5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止]©2ch.net
5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
しかしそれは我々が知ってる実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)で表現できないというだけで、
実数の表現を拡張して、5次方程式の解の公式を一般化する為の実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。
ガロワはなんでそんな事に気づかなかったんだ？
人類は二次方程式や3次方程式の解を一般化する為に平方根や冪根、複素数を産み出した。
5次方程式の解の公式がそれまでのやり方で得られないからとなぜ諦めるのか？新しい実数表現を作れば良いではないか。 >>606
FAQでまとめといたほうがいいかもね
Q.５次以上の代数方程式の解の公式をつくりたい
A.既にあります
Thomae's formula
ただし実用的でないので数値解法をお勧めします
DKA法、等
ちなみにｎ次代数方程式は（重複を含めて）必ずｎ個の複素数解をもつ、と
すでにガウスの「代数学の基本定理」で証明されているので、
複素数を拡大する必要は全くありません 数学板もID表記が始まった今にあってIDが同じレスに自演呼ばわりするのは蛇足
仮にID違う>>606-607も自演と指摘しているとしてもスレの盛り上がりの流れから鑑みるに此の自演指摘は蛇足 >>609
>>608は悔しかったんでしょう 何が、かは知りませんが その手の指摘は100までにだいたい出て
あとは5次方程式に関係する駄弁りに転じてるのは
読んだらわかるでしょ 知り尽くされた話題だけど
それは専門家（見習い）のコミュニティの話
一般人との関心の折り合いをどう付けていくかが課題 テータ関数や超幾何関数で解の公式が書けるというのは数学科3年以上じゃないとわからない
「解はあるが根号だけでは解が表示できない」という言葉の意味がわからない
ガロア群が可解じゃないと・・・では通じない
「解を表現できる数体系」とか言い始める>>1みたいなアホには説明のしようがない アーベルの証明に近いものは高木貞治「代数学講義」7章にまとめられている
優秀な高校生なら理解可能であろうがwikiやネットで読んだ程度の雑多な知識面はともかく
理解力などの意味で「優秀な高校生」レベルでない人が多いw
>>329
3次方程式の解が全て実数の時でも虚数を含まない形で根号だけで
解を表示することができないことの証明も同じく7章に書いてある
などと書いても多分>>614でいう一般人には刺さらないだろう
そういう応対は私みたいなカスじゃなくブルーバックス書くような先生にお任せします >>615
>「解はあるが根号だけでは解が表示できない」
>という言葉の意味がわからない
そもそも
「解があれば根号で解が表示できる筈」
という主張の根拠がわからんが どうせ一般人は解が数として求まればいいんだから
根号に固執する必要ないだろう
なんで数値解析を嫌うのかわからん
精神異常なのか？ 雪江の青い本を参考に
4次方程式の解を根号で表したときの複雑さをガロア群の大きさで分類した
有理数係数の4次式 f(x) の有理数体上のガロア群を G とし
n = #G とする。
f(x) = 0 の解は...
n = 1 : 解は有理数。
n = 2 : 解は有理数か、平方根1個で表せる。
n = 3, 6 : 解の1つが有理数。他の3つは3次方程式の解の公式で解くので立方根の中に平方根が入る程度。
n = 4, 8 : 解は高々2重の平方根で表せる。
n = 12, 24 : 解は平方根の中に3次方程式の解の公式が入る式を3つ足したもの。唯一書く気が失せるレベル。 >>544
英語のウルトラよりも
こっちの異って名付け方が好みだ こんな本が出てた。
早川書房 マリオ・リビオ著 「なぜこの方程式は解けないか？」
5次方程式が解けないことから群論まであれこれ書いてある。 ようは加、減、乗、除、冪乗、冪根の他に新たな演算を用いれば一般の代数方程式の解の公式を表せるんじゃないかってことでしょ？ >>624
その時点で「代数的」じゃなくなってるんだわ 拍子抜けするような簡単な方法で、五次方程式の代数的解法が出来そうなんですが
もし出来たら凄いことなのでしょうか？特許とか取れるでしょうか？
誰か教えてもらえませんか。 >>627
周りにそういう人は居ません。
自分としては非常に手応えを感じており、もしも上手くいった場合に
折角なら金銭的なメリットを得られないものかと、尋ねてみました。 時間の無駄。あなたがいくら「できた」と言ってみたところで、学術的には門前払い。
たまたま代数的に解ける特殊な5次方程式は存在するが、
一般の5次方程式に一般的に通用する代数的解法は存在しないことが証明済み。
このことに反する主張は、学術的には門前払い。
必然的に、あなたのやり方はどこかが間違っていることになるが、
どこが間違っているのかを指摘する義務すらなく、ひたすらに門前払いを食らう。
だって、代数的解法は存在しないことが証明済みだから。
学術的にはこういう塩対応になる。 ではどうすればいいか？
知らんがな。
親切な人なら、あなたのやり方のどこが間違っているのか
具体的に指摘してくれるかもしれんが、特許がどうこうとか色気を出してる時点で、
できるだけ秘匿にしておきたいという魂胆が丸見えなので、自分で自分の首を絞めている。
あと、このような古い話題では、「代数的解法がない」という内容が正しいことに
もはや疑いようがないので、そのような結果に反する主張が
特許として受理されることはないと思われる(特許庁の信頼に関わるので)。 >>630
確かにどうも勘違いしていたようです。
ご指摘ありがとうございました。 どうしても三等分家と同じ空気をまとうよな。
両方ガロア理論が使えるだけあって。 5次方程式に一般的な代数的解法が存在しない事はガロアの結果とは別に示されてたけど
ガロアいなかったら代数学のそこそこマニアックな結果になってたのかな… 体K上の5次方程式がK上既約である場合、
そのガロア群としては、最も一般の場合の位数5！＝120次の対称群S_5と
それの正規部分群である位数60の5次の交代群A_5、
があるがそれらはいずれも可解ではない場合になる。
解ける場合のガロア群は、位数が5ｘ4＝20次の場合と、
位数が5ｘ2＝10次の場合と、位数が5次の場合巡回群C_5のものだけである。
それらに対しては、ラグランジュの分解式を使って、K上で解の代数的表示
（べき根と四則だけの組あわせで）を書くことができる。
体K上での多項式のガロア群は何になるかは、代数的に決定する方法があるが、
長くなるのでここでは述べない。それにはK上での多項式の因数分解を用いる。 体Ｋが有限体の場合には、5次方程式のすべての解を代数的に？求める
ことが出来る。それは丹念に有限体の元を1つずつ入れてみて根であるものを
拾い上げれば良いのである。でもそれを、四則演算とべき根の操作による
式として表したことにならないとすれば、拾い上げでは代数的解法とは
呼べないであろう。一般の係数についての解を与えたことにならないから。
はたして、有限体の場合には拾い上げではない代数的解法はないのだろうか？
なお、べき根を使うとなると、それにより有限体が拡大される場合もおこる。 大きな有限体、たとえばｐがとても大きな素数たとえば千桁で、体がK=Z_pのとき、
二次方程式 x^2 = b がK=Z_pの中に解を持つかどうかを判定し、解があればそれを
具体的に導くにはどうすれば良いか。
さらに、三次方程式 x^3=c がKの中に解を持つかどうかを判定し，
解があればそれを具体的に導くにはどうすれば良いか。
5次方程式ｘ＾5＝ｄが。。。 平方剰余だけだと体の中に平方根があるかどうかしかわからん。
平方根自体を千桁の数としてZ_pの中から求めなければならないのだが。
どうやるのが最も合理的かな。 >>639
「判定し、」と書いてるから平方剰余を知らないと思った K が F_2 を含む体であるとき
K 上の2次方程式の解が四則と冪根で表せない場合があるよ(>>49)
面倒だね
根を文字でおいて無理矢理拡大できるから
もう今の学者は冪根で解くことに執着していないのだろう 平方根だから（有限）体の中に根があるならば
ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？ >>645
>>ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？
どんな距離に関して？ 部分体を持たない素体のなかの「距離」としては、自明なものしかないだろ。
つまり一致するかしないかだけ。
たとえば平方根を求めるためのニュートン法は有理式の反復の形にかけるから、
体上では実行可能だろう。それがどのような挙動を示すだろうか。
たとえば、比較的体の要素数が大きくても、初期値のある程度の割りあいに
対して少数回の反復でもって、平方根に到達するということがあったりすれば
（願望だが）、良いのになという話。たぶんそうならないかもしれないが、
それはそれで面白い。 いくつかの例で多少実験してみたところ、
どうもニュートン反復式は、素体の中で平方根を
求める役には全然たちそうもないことがわかった。 Z/pZ 上のm次多項式f(x)を既約分解すれば、
1次因子があれば、それがf(x)=0のZ/pZに於ける解になる。
2次の既約因子があればZ/pZ上の2次拡大体の中に2次既約因子の個数の2倍の解がある。
3次の既約因子があればZ/ｐZ上の3次各大体の中に3次既約因子の個数の3倍の解が、
。。。
既約分解を行う算法は既に存在していて、数式処理などでは使われている。 要素の数が有限の体は、標数が素数ｐであって、
要素数が素数ｐからなる要素数がｐの体であるか
またはそれの任意次数の代数拡大で得られる体に同型である。
拡大次数をｍとすればその要素数はｐのｍ巾になる。
つまり、要素数が有限である体は極めて限られた存在で
豊富さに欠ける。 素数は豊富さに欠けるということになるから、間違った主張である >>644
Abel方程式にはまだ執着しているようだ 
