5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止]©2ch.net
5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
しかしそれは我々が知ってる実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)で表現できないというだけで、
実数の表現を拡張して、5次方程式の解の公式を一般化する為の実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。
ガロワはなんでそんな事に気づかなかったんだ？
人類は二次方程式や3次方程式の解を一般化する為に平方根や冪根、複素数を産み出した。
5次方程式の解の公式がそれまでのやり方で得られないからとなぜ諦めるのか？新しい実数表現を作れば良いではないか。 a, b∈R が動くとき
a+bi がとる値全体は C だし a+bω がとる値全体も C
添加元の選び方が違うだけで新しい数は作れてないでしょ
R(ω)=R(i) が意味するのはこれに近い
a+b(5+7i) みたいなのでもいいの
基底はガウス平面で直交しないが斜交座標での計算は行列の守備範囲内だろう
それとも
ωを複素数にない独自のものの記号として使っているの？
だとしたら複素数解を得られる保証はない 今井って現在83歳だったんだな。
最新の安否不明者のリストには載ってないから
安否確認されたんだろうな。 なぜこのスレで今井の話か？というと
角の三等分家とマチガッテル系というか
このスレの三等分家さんとも心理的な共通項
があると感じるから。今井というひとは
現代数学が初歩の部分でマチガッテルまたは
不十分であるという主張だったから。 複素数を複ベクトルと言い変えて、車輪の再発見
みたいなことやってたのも、このスレのひとと
共通点がある。このスレの三等分家さんは理解が
まだまだ不十分だが、理解が深まって「完成」に
近づけば、結局「車輪の再発見」のようになるはず。 逆写像f-1
fg=1、gf=1、全単射のときのみ 加法が定義され、結合律が成り立ち、単位元を持ち、逆元が存在し、可換律を満たす。加法群をなす。0、-x 分配法則
結合法則(ab)x=a(bx)
1x=x
スカラー乗法 φ(a×b)=φ(a)××φ(b)
φ(a+b)=φ(a)++φ(b)
準同型。同型
V≃V' >>757
複素数解と言っても、得られる保証が有るのは数値解でしかないと思います。
だとすれば、幾何と代数の同一視が過ぎると思うんですよね。 >>823 数値解でええやん 冪根とかいうても最後は数値にするなら同じやん 数値解しか求められないのであれば、それは「いくらでも真の値に近づける」ではなく、「その表記法では表すことができない」
という意味でしかないと認識すべきだと思います。
どうしても代数的に表せない場合は、仮に幾何的な直観で正しいように見えても、実は的外れであるという危険性が存在していると
思うんですよね。 >>825
訳の分からないことを言ってる自覚はありますか？ >>3
噂ってか当たり前のことじゃね？
五次方程式が代数的に解けないってのは
そのR(a,b)を代数的に表せないってことと等価なんだから 例えば、「1の原始9乗根はa+biなる形で表すことができない（原始3乗根のさらに3乗根と表示する以外に方法がない）」という
事実が有るそうです。（Yahoo知恵袋より）
構造的に無理なのに、幾何的直観だと、何か都合のいい適当な実数を使えばa+biと表せるはずと感じるわけです。しかし、その
適当な実数が正確に何なのかは、そもそも原理的に表すことが出来ないということです。それは、本当に数直線上に存在している
のでしょうか？
また、１の原始５乗根のような基本的な対象は、（お互いに、他の元との実数倍の和では移れないという意味で）それぞれが独立
していそうなものですが、複素数平面上では独立していないことになります。私は、４乗根まではちゃんと独立しているのに５乗根
では成り立たなくなる事と、５次方程式が代数的に解けないと思われている事とが、同根だと思うんですよね。
果たして２重根号は、数直線という直観で捉えられるものなのでしょうか？
あと、プラスの数とマイナスの数をそれぞれ独立にではなく、まず足してから複素数平面上にプロットするということは、絶対値で
考えるという事になってしまうと思います。 ナポレオンの言葉
Impossible, n'est pas français.「不可能という言葉はフランス的ではない」
を見ると、「角の三等分家」が世に絶えない理由も分かる。
意外に世の中にはこういう思考法のひとが多いのかもしれない。
「代数方程式のべき根解法が一般的には不可能であるが、同時に
べき根解法可能な各次数の既約代数方程式のクラスが存在する」
という高度な認識は、ガウスからアーベル、ガロアにまで
連なるもので、現代数学では常識だが、一般人にとっては
空谷の跫音なのかも。（さらに一部のひとにとっては
断崖絶壁の理解の彼方なのかも。） >>830
一時期
ここ5chみたいなSNSで「悪魔の証明」を連呼するニワカみたいなのをよく見かけたが
ネット認証もちゃんと数学的な証明を実用品として使ってる営みの一例なんだよなあ。 >>757
行列の計算というのは、「和で結ばれた異なる項に対して、それぞれ異なる符号を掛ける事」を許しているのが特徴だと思うんですよね。
理由は、例えば２＊２行列の掛け算では、|A C|を|A + C|と見做すと、１列目は「１列目にAを、２列目にBを掛ける数」で、２列目は
|B D| |B D|
「１列目にCを、２列目にDを掛ける数」と考えられるので、後は普通の掛け算（"α＋β"×"γ+Δ"）と同じと見做せます。ただし、
それぞれの項を掛け合わせる際は、左側が掛けられる対象で右側が掛ける倍数となり、例えばα×γなら「αの数値、αの列の位置、γの
数値、γの列の位置」と並べれば、真ん中の「αの列の位置、γの数値」で何倍するかが決まり、残りの情報と合わせて答えが出ます。
そして、A は +X +Yと分解できるので、結局「異なる項に異なる符号を掛ける演算」（+Y）が存在すると言えると思うんですよね。
B +X -Y -Y
例えば普通の計算上は”AーB＝C”だとしても、この演算の下では、”AーB”と”C”は必ずしも同じとは言えないと思うんですよね。ですから
プラスとマイナスを足してから複素数平面にプロットすることは、ある意味で絶対値をとっている様なものだと思います。
ちなみに、+と+（２列目は+と-）をプラスの符号と考えて、その逆はマイナスとすると、行列を２乗した時に普通の掛け算と比べて
+ - + +
マイナスが１回多く掛かる組み合わせを足し合わせると、行列式と等しくなります。行列式は絶対値の拡張だと思うので、正方行列で且つ
斜めの位置関係の要素を一纏まりの数と考えた方が自然だと見れば、そもそも普通の掛け算と行列の積をごっちゃに考えることが間違い
という可能性もあります。 すいません、表示がおかしくなっていました。
>>757
行列の計算というのは、「和で結ばれた異なる項に対して、それぞれ異なる符号を掛ける事」を許しているのが特徴だと
思うんですよね。
例えば２＊２行列の掛け算では、｜A C｜を｜A＋C｜と見做すと、１列目は「１列目にAを、２列目にBを掛ける数」で
｜B D｜ ｜B D｜
２列目は「１列目にCを、２列目にDを掛ける数」と考えられますから、後は普通の掛け算”（α＋β）×（γ＋Δ）”と
同じ様に計算出来ます。（ただし、それぞれの項を掛け合わせる際は、左側が掛けられる対象で右側が掛ける倍数となり、
例えば上記の”α×Δ”なら「α、１列目、Δ、２列目」と情報を並べて真ん中の「１列目、Δ、」の部分で何倍するかが
決まり、残りの情報と合わせて答えが出ます。）それら各項は＋Xと＋Yに分解できるので、結局、「異なる項に異なる
＋X −Y
符号を掛ける演算の存在」が言えると思うんですよね。そして、この演算の下では”A−Aの個数”を気にする必要があるので
一概にプラスとマイナスを足して一つにすることは出来ないと思うんですよね。
ちなみに＋と＋（２列目は＋と−）がプラスの符号で、その反転はマイナスと考えて、2乗した時にマイナスが１回分余計に
＋ − ＋ ＋
掛かる組み合わせのみを足し合わせると、行列式と等しくなります。行列式は絶対値の拡張だと思うので、正方行列で且つ
斜めの位置関係の要素を一纏まりの数と考えた方が自然だと見れば、そもそも普通の掛け算と行列の積をごっちゃに考える
事が間違いという可能性も有ります。 1の原始11乗根の厳密解を求めてみたけど、反応がイマイチだった。
cos(2π/11)は参考サイトの1番目に具体的な式が提示されているけど、
sin(2π/11)はググってもどこにも無い感じなので頑張って計算してみたのだが...
というかカンニングして何とか求まったって幹事だが...
どのスレに書こうか迷ったけどとりあえずここに貼ってみる
exp(i*2π/11)=cos(2π/11)+i*sin(2π/11)=
-1/10
+1/40(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
+1/40(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)+(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
+1/40(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
+1/40(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)-(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
+i/10√(55
-5(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-5/4(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)+(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
-5(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-5/4(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)-(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
)
=0.841253532831181168861811648919367717513292498420537898642650117...+0.540640817455597582107635954318691695431770607898113840035749889...i
cos(2π/11) を冪根で求めようとしたらとんでもないことになった(2/11,3/10追加) | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12570494916.html
Fermat's Last Theorem: Vandermonde: Eleventh Root of Unity expressed as radicals
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/01/vandermonde-eleventh-root-of-unity.html
math discoveries
https://mathandnumberystuff.tumblr.com/tagged/roots%20of%20unity
くろべえ: 1の累乗根（x^n-1=0 の解）の図
https://kurobe3463.blogspot.com/2007/05/figure-of-radical-root-of-1.html >>834
5乗根を使っていますが、それは次の意味でいいですか？
「複素数zに対して、zの偏角の主値をArg(z)=θとするとき
z^{1/5}=|z|^{1/5}*exp(iθ/5) と定義する。」
偏角の主値
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%81%8F%E8%A7%92
あと、虚部の最初の項
>+i/10√(55
が明らかにおかしい。これはi√11/10 であるはず。 >cos(2π/11) を冪根で求めようとしたらとんでもないことになった
はっきり言ってど素人の計算。
とんでもなくなるのは、根本的なことが分かってないから。
200年以上前のガウスの計算の方が遥かに遥かにレベルが高い。
ど素人と数学者の差は大きいということ。 ガウスD.A.執筆時ハタチ前後。どこに曖昧さが生じて
どこが曖昧さなく定まるのかということまで含めて
非常に注意深く書かれている。ところで、ガウスは
「べき根解法」とか「代数的解法」という言葉は使わない。
「混合方程式の純粋方程式への還元」という。
この言葉の遣い方も、よく考えられていると思う。 実は、cos(2π/11)のべき根表示が求められていれば
そこからsin(2π/11)の表示を得ることは
難しくはない。2次のガウス和及びヤコビ和という
ものが使われる。ただし、それはcos(2π/11)の
値が「きちんと、注意深く」求められていれば
という前提での話で、>>834のリンク先ではそれが
なされていないので、全く明解ではない。
ど素人の計算たる由縁。 >>834のリンク先の計算はゴミと考えてよい。
まず、cos(2π/11)のべき根表示を求めるのに
「短くなった」と言って、それでも十何ページも
かかっているのがおかしい。見通しが悪すぎる。
きちんと求まってもいない。単にべき根表示式と
数値計算が合うように腐心しているだけ。
きちんと求まっているとはどういうことか？
cos(2π/11)の表示が求まれば、そこから
sin(2π/11)の表示は難なく求まる。
また、exp(4πi/11),exp(6πi/11),...
の表示式も同時に明解に得られる。そういうこと。 >>835
> あと、虚部の最初の項
> >+i/10√(55
> が明らかにおかしい。これはi√11/10 であるはず。
>>834で正しいよ
>>835=ど素人未満 >>840
虚部の最初の項は2次のガウス和であらわされることは理解してますか？
ψを2次指標とすると、ψ(-1)=-1,τ(ψ)=i√11 であり
τ(ψ)/10 となるはず。
ちなみに実部の最初の項は、1を自明指標として、τ(1)/10 =-1/10
で合っている。
exp(i*4π/11),exp(i*6π/11),...
はどうなるの？ まったく示されていないよね。
べき根の意味も明示されていない。
>>835の意味でいいの？
そこまで考えられてないなら素人仕事と言われても
仕方ないね。 複素数のべき根は、一般に多価であり
偏角の主値などを使って、意味を決めておく必要がある
そのことにまったく注意を払わないのはど素人。 >どこに曖昧さが生じてどこが曖昧さなく定まるのかということ
本当はこういうことが数学的には大事なんだよ。
そのことにハタチそこらで自力で気づいていた
ガウスは天性の数学者であり
ともかく「公式のようなもの」さえ
得られればいいと思ってるのは、公式バカ。
それさえも>>834は間違ってるっぽいが
そうなったのも当然の帰結と言える。 a=>>834の式とすると|a^11-1|<10^(-10000).
間違いで一万桁も一致させられるなんて天才では. >>844
「べき根表示式を元に数値計算した」なんて証拠はまったくない。
cos(2π/11),sin(2π/11)の函数値を書いただけなら
一致しているのは何ら不思議はない。
そんなロジックも分からないのは天才どころか「頭が弱い」。 proc()begin
DIGITS:=10240;
a:=
-1/10
+1/40*(-1+sqrt(5)+I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89+25*sqrt(5)+(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+1/40*(-1+sqrt(5)+I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)+(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+1/40*(-1+sqrt(5)-I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89+25*sqrt(5)-(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+1/40*(-1+sqrt(5)-I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)-(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+I/10*sqrt(55
-5*(-11/4*(89+25*sqrt(5)+(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
-5/4*(-1+sqrt(5)-I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)+(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
-5*(-11/4*(89+25*sqrt(5)-(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
-5/4*(-1+sqrt(5)+I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)-(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
);
b:=float(a);
c:=abs(b^11-1)*10^10000;
print(float(floor(c*10^300)/10^300));
end_proc();
0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000044470036415117348991742799543132170618158629999\
260373 >>846
なるほどね。
>+I/10*sqrt(55
以下式が続いてたわけね。それなら合ってるのかもね。
根をべき根たちの線形結合の形であらわせば
平方根の項（ガロア群の作用で±1倍の違いが生じる）
として、i√11/10 が単独で必ず括り出されることは確かだけどね。 >根をべき根たちの線形結合の形であらわせば
なぜこの形にすることに意味があるかと言えば
ガロア群の作用による係数の変化が一目瞭然だから。
結果として、exp(2π/11)の一つのべき根表示式から
すべてのexp(2kπ/11),(k=2,3,...,10)のべき根表示
が同時に得られることになる。
つまり、一つの表示式は簡単な係数変化で、同時に
10個の根の表示を兼ねるわけ。2次方程式の解の
公式が2つの根を同時に示しているようにね。 訂正
>exp(2π/11), exp(2kπ/11)
→exp(2πi/11), exp(2kπi/11) >>840
うむ。
結局、「sin(2π/11)」の冪根を求めるのか、「i*sin(2π/11)」の冪根を求めるのかって話だね。
結論から言うとどちらも可能だが、「i*sin(2π/11)」よりは「sin(2π/11)」で表した方が便利だよねって話。 i*sin(2pi/x)=√(cos(2pi/x)-2)/2
sin(2pi/x)=√(2-cos(2pi/x))/2 >>851
こうですね。
nが4以上のとき (0≦θ≦π/2)
√(1-cos(2π/n)^2)=sin(2π/n)
√(1-sin(2π/n)^2)=cos(2π/n)
√(cos(2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)=i*sin(2π/n)
√(sin(2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)=i*cos(2π/n)
√(cos(-2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)
√(sin(-2π/n)^2-1)=cos(-2π/n) >>851 >>853
やってしまった
nが4以上のとき (-π/2≦θ≦π/2)
√(1-cos(2π/n)^2)=sin(2π/n)
√(1-sin(2π/n)^2)=cos(2π/n)
√(cos(2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)=i*sin(2π/n)
√(sin(2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)=i*cos(2π/n)
√(cos(-2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)
√(sin(-2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)
√(1-cos(-2π/n)^2)=sin(-2π/n)
√(1-sin(-2π/n)^2)=cos(-2π/n) >>854
それらの公式だけからsinとcosの値の体論的な関係が
把握できると思ってるなら間違ってますよ。
たとえば nが4で割れない整数のとき、√(1-sin(2π/n)^2)の
√記号は見かけに過ぎない。すなわちこのとき、cos(2π/n)は
sin(2π/n)のQ係数有理式であらわされる。
証明できますか？ 
