結婚相手の選び方 [無断転載禁止]©2ch.net
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林先生が驚く初耳学での林修先生の解説を
数学的に完全解説 n人の中から最良の1人を選ぶとき、k番目まではスルーして、k+1番目以降で、
最良の1人を選ぶ確率をP(k、n)とする(n>=3)
確率P(k、n)は、最良の人A(t番目)を見出すためにk人までスルーして、
k+1人以降から、最良の人を見出す確率
つまり、k+1人目以降の人の中から、今まで出会った中で最高の人を
超える人Aを見つける確率を最大にする ____
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 ̄ \__、("二) ̄l二二l二二二二二二l _|_|__|_ >>2の訂正
>n人の中から最良の1人を選ぶとき、k番目まではスルーして、k+1番目以降で、
>最良の1人を選ぶ確率をP(k、n)とする(n>=3)
>確率P(k、n)は、最良の人A(t番目)を見出すためにk人までスルーして、
>k+1人以降から、最良の人を見出す確率
n人の中から最良の1人を選ぶとき、k番目まではスルーして、k+1番目以降から、
今まで出会った最良の人を超える人が見つかった時点で、その人を選ぶ
その人をAとする
確率P(k、n)は、最良の人A(t番目)を見出すためにk人までスルーして、
k+1人以降から、最良の人を見出す確率 (n>=3)
>>2の続き
まず、明らかにスルーしていいのは、t−1人目までなので、
t−1>=k
次に最良の人Aがt番目に現れる確率は1/nで、そのAに出会う確率はk/(t−1)
つまりk=t−1の時100%でAと出会うがt−1よりkが小さくなるにつれ
Aと出会う確率が低くなる
よって
P(k、n)=(1/n)(k/(t−1)) ただし、t−1=k、k+1、・・・、n−1
よって最良の人Aを見出す確率Pは
P=Σ(t=k+1〜n)P(k、n)=Σ(t=k+1〜n)(1/n)(k/(t−1))
P=(k/n)Σ(t=k+1〜n)(1/(t−1))
ゆえにP=(k/n){(1/k)+(1/(k+1))+・・・+(1/(n−1))}・・・(1) >>5の続き
テイラー展開(使用する知識)
無限回微分可能なf(x)について次式(T)が成り立つ
これをf(x)のx=aでのテイラー展開という
f(x)=f(a)+f’(a)(x−a)+(f”(a)/2!)(x−a)^2+・・・+({f(a)のn回微分}/n!)(x−a)^n+・・・
f(x)=Σ(n=0〜∞)({f(a)のn回微分}/n!)(x−a)^n・・・(T)
但し^は乗の意味で^nはn乗を意味する以下同様
マクローリン展開(使用する知識)
式(T)についてa=0としたものをf(x)のマクローリン展開という
これは次式(M)で表せる
f(x)=Σ(n=0〜∞)({f(0)のn回微分}/n!)x^n・・・(M) >>6の続き
log(1+x)(ただし底はe)をマクローリン展開する
f(x)=log(1+x)とおくと
f(0)=log1=log e^0=0
同等にしてf’(0)=1、f”(0)=−1、f(0)の3回微分=2!、
f(0)の4回微分=3!、f(0)の5回微分=4!
これらを(M)に代入すると
log(1+x)=x−((x^2)/2)+((x^3)/3)−((x^4)/4)+・・・
これを式(2)とする >>8の続き
(2)についてx≒0のとき、log(1+x)≒x・・・(3)
前置きとして
log n=log{(n/(n−1)}{(n−1)/(n−2)}・・・{3/2}{2/1}
∴ log n=log{1+1/(n−1)}+log{1+1/(n−2)}+・・・+log{1+1/1}
(3)より
log n≒1/(n−1)+1/(n−2)+・・・+1/1・・・(4)
∴ log n≒1/(n−1)+・・・+1/k+{1/(k−1)+・・・+1/1}・・・(5)
(4)、(5)より
log n≒1/(n−1)+・・・+1/k+log k
log n − log k ≒ 1/(n−1)+・・・+1/k
∴ log(n/k)≒1/k+1/(k+1)+・・・+1/(n−1)・・・(6)
>>5の(1)と(6)より
P=(k/n)log(n/k) >テイラー展開(使用する知識)
>
>無限回微分可能なf(x)について次式(T)が成り立つ
>これをf(x)のx=aでのテイラー展開という
>
>f(x)=f(a)+f’(a)(x−a)+(f”(a)/2!)(x−a)^2+・・・+({f(a)のn回微分}/n!)(x−a)^n+・・・
>
>f(x)=Σ(n=0〜∞)({f(a)のn回微分}/n!)(x−a)^n・・・(T)
>
>但し^は乗の意味で^nはn乗を意味する以下同様
___◎_r‐ロユ
└─‐┐ナ┐┌┘ _ ヘ____
/./┌┘└┬┘└┼────┘ロコ┌i
</  ̄L.l ̄ ̄L.lL.! ┌┘| 知識とはいわねえよな常識だよな
ゆえに細かいところまで注意したいよな >>11の続き
P=P(k)とおくと
P’(k)=(1/n)log(n/k)+(k/n)(log(k/n)^(−1))’
P’(k)=(1/n)log(n/k)−(k/n)(log(k/n))’
P’(k)=(1/n)log(n/k)−(k/n)(1/n)(k/n)
P’(k)=(1/n){log(n/k)−1}
P’(k)=0のとき、log(n/k)=1=log e
∴ n/k=e
∴ k=n/e
kの取りうる範囲は1<=k<=n−1
k=1のと、きP’(1)=(1/n)(log n − 1)
初期条件n>=3より P’(1)>0
k=n−1のとき、 P’(n−1)=(1/n)(log(n/(n−1))−1)
初期条件n>=3より P’(n−1)<0
ゆえにk=n/eのときP=P(k)は極大値、最大値をとる
ゆえに最良の人Aを見出す確率Pが最大になるときのkの値は、k=n/e >>14の続き
つまり、n=100(人)のとき、
e≒2.718、1/e≒0.368より
100×0.368=36.8
よって出会いから36人目までスルーして、その後出会った人から、
今まで出会った相性の最高の人を超える人が現れた時点でその人を選べばよい。 >>1より
林先生の説明は不親切だと思う
せめて最低でも>>2>>5>>8>>11>>14>>15くらい丁寧な説明をしないと
数学の知識が乏しい一般人にはわからないと思う
まして数学の苦手な人なら俺の説明でもまだ不十分だと思う /~∃~¨ヽ
⊂二 ̄ |` -.,_
/  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ⌒ヽ〜 ''-.,
/ 腐女子 /i \ ヽ〜 `'-.,
| | /////.∧ | | | | ∧ |\、〜 \
| | |-| |〔 ==・.〕--〔==・〕--ヽ〜 \
| .|| || ゛`ー'(、●^●,)ー'゛ ヽ〜\ ヽ
| | || * ノトェェイヽ ・ l〜 \,__ |
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| i ゝ::::::::::: '⌒ヽ :::: ノ〜/ /
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l 彡彡´〜
l | .彡〜〜
./ /. , ヽ /〜
l / ● ● ヽ /
./ /ヽ ,,,/ \ '..,, ' ,.ノ l 彼氏彼女の選び方
n人の中から最良の1人を選ぶとき、k番目まではスルーして、k+1番目以降から、
今まで出会った最良の人を超える人が見つかった時点で、その人を選ぶ
その人をAとする
確率P(k、n)は、最良の人A(t番目)を見出すためにk人までスルーして、
k+1人以降から、最良の人を見出す確率 (n>=3)
つまり、k+1人目以降の人の中から、今まで出会った中で最高の人を
超える人Aを見つける確率を最大にする
まず、明らかにスルーしていいのは、t−1人目までなので、
t−1>=k
次に最良の人Aがt番目に現れる確率は1/nで、そのAに出会う確率はk/(t−1)
つまりk=t−1の時100%でAと出会うがt−1よりkが小さくなるにつれ
Aと出会う確率が低くなる
よって
P(k、n)=(1/n)(k/(t−1))
ただし、t−1=k、k+1、・・・、n−1
よって最良の人Aを見出す確率Pは
P=Σ(t=k+1〜n)P(k、n)=Σ(t=k+1〜n)(1/n)(k/(t−1))
P=(k/n)Σ(t=k+1〜n)(1/(t−1))
ゆえに
P=(k/n){(1/k)+(1/(k+1))+・・・+(1/(n−1))}・・・(1) テイラー展開(使用する知識)
無限回微分可能なf(x)について次式(T)が成り立つ
これをf(x)のx=aでのテイラー展開という
f(x)=f(a)+f’(a)(x−a)+(f”(a)/2!)(x−a)^2+・・・
・・・+({f(a)のn回微分}/n!)(x−a)^n+・・・
f(x)=Σ(n=0〜∞)({f(a)のn回微分}/n!)(x−a)^n・・・(T)
但し^は乗の意味で^nはn乗を意味する以下同様
マクローリン展開(使用する知識)
式(T)についてa=0としたものをf(x)のマクローリン展開という
これは次式(M)で表せる
f(x)=Σ(n=0〜∞)({f(0)のn回微分}/n!)x^n・・・(M) log(1+x)(ただし底はe)をマクローリン展開する
f(x)=log(1+x)とおくと
f(0)=log1=log e^0=0
同等にして、
f’(x)=1/(1+x)、f’(0)=1
f”(x)={(1+x)^(-1)}’=(−1)1(1+x)^(-2)
f”(x)=(−1)(1+x)^(-2)
f”(0)=−1
f(x)の3回微分=(−2)1(−1)(1+x)^(-3)=2(1+x)^(-3)
f(0)の3回微分=2=2!
f(x)の4回微分=(−3)1・2(1+x)^(-4)=−6(1+x)^(-4)
f(0)の4回微分=−6=−3!
f(x)の5回微分=(−4)1(−6)(1+x)^(-5)=24(1+x)^(-5)
f(0)の5回微分=4!
これらを(M)に代入すると
log(1+x)=0+x+((−1)/2!)x^2+(2!/3!)x^3+
((−3!)/4!)x^4+(4!/5!)x^5+・・・
log(1+x)=x−((x^2)/2)+((x^3)/3)−((x^4)/4)+・・・
これを式(2)とする
(2)についてx≒0のとき、log(1+x)≒x・・・(3) 前置きとして
log n=log{(n/(n−1)}{(n−1)/(n−2)}・・・{3/2}{2/1}
∴ log n=log{1+1/(n−1)}+log{1+1/(n−2)}+・・・+log{1+1/1}
(3)より
log n≒1/(n−1)+1/(n−2)+・・・+1/1・・・(4)
∴ log n≒1/(n−1)+・・・+1/k+{1/(k−1)+・・・+1/1}・・・(5)
(4)、(5)より
log n≒1/(n−1)+・・・+1/k+log k
log n − log k ≒ 1/(n−1)+・・・+1/k
∴ log(n/k)≒1/k+1/(k+1)+・・・+1/(n−1)・・・(6)
(1)と(6)より
P=(k/n)log(n/k)
P=P(k)とおくと
P’(k)=(1/n)log(n/k)+(k/n)(log(k/n)^(−1))’
P’(k)=(1/n)log(n/k)−(k/n)(log(k/n))’
P’(k)=(1/n)log(n/k)−(k/n)(1/n)(k/n)
P’(k)=(1/n){log(n/k)−1} P’(k)=0のとき、log(n/k)=1=log e
∴ n/k=e
∴ k=n/e
kの取りうる範囲は1<=k<=n−1
k=1のと、きP’(1)=(1/n)(log n − 1)
初期条件n>=3より P’(1)>0
k=n−1のとき、 P’(n−1)=(1/n)(log(n/(n−1))−1)
初期条件n>=3より P’(n−1)<0
ゆえにk=n/eのときP=P(k)は極大値、最大値をとる
ゆえに最良の人Aを見出す確率Pが最大になるときのkの値は、k=n/e
つまり、n=100(人)のとき、
e≒2.718、1/e≒0.368より
100×0.368=36.8
よって出会いから36人目までスルーして、その後出会った人から、
今まで出会った相性の最高の人を超える人が現れた時点でその人を選べばよい。 秋山は、k/n いくつで選んで
失敗したのだろう? 秋山仁は現在かげろうお銀の由美かおるを内縁の妻としているみたいだね >>27 志村のごろうこうに勝てるのか??
うっかりはちべえの秋山。 秋山仁って京大の院試受けて、面接の時京大教授みんなにあまりの低得点で爆笑されたんだよね 理科大の院がダメで新設されたばかりの上智の院に行ったんだよね
受験生は秋山仁1人だけで合格者1人だったと何かで読んだ 秋山仁の記念館に学費が注がれたのかと思うと腹立つな。 秘書問題
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%98%E6%9B%B8%E5%95%8F%E9%A1%8C
として1960年代から知られてる
マーチン・ガードナーの数学ゲームに紹介されたのが最初で
日本では見合いの問題としてオペレーションズ・リサーチの人が紹介して
いろいろ解説あるのを秋山仁がぱくって林がさらにぱくったんだろ 現実への応用を考えたとき、n=100人ってのはどっから出てきた数値なのか知りたい 現実この板にいる数オタが100人もやれそうな女と出会えると思えるか? 数オタの出会いの数が日本人の平均よりはるかに低いのは明らか
証明は読者の演習問題とする ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています