微積と線形代数のスレ2 [転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 10:27:27.09

微積と線形代数のスレ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:23:14.60

>>27

それは極大な線形独立なベクトルの個数が s であるということを
言っているわけですよね。最大であることは別に証明する必要が
ありますよね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:23:26.12

線形代数の本書いたらｗ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:27:02.28

>>28
その本を頭から理解していった人にとっては、その定理が出てくる時点では自明になってるんだよ。
本の一部だけ切り取って揚げ足取っても無意味。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:27:28.42

「松坂」の微積分
誤植、論理の飛躍はありませんｗ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:32:33.26

ギャップを埋めるとすると以下のような説明になると思うんですよね。

B = (b_1, ..., b_n) とする。

b_1, ..., b_n はすべて b_1, ..., b_s の一次結合で表される。

t > s とする。
仮に b_1, ..., b_n の中に t 個の一次独立なベクトルがあると仮定する。
それらの t 個のベクトルは b_1, ..., b_s の一次結合で表される。
t > s だからそれらの t 個のベクトルは一次従属でなければならない。
これは矛盾である。したがって、b_1, ..., b_n の中に s 個よりも多くの
一次独立なベクトルは存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:35:17.70

馬鹿ほど自説にこだわるｗ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:42:14.14

>>29
極大とは？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:44:08.99

特別講義が楽しみです

放送大学
8月10日21:30 数学の不思議小平邦彦

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:46:56.87

>>29
>最大であることは別に証明する必要がありますよね。
無い。
bs+1,...,bn のどれもb1,...,bs の線形結合で表されるから、最大は s より大きくなり様が無い。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:47:06.13

>>35

それ以上、ベクトルを追加すると一次従属になってしまう

ということです。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:48:28.75

１３２人目の素数さん [] 2013/10/12(土) 21:05:03.02
教科書に以下のような記述がありました。

---------------------------------------------------------------------------------
根号を含む関数は，その対数をとってから微分するとよい。

例題　関数f(x) = x^3 * √(1+x)を微分せよ。

解　両辺の絶対値の対数をとって，
log|f(x)| = 3 * log|x| + 1/2 * log(1+x)
両辺を微分して，f'(x)/f(x) = 3/x + 1/(2*(1+x)) = (7*x+6)/(2*x(1+x))
よって，f'(x) = f(x) * (7*x+6)/(2*x(1+x)) = x^3 * √(1+x) * (7*x+6)/(2*x(1+x))
=(x^2*(7*x+6))/(2*√(1+x))
---------------------------------------------------------------------------------

f(x)はx≧-1で定義されていますが、微分可能なのはx>-1のときですね。
だから、x>-1のとき、f(x)を微分せよという問題ですね。
なぜ、こういうことを教科書では何も書かないのでしょうか？
定義域について意識を向けないというのはよくないことじゃないでしょうか？

さて、前置きはこれくらいにします。
問題は、log|x|とf(x)の合成関数を考えるところです。
log|x|はx≠0に対して定義されています。f(0) = 0ですので、
log|f(x)|はx=0に対して定義されません。つまり上でやっていることは、
x≠0かつx>-1のときにf(x)の導関数を求めるということです。
f(x)を普通に微分して得た、x>-1のときの導関数の式と上のような方法で
求めた式が一致するということは両方とも式で書ける関数であるため、
明らかです。ずる賢い方法ではないでしょうか？少なくとも、x≠0かつx>-1のときに
f'(x) = (x^2*(7*x+6))/(2*√(1+x))となると書くべきではないでしょうか？

さて、それにしても上の村上陽一郎さんの発言はひどいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:49:19.31

>>37
もし証明する必要がないというのでしたら、有限次元線形空間の
基底を構成するベクトルの個数は一定であるという定理も証明
する必要がないということになりますね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:55:33.42

10. Prove or give a counterexample: if T ∈ L(V), then
V = null T ? range T.

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:57:44.39

17. Suppose V is an inner-product space and N ∈ L(V) is nilpotent.
Prove that there exists an orthonormal basis of V with respect to
which N has an upper-triangular matrix.

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 23:59:43.93

>>40
これは具体的に与えられた複数のベクトルの中で線形独立なベクトルの最大数はいくつか
という問題に過ぎない。何故次元の一意性定理を引き合いに出すのか意味不明。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 00:01:57.84

THEOREM 6.1:Any non-zero differential operator P(D) admits a fundamental solution.

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 00:05:33.24

1.1. For most gases at standard or near standard conditions, the relationship among
pressure, density, and temperature is given by the perfect gas equation of state:
p = pRT, where R is the specific gas constant. For air at near standard conditions,
R = 287 J/(kg' K) in the International System of Units and R =
1716 ft・ Ib/(slug・ OR) in the English Engineering System of Units. (More details on
the perfect gas equation of state are given in Chap. 7.) Using the above information,
consider the following two cases:
(a) At a given point on the wing of a Boeing 727, the pressure and temperature of
the air are 1.9 x 104 N/m2 and 203 K, respectively. Calculate the density at this point.
(b) At a point in the test section of a supersonic wind tunnel, the pressure and
density of the air are 1058 Ib/ft2 and 1.23 x 10-3 slug/fe, respectively. Calculate the
temperature at this point.

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 00:05:46.44

>>23
その基本変形（左基本変形）の仕方によっては行列の標準形に到達できないかもしれないわけですよね。
でもそういうことはないということを言わなければならないわけですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 00:09:42.75

>>23

＞＞基本変形の仕方によらず、ある行列の標準形は一意だから何の問題も無い。

↑これは実質的に↓と同じことを言っているわけですよね？

[4.3]から行詰らないことは分かります。もし行詰ったと仮定すると A の階数は n 未満
だということはすぐに分かりますから、[4.3]から A が正則でないという結論になり、
A が正則だという仮定に反します。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 00:11:53.75

>>46
＞でもそういうことはないということを言わなければならないわけですよね。
何故？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 00:18:39.71

>>43

s よりも多くの一次独立なベクトルが存在しないことはどうやって
証明するのですか？

明らかじゃ証明にはなりませんよね。

証明しようと思うと次元の一意性の定理と同じ論法を使うことになり
ますよね。

明らかじゃないことを単に明らかだと思いこんでいるだけでないでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 00:37:08.85

>>49
明らかと思わないなら自分で証明すればいい
お主以外は明らかだから問題無い。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 00:51:34.65

明らかじゃないことを明らかだと思いこむことって多いんですよね。

例えば、素因数分解の一意性を明らかだと思いこんでいる人は多いですよね。

明らかだと思いこんでいる人には証明は不要だから問題ないとは言えないと
思うんですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 00:54:43.59

ここでわざわざ同意を求める程度の理解力

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 01:02:07.16

素因数分解の一意性を明らかだと思いこんでいる人は多いという思い込み

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 06:12:54.48

お忙しいところ質問させてください。

線型空間ｖの三つの部分空間ｗ1，ｗ2，ｗ3に対して
次を証明せよ。
（ｗ1+ｗ2）∩ｗ3＝（ｗ1∩ｗ3）+（ｗ2∩ｗ3）が成り立つ
ならば
（ｗ2+ｗ3）∩ｗ1＝（ｗ2∩ｗ1）+（ｗ3∩ｗ1）

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 07:22:07.20

>>54

(w2+w3)∩w1 ⊃ (w2∩w1)+(w3∩w1) は明らかに成り立つ。

v ∈ (w2+w3)∩w1 と仮定する。

v = v2 + v3 = v1 (vi ∈ wi) と書ける。
v3 = v1 - v2 ∈ (w1+w2)∩w3 = (w1∩w3)+(w2+w3) だから、
v3 = v13 + v23 (v13 ∈ w1∩w3, v23 ∈ w2∩w3) と書ける。

w2 ∋ v2 + v23 = v1 - v13 ∈ w1
よって、 v2 + v23 ∈ w2∩w1

v = v2 + (v13 + v23) = (v2 + v23) + v13 ∈ (w2∩w1)+(w3∩w1)

したがって、 (w2+w3)∩w1 ⊂ (w2∩w1)+(w3∩w1)

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 07:33:46.26

松坂君のくだらない指摘には毎回ウンザリするが、
かといってID:/pRhE1N3の >>27,>>37 のツッコミは
バカすぎて話にならない。

>>27は全く自明ではない。>>37の指摘なんぞは全く間違っている。
一次独立なベクトルの個数の最大値に関する議論では、
松坂君の言う>>28が本質的に効いているのであり、必ず>>28を経由することになる。
すなわち、>>27のどのような証明であっても、必ずどこかで>>28を経由しなければ、
>>27は証明できない。従って、>>37の指摘は全く間違っている。
例えば、>>27は以下のようにして証明できる。

証明：仮定から、<b_1,…,b_n>＝<b_1,…,b_s>である。よって、
dim<b_1,…,b_n>＝dim<b_1,…,b_s> である。dim<b_1,…,b_s>≦s
だから、結局、dim<b_1,…,b_n>≦sである。よって、b_1,…,b_n の中から
s個より多くの一次独立なベクトルを選ぶことはできない。■

この証明では、「 dim<b_1,…,b_s>≦s 」の部分が全く自明ではない。
dim<b_1,…,b_s>≦s の証明には、松坂君の言う>>28が必要である。
そもそも、ベクトル空間の「次元」という概念は、松坂君の言う>>28を、
数学的に便利なツールとして使いやすいように変形しただけの概念であり、
上の証明で>>28が必要になるのは当然のことである。

他の証明を経由しても、最終的には必ず>>28が必要になる。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 07:40:19.13

[補足]

ちなみに、件の>>28を証明するには、次が証明できれば十分である。

定理：s 個のベクトルの一次結合であらわされた (s＋1) 個のベクトルは一次従属になる。

この定理は、s に関する数学的帰納法で証明できる。その数学的帰納法の最中で、
一次従属になるような係数を具体的に計算して見つけ出すことになるのだが、
そこで使われるテクニックは、要するに「掃き出し法」である。
数学的帰納法の論理的な性質により、掃き出し法を表面的に「1回」だけ行えば証明が完了する。
帰納法を使わない場合は、いきなり「s個」の状態から出発して、掃き出し法を何度も
繰り返し使うことで証明できる(が、オススメしない)。
帰納法の場合は、この繰り返し部分が帰納法に内包されるので、
1回の掃き出し法で証明が終わるというカラクリになっている。

これは明らかにBの話に肉薄しており、いい加減な書き方をすると
循環論鋒になってしまうので、注意が必要である。
この件に関しては、確かに本の書き方がいい加減であるように見える。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 08:34:53.63

＞>>37の指摘なんぞは全く間違っている。
ならば>>37の反例を挙げてくれ
s 個の線形独立なベクトルと、この s 個のベクトルの線形結合で表される n-s 個のベクトル
合計 n 個のベクトルのうち線形独立なベクトルが s より大きくなる例を

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 09:08:58.22

>>58
日本語が全く読めてないワロタｗｗ

>>37は「証明の必要がなく自明だ」という意見なのであり、それに対して俺は

「その指摘は間違っている。決して自明ではなく、証明が必要であり、
　具体的な証明は>>56->>57のようになっていて、Bの話に肉薄していて、
　循環論法になりがちで危ない」

と言っているのである。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 09:26:14.23

しかし、なんでこうも>>58みたいな人間が次から次へと沸いてくるのかね。
>>27の設定のもとで

「一次独立なベクトルの個数の最大値がsである」

ということそのものは、疑いようのない事実である。
しかし、ここで問題となっているのは、そのことが

「自明かどうか」

という話である。松坂君は「自明ではなく、証明が必要だ」と言っているのであり、
一方の>>37は「自明であり、証明の必要はない」と言っているのである。
その流れで>>56-57を読んでいるはずの人間が、どうして>>58のようなトンデモ解釈に走るのか、
不思議でたまらない。普通に考えて、>>56にある「>>37の指摘は間違っている」とは

「>>37の『自明である』という意見は間違いであり、実際には自明ではなく、証明が必要だ」

という意味にしか読めないだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 09:40:32.92

微積分のノエル君元気？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 12:14:46.61

教科書がおかしい君
「線形独立な極大部分集合」
って意味分かるか？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 13:13:17.82

>>51
おまいさんは学部1年程度の学力も無さそうだな

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 14:18:57.27

>>62

>>56 も言ってることだが、質問者は
その「極大」が基底ベクトルの取り方に依らない
ことが自明かどうかを問題にしてるんだろう？

「自明」というか、「既習」でいいと思うんだがねえ。
基底の概念が入ってる人なら、そこは解ってないと。
本の適切な場所に記述が無かったのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 14:24:55.29

>>62
「わっかるかな？ワカンねぇだろうなぁー
イェイ！」

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 14:39:36.95

齋藤の線型代数の中の「単因子とジョルダン標準形」の章ってまともなの？
単因子って必要なん？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 14:42:16.95

>>46
そこに説明を添えたければ、こうすりゃいいけど…

行列Ａが、ある左基本変形Ｐ1では単位行列Ｅとなり、
別の左基本変形Ｐ2では階数落ちの行列Ｂになるとする。
(Ｐ1)Ａ＝Ｅ,
(Ｐ2)Ａ＝Ｂだから、行列式をとって
(detＰ1)(detＡ)＝1, detＰ1≠0,
(detＰ2)(detＡ)＝0, detＰ2≠0.
これは矛盾。よって、Ａに対する
やりかけの掃き出し法が途中で破綻すれば、
他の手順の掃き出し法が完遂できることは無い。

でもね、こんなの自明でしょ。
いちいちこんなとこまで書いてたら、本が無闇に
厚くなって、書くほうも読むほうもかなわない。
ある程度の行間は、自分で埋めて読まないと。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 14:44:57.32

斎藤正彦著『線型代数入門』を読んでいます。

エルミート行列の特徴づけとして、

p.63に「任意のベクトル x に対して、 (Ax, y) = (x, Ay)が成り立つことにほかならない。」

と書かれていますがおかしいですよね。

「任意のベクトル x および任意のベクトル y に対して、 (Ax, y) = (x, Ay)が成り立つことにほかならない。」

としなければなりませんよね。

斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』を読んでいます。

p.75に「任意の x ∈ C^n に対して (Ax|x) = (x|Ax) が成りたつことにほかならない。」

と書かれていますがおかしいですよね。

「任意の x ∈ C^n、 y ∈ C^n に対して (Ax|y) = (x|Ay) が成りたつことにほかならない。」

としなければなりませんよね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 15:06:33.91

>>68
全然おかしく無い。
yを定数と見ているだけ。
おまえ任意定数って知らんの？
厳密にやりたきゃ、開論理式、閉論理式とかお勉強することになるが…脳味噌爆発するだろw

学力の無いのが独学すると嵌る見本だな。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 15:22:31.20

数学的読解力がエントリーレベルの人は、もっと簡単な本を読ま無いと駄目だよ。
東大系のテキストはその手の人が読むことを想定して無いから。
松本の「多様体入門」って例外もあるけど。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 16:06:17.16

松坂君はニートかもよ、一日これに費やしてようだし、授業を受けた気配ないし

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 16:33:53.77

松坂君はなんで線型代数しかやらないの？
もっと先の数学をやろうとは思わないの？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 16:42:22.83

松坂君の本職は微積分でしょ
副業の線型代数だとキレがない

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 16:45:03.11

えっ、そうなの。
この状態でεδとかやったら…

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 16:59:21.62

松坂君は昔小平先生を崇拝してたが今は小平の先生の本貶してるｗ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 17:46:51.14

>>28
>t＞s のとき、
>s個のベクトルの一次結合であらわされたt個のベクトルは一次従属になりますから。
本は持っていないが、文の解釈が正しければ、次のように示せる。

s、tは両方共に任意のt＞sなるような2つの正整数として考えてよい。
両方共に或るt＞sなる2つの正整数s、tが存在して、何れも或る
一次独立なs個のベクトルa_1,…,a_s、及び何れも或るst個の0でないスカラー
λ_1≠0,…,λ_s≠0,………,λ_{s(t-1)+1}≠0,…,λ_{st}≠0
に対して、何れも或るt個の一次独立なベクトルb_1,…,b_s,…,b_tが定まり、
Σ(λ_i・a_i)＝b_1　1≦i≦s、
………、
Σ(λ_i・a_i)＝b_s　s(s-1)+1≦i≦s^2、
………、
Σ(λ_i・a_i)＝b_t　s(t-1)+1≦i≦st
とすると、Σ(λ_j・a_j)＝Σb_j　　1≦j≦t。ここで、左辺について、
各j＝1,…,tに対してベクトルa_jのスカラーの和をμ_jとする。
{a_1,…,a_s}を基底とする線型空間の係数体をR、
V_1を{a_1,…,a_s}を基底とする体R上の線型空間とする。
{b_1,…,b_t}を基底とする線型空間の係数体をK、
V_2を{b_1,…,b_t}を基底とする体K上の線型空間とする。
a＝Σ(μ_j・a_j)　1≦j≦t　とおき、b＝Σb_j　1≦j≦t　とおく。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 17:50:56.67

>>28
(>>76の続き)
すると、各i＝1,…,stに対してλ_i∈Rだから、各j＝1,…,tに対してμ_j∈R
であり、そしてΣ(μ_j・a_j)＝Σb_j　1≦j≦tから、a＝b。
よって、線型空間の定義から、R∩K≠φであり、RとKの両方に含まれる最小の環Qが存在する。
a_1、…、a_sはR上一次独立、かつb_1、…、b_s、…、b_tはK上一次独立であるから、
R、K⊃Qからa_1、…、a_sはQ上一次独立、かつb_1、…、b_s、…、b_tはQ上一次独立である。
また、a∈V_1、b∈V_2から、a＝b＝uとおくと、u∈V_1∩V_2。
ところで、V_1∩V_2⊂V_1からu∈V_1であり、V_1∩V_2⊂V_2からu∈V_2である。
更にs＝dim(V_1)、t＝dim(V_2)だから、s＜tからdim(V_1)＜dim(V_2)。
従って、s＝dim(V_1)≧1から、或る左Q-加群Vが存在してV⊂V_1∩V_2
であり、r＝dimVとおくと1≦r≦dim(V_1)＜dim(V_2)。
故に、何れも或るベクトルv∈V、v_1∈V_1、v_2∈V_2＼{0}が存在して、
a＝v＋v_1、b＝v＋v_2。ここで、a、v_1∈V_1、V_1∩V_2⊂V_1だから、
v＋v_1∈V_1∩V_2即ちv＋v_1∈V_1からv＝a－v_1であり、v∈V_1。
また、同様に、b、v_2∈V_2、V_1∩V_2⊂V_2だから、v＋v_2∈V_1∩V_2
即ちv＋v_2∈V_2からv＝b－v_2であり、v∈V_2。従って、v∈V_1∩V_2。
a＝bからv＋v_1＝v＋v_2∈V_1∩V_2だから、同様に、v＋v_1＝v＋v_2∈V_1、V_2
から、各k＝1,2に対してv_k∈V_1、V_2であり、v_k∈V_1∩V_2。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 17:53:04.19

>>28
(>>77の続き)
従ってv_1＝v_2∈V_1∩V_2であり、v_2≠0からv_1≠0。
V_1は{a_1,…,a_s}を基底とする体R上の次元sの線型空間だから、r≦dim(V_1)＝sから
r＜sであり、何れも或るi＝r+1,…,sに対してλ_i∈R＼Q、a_i∈V_1＼Vを
両方共に満たすとすることが出来る。このとき、v_1＝Σ(λ_i・a_i)　r+1≦i≦sとなる。
同様に、V_2は{b_1,…,b_t}を基底とする体K上の次元tの線型空間だから、
r＜tから、何れも或るj＝r+1,…,tに対して1∈K＼Q、b_j∈V_2＼Vを満たす
とすることが出来る。このとき、v_2＝Σ(1・b_j)　r+1≦j≦tとなる。
従って、v_1＝v_2から、Σ(λ_i・a_i)＝Σ(1・b_j)≠0　　r+1≦i≦s、r+1≦j≦t。
しかし、線型空間V_1の係数体R、線型空間V_2の係数体K、及び環QはR、K⊃Qを満たし、
1∈K、Rから環Qは単位元1を持つから、1∈Qとなって、これは1∈K＼Qとしたことに反し矛盾する。

まあ、最初に行列論やっているんだから、行列のところで
列ベクトルやその計算は行列の例として出て来る筈で、上のようにしなくても
a_i、i＝1,…,s、b_j＝1,…,tは列ベクトルになって
a_iとb_jは同じ形の列ベクトルになるのはすぐ分かると思うけど。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 17:54:07.46

本物の後藤さんっぽい

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 18:40:06.98

後藤爺さんは脳味噌に・・が湧いてるのか、「意識がが高い」松坂君とのやりとりは見もの

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 19:27:20.06

>>24
>『斎藤正彦線型代数学』では線型空間の章よりずっと前の行列論のところで同じことを述べています。

『斎藤正彦線型代数学』は知らないが、『線型代数入門』では「行列」の章で
「未知数の数が方程式の数より大きい斉次方程式系は少なくとも一つの非自明解を持つ。」
という命題を扱っており、線型空間の章における
「K^n において n 個より多くのベクトルは線型従属である」という命題はこれの
言い換えに過ぎないから、前者の命題を知ってればほぼ自明となるんだが、
『斎藤正彦線型代数学』の行列論では連立一次方程式論を扱っていないということか？
それとも言い換えと気付かない程度の学力ということなのか？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 20:03:12.75

>論証に大きなギャップ

とな (禿藁

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 20:18:12.53

まーあせるな、コントはこれからｗ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 22:30:11.48

主役がこないと盛り上がらない

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 22:35:14.41

準備中か
結構叩かれてたからな

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 22:44:46.92

種も仕掛けもあります

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 22:46:06.26

初登場の2013年からずっとたたかれてるｗ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 22:48:50.41

デビュー曲は ∫dx/x だっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 22:50:41.00

>>88
>>39

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 22:52:53.10

あんまり変わり映えしないな

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 17:37:01.67

足助太郎著『線型代数学』を読んでいます。

参考文献に伊理正夫著『一般線形代数』が入門書として紹介されています。
『一般線形代数』が入門書ということになると線形代数の入門用でない本
などというものは存在するのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 17:43:14.70

今、線形代数を読んでます。さて完読したのは何冊でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 18:02:00.77

線形代数を捨てて四元数を学ぶべきだな

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 18:32:19.80

今、雪江「代数学１」を読んでます。さっそく誤りをみつけてしまました。４０ページ下から一行目
φ(x)ですよね。ひどいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 20:55:00.33

>>94
このレスに、さっそく誤りをみつけてしまました。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 20:58:22.96

しまうま

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 22:24:55.13

こまけーこたはいいんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 22:27:00.45

2次の直行行列をすべて求めよ。

A = ((a, c)^T, (b, d)^T) とする。 A の2つの列ベクトル、2つの行ベクトルはそれぞれ正規直交系であるから、
a^2 + b^2 = 1,
d^2 + b^2 = 1,
a^2 + c^2 = 1,
d^2 + c^2 = 1
だから
d = ±a,
b = ±c

a^2 + c^2 = 1 だから、ある θ をえらぶと a = cosθ, c = sinθ

さらに a*b + c*d = 0, a*c + b*d = 0 から、
d = a なら b = -c で
A = ((cosθ, sinθ)^T, (-sinθ, cosθ)^T)

d = -a なら b = c で
A = ((cosθ, sinθ)^T, (sinθ, -cosθ)^T)

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 22:45:17.72

>>97
このレスにも、誤りをみつけてしまました。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 22:47:36.41

うるせー

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 22:49:52.32

A = ((sinθ, cosθ)^T, (-cosθ, sinθ)^T) は？
他にも一杯ありそうだね、さあどうする？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 22:56:56.06

2次の直行行列をすべて求めよ。

A = ((a, c)^T, (b, d)^T) を直交行列とする。

A * A^T = E

が成り立つから

a^2 + b^2 = 1
c^2 + d^2 = 1
a*c + b*d = 0

したがって、

φ、θを実数として、

a = cosφ
b = sinφ

c = cosθ
d = sinθ

と書ける。

a*c + b*d = 0 だから
cos(φ-θ) = cosφ*cosθ + sinφ*sinθ = 0 でなければならない。
よって、

φ-θ = π/2 + n*π（n ∈ Z）

と書ける。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 22:57:30.22

したがって、

A = ((-sinθ, cosθ)^T, (cosθ, sinθ)^T)
または、
A = ((sinθ, cosθ)^T, (-cosθ, sinθ)^T)

と書ける。

逆に、 θ を任意の実数とすると明らかに
A = ((-sinθ, cosθ)^T, (cosθ, sinθ)^T)
および、
A = ((sinθ, cosθ)^T, (-cosθ, sinθ)^T)

は直行行列である。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 23:00:26.43

>>98
と
>>102-103
はどちらがいい解答ですかね？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 23:01:36.00

「⇒実数θが存在」の根拠が跳んでね？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 23:02:26.26

ユークリッド平面上の、不動点のある等長変換群を決定するニダ。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 23:02:54.06

せっかくヒントあげたのに。。。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/18(土) 23:04:28.65

>>101

((sinθ, cosθ)^T, (-cosθ, sinθ)^T)
=
((cos(π/2-θ), sin(π/2-θ))^T, (-sin(π/2-θ), cos(π/2-θ)

なので
>>98
の解答に含まれています。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 07:12:55.03

>>98

実は>>98が斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』に載っている解答です。

「d = a ≠ 0 なら b = -c」
「d = -a ≠ 0 なら b = c」

ですよね。

d = a = 0 のときには b = -c なのか b = c なのか決定できませんよね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 07:15:47.70

2次、3次、4次の直行行列で、成分がどれも 0 でない有理数であるものを（ひとつ）さがせ。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 07:27:25.51

3^2 + 4^2 = 5^2
(3/5)^2 + (4/5)^2 = 1
A = ((3/5, 4/5)^T, (-4/5, 3/5)^T)
は2次の直行行列。

3^2 + 4^2 = 5^2
5^2 + 12^2 = 13^2
したがって、
3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2
(3/13)^2 + (4/13)^2 + (12/13)^2 = 1
A = ((3/13, 4/13, 12/13)^T, (-4/13, 12/13, -3/13)^T, (12/13, 3/13, -4/13)^T)
は3次の直行行列。

13^2 + a^2 = b^2 となるような整数 a, b を見つける：
13^2 = b^2 - a^2 = (b - a)*(b + a) = 1 * 13^2
b - a = 1
b + a = 13^2 = 169

2*b = 170
b = 85
a = 84

13^2 + 84^2 = 85^2
3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2
3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2
(3/85)^2 + (4/85)^2 + (12/85)^2 + (84/85)^2 = 1

A = ((3/85, 4/85, 12/85, 84/85)^T, (-84/85, -12/85, -3/85, 4/85)^T,
(4/85, -3/85, -84/85, 12/85)^T, (-12/85, 84/85, -4/85, -3/85)^T))
は4次の直行行列。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 07:40:06.91

(3/85)^2 + (4/85)^2 + (12/85)^2 + (84/85)^2 = 1
という関係式から

u1 = (3/85, 4/85, 12/85, 84/85)^T
という成分がすべて0でない有理数である、長さが 1 のベクトルを見つけました。

そして、 u1 の成分を並べ替えて、成分に適当にマイナスを掛けることによって、

||u_i|| = 1
(u_i, u_j) = 0 (i ≠ j)
となるような以下の 4 つのベクトルを見出しました。

u1 = (3/85, 4/85, 12/85, 84/85)^T
u2 = (-84/85, -12/85, -3/85, 4/85)^T
u3 = (4/85, -3/85, -84/85, 12/85)^T
u4 = (-12/85, 84/85, -4/85, -3/85)^T

質問なのですが、

u1 = (a, b, c, d, ...) （a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ... = 1、a, b, c, d, ... はゼロでない有理数）

というベクトル u1 の成分を並べ替えて、成分に適当にマイナスを掛けることによって、

||u_i|| = 1
(u_i, u_j) = 0 (i ≠ j)
となるようなベクトルを見つけることは常に可能なのでしょうか？

それとも、上のように u1 から u2, u3, u4 を見つけることができたのは偶然なのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 07:44:51.02

ちなみに、斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』の解答は、以下です。
説明はなく答えだけ書いてあります。

A = ((4/5, 3/5)^T, (-3/5, 4/5)^T)
は2次の直行行列。

A = ((1/3, -2/3, -2/3)^T, (-2/3, 1/3, -2/3)^T, (-2/3, -2/3, 1/3)^T)
は3次の直行行列。

A = ((1/2, -1/2, -1/2, -1/2)^T, (-1/2, 1/2, -1/2, -1/2)^T,
(-1/2, -1/2, 1/2, -1/2)^T, (-1/2, -1/2, -1/2, 1/2)^T))
は4次の直行行列。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 13:27:00.04

斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』を読んでいます。

行列式の定義に登場する S_n の元の性質や符号関数 sgn に関する性質を
詳しく書いていますね。

偶置換、奇置換が定義できることを証明するのに、差積などという不純なもの
を使用していないのがいいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 13:37:53.45

sgn の性質って単純な話なのに証明しようと思うと結構長くなるんですね。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 13:48:17.90

斎藤正彦著『線型代数入門』と『斎藤正彦線型代数学』。

『斎藤正彦線型代数学』は確かに内容面で改良されているように思います。

『線型代数入門』：
ハードカバーであるのは良くない。
趣味の悪い緑色のカバーは良くない。

『斎藤正彦線型代数学』：
ソフトカバーであるのは良い。
カバーに書かれている趣味の悪い宣伝文は良くない。
タイトルに著者の名前が含まれているのは良くない。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 13:54:34.72

俺もソフトカバー派

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 17:32:04.35

ネタ切れｗ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 18:08:35.48

>>76
スルーか、可哀相

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 20:37:04.75

A を (m, n) 型行列、 B を　(n, m) 型行列とする。
E_m + A*B が正則なことと、 E_n + B*A が正則なこととは同値であることを示せ。

ごちゃごちゃ計算してたら解けました。

解答：
E_m + A*B が正則であると仮定する。
(E_m + A*B)*C = C*(E_m + A*B) = E_m となるような (m, m) 型行列 C が存在する。

C + A*B*C = (E_m + A*B)*C = C*(E_m + A*B) = C + C*A*B
より
A*B*C = C*A*B

(E_n + B*A)*(E_n - B*C*A) = E_n + B*A - B*C*A - B*(A*B*C)*A
= E_n + B*A - B*C*A - B*(C*A*B)*A
= E_n + B*A - B*(C*(E_m + A*B))*A
= E_n + B*A - B*E_m*A = E_n + B*A - B*A = E_n

したがって、
E_n + B*A は、正則である。

逆も同様にして示せる。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 20:48:10.61

斎藤正彦さんの解答は以下になります。

>>120
の解答のほうが分かりやすいですし、具体的に逆行列が求まっているという点で優れていますね。

解答：
問題は m と n に関して対称だから、 E_m + A*B が正則なら E_n + B*A も
正則であることを示せばよい。かりに E_n + B*A が正則でないとすると、ゼロでない
n 項列ベクトル u で、 (E_n + B*A)*u = 0 なるものが存在する。
B*A*u = -u ≠ 0 だから A*u ≠ 0。
0 = A*(E_n + B*A)*u = (A + A*B*A)*u = (E_m + A*B)*(A*u) だから
E_m + A*B は正則でない。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/19(日) 21:44:59.74

ツイッターである画像が話題になっています。
https://twitter.com/oosakitakashi/status/621669244934041600

テレ東で中核派として登場した女性が
TBSに、一般市民としてインタビューを受けていたようですが

これは仕込みでしょうか？？？

TBSは中核派を一般市民として扱ってるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/20(月) 08:00:41.89

斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』を読んでいます。

行列式の列に関する多重線型性の証明が誤っています。

斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』の行列式の定義ですと、
行列式の行に関する多重線型性を証明するのが自然です。

以下の画像で赤で囲った部分を見てください：
http://i.imgur.com/SpvI79b.jpg
http://i.imgur.com/hIwRc6Y.jpg

ちなみに、斎藤正彦著『線型代数入門』も『斎藤正彦線型代数学』と
行列式の定義は同じですが、やはり行列式の列に関する多重線型性のほう
を定理として述べています。証明は明らかだとして省略されていますので
誤りとはいえませんが、不自然ですよね。出版から半世紀以上が経つベスト
セラーの本であるにもかかわらず、こんな基本的なところが直されていない
とは驚きです。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/20(月) 09:14:27.15

斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』を読んでいます。

行列式の列に関する交代性の証明で、不自然なところを見つけました。

σ と τ の順序が不自然です。
τσ の順に書くのが自然です。

http://i.imgur.com/KxGfDep.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/20(月) 11:49:18.00

こんな瑣末なところをわざわざ画像うｐして揚げ足取りとは驚きです。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/20(月) 12:10:17.26

馬鹿の読んだ数学書の古本は読めたもんじゃ無い
本の最初の方にだけやたら大量の赤線
しかもトンチンカンなどうでも良い場所に orz

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/20(月) 12:13:16.69

>>124
全く自然だし、仮に不自然だったとしても正しい証明なら問題無い
つまりお主の指摘は二重に間違っている

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/20(月) 12:45:21.05

掛け算順序問題の弊害か