数学基礎論・数理論理学 その16 [転載禁止]©2ch.net
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数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その15
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1415660285/ 集合論の形式化に使われている基礎論において定理の証明に集合論のZornの補題が使われるのは循環論法だと思いました。 循環論法が定義されてないからあれだけど、少し言い過ぎたかも。
公理的集合論が完全性定理に依存してる訳じゃないからな。 と思いましたが、集合論の形式化に使われる類の述語論理の完全性定理の証明には
Zornの補題は必要ないようですね。なら別に循環論法ではないですね。 書き込みが被りました。すみません。
>>954 は >>952 の続きです。 いや、そうじゃなくて…
集合論の初歩的な部分ではメタ的な考察は必要ないから、完全性定理の出る幕はないって言ってんの その完全性定理を完全な形で証明するためにはZornの補題のようなものが必要なんですよね
このZornの補題は何者でしょうか？
公理的集合論の公理または定理ですか
素朴集合論の公理または定理ですか それはどちらにでもできるんじゃないかと思う。けど... そもそも、モデルという概念自体に
本質的に集合の概念を使ってるじゃん
メタレベルという事と
意味論を考える事は別の事だからね >>947
そういう諸々の基礎付けをするために公理を揃えて無矛盾性を示そうとして、無理だとわかったのが不完全性定理だから、背理法に限らず現在の数学に根拠はない
後者については数学の各分野について述語論理でかけることを一つ一つ確かめていくだけだから別にめんどくさいだけで、途方もないと言うほどではないんじゃないかね いまどき確実な根拠の上に数学を基礎づけようとなんて誰もしていない訳で
（不完全性定理により不可能と分かったのだから）
いまは>>893辺りで言われているように循環論法を積極的に使って
新しい結果を得ていこうというのが最近の基礎論の方向性なんじゃないかな。 >>962
根拠付けと不完全性はそれほど関係ないだろう。
すべてを決定したいわけじゃないからな。 決定不能な命題があるとか無矛盾性を証明できないとか、そんなことが「数学で用いられている論証が確かな根拠に基づいているか？」という問題意識にどう影響するのだ？ ゲーデルの不完全性定理を根拠に数学の基礎付けを諦めてるやつは半可通 >>966
自分には公理的な方法以外で万人が納得する基礎付けが想像もできないんだが、他にアプローチがあるなら教えてほしい 基礎付けを無矛盾性証明の同義語と捉えてる人、いるんじゃない？ >>968
現代では「基礎づけ」に様々な意味を与えているけど、
「数学基礎論」・foundations of mathematics という言葉が生まれた当初は
無矛盾性証明とほぼ同義語だったんだろうね。 無矛盾ていうのは個別の理論の性質に過ぎないわけじゃん。
もちろん自然数とか集合は数学全体の基盤に「極めて近い」からその無矛盾性が基礎付けに寄与するのはわかるけど。 ZFCが数学全体とぴったり一致はしないまでも
少なくとも数学全体を含む（形式化できる）というのは
専門家の間で合意が形成されているのでは？
その合意に異議があるということ？ >>972
ZFC以前の述語論理による証明プロセスの根拠付けのことだろう 質問なんですが、本橋信義さんってトンデモなんですか？
現代論理学入門とか情報時代の論理とか論理学は数学の役に立つかとか数学的帰納法関連の本とか何冊も出してますが
このスレにおられる基礎論や数理論理学が専門の方々から見て本橋さんの論理学関連の本はトンデモなのでしょうか？
なぜ、そういう疑問を抱いたかと言うと、以前、本橋さんの本の１冊を読んだ時、「ゲーデルの不完全性定理は
計算可能性とかとは全く関係ない。他方、完全性定理は計算可能かどうかと深く関わっている」という趣旨のことが書かれているのを
見たからです。（多分、岩波からの『現代論理学入門』だったと思います）
自分は基礎論とかは素人で趣味で勉強しているだけですが、ゲーデルの不完全性定理の証明（例えば林先生が訳された
岩波文庫の）を読むと、証明（というか論理体系の構文的な側面）に関する諸概念を自然数とその上の原始再帰関数として
エンコードして扱おうとしているように見えて、従って不完全性定理は計算可能性の概念と深く関わっていると感じ、
他方、ゲーデルの述語論理の完全性定理が主張している内容およびその証明は計算可能性とは全く無関係に感じたからです。
でも素人なので自分の判断は間違っているかも知れないと思い、基礎論が専門の方々に本橋さんの本に関するご批評を
伺いたい次第です。宜しくご教示くださるようお願いします。 >>974
完全と不完全を入れ替えたら意味が通る。
ただのタイポか、原文が合っていてあなたがうろ覚えなのかどちらか。 どのような根拠で実際にどのように書かれていたのかはっきり示さずに
「トンデモなんですか？」と質問するw >>562
様相論理はゴミ
中学校レベルの数学にすら到達できないギリシア時代の論理 数理研研究集会の講演タイトルを見ていてギョッとした
9 月 27 日（火）
10:00-10:50 新井敏康（千葉大）
角田先生，証明論を分かって下さい >>981
造語って言うか数学基礎論が目指していた(いる?)ところのものが「数学を基礎づける」という意味で使っているが、そんな特殊かな 別の言い方をすれば、無矛盾性の証明以外で何をすれば数学基礎論が進歩したとおもわれてるの?最近の研究者のあいだで。 >>983
文字列配置だけを頼りに言葉を同定してる人なんだろ >>983
全く通じない
そもそも「目指していた」というのは思い込みで既に達しているから
基礎という概念を理解してないからこんな造語を出来る >>983,988
定義されてない妄想を前提に議論が出来ると思ってる奴は数学基礎論に向いてない
集合と論理を根本的に理解してないな >>1に
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
とあるように、自分と>>986では「基礎」が何かについて差があるんだとして、
>>986は数学基礎論が何を「すでに達した」と考えていて、何を「基礎」と考えてるのか教えてほしい。 >>990
これは0点
数学基礎論は確立している
確立していないと主張する方が定義した上で議論を始めなければ論外
証明責任を果たしていない 既に定義されたことしか議論できない人は数学基礎論（哲学の一種）には致命的に向いてませんよ >>992
バカだから哲学なんて言い出す
知能指数足りてない >>992
自分が語ろうとすることすら定義出来ないのはただの無能
知能が低いバカだから数学基礎論は向いてない 自分が語ろうとすることすら定義出来ない無能は常に「新発見」をする
車輪の再発明に過ぎないのになw
オカルトに走るのもこういうガイジ >>992
もう既成論文の継ぎ合わせで研究者人生を全うできる。 >>991
いや、だから>>991が何を「基礎」で何が「数学基礎論」だと思ってるのかを書いて証明責任を果たしてくれよ >>993
>>1に書いてある現実を受け入れることだ
君の考えるTHE数学基礎論を主張するのは、君の哲学的信念の表明に他ならない このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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