5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止]©2ch.net
5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
しかしそれは我々が知ってる実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)で表現できないというだけで、
実数の表現を拡張して、5次方程式の解の公式を一般化する為の実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。
ガロワはなんでそんな事に気づかなかったんだ？
人類は二次方程式や3次方程式の解を一般化する為に平方根や冪根、複素数を産み出した。
5次方程式の解の公式がそれまでのやり方で得られないからとなぜ諦めるのか？新しい実数表現を作れば良いではないか。 >>639
「判定し、」と書いてるから平方剰余を知らないと思った K が F_2 を含む体であるとき
K 上の2次方程式の解が四則と冪根で表せない場合があるよ(>>49)
面倒だね
根を文字でおいて無理矢理拡大できるから
もう今の学者は冪根で解くことに執着していないのだろう 平方根だから（有限）体の中に根があるならば
ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？ >>645
>>ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？
どんな距離に関して？ 部分体を持たない素体のなかの「距離」としては、自明なものしかないだろ。
つまり一致するかしないかだけ。
たとえば平方根を求めるためのニュートン法は有理式の反復の形にかけるから、
体上では実行可能だろう。それがどのような挙動を示すだろうか。
たとえば、比較的体の要素数が大きくても、初期値のある程度の割りあいに
対して少数回の反復でもって、平方根に到達するということがあったりすれば
（願望だが）、良いのになという話。たぶんそうならないかもしれないが、
それはそれで面白い。 いくつかの例で多少実験してみたところ、
どうもニュートン反復式は、素体の中で平方根を
求める役には全然たちそうもないことがわかった。 Z/pZ 上のm次多項式f(x)を既約分解すれば、
1次因子があれば、それがf(x)=0のZ/pZに於ける解になる。
2次の既約因子があればZ/pZ上の2次拡大体の中に2次既約因子の個数の2倍の解がある。
3次の既約因子があればZ/ｐZ上の3次各大体の中に3次既約因子の個数の3倍の解が、
。。。
既約分解を行う算法は既に存在していて、数式処理などでは使われている。 要素の数が有限の体は、標数が素数ｐであって、
要素数が素数ｐからなる要素数がｐの体であるか
またはそれの任意次数の代数拡大で得られる体に同型である。
拡大次数をｍとすればその要素数はｐのｍ巾になる。
つまり、要素数が有限である体は極めて限られた存在で
豊富さに欠ける。 素数は豊富さに欠けるということになるから、間違った主張である >>644
Abel方程式にはまだ執着しているようだ やっぱり、５次方程式は普通に係数比較をして、代数的に解けるんじゃないかと思えるんですよね。
4次以下の場合と、条件を同じにできると思うんですよね。 ネットをちょっと読んだくらいで分かった気になるんじゃなく
一度くらいはこれをメインに扱ったちゃんとした教科書読んだ方がいいぞ
ラグランジュの考えたなぜ3次方程式や4次方程式は解けるのか?
ラグランジュの分解式みたいな話から読んだ方が多分いい
ガロア理論使うと5次以上の一般解がない証明はかなり短いんだけど
具体的な計算とはかけ離れた証明で一般人置いてけぼりだからな
5次対称群には正規部分群の系列がないみたいな証明 「普通に係数比較をして、代数的に解けるん」
だったら誰かやってるはずだろ、という
考えに至らないとか
アーベルによる不可能性の証明があるにも関わらず
「それでも俺にはできそうな気がする」
という信念が何処から来るのかが気になる。
が、これはそれほど珍しいことではなく
「角の三等分家」という類型として知られており
世の中には一定数いるタイプ。 ガロア理論は以下のことを含んでいる。
・5次以上の一般代数方程式が代数的には解けないことの証明。
・一般的には解けなくても、個々の方程式は解ける場合もある
その違いはどこから来るか？という問題に対して
「方程式のガロア群」が定義されて、それが
可解群であるか非可解群であるかによって定まる
という解答を与える。
・ガロア群が可解群であり、その根への作用が
分かっている場合には、べき根解法に対して
透明な計算法を提供する。
というわけで、この天才の仕事によって
話はほぼ終わっている。 係数比較で解いていくのは4次以下と同じで普通なのですが、最初に5つの解を表す方法が普通ではないのです（多分）。
それは5つよりも多くの置換パターンを表現しており、例えば、5種類の置換しか表現しないもの（5つの数の巡回置換とか）から
始めると重複ができて120通りの置換が網羅できないのですが、一手目のパターンが多ければ力業で網羅できる訳です。
５＊４＊３＊２だと1つでも重複すればダメですが、２０＊４＊３＊２とかなら多少の重複があっても120通りをすべて表現
できるという感じです。 「正規部分群の系列がない」と駄目なのでしょうか？
正規部分群でなくとも、部分群を束ねて、「そのどれかが条件を満たせばいい」とはならないのでしょうか？
私は、ガロア理論も群の概念も分かっていないので全部直感なのですが、抜け道があるとすれば、その辺りなのではないかと
思うんですよね。 ５つの解を表しながら、６つ以上の置換パターンを表現する方法は、数学界的には周知の事なのでしょうか？ エクセルを使ってだが、5次方程式を解く方法を思いついた。
係数がややこしいと難しいが、簡単なものは解けるようになった。
実数解だけだが。 エクセルを使ってだが、5次方程式を解く方法を思いついた。
係数がややこしいと難しいが、簡単なものは解けるようになった。
実数解だけだが。 >エクセルを使ってだが、5次方程式を解く方法を思いついた。
「代数的解法」とは言ってませんね。 私がやったのはエクセルで数表作って実数解を見つけるという手法だ。
実数解が1個、又は2個見つかったら以下のように因数分解できる。
与式 ＝ (x-α)(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e) = 0
与式 = (x - α)(x - β)(ax^3 + bx^2 + cx + d) = 0
3次方程式と4次方程式はすでに解けるようになっているので、5次方程式は
解けるようになったという次第だ。
ベースが数表だから、今のところ -15 < x < 15 の範囲で
最初の実数解を探すようにした。
3次方程式や4次方程式を解けた際は少なからず誇ろばしく
思ったものだが、5次方程式の解法は能が無いというかイマイチ
恥ずかしい。 私が多次方程式に興味を持ったのは三相交流を勉強する機会が
あり、3次方程式に興味を持ったからである。
数年かかりであったが解けるようになった。
さらにさかのぼると学生のころベンゼン分子の分子軌道の計算
につまづいていた。ベンゼンは炭素数が6個だから6次方程式になる。
6次方程式を解くのがぼやーっとした目標だった。
さてセミリタイヤ中の爺の暇つぶしである。
6次方程式はどうしたものやら。
思考以前の妄想中である。 実は、もし５次方程式に代数的解法があるとすれば、（状況証拠的に）これしかないだろうという表式を既に得ているんですよね。
まあ勘違いの可能性が高いですし、いざ方程式を解こうと試行錯誤するにも計算量的に大変だろうしと、それ以上は手つかずなんで
すけども。
いつか、解けないという証明を信じている人達の鼻を明かす事が出来たら面白いだろうなあと思って、解法への直観的理解が降りて
来るのを待っている状態なんですよね。 >>728さんは典型的な「角の三等分家」でしょ。
あまりにも類型に当てはまっている。
「彼らのほとんどは年取った男である」とか
「定年間際にやっと自分の方法を見つけるのである」
とか。世の中にそんなひとが一定数いるのが不思議だが事実。
もちろん、絶対に「分からせよう」などと思ってはいけない。
数学者や編集者に送り付けてくる手紙への返事の仕方まで
マニュアル化されているくらい。 『角の三等分』（矢野健太郎・一松信著、筑摩文庫）
の巻末に収録されている元数学セミナー編集長の亀井哲治郎氏
の文章が面白かった。数学雑誌の編集部では「角の三等分の
証明ができました」と読者が言ってきても「相手をするな」
というのが先輩からのきついお達しだった。ところが、
あるとき魔がさして１人の「三等分家」のお手紙に返事を
書いてしまう。それから、延々と証明とその問題点の指摘
のやりとりが何日も続き、相手のオジサンがあまりに
しつこいので、最後は、電話が来たときに怒鳴りつけて
しまったというお話。なんだか、可哀想なような、
後悔の念にさいなまれたというような懺悔っぽい文章だった。 文字通りの「角の三等分」問題とは限らず
「フェルマーの初等的証明」や「5次方程式の代数的解法」
という変種もある。フェルマーの方は数学者との
やり取りを公開した本まで出版されてたはず。
ただし、フェルマーの最終定理は「初等的証明はない」
という数学的証明があるわけではないのに対して
「5次の一般代数方程式」の方は「代数的解法の不可能」
の数学的証明があるのが、「初等幾何における角の三等分」
と同じ。 フェルマー予想や角の3等分の証明に
返事を書くのはゲッチンゲン大学の数学科の助手の職務だった。
証明が日本語で書いてあると
返事は「私は日本語が読めません」でよいので
楽だったという。 素人はだいたい「代数的解法」の意味が分かってない
ざっくりいうと「冪根を使った解法」という意味なので
冪根以外のものを使った場合なんて一切考えてない
ガウスは代数学の基本定理で
「任意の複素数係数ｎ次方程式は重複まで含めて必ずｎ個の複素数解を持つ」
と証明した
そして代数的でない方法まで認めていいなら
ｎ個の解を全て見つける解法が存在する
だから実用的には何も困らない
一般人に「５次以降の代数方程式を代数的に解く方法は存在しない」というのは
百害あって一利もない しかし人によっては驚天動地であり
偉大な研究の出発点になりうる >>736
いい歳して厳密解と近似解の話の違いが理性的に理解できないようじゃ相当残念だがな。 >>737 いくらでも正確に近似できるならそれは厳密解である
複素数の定義を正しく理解しているなら、わかる
しかし定義も知らん奴には理性のかけらもない 
