【あさひ】高校数学の質問スレPart397 [無断転載禁止]©2ch.net
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十分大きいxについて下記が成り立つとする。
1. f(x)は微分可能
2. 1 < f(x)
3. xf'(x) - f(x)\log{f(x)} < 0
4. 1<aのとき、f(x) < a^x
このとき、lim_{x→∞}{f(x)}^{1/x} = 1となることを示せ。
高校数学のみで厳密な証明が与えられる。
{f(x)}^{0} = 1だから、lim_{x→∞}{f(x)}^{1/x} = 1とかやめてくれ。
頭がいいなら、解いてくれ。 >>694
1+t>1よりlog(1+t)>0だからlog(log(1+t))と出来るのを利用する。
f(s)=log((t^s)/s)-log(log(1+t))=slogt-logs-log(log(1+t))とおく。
これをsで微分すると
f'(s)=logt-1/s.
i) 0<t<eでlogt<1のとき
0<s≦1の範囲でf'(s)<0でありf(s)はs=1で最小値をとる。
f(1)
=1logt-log1-log(log(1+t))
=logt-log(log(1+t))
=log(t/log(1+t)).
ii) t≧eでlogt≧1のとき
0<s≦1の範囲でf(s)はs=1/logtで極小値をとる。
f(1/logt)
=(1/logt)(logt)-log(1/logt)-log(log(1+t))
=1+log(logt)-log(log(1+t))
=1+log((logt)/log(1+t)).
いずれも0より大きいことは簡単に示せるんじゃないか?
よって、t>0のとき、0<s≦1の範囲でf(s)>0.
したがって、t>0, 0<s≦1のとき
log((t^s)/s)-log(log(1+t))>0
⇔log(log(1+t))<log((t^s)/s)
⇔log(1+t)<(t^s)/s. ■ >>773
十分大きいxについて
f(x)^(1/x)<(a^x)^(1/x)=a
lim[x→+∞]a=aより
lim[x→+∞](f(x)^(1/x))は上から押さえられる。 ■ (n^2)-1/4≧0
⇔n≦-1/2 ∨ n≧1/2.
0≦((√3)/2)(√((n^2)-1/4))-1/4
⇔1/4≦((√3)/2)(√((n^2)-1/4))
⇔(√3)/6≦√((n^2)-1/4)
⇔1/12≦(n^2)-1/4 (∵両辺が正)
⇔0≦(n^2)-1/3
⇔n≦-(√3)/3 ∨ n≧(√3)/3.
((√3)/2)(√((n^2)-1/4))-1/4≦1
⇔((√3)/2)(√((n^2)-1/4))≦5/4
⇔√((n^2)-1/4)≦(5√3)/6
⇔(n^2)-1/4≦25/12
⇔(n^2)-7/3≦0
⇔-(√21)/3≦n≦(√21)/3.
以上の共通部分は
-(√21)/3≦n≦-(√3)/3, (√3)/3≦n≦(√21)/3.
最初にnが正というような条件があると、画像のような答えになる。 安価忘れ
>>688
(n^2)-1/4≧0
⇔n≦-1/2 ∨ n≧1/2.
0≦((√3)/2)(√((n^2)-1/4))-1/4
⇔1/4≦((√3)/2)(√((n^2)-1/4))
⇔(√3)/6≦√((n^2)-1/4)
⇔1/12≦(n^2)-1/4 (∵両辺が正)
⇔0≦(n^2)-1/3
⇔n≦-(√3)/3 ∨ n≧(√3)/3.
((√3)/2)(√((n^2)-1/4))-1/4≦1
⇔((√3)/2)(√((n^2)-1/4))≦5/4
⇔√((n^2)-1/4)≦(5√3)/6
⇔(n^2)-1/4≦25/12 (∵両辺が正)
⇔(n^2)-7/3≦0
⇔-(√21)/3≦n≦(√21)/3.
以上の共通部分は
-(√21)/3≦n≦-(√3)/3, (√3)/3≦n≦(√21)/3.
最初にnが正というような条件があると、画像のような答えになる。 >>774
694の者です
i) 0<t<eのときt/log(1+t)>0
ii) t≧eのとき(logt)/log(1+t)>1/e
は問題の元の不等式とほぼ同じにみえますがこのあとどうすると想定されてるんでしょうか? >>778
それ以降を実際に示したわけじゃない
1変数でやりやすくなったと思ったが、やっぱりダメ? >>775
1 < f(x)^{n+1} < aとなることはすぐわかるが、
a>1なので、lim_{x→∞} 1 = 1 <= lim_{x→∞} f(x)^{n+1} <= lim_{x→∞} a = a
であるから、lim_{x→∞} f(x)^{n+1}は1からa(a>1)の間に収束するか振動。
これは、aをどれだけ小さくしてもこうなる。
不完全な証明。 >>773
横レスすまソ
3. xf'(x) - f(x)\log{f(x)} < 0
この斜めせん何?
第2項は
log f(x) / f(x)
でいいの? >>517
次から物理板の質問スレでやろう
(1)
水平右向き、鉛直上向きをそれぞれ正とするように座標をとる。
ロープにはたらく力は
「ハンモックからロープにはたらく力」F_h=(0kgf,-100kgf)
「左のフックからロープにはたらく力」F_l=(a,b)
「右のフックからロープにはたらく力」F_r=(c,d)
ロープは静止しているから、これらの和は0である。
つりあいの式は
0kgf+a+c=0⇔a=-c
-100kgf+b+d=0
また、作用反作用の法則より、F_lと逆向きに「ロープから左のフックにはたらく力」すなわち張力が作用しているが、
この張力はロープの向きであるため、F_lはロープと反対の向きである。
よって、b/a=2/(-1.8)
同様に、d/c=2/1.8
a=-cよりb=d
つりあいの式より、b=d=50kgf
よって、a=-c=-45kgf
以上より
|F_l|=√(a^2+b^2)=√(-45^2+50^2)kgf=67kgf
|F_r|=√(c^2+d^2)=√(45^2+50^2)kgf=67kgf
なお、ロープが宙に浮いているという事実は重要だが、50cmという数値は使わなかった。
(2)
定滑車は力の向きを変えるだけだから、ロープの角度や人の位置に関わらず100kgfの力で引かなければならない。
「ロープから1つの滑車にはたらく力」は、ロープの2つの方向に100kgfずつである(合力の向きはロープがなす角の2等分線、大きさは図の場合だと100kgf超)。
もちろん逆向きに「壁から滑車にはたらく力」が存在してつりあっているため、滑車は静止している。 バックスラッシュが円記号で表示されるのほんとやめてほしいね 関数を微分するとはどういう操作なのですか?
なぜx^3が3x^2になるのですか? 赤いチャート式を読んでいます。
以下の問題の解答がひどすぎます。
xy 平面上の 16 個の点の集合 {(x, y) | x, y ∈ {0, 1, 2, 3}} を考える。
この集合から異なる3点を無作為に選ぶ試行において、事象
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
の起こる確率を求めよ。 想定される普通の解答は以下のようなものだと思います。
解答:
明らかに、
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
である場合、その三角形の頂点のうち2点は、
(0, 0), (0, 3), (3, 0), (3, 3)
の中の異なる2点である。
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
となるような3点の組合せの個数は、数えると 8 + 4 = 12 となる。
よって、答えは、 12 / Binomial(16, 3) = 3 / 140 である。 想定される普通の解答は以下のようなものだと思います。
解答:
明らかに、
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
である場合、その三角形の頂点のうち2点は、
(0, 0), (0, 3)
(0, 3), (3, 3)
(3, 3), (3, 0)
(3, 0), (0, 0)
のいずれかである。
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
となるような3点の組合せの個数は、数えると 8 + 4 = 12 となる。
よって、答えは、 12 / Binomial(16, 3) = 3 / 140 である。 なぜ二次関数f(x)を微分したf'(x)がその関数の接線になるんですか? >>791
説明できないのなら黙っててくださいね。
私の質問に意味はありますが、あなたの質問には何の意味もないので。 >>793
あなたの質問こそ何の意味もありませんので書き込まないでくださいね。 >>793
f(x+a)=f(x)+Aa+o(a)
と線形近似することを考えます
A=[f(x+a)-f(x)-o(a)]/a→f'(x) (a→0)
ですから
f(x+a)=f(x)+f'(x)a+o(a)となり、主要部を考えれば
df=f'(x)dxと書くことができますね >>790
(df(x))/(dx)
≡lim[h→±0](f(x+h)-f(x))/((x+h)-x)
これは(存在すれば)まさにxにおけるf(x)の傾き
>>785
(d(x^3))/(dx)
=lim[h→±0]((x+h)^3-x^3)/((x+h)-x)
=lim[h→±0](3hx^2+3h^2x+h^3)/h
=lim[h→±0](3x^2+3hx+h^2)
=3x^2 >>789
明らかに〜
の部分の厳密な証明が難しいんじゃないかなあ 3点順にとる場合72通りね。
普通に3点選ぶ場合は12通り。 >>795
なんで定数関数cの導関数は0になるんですか?? >>802
∀ε>0 ∃δ>0 s.t. ∀x |x-a|→|(c-c)/(x-a)-0|<εだからです >>802
あなたの質問こそ何の意味もありませんので書き込まないでくださいね。 杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
解析入門Iのp.139定理6.10の証明ですが、
「従って f^(-1) は y_0 で連続である。」
とありますが、なぜ、そう言えるのでしょうか? x2乗=x
両辺をxで微分すれば
2x=1
どうですか >>809
これおかしくね?
x=1/2が元の式で成り立たんぞ [1]の結果で○=a+b、△=-b、という部分が、なぜそうなるのかさっぱりわかりません
どういうことなのか教えて下さい
https://i.imgur.com/AqeoIz5.jpg >>816
|a+b|≦|a|+|b| は(1)で証明されている。
つまり、文字を換えて 任意の実数x、yについて|x+y|≦|x|+|y| としてもこの不等式は正しい。
そこで x=a+b、y=-b とすると
|a|=|a+b-b|=|x+y|≦|x|+|y|=|a+b|+|-b|=|a+b|+|b| ゆえ、 |a|-|b|≦|a+b| ab<0のとき、|ab|=-ab>ab
ab=0のとき、|ab|=ab
ab>0のとき、|ab|=ab
よって|ab|≧ab
等号成立は(a=0)∨(b=0)∨(a>0∧b>0)∨(a<0∧b<0)
は示した方がいいかもね 1-((97/100)^3)
上の式をわかりやすく簡単に解く方法を教えてください
1. 大人しく97^3を計算する
2. a^3-b^3を使う
3. 97を(100-3)と置き換えて(a-b)^3を使う
4. もっといい方法がある >>821
皮肉ではなく、全部実際に試してみたらいいですよ。やってみるのが一番です。 その数式グーグルにぶち込んで検索するのが一番ですね >>817
やっとこれの意味がわかりました
ありがとうございます 方針1
(与式)
=1-912673/1000000=87327/1000000
方針2
(与式)
=(1-97/100)(1+97/100+9409/10000)
=(3/100)(29109/10000)
=87327/1000000
方針3
(与式)
=1-(1000000-3*10000*3+3*100*9-27)/1000000
=1-1+90000/1000000-2700/1000000+27/1000000
=87327/1000000
3かなあ >>822,825
>821です。ありがとうございます。
もしかしたら魔法のような簡単な方法があるのかもと期待したのですが、
そんなムシのいい話はないですよねw
3次の公式?展開式?を使って頑張ります!
お礼遅くなってすいません。ありがとうございました。 清宮俊雄先生の御尊顔ってどこかで見れるサイトはありませんか。
もしかして、伝説だけしか残ってない清宮先生って実は実在していない架空の人物とかじゃないでしょうか。 因数分解してるだけだろ。
バカのくせに背伸びした問題集やらんでいいから
チャートでもやっとけ。 >>834
なにが「ありがとう」なんだよ
テメーは>>830で「式変形がなんでこうなるのかがわかりません」て書いてるだろうがボケ
それに対して>>833は式変形がなんでこうなるのか答えてるのか?あ?糞が。
>>833が言ってるのは「式変形がなんでこうなるのか」じゃなく「なんでこんな式変形をするか」だろークズが。
「なんでこんな式変形をするか」はテメー自身がすでに>>830で「符号を調べるため」と書いてるだろうが。馬鹿が。
てめーの疑問の「式変形がなんでこうなるのか」に対して答えるのは>>831の「因数分解」だろうがボケ猿。
大概にしとけよ。バカのアホのクソのゴミの無能の役立たずのひきこもりのガキが。 こっわw
なんかごめん
もう来ないので許してください >>835
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ
わからないんですか? 人は自分が嫌がる悪口を相手にも言うらしいので
835氏はバカのアホの(以下略 独立試行、反復試行の確率というのがあります。
これらの確率はすべて、
事象 A の起こる場合の数 / 起こりうるすべての場合の数
で計算できます。
なぜ各試行の確率の積でわざわざ計算するのでしょうか?
同じことですよね? ダイスの確率の求め方を教えて下さい。
4つ降って1.1.2.Xが出る確率はどう求めますか? 行列の実数倍と書いてある本と行列の定数倍と書いてある本があるんですが、
どっちが正しい用語なんでしょうか。
実数倍と定数倍では指し示す意味が違うんでしょうか。 >>846
なるほど普通に違うんですね。
お答えくださって有難う御座いました。 質問者の特徴
・本当になにも解けないボンクラ高校生
・ぐぐればわかる程度の大学数学の内容をよく理解せずに書いてるウンコ脳
・話題についてこれない馬鹿が孤独を紛らわすために同じ質問を繰り返すだけの廃人
解答者の特徴
・イケメンのエリート東大生・東大院生
・数学を生かしてバリバリ働いてるビジネスマン
・高額納税者 質問者の特徴
・何もかも分かってるエリート高校生
・ネットや専門書で調べつくして、理解した上で書いてるスーパー頭脳
・何度も諦めずに質問をする努力家
解答者の特徴
・ブサメンの底辺Fラン大生・Fラン大院生
・数学と関係ないニート・無職
・非課税、年金滞納中 https://i.imgur.com/2Xl2F6M.jpg
注に大人に受けがよくないとありますが高校数学の範囲外だから使わないようが良いという意味なのでしょうか?a=b=0でなければ使ってよいのでしょうか?(a,b同時に0にならなければよい?) 2行3列の行列を2x3行列と呼ぶことはどの本にも書かれてあるのですが、
オックスフォード数学ミニ辞典ではこれは「行列の次数」と書いてあります。
2x3というのが行列の次数だそうです。
別の本には「行列の型」だと書かれてあります。
ウィキペディアの英語版には「行列のサイズ」だと書いてあります。
どれが本当なんでしょうか。 普通はサイスと呼ぶ
n行n列なら「n次の(正方)行列」と言うが、一般の行列に対して次数などとは言わない
型は知らん 日本の数学書の多くには「行列の型」と書かれていることが多いように思われます。
「m x n型の行列」なんて言い方をしている本もあります。
この「型」はtypeではなくsizeの訳語でしょうかね???
オックスフォード数学ミニ辞典に載っている「行列の次数」はorder of matrixです。
https://www.onlinemathlearning.com/matrices-types.html
https://www.vitutor.com/alg/matrix/matrices_types.html
上ではtypes of matricesとして行行列(行ベクトル?)とか列行列(列ベクトル?)
とか単位行列とかゼロ行列とかが挙げられています。
行数x列数のことじゃありませんね。
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Size
ウィキペディアの英語版では、行数x列数はsizeと呼ばれていますね。
ここを見てください。
「m×n次の行列」なんて言い方がされています。 ベクトルの実数倍は何次元であろうと矢印が張る空間でイメージできるんだけど
ベクトルの複素数倍てのが2次元ですらイメージできない
なんぞこれ 行列はイメージが大事とかいうのは一理あるけど
機械的操作をないがしろにしてはいけない
Don't think, feel. 行列の次数というと、例えば、2x2行列を2次の正方行列、4x4行列を4次の正方行列、
1xn行列をn次の行ベクトル、mx1行列をm次の列ベクトルと呼んだりするときの*次
のことだと思ってしまうけど、それはそれで正しいのでしょうか。 row size x column size = order of matrix
orderを型とか次数というのでは? Σ[k=1..n]k
――――――
Σ[k=2..n]k
これで作られる数列の一般項を教えてください 2次関数y=x2+ax+b(1≦x≦5)は x=2のとき最小となり、最大値は3である。このとき定数a、bを求めよ y=x^2+ax+bは下に凸
y=(x+a/2)^2-a^2/4+bより頂点は(-a/2,-a^2/4+b)
i) -a/2<1
ii) 1≦-a/2<3
iii) 3≦-a/2<5
iv) 5≦-a/2
で場合分け 二次関数で最大値最小値になりうるのは
領域の端点と頂点のみ
x=2のとき最小となり
とあるからx=2は領域の端点でない 事に注目すると頂点のx座標が2つまり軸が2
(1≦x≦5)だから軸から遠いx=5のとき最大値3をとる。
これで式2つ立てれて連立してaとbが出る XY座標に任意の4点ul(x0,y0),ur(x1,y1),dl(x2,y2),dr(x3,y3)が有り、
更に任意の点P(px,py)が有る。
任意の四角形(ul,ur,dl,dr)内での座標P'(x,y)すなわち
P = ( ul * x + ur * (1.0 - x ) ) * y + (dl * x + dr * (1.0 - x)) * (1.0 - y))
となる点P'(x,y)の求め方は存在しますか? 原点Oの座標空間にA(1,0,0) B(0,2,0) C(0,0,4)をとり、三角形ABCの辺およびその内部をTで表す。
図形Tをz軸のまわりに1回転させてできる立体を平面z=aで切った切り口の図形の面積をS(a)で表しなさい。ただし、0≦a≦4とする。
この問題でT(0,0,a)とおいて線分BC,ACとの交点をそれぞれP,Qとおいて、π(PT^2-QT^2)を求めればよいと考えて解きました。
P(0,2-1/2a,a),Q(1-1/4a,0,a)とおくことができ計算した結果がS(a)=π(3/16a^2-3/2a∔3)となりました。
しかし解答を見るとπ(4-a^2)/5となっていて異なっています。
解答では正射影を利用してやっているのですが、私のこのやり方は間違っているのでしょうか?
またどう間違っているのか教えて頂けないでしょうか?
よろしくお願いします。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています