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（負の数）×（負の数）＝（正の数）になる理由って中学生に説明できる？ [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
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2016/02/13(土) 20:34:29.73ID:/MKGjzXw
足し算、引き算は数直線使えば説明つくが、
掛け算となると中学生に説明するのは厳しくないか？
0585１３２人目の素数さん
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2018/03/25(日) 15:25:10.22ID:6r7t4c0u
常識です
はい教えました


あなたは数をどのように定義するわけですか？
0586１３２人目の素数さん
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2018/03/25(日) 17:22:31.10ID:8DObFKQn
>>585
どこにそれが明記されていますか？


後半は思っていることはあるが、過去既に書いたけどね。まあ、前半をはっきりさせてからだよね。話題が拡散してもろくなことがない。
0590１３２人目の素数さん
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2018/03/25(日) 18:17:41.11ID:8DObFKQn
>>589
つまりあなたが勝手に「常識です」といっているだけで、その証拠は一切無いわけですね。
よくわかりました。
0602１３２人目の素数さん
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2018/03/26(月) 20:33:30.48ID:FhetMd+/
まず。普通の証明は中２から始まるので、中学校のうちは「証明された→納得」という感覚は一般的ではない。

数の定義は「素朴なモノ」とする。具体例を確認しておく。

次に掛け算の具体例を確認するが、これは小学校で習ったモノを出させるべきだろう。
次に、出した掛け算の中から「負数でも使用できるもの」を選択する。

最後に、結果を確認して「負数×負数」が何になるかを確認すればよい。

過去ログを見ると >>3 >>237 >>247 >>560 あたりになるんじゃないか？
0603１３２人目の素数さん
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2018/03/28(水) 22:41:24.87ID:6mkP3q2v
(-1)*2=(-2)
.　　　　　↓+1
(-1)*1=(-1)
.　　　　　↓+1
(-1)*0= 0
.　　　　　　↓+1
(-1)*(-1)=1
0604１３２人目の素数さん
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2018/03/29(木) 11:43:33.62ID:oJc0HTY+
普通は売上をプラスと考えるよね
(-1)円の品物を１個買ったならば(+1)の収入ある。

これは(-1)円の品物を(-1)個売ったという文章に書き換えることができるよね。

したがって(-)*(-)=(+)になるんだよ。
0605 【大吉】
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2018/04/01(日) 03:18:43.53ID:EULN/v2c
私が道民の家でお茶をご馳走になったときのこと
その家の42歳の息子がむずかりだした。母親がその子を椅子の上に立たせてパンツ
を降ろし牛乳の空きパックを男性器にあてがうと小便をした。
しかも、あろうことか空きパックに入ったものをキッチンの流しに捨てたのです。
その慣れた様子からも日常的にしているのでしょう。
0616１３２人目の素数さん
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2018/04/29(日) 23:11:28.95ID:QgabVu32
マイナス10万円の負債がある債権を二枚持っていると
-10万円×2枚＝-20万円
の借金があるということになる。

マイナス10万円の負債がある債権をマイナス二枚持ってる、
つまり、言い換えると自分が持ってるんじゃなくて、他の人が二枚債権を持っているとすると、自分は
-10万円×-2枚＝+20万円
のお金を持っているということになる
0628１３２人目の素数さん
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2018/09/01(土) 20:22:23.60ID:f2IqwiHM
マイナスの加減を数直線で説明するなら
マイナスの掛け算は
2次元ベクトルの180度回転で説明すれば
いいんじゃない？
0630１３２人目の素数さん
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2018/09/01(土) 23:24:48.22ID:Y/NNj7fr
(-2) × 3 = -6
(-2) × 2 = -4
(-2) × 1 = -2
(-2) × 0 = 0
(-2) × (-1) = 2
(-2) × (-2) = 4
(-2) × (-2) = 6

-6、-4、-2、0、…と2ずつ増えているから、0の次は2、4、6、…。

もう持ってないけど、昔使ってた中1数学の教科書はこんな記述だったと思う。
0631１３２人目の素数さん
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2018/09/01(土) 23:25:52.56ID:f2IqwiHM
>>629
イメージのしやすさ優先なんだけど、
逆にそれ自体が自明である現実空間を元に
物理演算という形で具体化したとき、
物体を反対方向に向かせるには
3次元要素に対してマイナスの掛け算を行うことが
対応する物理演算になるからかな。

余計わかりにくい？
0632１３２人目の素数さん
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2018/09/01(土) 23:39:35.76ID:f2IqwiHM
スレタイ見たら
ベクトルの向きの概念も、
行列を使ったりする3次元空間の物理演算も
全然中学生の範囲じゃなかった。
正直ポカした。
0634１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 00:08:25.72ID:j7MsYSW/
>>628
せっかく掛ける数掛けられる数の区別した教え方が蔓延ってる(賛否は保留で)ならそういう教え方に活かせると思う

-1を掛けることで180度反転するなら、数直線上の-1に-1を掛けると反転するから1ってイメージやんな？
0635１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 08:46:17.24ID:bJLjRWLJ
>>634
だから、なんで？
俺はもちろんわかるがw 中学生に説明できる論をもっているかというと？
0636１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 09:28:34.87ID:2bMaKaYz
>>635
正の数に-1を掛けると負の数になるのを、
数直線上では正の数を0を中心に180度回転させる演算に相当することと認識させるのは中学生相手でもできるだろ

じゃあ数直線上にある負の数に同様の回転を行うと正の数になるというにはそんな無理な説明か？
0637１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 09:45:41.77ID:KEK84bzX
掛け算とはなんなのかを
実際に原理的に加減しかできない
コンピュータ回路になぞらえて
加減で表すと見た目的に参考になるかも？

a * 3 = a + a + a
a * 2 = a + a
a * 1 = a+ 0
a * 0 = 0
a *(-1) = -a
a *(-2)= -a -a
a *(-3) = -a -a -a

a * b ただしb>0は「aをb回分加算(積算)したもの」
a * b ただしb<0は「aをb回分減算したもの」
a * b ただしb=0は「0」

ちなみに昨日テレビ見てて思ったけど
(やばいよ)^2 = 出川哲朗
ということは
やばいよ = ±√出川哲朗
なんだな
0639１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 10:33:27.41ID:KEK84bzX
>>638
ちょっと雑な言い方だったけど、
計算効率の問題じゃなくて、実際のもので原始的にすると
乗除の演算は加減の演算に変換可能で、
それならば数直線上の回転の概念も必要なくなるってこと。

あと筆者はプログラミング言語でどう書くかに言及してるけど
実際の作動は機械語に翻訳するコンパイラや
ハードウェアの環境による。
2の倍数の乗算なら筆者が言うように
ビット演算のほうがはるかに速いのは
機械語に翻訳するコンパイラなら当然分かってるから
わざわざ言語レベルでそう書かなくても
変換してくれる場合もあるし、ボトルネックになるような
グラフィクスとかでよく使う演算については
物理的な専用の演算回路(ハードウェアアクセラレータ)に
任せるように翻訳されることが多い。
0640１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 10:52:06.81ID:DDF5Pwbm
>>639
それはそれで分かるけど、回転のイメージ自体は掴みやすいのと、複素数の乗法を複素平面で表現することへの導入にもなってるのがわりと気に入ってるから、不必要かといわれるとそうでもないんじゃないかていう立場
0642１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 11:31:33.47ID:KEK84bzX
>>640
うん。
回転のイメージが掴めるなら幾何学的で
そっちほうがいいと思うんだけど、
掛け算で何故その座標になるのかを
他の方法で説明しないとならないのなら、
加減算だけの式に変換した場合に
常に同じ結果になることが分かればと思ってね。
0643１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 11:50:25.47ID:rGciu1n4
>>638
これを言い出したらフーリエ変換ですら二進数に最適化だわ
でもそういう数秘術をやりたいわけじゃないだろ
まずはボトルネックを調べるのが先だし
0644１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 13:43:56.59ID:NhYSeYwu
>>642
加減の式に変換するってのも>別の方法 での説明だから、その否定の仕方は根本的にナンセンスだろ
0645１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 14:30:20.88ID:ZwkeQDLB
>>1
数直線上、右に時速1kmで動いている場合の速度を1km/h、
左に時速1kmで動いている場合の速度を-1km/hとする。
今、原点0にいるとする。
右に動いている場合は、1時間後、1の位置にいるので(1×1＝1)。
左に動いている場合は、1時間後、-1の位置にいるので(-1×1＝-1)。
右に動いている場合は、1時間前、-1の位置にいたので(1×-1＝-1)。
左に動いている場合は、1時間前、1の位置にいたので(-1×-1＝1)。
この説明がいいと思う。
0646１３２人目の素数さん
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2018/09/02(日) 16:30:01.93ID:KEK84bzX
>>645
そやね。
どちらにせよ数直線はあったほうがいいね。
0647１３２人目の素数さん
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2018/09/03(月) 21:40:01.74ID:b00NDfAu
結合法則とか交換法則を負の数まで拡張すると必然的に負×負＝正となる
これらの法則は四則演算で閉じた集合において定義されるので、四則演算を認める以上否定できない帰結なのである
0648１３２人目の素数さん
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2018/09/03(月) 22:05:37.15ID:jkhnF8YF
ところが、結合則が本当に負の数で成り立つか、中学生は納得できないんだよな。
結局、上から目線で「否定できない帰結なのである」と言うしかないんだよね。
0649１３２人目の素数さん
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2018/09/04(火) 00:02:05.08ID:LeZGi1kF
>>648
結合法則を認めない数の集合ならマイナス×マイナス＝プラスになる世界もある。ただし、そんな集合は群すら構成せず全く無意味
と、小学生に説明しても理解不能やろうな
0651１３２人目の素数さん
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2018/09/04(火) 00:03:19.01ID:d7cOUr1Q
＞結合法則を認めない数の集合ならマイナス×マイナス＝プラスになる世界もある
0652１３２人目の素数さん
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2018/09/04(火) 01:14:14.50ID:CYkBTFp8
>>649
中学生ね。無意味と言っても中学生なら納得させるかさせないかの方を取るだろうな。
0653１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 16:31:38.15ID:7ah39djh
>>628
>マイナスの加減を数直線で説明するなら
>マイナスの掛け算は
>2次元ベクトルの180度回転で説明すれば
>いいんじゃない？

トートロジーじゃないか？
イメージの説明にはなるだろうけれど
理由の説明として1mmも前進してない
別の言い方に置き換えただけ
0654１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 16:39:30.25ID:7ah39djh
>>649
>ただし、そんな集合は群すら構成せず全く無意味

分配法則とかが成り立つかどうか自明ではないけど
普通に数学に現れてくる対象っていくらでもあるでしょ
たとえ形式的べき級数の合成f（g（ｘ））=f*gって
f*(g*h)と (f*g)*hとが等しいって、トリビアルに証明できる？
0655１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 17:02:39.76ID:D76r/xcw
既出かもしれんが、

a+b=0とすると、
b=-a,a=-bとなるので、
b=-aをa=-bに代入してa=-(-a)

で俺は納得してた
0657１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 17:54:44.76ID:FL/QC7P/
>>653
トートロジーではないだろ

負の数に負の数を掛けると正になるのは何故かに対して
負の数を掛ける演算とはどういうことかから説明してるんだから
0658１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 17:54:55.63ID:7ah39djh
>>656
a＝1と置いたらどうなの？
0659１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 17:56:40.59ID:7ah39djh
>>657
トートロジーだろ
その「どういうこと」は言い換えにしか過ぎんだろ
0660１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 17:58:09.42ID:hk1UqUic
負×負=正に「なる」ではなく、そうすると一番都合が良いということです
数は人間の考えた単なる概念であり、自然科学の様に検証できる様なものではありません
公理が全てであり、公理をどの様にとるかにより数学的価値が変わってくるということです

こんな難しいこと中学生には教えられるわけないですから、難しいわけですね
0661１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 18:03:57.63ID:7ah39djh
>>660
>こんな難しいこと中学生には教えられるわけないですから

スレタイには反するが話の誤魔化があるな
中学生にじゃなくてもいいから、できるだけ簡潔で本質な説明というのは追求出来るはず
0662１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 18:04:17.14ID:FL/QC7P/
>>659
どこが？
負の数＊負の数=正の数から
負の数を掛ける演算が数直線上で向きを変える演算に相当するって導けるか？
0663１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 18:13:43.78ID:7ah39djh
>>662
X＝負の数＊負の数=正の数か
Y＝負の数を掛ける演算が数直線上で向きを変える演算

Yを持ち出す【説明】は
「XというのはYであるという風にイメージしましょう」
という以外の何者でもないだろ
0664１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 18:16:10.99ID:7ah39djh
>>658
自己レス
a＝1と置いても-(-1)＝１
しか言えてないなあ

確かに
0665１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:17:33.88ID:hk1UqUic
負×負=正の本質は、そう決めたから、ですね
そうなる、ではなく、そう決めた
この違いがわかれば簡単です
0666１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:18:42.22ID:FL/QC7P/
>>663
それY持ち出さなくても正の数*負の数が負の数になるところから持ち出せるだろ…
0667１３２人目の素数さん
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2018/09/05(水) 18:22:23.86ID:7ah39djh
じゃあ尚更>>662のあんたの質問にyesだから
尚更トートロジーなんじゃね？

あと>>628←だけど
その手の証明をしようと思えば結局
複素数体に分配法則を仮定するからその時点ですでに
その証明を証明する前にマイナス×マイナス＝プラスは自明になってる
0669１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:29:16.67ID:7ah39djh
>>668
それをイコールとみなそうという仮定を仮定してるんだから
イコールなのは自明だろアホ
0671１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:34:19.60ID:7ah39djh
>>670
何がわからないの？
あと見落としたけど>>666の最初のそれって何？
0672１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:38:06.42ID:jhZ/DwKl
複素数平面でiの掛け算は90度の回転を意味し、i×i＝–1をかけると90度＋90度＝180度の回転を意味する。
だから負の数×負の数＝正の数と説明される。

もっとも、根源的な説明をするにはやはり実数ないし虚数空間を集合論的に求めるしかないわな
0673１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:40:08.92ID:7ah39djh
>>662
単に正負の符号を「向き」となずけただけでしょ
そうすると
マイナス×マイナス＝プラスという式はそのなずけに従ってる
だからイメージや記憶法ではあり得るけど
単に命名したただけの話だからトートロジーだと言ってる
0674１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:42:38.93ID:7ah39djh
>>672
>複素数平面でiの掛け算は90度の回転を意味し、

その事を証明する際に既に分配法則を使ってるから
言い換えればその事を証明するのに既にマイナス×マイナス＝プラスの成立を
仮定してしまっているので
それはマイナス×マイナス＝プラスになる理由に説明にならない
0675１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:48:21.74ID:jhZ/DwKl
>>674
だから根源的な説明するには結局集合論的に説明する必要があると言ってるだろ。ちゃんと読め
0677１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:49:43.73ID:7ah39djh
>>675
①根源的もクソもない、トートロジーでしかないと言ってる
②集合論的に説明って具体的に何ですか笑、単なる誤魔化しですか
0678１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 18:55:01.88ID:jhZ/DwKl
>>677
言っとくけど、672で書いた複素数平面の話は一般的な本で書かれてる説明を言っただけだぞ
集合論的説明てのをお前に理解できるか分からんけど、例えば複素数平面は分配則等を定義した複素数の集合を空間的に表現したものなんだよ。分かる？
これでピンとこないのなら多分素人さんだからもっと勉強してね
0679１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 19:01:50.20ID:7ah39djh
>>678
他人のせいにするな笑
その本をおまえが責任を持って引用するなら
その本の発言自体もにもおまえが責任を持て

>例えば複素数平面は分配則等を定義した複素数の集合を
>空間的に表現したものなんだよ。

それがおまえが個人的に集合論的説明と呼ぶ話のことか？
その話なら既に>>672←でもう仮定済みの話じゃないか笑
おまえが言っている集合論的説明っていうのはおまえ曰くもっと根源的な
話じゃなかったのか？笑
0680１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 19:03:10.02ID:7ah39djh
マイナス×マイナス＝プラスという現象は勿論
より一般に
複素数の積が回転に関係するという現象の一部であるが
現代数学的にはそれを証明するのにまず「回転」とは何かからを抽象的に定義に
次にそこから「角度」という概念を厳密に定義する
そうすると三角関数と呼ばれるものが極めて自然に現れ
そしてその三角関数が実は我々が高校の授業で古典的に定義していた
あの斜辺÷底辺なんて感じの"三角関数"と一致する事がすぐに示せる
0681１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 19:07:16.20ID:jhZ/DwKl
>>679
本のせいにするな？w
困ったなwこの複素数の話は有名だから周知の事実のつもりで書いたんだが。
ただしそれは根源的な説明にはなってないよな、という趣旨で672を書いたんだが
まさかこんなに読解力のないバカに絡まれるとは思わんかったわ
0682１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/05(水) 19:07:46.62ID:MMCB7gpN
そんなことグダグダいう中学生なら結合法則とか交換法則を負の数まで拡張すると必然的に負×負＝正となるで足りるんだよな…
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