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ベイズの定理を使ってモンティ・ホール問題って解けるんでしょうか？ [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/02(月) 05:42:59.81ID:BZRnOET4
モンティ・ホール問題の概要は以下のとおり。
３つのカップ、A,B,Cがあり、このどこかに景品が入っている。
プレイヤーは３つのカップから１つを選ぶ。
親は残った２つのカップのうち、ハズレを１つ選び、これをあける。
プレイヤーはあけるカップを変更することができるが、プレイヤーはカップを変更すべきだろうか？
また、変更した先のカップがあたる確率はいくつだろうか？
0002１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/02(月) 05:43:27.05ID:BZRnOET4
事象を洗い出してみると以下のとおりになる。

カップＡが正解の場合：
プレイヤーが最初にＡを選択→親が残りのカップのうち１つをあける
→プレイヤーがカップを変更→はずれ

カップＢが正解の場合：
プレイヤーが最初にＡを選択→親が残りのカップのうちＣをあける
→プレイヤーがカップを変更→あたり

カップＣが正解の場合：
プレイヤーが最初にＡを選択→親が残りのカップのうちＢをあける
→プレイヤーがカップを変更→あたり

従って変更した先があたりの確率は2/3になる。
問題は、これをベイズの定理を適用して解けるとする記事をよく見かけるのですが、
ベイズの定理を適用できるのでしょうか？
適用できるとしたらどう当てはめるのでしょうか？
0003１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/02(月) 08:07:31.09ID:FPOFtP0g
ベイズの「定理」と言われるが、あれは実は公理で、
「条件付き確率」を定義している。
「〜であった場合の確率」という考えを使ったら、
既に「ベイズの定理」を使ったことになる。
0004１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/02(月) 12:01:10.98ID:TfxPLjTr
>>3
いや、定理は定理だろ
条件付き確率の定義
P_A(B)=P(A∩B)/P(A)
から得られる
P_A(B)=P_B(A)*P(B)/P(A)
のことをベイズの定理と言っているので、
定義から即座に導かれるとはいえ定義そのものではないので、定理でなんら問題はない

ベイズの定理と条件付き確率の定義式を混同してない？
0005１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/05/02(月) 12:29:55.08ID:TfxPLjTr
>>1
モンティ・ホールは、どちらかというと、条件付き確率を持ち出す必要がない設定だというところが
ミソなので、あえて条件付き確率やらベイズの定理やらを持ち出すとわかりにくくなる。
ただし、モンティ・ホールと似て非なる設定の問題との違いを説明する際には役に立つかもしれない

本来の設定：
事象Xを「最初に選んだカップが当たり」
事象Yを「親がハズレのカップをあける」
とすると、この問題の問いは1-P_Y(X)は1/2より大きいか、その値はいくつかというものだが、
P(X)=1/3、P_X(Y)=1、P(Y)=1なので、ベイズの定理よりP_Y(X)=1/3と言える。
この設定では、プレイヤーがどれを選ぼうとも親は選ばなかったカップの中のハズレを
１つあけるので、P(Y)=P_X(Y)=1となる。
つまり、この事象Yを持ち出すこと自体あまり意味がないということ。

別の設定：
「親は残った２つのカップのうちどちらかをランダムにあける」という設定ならば、
親が当たりのカップをあけてしまう可能性もあるので、
P_X(Y)=1、P(Y)=2/3であり、ベイズの定理よりP_Y(X)=1/2
この場合、実際はP_Y(X)=1/2が先にわかって、そこからP(Y)=2/3が言えるので、
やはりベイズの定理を持ち出す意味はあまりない
0006１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/25(土) 00:14:49.60ID:FsZ/GwoB
数学素人なんだけど、モンティホール問題というのは今でも正しいとされているのか?
俺にはどう考えても間違っているとしか思えないのだが
どう間違ってたいるかというと、こうだ

>>2の理論自体は正しいと思う。ただし、それは親がはずれカップを開ける前までだ
その状態でならA1/3とA以外(B1/3+C1/3)との比較なるのでA以外の方が確立は高くなる
でもはずれカップ(仮にB)を開けるというプロセスによりBははずれであることが確定し、分子分母共に除かれることになる
つまりA1/2とC1/2の比較になるのだ
モンティホール理論ではBが正解であった確率はCに集約されるというけど、その確率はAにも等しく集約されるはず

>>2の理論はこうなるべき
カップの正解がABCいずれの場合でも、親は必ずBCのどちらか１つをあける
これはまずBCで１回戦を行い、その勝者と１回戦不戦勝Aの２者で２回戦を行うということ
２回戦の確率は単純に1/2で間違いないだろ?

逆の場合を考えてみよう
ルーレットで３回連続で赤になる確率はいくらか
1/2×1/2×1/2=1/8　これは間違いない
では２回連続赤が出た場合、３回目にはどちらに賭けるべきか
「赤が出る確率は1/8だから黒に賭けるべき」というというのがモンティホール理論だ
でも正解はあくまで確率1/2だよね

モンティホール問題の間違いは、試合開始前の予想を決勝戦に当てはめているところ
終わった試合はもう関係ないんだよ
0065￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/07/06(水) 07:57:12.86ID:mSfvzWVW
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0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/07(木) 14:20:55.67ID:Mfq9ApnY
>>6
以下のように整理するとわかりやすいと思います。
プレイヤーが最初に選択したカップをAとします。
プレイヤーがカップAを選択したままの状態をカップ(A)と記述することにします。
プレイヤーがカップB, カップCのいずれかを選択した状態をカップ(B,C)と記述することにします。
カップ(A)にアタリが含まれる確立は1/3,
カップ(B,C)にアタリが含まれる確立は2/3です。
プレイヤーがカップ(B,C)を選択した場合、親はありがたい事にハズレのカップを開けてくれるので、
カップ(B,C)にアタリが含まれる場合、プレイヤーは必ずアタリを開くことができます。
最終的に２つのカップのいずれかを選択するので、確立は同じような気がすると思うのですが、
そもそも初めからカップ(A)には1/3, カップ(B,C)には2/3でアタリが含まれていて、
初めからアタリの確立は変化してない、ということになります。
00711
垢版 |
2016/07/07(木) 14:22:02.67ID:Mfq9ApnY
実験で確かめて見るには、トランプを使ってみるのもいいと思います。
絵札１枚、数札２枚を使い、絵札をアタリとして、30回位実験してみると、
プレイヤーが選択を変えた場合、アタリの確立が66%位になると思います。
00721
垢版 |
2016/07/07(木) 14:25:02.51ID:Mfq9ApnY
ベイズの定理を適用する場合は、問題文の修正が必要な気がするのですが、
数学的は意味は同じなのかなぁ……？
出題は、親は必ずハズレのカップを開ける、となっていますが、
ベイズの定理を適用する場合は、親がハズレのカップを開けた場合、
という条件付確立を考えることになります。
カップ(A)にアタリが含まれる場合、
P(A|B) = 0
カップ(B,C)にアタリが含まれる場合、
親がハズレのカップを開ける確立は1/2、
親がハズレのカップを開ける、かつプレイヤーが当てる確立は1/2。
ベイズの定理を適用すると、
P(A|B) = (1/2)/(1/2) = 1
平均値の定義を適用して、
E = 1/3 * 0 + 2/3 * 1 = 2/3
つまりプレイヤーが選択を変えた場合のアタリの確立は2/3となります。
0073１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/07(木) 16:03:27.01ID:VMPKLOv0
P(Aガアタリ)=P(ガアタリ｜Bが開けられた)
は、結果的に正しいけれど、
根拠を示すことは必要だな。
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