)=2m(n-m)+(n-m)^2=(n+m)^2-2m(n+m)って言う式の関係について調べてた。

作図的に違う表し方になる式が同じ数になる事に不思議に思ってた。
に加えてn^2-m^2が以上の三つの式に分解できる（纏めると三つは同じ式になるが）過程を調べてた。
分かりやすくいうと因数分解する為にはどうすれば良いのかを探っていた。
n^2-m^2を作図すれば直感的に(n+m)(n-m)を得られる訳だが
これを理屈っぽく変形するにはどうしたらいいのかを探ってる最中。
01271です
垢版 |
2016/06/12(日) 04:51:33.27ID:Q4d4R+mc
けど、ちょっとゲームにはまってしまって...勉強してませんでした。
人生の休暇だと言い訳にゲームしてます。
すみません。
ゲームに飽きたらまた勉強します。
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/14(火) 01:54:05.99ID:7hqdnnLW
>>126ｰ127
１日３０分でいいので勉強を毎日続けましょう。
それだけ数学が好きなら苦はなく続けられると思います。

それと｢文字式の利用｣の学習はやってみたかな？
例えば、偶数と奇数を足すと奇数になる ことの証明を書けるかな？書けるならここに書いてみてほしい。
01291です
垢版 |
2016/06/14(火) 19:09:17.32ID:FPqA+Fc5
>>128
はい。

文字式の利用って具体的になにやれば良いのかわからかったんですけど
そういうことなんですか。
すみません証明かけないです。
>>126みたいなのも文字式の利用だと思ってました...
0130１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/14(火) 22:11:25.35ID:7hqdnnLW
>>129

すまないが>>126を読む限りでは、まだまだ1さんは問題演習と理解が足りない。

ただ、数字や文字式に対するその興味や疑問については他の普通の人にはない素晴らしいものがある。その疑問を自ら解決し、興味を膨らませるためにぜひとも基本を身に付けてほしい。

手元に中学２年の数学の教科書と問題集はあるかな？
01311です
垢版 |
2016/06/14(火) 22:40:19.73ID:FPqA+Fc5
>>130
はい。

基礎...
探したらありました。
基礎は身に付けたいけど読むことがあまり好きじゃないので
気が向いたら読んでみようと思います。
01321です
垢版 |
2016/06/14(火) 22:45:38.00ID:FPqA+Fc5
ゲームも飽きたし、また明日から勉強に取り組もうかな...
0133１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/16(木) 02:41:58.17ID:5ULKdpCp
>>131

教科書と問題集があるのなら話は早い

教科書の例題と解説をよく読み、内容を考えながら証明を何度も写してみよう。教科書を見ずに証明を書けるようになったら、練習問題を解いて、答え合わせをしていこう。解説があれば解説も読もう。

これをこつこつ続けると理解が深まっていく。わからない所にぶつかったら遠慮なく質問してほしい。
0134１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/17(金) 20:39:07.41ID:C1Z8qrSJ
大学ノート5冊、鉛筆3本、消しゴム1個、定規1枚
これらを1日で使い切る位だといいよね
01351です
垢版 |
2016/06/23(木) 03:14:05.55ID:6DAEpWZp
715を2つの平方数の差で表すと
全部で
358^2-357^2
34^2-21^2
74^2-69^2
38^2-27^2があるんだけど

715を2つの自然数の積で表す時
全部で
715*1
143*5
65*11
55*13
があって
ここから
((715+1)/2)^2-((715-1)/2)^2
=358^2-357^2
((143+5)/2)^2-((143-5)/2)^2
=74^2-69^2
((65+11)/2)^2-((65-11)/2)^2
=38^2-27^2
((55+13)/2)^2-((55-13)/2)^2
=34^2-21^2
で表せる事が解った。
復習したら別の解法を見付けた。
n^2-m^2=(n-m)(n+m)の因数分解から発想してみた。
01361です
垢版 |
2016/06/23(木) 08:57:23.77ID:yvLsxAyB
いや...((a+b)/2)^2-((a-b)/2)^2=ab
で>>2と一緒か
0137１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/23(木) 09:00:27.28ID:p/yJxd8T
容易に偶数の積或いは奇数の積で表せる数だけ二乗差で記述できるってわかるよね
01381です
垢版 |
2016/06/23(木) 09:05:06.67ID:yvLsxAyB
うん
01401です
垢版 |
2016/06/26(日) 01:00:26.09ID:rq+yGCmv
見付けた。
3乗、立方数の場合は以下の式で解ける。
n^3-m^3=z
z=abならば
√((b/2)-((b^2-a)/3))-(b/2)=m
√((b/2)-((b^2-a)/3))+(b/2)=n
で
(√((b/2)-((b^2-a)/3))+(b/2))^3-(√((b/2)-((b^2-a)/3))-(b/2))^3=ab
で解ける。
試しにzを715にして
715を2つの自然数の積での表し方abを715*1とすると

n^3-m^3が大体715になる。
電卓で確かめると0.5くらいずれてるけど気にしない。
01411です
垢版 |
2016/06/26(日) 01:29:31.31ID:rq+yGCmv
いや、なんか違う。
電卓で他を確かめたら違った。
間違いでした。
ちょっと立方数差の解き方は後にして復習してきます。
01421です
垢版 |
2016/06/28(火) 00:46:13.02ID:69+v8+j8
>>140
解けた。修正すると

見付けた。
3乗、立方数の場合は以下の式で解ける。
n^3-m^3=z
z=abならば
√((b/2)^2-((b^2-a)/3))-(b/2)=m
√((b/2)^2-((b^2-a)/3))+(b/2)=n
で
(√((b/2)^2-((b^2-a)/3))+(b/2))^3-(√((b/2)^2-((b^2-a)/3))-(b/2))^3=ab
で解ける。
試しにzを715にして
715を2つの自然数の積での表し方abを715*1や143*5にすると

n^3-m^3が715になる。
0143１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/29(水) 06:05:28.37ID:g+WCK1WQ
>>142
見事だ。

n^3 -m^3 =(n-m)(n^2 +mn +m^2)
と因数分解し、
a=n^2 +mn +m^2
b=n-m
としてn、m(＞０)に対する連立方程式を解くと
m=√((4a-b^2)/12)-b/2
n=√((4a-b^2)/12)+b/2
を得る
これによりある自然数zをz=abと因数分解し、上のm、nの式にa、bを代入すれば、zを立方数の差で表せる


m、nの式をよく導けた。

では次の段階に進もう。
このままではa、b、m、nは自然数に限らず無数に存在してしまう。
m、nを自然数に限定するには、a、bにどのような条件が必要なのだろうか
01441です
垢版 |
2016/06/29(水) 10:34:00.79ID:7VfuMHIk
>>143
はい。ありがとうございます。
まずは...軽率に
(√(48a-12b^2)-6b)^3-(√(48a-12b^2)+6b)^3=1728ab
に直してみる。
01461です
垢版 |
2016/07/06(水) 19:17:13.89ID:oRnL7q5s
報告。

今は別に中学の本読みながら考えながら因数分解について勉強してます。

n^3-m^3の次の段階についてもちょっと勉強しました。まだ解けそうにないですが。
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/09(土) 02:32:21.38ID:TNw3c7Id
>>146
勉強を続けているようだね。
教科書を読んだら必ず練習問題をノートに書いて解こう。
解いたら答え合わせをして、間違っていたらどこが間違っていたのか分析をし、もう一度解こう。
これを繰り返していけば力がついていく。

これまでの学習で質問したいところはないかな？
01481です
垢版 |
2016/07/09(土) 05:10:24.11ID:LDJqbLMf
はい、頑張ってます。

今は無いです！
0149１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/09(土) 12:08:48.10ID:TNw3c7Id
>>148
では次の問題を解いてみよう

(１)２つの連続した奇数の積に１を加えると、４の倍数となることを証明せよ。

(２)２つの連続した整数において、大きい整数の平方から小さい整数の平方を引いた差は、はじめの２つの整数の和と等しくなることを証明せよ。
01501です
垢版 |
2016/07/09(土) 18:53:42.77ID:yg9LDVOG
(1)は理解できない
(2)は解る。
平方数の差は(n+1)^2-n^2=2n+1なので
整数の和は2n+1となって1倍
でもって...平方数の差の整数を二個とばすと差が4n+4になって
整数の和は2n+2となって2倍
三個とばすと平方数の差が6n+9になって
整数の和は2n+3となって3倍
なるほど整数倍の関係があるのか。
これについても何かの役に立ちそうだからノートに纏めたい。
01521です
垢版 |
2016/07/09(土) 19:37:10.05ID:qgy39zSc
(1)も解けた。
(2n+1)(2n+3)=4(n^2)+8n+3なので
1を足すと4(n^2)+8n+4となり
4で割って自然数が得られれば良いので
4(n^2+2n+1)として4の倍数である。
01531です
垢版 |
2016/07/09(土) 20:03:12.26ID:D4Q7VWj1
4(n+1)^2か
まだ上手く要点を掴めないけど
平方数について理解を深める為の問題だろうか。
0154１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/09(土) 20:58:24.03ID:TNw3c7Id
>>150､152
その通り。よくできているね。
(１)ｎを自然数とすると、連続する２つの奇数は2n+1、2n+3と表せる
これらの積に１を加えると
(2n+1)(2n+3)+1
=4n^2 +8n+4
=4(n^2 +2n+1)
となる
n^2 +2n+1は自然数なので、これは4の倍数となる■

(２)２つの連続した整数をm、m+1とおく
これらの平方の差は
(m+1)^2 -m^2
=2m+1
=m+(m+1)
となりもとの２数の和となる■
0155１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/09(土) 21:59:15.89ID:TNw3c7Id
>>150
差がkである２つの自然数をn、n+kとして、
これらの平方の差を文字式で表すと関係を正確につかめる。
01561です
垢版 |
2016/07/10(日) 02:38:31.23ID:FvGUiyPn
はい。
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/12(火) 01:06:13.60ID:Z1WtRQFR
>>155
n、kを自然数とし、差がkである２数n、n+kの平方の差を考える。

(n+k)^2 - n^2
=n^2 + 2nk + k^2 - n^2
=2nk+k^2
=k(2n+k)

これはkの倍数であり、
nの偶奇によらずkの偶奇と一致することがわかる。
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/12(火) 01:23:17.03ID:Z1WtRQFR
>>1
少し難しくなるがこんな問題もある。
できるかな？

問 連続した４つの自然数の積に１を加えた数は、ある自然数の２乗となることを証明せよ。
01591です
垢版 |
2016/07/12(火) 02:38:35.37ID:ssj1iSJY
凄い。
電卓で、色んな数確かめたけど確かに何かの2乗になる。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6(n^3)+11(n^2)+6n+1
となって。
因数分解すると(n^2+3n+1)^2になる。
電卓で逆算して見付けたから何故なのか全然理解してないけど...解けた！

何となくだけど4次方程式の解と密接な関係がありそう。
4次方程式の解を求める公式ってめちゃくちゃながいでしょ。
多分あれを使えば(n^2+3n+1)^2になると思うんだけど
それは使ってない。
今回はnに仮にも5を代入して４つの連続する整数の積足す1が41^2になることをたしかめて(41-(5^2+1))/5=3
で中間の3nを導いて解いた。

だから、ほんとに合理的な解き方してなくて
なんでそうなるのかは理解していないです。
01601です
垢版 |
2016/07/12(火) 03:03:14.91ID:ssj1iSJY
これだけの文章をノートに写し書きするのは大変だけど絶対いつか役に立ちそうだから
プリンターで印刷してファイルにしまっとかなかん。
01611です
垢版 |
2016/07/12(火) 03:10:30.50ID:ssj1iSJY
平方数凄い。
(2n+1)(2n+3)+1=4(n+1)^2
って式にも感動した。
01621です
垢版 |
2016/07/12(火) 04:01:14.06ID:cxQ4A9Tf
(n)(n+1)(n+2)(n+3)=n^4+6(n^3)+11(n^2)+6n
(m-1)(m+1)(m)(m+2)=(m^2-1)(m^2+2m)=m^4+2(m^3)-m^2-2m
01631です
垢版 |
2016/07/12(火) 04:03:29.86ID:cxQ4A9Tf
n=m-1⇒n+1=m
01641です
垢版 |
2016/07/12(火) 04:10:37.00ID:cxQ4A9Tf
(m^2-1)(m^2+2m)=m^4+2(m^3)-m^2-2m
((n+1)^2-(1))((n+1)^2+2(n+1))=(n+1)^4+2((n+2)^3)-(n+1)^2-2(n+1)
01651です
垢版 |
2016/07/12(火) 04:20:56.29ID:cxQ4A9Tf
(n^2+2n)=(n+2)(n+0)二次方程式の解より
(n^2+4n+3)=(n+3)(n+1)二次方程式の解より
(n^2+2n)(n^2+4n+3)=(n+0)(n+1)(n+2)(n+3)
おお。
01661です
垢版 |
2016/07/12(火) 04:25:01.47ID:cxQ4A9Tf
>>164
(m^2-1)(m^2+2m)=m^4+2(m^3)-m^2-2m
((n+1)^2-(1))((n+1)^2+2(n+1))=(n+1)^4+2((n+1)^3)-(n+1)^2-2(n+1)
だった。
01671です
垢版 |
2016/07/12(火) 04:39:32.64ID:cxQ4A9Tf
>>162
(m^2-1)(m^2+2m)この式にどうにか1を加えてやりたい。
せっかく二つの積になったんだから
(m^2-1)をa*aと因数分解して
(m^2+2m)b*bと因数分解して
(a*b+α)(a*b+α)=(a*b)(a*b)+1にしてやりたい。
ああ、なら1さえなけりゃこうなるか
√(m^2-1)*√(m^2+2m)と
01681です
垢版 |
2016/07/12(火) 04:47:43.35ID:cxQ4A9Tf
+1さえなけりゃこれもありか
(√(n)*√(n+1)*√(n+2)*√(n+3))^2
01691です
垢版 |
2016/07/12(火) 05:09:15.65ID:cxQ4A9Tf
今考えてるのは(n)(n+1)(n+2)(n+3)を全て展開してから+1して再び因数分解するやり方しか無いのか悩んでる。
01701です
垢版 |
2016/07/12(火) 05:19:16.85ID:cxQ4A9Tf
>>165
いや、何も凄くないや...
ああ、でも二次方程式への変換への知識は深まった。
01711です
垢版 |
2016/07/12(火) 05:21:25.64ID:cxQ4A9Tf
>>167これは
>>168この操作と同じ意味だ。
このことに理解が浅かったから別々に考えてた
01721です
垢版 |
2016/07/12(火) 05:23:14.89ID:cxQ4A9Tf
>>169
これがあれやこれや考えてた書いてた事の本題です
01731です
垢版 |
2016/07/12(火) 20:38:52.32ID:EsqjeHAU
s=(n)(n+1)(n+2)(n+3)
(s+t)(s+t)-s^2=1
t^2-2st-1=0
t=±√(s^2+1)-s
(s±√(s^2+1)-s)(s±√(s^2+1)-s)
(±√(s^2+1))(±√(s^2+1))
駄目だ。
二次方程式使っても+1は式の展開後に加えてその平方根を探す必要がでてくる手順にしかならない。
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/12(火) 23:08:31.44ID:Als+6U6G
あのですね
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n^2 + 3n)(n^2 +3n +2) +1
nとn+3,n+1とn+2をかける
n^2+3nをAとおくと
=A(A+2)+1
=A^2+2A+1
=(A+1)^2
=(n^2+3n+1)^2
展開してるけどまあまあ綺麗かなあ
01751です
垢版 |
2016/07/13(水) 01:29:09.22ID:ShcpaNav
おお、綺麗。
01761です
垢版 |
2016/07/13(水) 02:28:07.35ID:ShcpaNav
>>174
俺はどうやったらこれに気付けたのか...
(n)(n+3) (n+1)(n+2)の場合でやれば気付いていただろうか。
ある掛け合わせの場合のときにのみに
同じA...(n^2+3nの事)が表れる事を展開せずに予想できなかったものだろうか...

全部の掛け合わせの場合を展開してAのような同じ数が表れるのを探さなきゃいけないのは骨が折れる。
今回は展開の仕方で確率的に違う掛け合わせをしたから見付けられなかったのだろうか
それとも、(n)(n+1)(n+2)(n+3)をみただけで
「あっ、これなら(n)(n+3)と(n+1)(n+2)でAが同じに表れるな」と判断できる何らかの規則があるのだろうか。
01771です
垢版 |
2016/07/13(水) 05:23:50.40ID:k2yuzOoy
(n+5)(n+6)(n+7)(n+8)=
(n+5)(n+8) (n+6)(n+7)=
(n^2+13n+40)(n^2+13n+42)=
(A+40)(A+42)+1=
A^2+82A+1681=
(A+41)^2=
(n^2+13n+41)^2

5+8=6+7
と和が同じになれば良いのか
01781です
垢版 |
2016/07/13(水) 05:39:01.33ID:tFGo/zKu
まだ解ってない事が多そう。
もうちょっと考察する必要がありそう。
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/14(木) 02:30:18.46ID:rMWzO3Os
>>159
そのとおり。
なかなか驚く事実だ。
これを感じてほしかった。

因数分解のしかたは>>174が一番きれいだね。
>>177は良い考察をしている。
この辺りのコツは、数学Ⅰの｢数と式｣の中の因数分解の問題をたくさん解くと身についてくる。基本公式を使えるかどうか判断する力や、共通部分を作ったり、２乗-２乗を作る見通しの力もついてくる。

練習に次のさまざまな因数分解を解いてみよう。
①6x^2 +10x+4
②(2x+5y)(2x+5y+8)-65
③(a+b+c+1)(a+1)+bc
④(x-y)(x+y)-z(z+2y)
⑤ab+b^2 -a+b-2
⑥(x^2)y-2xyz-y-xy^2 +x-2z
⑦(x^2 +x+2)(x^2 +5x+2)+3x^2
⑧(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
⑨2(x+1)^4 +2(x-1)^4 +5(x^2 -1)^2
⑩4x^4 +1
01801です
垢版 |
2016/07/14(木) 04:08:13.12ID:BG6Zc3Wq
はい。
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